数学分析对中学数学指导作用

分类号 O171 单位代码密级学号学生毕业论文题目数学分析对中学数学的指导作用作者院 (系) 数学系专业数学与应用数学指导教师答辩日期2014年5月4日摘要数学是研究空间形式和数量关系的科学．随着数学改革的不断进行与发展，中学数学所涉及的数学分析方面的知识在高考中所占得比例越来越大．本文通过探讨数学分析与中学数学的关系，着重论述数学分析在中学数学函数、几何、代数等方面的应用，以大量详实的习题、范例为依据，分析不同方法的解题效果，从而说明数学分析对中学数学的指导意义和作用．关键词：数学分析；中学数学；数学思想；数学方法ABSTRCTMathematics is the study of space form and quantity relationship．With the ongoing development of mathematics reform，the proportion of the mathematical analysis knowledge included middle school math in the university entrance exam is becoming increasing larger．By discussing the relationship between mathematical analysis with the middle school mathematics，this thesis focuses on the application of mathematical analysis in functions，geometry ，algebra in middle school mathematics．At the same time with a large number of detailed examples，as the basis and analysis of effect of different methods of problem solving，the guiding significance and function of mathematical analysis to middle school mathematics is illustrated．Key words: Mathematical analysis; Middle school mathematics;Mathematical thinking;Mathematical methods目录摘要 (II)ABSTRCT .............................................................................................................................................. I II 目录 . (IV)1 引言 (1)2 中学数学与数学分析的关系 (2)2.1中学数学 (2)2.2数学分析 (2)2.3中学数学与数学分析的关系 (2)2.4数学分析在中学数学中的指导作用 (3)3 数学分析在中学数学中的应用 (4)3.1函数方面应用 (4)3.1.1 函数单调性和极限 (4)3.1.2解三角函数 (5)3.1.3函数极值和最值 (7)3.2几何方面应用 (8)3.2.1曲边图形的面积、体积、弧长 (8)3.2.2切线方程和相交问题 (10)3.3代数方面的应用 (12)3.3.1证明代数式 (12)3.3.2解不等式 (14)3.3.3 解方程和证明恒等式 (16)4 高考中有关问题的解决 (18)5 小结 (22)参考文献 (23)致谢 .................................................................................................................. 错误!未定义书签。

榆林学院本科毕业论文1 引言数学分析在中学数学解题中所发挥的重大作用，越来越受到老师和学生的关注．通过大学数学分析的学习与深入，我们了解到数学分析在中学数学中具有非常重要的指导意义．在数学高速发展时期，数学分析的思想方法在中学数学的教与学的过程中占有举足轻重的地位．因此，本文通过具体实例说明数学分析对中学数学具有切实的指导意义和指导作用．从而为学生找到一种简便易行的方法去解决中学数学的一些问题，让大家更加深入的了解数学分析的重要作用．2中学数学与数学分析的关系2.1中学数学中学时期我们所学的数学主要是常量数学，其次也包括变量数学的一些初步知识．中学数学一般可以分为两个层次：表层知识和深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指的是数学思想和数学方法．它的教学内容大致可分为代数、几何、微积分、概率统计、算法等几个部分．中学数学的学习方法，除了有观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象、概括等理论方法外，还有逻辑推理、证明方法、以及化归、递推、等价转化、推广与限定等数学思想方法．2.2数学分析数学分析主要是以变量及变量之间的函数依赖关系作为研究对象的，并以微积分学和无穷级数为主要内容，是一个较为完整的数学学科．数学分析除了体现其严密的逻辑体系外，也反映了现代代数学的发展趋势，它吸收和采用现代数学的思想观点与处理方法，提高学生的数学修养，培养学生的数学能力．数学分析的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续、可微及可积等各种特性．了解这些特性，有助于我们对物理世界的研究及对自然界规律的发现，从而更好的去改造我们的生活，也为未来的发展奠定基础．