误差和分析数据处理方法

47.60% 5.84 0.08% 47.60% 0.23%
括总体 平均值在内的可信范围
表示为 x u 置信区间：x u 置信限：u
平均值的置信区间：一定置信水平下，以测量结果的平均值为中 心，真值出现的可信范围
表示为 x t s x
置信区间：x t s x
置信限：t sx
上限值 XU：x u 下限值 X L：x u
续前
练习
例1：如何理解 47.50% 0.10%置信度P 95%
解：
理解为测量值在47.50% 0.10% 区间内的概率为95%
练习
例2：对某未知试样中CL-的百分含量进行测定，4次结果为
47.64%，47.69%，47.52%，47.55%，计算置信水平 为95%和99%时的总体均值μ的置信区间
一、正态分布与 t 分布区别
1．正态分布——描述无限次测量数据
t 分布——描述有限次测量数据
2．正态分布——横坐标为 u ，t 分布——横坐标为 t
u x
t x
s
为总体均值 为总体标准偏差
s为有限次测量值的标准偏差
3．两者所包含面积均是一定范围内测量值出现的概率P
正态分布：P 随u 变化；u 一定，P一定
置信水平P越高，置信区间越大，估计区间包含真值的可能性↑
置信区间——反映估计的精密度 置信水平——说明估计的把握程度
✓ 注意： （1）置信区间与置信水平的关系 （2）置信区间分为单侧置信区间和双侧置信区间
单侧——大于或者小于总体均值的范围（μ<XU或μ>XL ） 双侧——同时大于和小于总体均值的范围 （XL <μ<XU）
解： x 47.64% 47.69% 47.52% 47.55% 47.60%
4
x x2
s
0.08%
n 1
x t , f
s x
x t , f
sx n
P 95% t0.05,3 3.18
47.60% 3.18 0.08% 47.60% 0.13%
4
P 99% t0.01,3 5.84
2. 以u为横坐标，以概率密度为纵坐 标的整体分布曲线为标准正态分布 曲线
以u ～y作图
二、偶然误差的区间概率
➢ 偶然误差的区间概率P——用一定区间的积分面积表示该 范围内测量值出现的概率
➢ 从－∞～＋∞，所有测量值出现的总概率P为1 ，即
(u) du
1
u2
e 2 1
2
正态分布 概率积分表
标准正态分布 区间概率%
u 1, x 1
68.26%
测量值落在μ±1σ范围内的概率
u 2, x 2
95.5%
测量值落在μ±2σ范围内的பைடு நூலகம்率
u ~ u
u 3, x 3
99.7%
测量值落在μ±3σ范围内的概率
2.4.2 有限数据的统计处理和t分布
一、正态分布与 t 分布区别 二、平均值的精密度和平均值的置信区间 三、显著性检验：t检验和F检验 四、可疑值的检验：G检验 五、回归分析
1．平均值的精密度（平均值的标准偏差）
• 平均值的精密度用平均值的标准偏差 表示，平均值的标准偏差与测量次数 的平方根成反比
s sx
x
n
例： n4
s
x
1 2
sx
n 25
注：通常3~4次或5~9次测定足够
1 sx 5 sx
续前 2．平均值的置信区间
置信区间：在一定的置信水平P时，以测定结果为中心，包
2.4.1 无限实验数据的统计处理
一、偶然误差的正态分布和 标准正态分布 二、偶然误差的区间概率
一、偶然误差的正态分布和标准正态分布
（一）偶然误差的正态分布
1、正态分布
正态分布的概率密度函数式:
y
f (x)
1
2
( x )2
e 2 2
A．x 表示测量值，y 为测量值出现的概率密度 B．正态分布的两个重要参数 （1）μ为无限次测量的总体均值，表示无限个数据的
➢ 自由度 f ：相互独立的变量个数率 f＝n－1
t与和f有关，引用t 需要加脚注 t t, f
t0.05,10表示置信水平为95%，自由度为10的t值 t0.01,4表示置信水平为99%，自由度为4的t值
续前 显著水平α/2
置信水平P
显著水平α/2
t
置信区间 t s
返回
二、平均值的精密度和平均值的置信区间
表达式：
（1）由多次测量（n>30）的样本平均值估计μ 的置信区间
x u x
xu
n
(n 30)
（2）由少量测定（n<30）结果平均值估计μ
的置信区间
x t, f
s x
x t , f
sx n
(n 30)
计算过程：求平均值和平均精密度，查t检验表，代入公式计算
续前
➢结论： 上限值 XU：x u 下限值 X L：x u
集中趋势（无系统误差时即为真值） （2）σ是总体标准差，表示数据的离散程度 C．x -μ为偶然误差
2、 正态分布曲线—— x ～ N(μ ,σ2 )曲线
特点：
以x-μ～y作图
➢ x =μ时，y 最大→大部分测量值集中 在算术平均值附近
➢ 曲线以x =μ的直线为对称→正负误差 出现的概率相等
➢ 当x →﹣∞或﹢∞时，曲线渐进x 轴， 小误差出现的几率大，大误差出现的 几率小，极大误差出现的几率极小
分析化学Ⅰ 第二章 误差和分析 数据的处理
2.4 偶然误差的正态分布
（有限实验数据的统计处理）
➢ 偶然误差的特点：服从统计规律，大偶然误差出现的 概率小，小偶然误差出动的概率 大，绝对值相同的正负偶然误差出 现的概率大体相等
➢ 无限多次测量值的偶然误差分布服从正态分布 ➢ 有限测量值的偶然误差分布服从t分布
➢ σ↑，y↓, 数据分散，曲线平坦 σ↓，y↑, 数据集中，曲线尖锐
➢ 测量值都落在－∞～＋∞，总概率为1
（二）标准正态分布曲线—— x ～ N(0 ,1 )曲线
为了计算方便，作变量变化：
令u x
y f (x)
1
u2
e2
2
✓注：
1. u 是以总体标准偏差σ为单位来表 示随机误差 x –μ
t 分布：P 随 t 和f 变化；t 一定，概率P与f 有关，
自由度：f n 1 注：f t u
几个重要概念
➢ 置信水平（置信度）P ：在某一 t 值时，测量值出现在 μ± t •s范围（置信区间）内的概率
➢ 显著性水平α：落在此范围之外的概率 1 P
➢ 置信区间：以平均值为中心，真值出现的范围