2.3 中学数学与数学分析的关系数学分析是初等数学发展到一定阶段的必然产物，数学分析的形成扎根于初等数学基础之上．它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等都是在初等数学有关问题的基础上发展而来的．导数是在用代数运算求直线斜率这一问题的基础上发展成为用极限方法求曲线上某点的切线斜率而形成的，积分是在用代数运算求直线所围成的平面图形面积的基础上发展成为用极限方法求曲线所围成的面积而形成的，无穷级数求和则是在用代数运算求有限项之和的基础上发展成榆林学院本科毕业论文为求无限项之和而形成的．从这些新概念的发展过程看都是为了解决初等代数、初等几何不能解决的问题，由此可以看出，数学分析是在实践中为了解决初等数学不能解决的问题而长期逐步发展起来的，从数学分析和中学数学的内容来看二者也是紧密联系的．2.4 数学分析在中学数学中的指导作用数学分析讲求的是一种严密的数学逻辑性思维，解题具有很强的技巧性与灵活性．数学分析思想对于提高个人的判断和处事能力有很好的帮助，它是对数学及其研究对象以及各种数学概念、定理、法则、范例、数学方法等的根本性认识．数学分析对于中学数学的教学和学习有着很好的指导作用．在中学数学教学中，数学分析思想方法有以下几个指导作用：首先，可以有效地帮助学生形成正确的数学观念和优秀的数学精神，是落实素质教育的有效途径；其次，可以提高教师的教学质量和教学水平，恰当地把握中学数学教学要求的程度；最后，数学分析中的知识和方法可以用来检验学习初等数学所犯的某些错误，对学生的发展也有很大的帮助．3 数学分析在中学数学中的应用3.1 函数方面应用函数是中学数学很重要的教学内容，求函数的极值、极限、最值等很多知识都要用到数学分析方面的知识．3.1.1 函数单调性和极限例1 已知31()3f x x x =-，求函数()f x 的单调性． 解 31()3f x x x =-，2()1f x x '∴=-=()()11x x -+， 所以，当[]1,1x ∈-时()0f x '≤，此时函数在[]1,1-上单调递减；当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞时()0f x '>，此时函数在(,1)-∞-和()1,+∞上单调递增．例2 已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围． 解 2()361f x ax x '=+-，因为)(x f 在R 上是减函数，所以0)(≤'x f 在R 上恒成立，所以0∆≤且0a <，即01236≤+a a 且0a <．所以3a ≤-．例3 已知数列{}n a ，{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p ，q 其中q p >，且1p ≠，1q ≠．设n n n b a c +=，n s 为数列{}n c 的前n 项和，求极限1lim-∞→n n s s n ． 解 1)1(1)1(11--+--=q q b p p a s n n n )1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a s s ， 下面分两种情况讨论求值:（1）当1>p 时，由已知得，0>>q p ，故10<<pq ．则榆林学院本科毕业论文∞→n lim )1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a s s )]1)(1()11)(1([)1)(1()11)(1([lim 111111111-----∞→--+----+--=n n n n n n n n n nn p p q p b p q a p p p q p b p q a p 0)1()01)(1(0)1()01)(1(1111⨯-+--⨯-+--=p b q a p b q a p p q a q a p =--=)1()1(11 （2）当1<p 时，由已知得10<<<p q ．则111111(1)(1)(1)(1)lim lim (1)(01)(1)(1)n n n n n n n s a q p b p q s a q b p q -→∞→∞---+--=--+-⨯- 1111(1)(01)(1)(01)(1)(01)(1)(01)a qb p a q b p --+-⨯-=--+-⨯- ()()()()111111111a q b p a q b p ----==----． 3.1.2 解三角函数例1 已知函数x arc x x f cot arctan )(+=，求)(x f 的值． 解 因为对R x ∈∀，有01111)cot (arctan 22=+-+='+xx x arc x ， 所以 c x arc x =+cot arctan （c 为常数）为了确定c 的值，令0=x ，有20cot 0arctan π==+c arc ．即()2f x π=．例2 已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈．求：（1）函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；（2）函数()f x 单调递增区间．解（1）方法一 因为1cos 23(1cos 2)()sin 222x x f x x -+=++2sin 2cos 22)4x x x π=++=+ ，所以当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2+ 因此()f x 取得最大值的自变量x 的集合是|,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 方法二 因为222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++ =1sin 21cos2x x +++2)4x π=+所以当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2+ 因此()f x 取得最大值的自变量x 的集合是|,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．（2）方法一 ()2)4f x x π=++，由题意得 222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 即 32()848k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 那么函数()f x 单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈．方法二 ()2)4f x x π=++，故())4f x x π'=+求函数()f x 单调递增区间，即只需()0f x '≥，故有)04x π+≥，则有 222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 因此 3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 函数()f x 单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈．3.1.3 函数极值和最值例1 已知)0(31)(23≠++=a cx bx ax x f 在1x =±时取得极值，且32)1(-=f ．（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1x =±是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解 （1）2()2f x ax bx c '=++， 因为1x =±是函数的极值点，所以1x =±是方程()0f x '=，即220ax bx c ++=的根，()()()2131010f f f ⎧=-⎪⎪'-=⎨⎪'=⎪⎩即有12332020a b c a b c a b c ++=-++=⎧⎪-=⎨+⎪⎪⎪⎩ 将上面三式联立求得1,0,1-===c b a ．（2）因为3()f x x x =-，所以2()1(1)(1)f x x x x '=-=+-． 而又当1,1x x ><-时，()0f x '>；当11x -≤≤时，()0f x '≤． 所以函数()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上是增函数，在[]1,1-上是减数． 所以当1x =-时，函数取得极大值()11f -=；当1x =时，函数取得极小值()11f =-．注1 利用导数这一工具，我们很容易解决了一元三次函数的极值问题．例2 已知函数22()(0,)a f x x x a R x =+≠∈，22()(0,)af x x x a R x=+≠∈，求函数()f x 在[1,)+∞的上的最小值．解 ()222af x x x '=-，1x ≥． （1）当1a <时，()0f x '>在[1,)+∞上恒成立，那么()f x 在[1,)+∞上单调递增．所以()f x 的最小值为()112f a =+．（2）当1a =时，若1x =，()0f x '=;若1,()0x f x '>>恒成立．因为()f x 在∞[1,+)上单调递增，所以()f x 在1x =时，取得最小值()112f a =+．（3）当1a >时，令()0f x '=，得x =且在⎡⎣上，()0f x '≤；在⎤+∞⎦上，()0f x '>．因为()f x 在⎡⎣上单调递减，在⎤+∞⎦上单调递增．所以()f x 在xmin ()f x f === 综上所述，当1a ≤时，()f x 在[]1,x ∈+∞上的最小值为12a +;当1a >时，()f x 在[]1,x ∈+∞上的最小值为．3.2 几何方面应用中学数学课本只是简单的给出了我们一些基本的几何公式、定理，而没有给出具体的证明过程，数学分析为此提供了理论依据和证明方法，能让学生对这些知识更加深入的理解和记忆．3.2.1 曲边图形的面积、体积、弧长1 由连续曲线()(0)y f x =≥，以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为：()baA f x dx =⎰，如果()f x 在[],a b 上不都是非负的，则()baA f x dx =⎰．2 由两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两直线x a =与()x b a b =<所围成图形的面积为：12()()ba S f x f x dx =-⎰．3 设f 是[],a b 上的连续函数，Ω是由平面图形0(),y f x a x b ≤≤≤≤绕x 轴一周所得旋转体，易知截面面积函数为[]2()(),,A x f x x a b π⎡⎤=∈⎣⎦．则旋转体Ω的体积为：[]2()()b baaV A x dx f x dx ππ==⎰⎰．4 设平面曲线C 由参数方程()y f x =，[],x a b ∈构成，若C 为一光滑曲线且可求长，则C 的弧长为as =⎰．5 设平面光滑曲线C 的方程为()y f x =，[],x a b ∈（不妨设()0f x ≥）．则这段曲线绕x旋转一周得到旋转曲面的面积为：2(baS f x π=⎰．例1 求由椭球面2222221x y z a b c++=所围立体（椭球）的体积．解 以平面)(00a x x x ≤=截椭球面，得椭圆（它在yOz 平面上的正投影）：1)1()1(22222222=-+-ax c z ax b y所以截面面积函数为：22()(1),((,))x A x bc x a a aπ=-∈-于是求得椭球体积为：224(1)3aa x V bc dx abc a ππ-=-=⎰．于是显然当r c b a ===时，这时等于球的体积334r π．例2 已知函数3212()41,()22f x x f x x =-=-，求两函数在区间[]2,3上所围成 的不规则图形的面积．解 如果用不规则图形算还要进行分割求和很麻烦，但我们可以用积分的形 算就很快得出结论：12()()baS f x f x dx =-⎰3322(41)(22)x x dx =---⎰3322(421)x x dx =-+⎰433()|2x x x =-+47=．例3 求223x y =+与y x =所围成的图形的面积．解 先求其交点的横坐标，解方程组223x y y x⎧=+⎨=⎩，得11x =-，23x =，在[]1,3-内由2322x x >-，所以 2313[()]22x S x dx -=--⎰23313[]|262x x x -=-+ 163=． 例4 求曲线229(3)ay x x a =-由0x =到3x a =的弧长．解 用公式al =⎰，且曲线关于x 轴对称，故有曲线在区间内的弧长为：302l =⎰302=⎰=．例5 求曲线[0,1]y x ∈绕x 轴旋转所得曲面的面积．解 用公式=2ba S π⎰侧，所以2S π=⎰侧2π=⎰31202(41)|43x π=+1]6π=．3.2.2 切线方程和相交问题例1 求双曲线14922=-y x 的渐近线方程．解双曲线方程可化为y =，渐近线的斜率为： ()23lim lim lim 3x x x f x y a x x x →∞→∞→∞====±，在y 轴上的截距：2lim[]lim[)]03x x b y ax x →∞→∞=-=±=，故所求渐进线方程为23y x =±．例2 已知曲线S ：x x x y 43223++-=及点)0,0(P ，求过点P 的曲线S 的切线方程．解 设过点P 的切线与曲线S 切于点),(00y x Q ，则过点P 的曲线S 的切线斜200224x x k y x x ='==-++又0PQ y K x =，所以 0020422x y x x =++- ① 因为点Q 在曲线S 上，所以320000243y x x x =-++ ②将②代入①得02030020432422x x x x x x ++-=++-化简得3200403x x -= 所以00=x 或034x =． 若,00=x 则,4=k 过点P 的切线方程为x y 4=； 若,430=x 则358k =，过点P 的切线方程为358y x =．例3 双曲线221:241C x y -=与抛物线22:C y x b =+，(1)x ≥相交，求b 的取值范围．解 1C 与2C 相交等价于方程组222241(1)x y x y x b⎧-=⎪≥⎨=+⎪⎩有实数解，联立可得 224410(0)x x b x ---=≥ ，解出21124b x x =--， 将b 视为x 的函数，利用导数易知当1x ≥时，此函数为增函数，故1131244b ≥--=-， 由此可受到启发，寻求到该题的初等解法，即通过配方法213(1)24b x =--，易见1x ≥时此函数为增函数，故min 3,4b =-所以b 的取值范围为3[,)4-+∞．3.3 代数方面的应用代数是中学数学的基础，学好数学首先要学好代数，数学分析为中学代数中的一些问题提供了解题方法和思路，中学代数方面的问题用数学分析的知识往往会使解题更加简单明了．3.3.1 证明代数式例1 设,,x y z ，都是正数，且1x y z ++=，判断代数式1118x y z ++-的正负．解 判断 11180x y z++->．由1x y z ++=知:111x y z ++=()111x y z x y z ⎛⎫++⋅++ ⎪⎝⎭()()()222222111⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦．由施瓦兹不等式知:()()()222222111⎡⎤⎡⎤⎢⎥++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2⎫≥=()2111++=9． 故而111810x y z ++-≥>，因此1118x y z++-为正．例2 已知22,5,A a B a a =+=-+其中2a >．求证：0B A ->，并指出A 与B 的大小关系．证明 法一 2(5)(2)B A a a a -=-+-+ =223a a -+(2)a >．令2()23f a a a =-+，则()22f a a '=-，故当2a >时()0f a '>，因此函数()f a 在定义域内为单调递增函数．则有()(2)4430f a f >=-+>，因此有0B A ->，因此B A >．法二 2(5)(2)B A a a a -=-+-+223a a =-+=2(1)2a -+(2)a >．当2a >时2(1)2a -+恒大于零， 故0B A ->，因此B A >．例3 已知矩形纸片ABCD 中，6AB cm =，12AD cm =，将矩形 纸片的右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕的两端点，M 、N分别位于边AB 、BC 上，设,MNB MN l θ∠==．（1）试将l 表示成θ的函数；（2）求l 的最小值．解 （1）如图所示902APM θ∠=-，则MB =sin l θ，()sin sin 90AM l θθ=⋅-． 由题设得sin l θ+()sin sin 902l θθ⋅-=6，从而得C N()6sin sin sin 902l θθθ=+-6sin sin cos 2θθθ=+23sin cos θθ=． （2）设sin t θ=，则有()231u t t t t =-=-，即3u t t =-，04πθ<<．213u t '=-，令0u '=，得3t =．当3t <时，0u '>；当3t >时，0u '<．所以当3t =max 13339u =-=．那么min l ==3.3.2解不等式例1 12>．解 原不等式的定义域为[]1,3-，令()12f x =，那么()0f x =的两个根为121188x x=-=+．由此可分为三个区间：123(1,1(1(1I I I =--=+=，()12f x =，取1,2301,2I I I ∈∈∈， 可得：(0)0,(1)0,(2)0f f f ><<，从而原不等式的解集为1,1⎛-- ⎝⎭． 这是一个解不等式的问题，若采用中学数学的常规方法，就是两边同时开方，当这样做很可能导致开平方后，要进行讨论，所以比较复杂．而上述先把不等式转化成方程，然后构造一个函数，再利用数学分析中介质性定理来确定区间，就很容易解决了．例2 设()nx a x a x a x f n sin ...2sin sin 21+++=，并且()x x f sin ≤．n a a a ,,,21 为常数．求证：1221≤+++n na a a ．证明 因为()x x f sin ≤，所以()xxx x f sin ≤，即 xxx nx a x x a x x a n sin sin 2sin sin 21≤+++ ． 上述两边令0→x ，根据重要极限0sin lim1x xx→=，则1221n a a na +++≤．例3 已知x 0>，求证ln(1)1xx x x<+<+． 证明 令()ln(1)f x x =+，()11f x x'=+．由()f x 在[]0x ，上满足拉格朗日中值定理，故()0,b x ∃∈ 使()[]()()(0)0f x f f b x -'-=， 即1ln(1)1x b x+=+ (0)b x <<． 由0b x <<知11111x b<<++，那么1ln(1)11x x x +<<+． 再由x 0>知ln(1)1xx x x<+<+．得证． 例4 如果,,a b c 都是正数，那么3333a b c abc ++≥．证明 设()333()3,0,.f x x abx a b x =-++∈+∞则()233f x x ab '=-，令()0f x '=，在()0,+∞内，求得驻点x =所以当函数()f x 在x =3333fa b =-+332a b =-30=≥．由于在区间()0,+∞内的连续函数()f x 只有一个极值点，因此极小值就是它的最小值，于是对于()0,+∞上的任何x 值恒有()233330f x x abx a b =-++≥≥，取0x c =>，得33330c abc a b -++≥．所以3333a b c abc ++≥．3.3.3 解方程和证明恒等式例1 解方程01555223=-+++x x x ．分析 此题若按三次方程的求解x 相当困难，若将“5”看做“未知数”，x 看作常数，则是一个关于“5”的“一元二次方程”．解 原方程整理为()0)1(5)12(5322=++++x x x ，判别式()0)12()1(4122322≥-=+-+=∆x x x x ，故方程有两个根．根据二次方程解得求根公式()0x1-5152≠++=-=x x x x 或， 故原方程的解为))123111,22x x x -+--===．a 则可将方程看作由x 与a 两个“变量”所确定的隐函数，求x 是将x 表示为a 的函数，自然也可将a 表示为x 的函数从而很容易解决本题这是非常好的一种解题思路从中学数学的角度看，本题可以看作是函数与反函数的应用．例2 证明：4cos 44cos 238sin x x x -+=． 证明 法一 令4()cos 44cos 238sin f x x x x =-+-．3()4sin 48sin 284sin cos f x x x x x '=-+-⨯=28sin 228sin 216sin sin 20xcos x x x x -+-=．即()f x 为一个常数．取特值令0x =，则()(0)0f x f ≡=．故有4cos 44cos 238sin 0x x x -+-=，即4cos 44cos 238sin x x x -+=．法二 4cos 44cos 238sin x x x -+-=2222cos 214cos 232(2sin )x x x --+-=222cos 24cos 222(1cos 2)x x x -+--=222cos 214cos 232(1cos 2)x x x --+--=222cos 24cos 222(12cos 2cos 2)x x x x -+--+=222cos 24cos 2224cos 22cos 2)x x x x -+-+-= 0．则4cos 44cos 238sin x x x -+=得证．例3 已知1x <，求证212212x arctgx arctg x π=--．证明 当x 1<是，由212021x arctgx arctg x '⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦知21221xarctgx arctg c x -=-（待定常数）．令,c /2x π→-∞=-， 则212212x arctgx arctg x π-=--，(),1x ∈-∞．4 高考中有关问题的解决例1（2006陕西卷）设函数32()31,(0)f x kx x k =-+≥．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的极小值大于0，求k 的取值范围．解 （1）函数2()36f x kx x '=-，故当0k =时，导函数为()6f x x '=-，所以()f x 的单调增区间为(],0-∞；单调减区间为[0)+∞．当0k >时，22()363()f x kx x kx x k'=-=-． 令()0f x '=，解得0x =或2x =．当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调增区间为(],0-∞，2,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；单调减区间为20,k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）当0k =时，函数()f x 不存在极小值；当0k >时，由上题知在2x k =取极小值222212()10f k k k=-+>，即24k >，由条件0k >，所以k 的取值范围为(2,)+∞． 例2 设0t ≠，点(,0)P t 是函数3()f x x ax =+和2()g x bx c =+的图像的一个公 共点，两函数的图像在点P 处有相同的切线．（1）用t 表示,,a b c ；（2）若函数()()y f x g x =-在()1,3-上单调递减，求t 的取值范围．解（1）因为函数()f x 和()g x 的图像都经过(),0t ，所以()0f t =，()0g t =，即30t at +=，20bt c +=，因为0t ≠，所以2a t =-，c ab =．又因为函数()f x 和()g x 的在(),0t 处有相同的切线，所以()()f t g t ''=．而2()3,()2f x x a g x bx ''=+=，所以232t a bt +=．将2a t =-代入上式得b t =，因此有3,c ab t ==-故23,,3a t b t c t =-==-．(2)3223()()y f x g x x t x tx t =-=--+，2232(3)()y x tx t x t x t '=--=+-． 因为函数()()y f x g x =-在（-1，3）上单调递减，且(3)()y x t x t '=+-是开口向上的抛物线，所以13|0|0x x y y =-='≤⎧⎨'≤⎩ 即(3)(1)0(9)(3)0t t t t -+--≤⎧⎨+-≤⎩ 解得9t ≤或3t ≥．所以t 的取值范围是(,0)[3,)-∞⋃+∞．例3 （2006年福建文） 已知)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是)5,0(， 且)(x f 在区间]4,1[-的最大值是12．(1)求)(x f 的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程037)(=+xx f 在区间]1,[+m m 内有且只有两个不等的实根？若存在，求出所有m 的值；若不存在说明理由．解 （1）因为()f x 是二次函数，且0)(<x f 的解集是)5,0(，可设)0)(5()(>-=a x ax x f而函数)(x f 在区间]4,1[-的最大值是(1)6f a -=．由已知得612,a =故2a =． 所以2()2(5)210()f x x x x x x R =-=-∈．（2）方程037)(=+xx f 等价于方程)0(03710223≠=+-x x x ，设 32()21037h x x x =-+，则2()6202(310)h x x x x x '=-=-． 当)310,0(∈x 时，,0)(<'x h )(x h 是减函数；当),310(+∞∈x 时0)(>'x h ，)(x h 是增函数．因为101(3)10,()0,(4)50327h h h =>=-<=>， 所以方程0)(=x h 在区间1010(3,),(,4)33内分别有唯一实根，而在区间)3,0(，）（+∞,4 内没有实数根．所以存在唯一的自然数,3=m 使得方程037)(=+x x f 在区间)1,(+m m 内有且只有两个实数根．例4（2007福建卷）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要、求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB=3米，AD=2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内?(2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积；(3)若AN 的长度不少于6米，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．解 （1）设x AN =米，()2>x ，则2-=x ND ．因为AM AN DC ND =， 所以AM x x =-32，又因为23-=x x AM ． 故有3223>>-x x x ，即0643232>+-x x ． 则得到0)8)(83(>--x x ．故382<<x 或8>x ． （2）232AMPN x S x =- 23(2)12(2)122x x x -+-+=- 23(2)12(2)122x x x -+-+=- 123(2)122x x =-++- 2412362=+≥．当且仅当4=x 时等号成立．（3）因为12212)2(3+-+-=x x S AMPN )6(≥x ． 令t x =-2)4(≥t ，12123)(++=tt t f ．又因为2123)(tt f -='当4≥t 时，0)(>'t f ． 所以12123)(++=tt t f 在[)+∞,4上递增，那么27)4()(min ==f t f ，此时6=x ． 答（1）382<<AN 或8>AN ； （2）当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为24平方米；（3）当AN 的长度是6米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为27平方米．5小结数学分析知识理论是在解决实际生活问题过程中逐步产生和发展起来的，它本身处处充满了丰富的数学思想，如极限思想、代换思想、模型思想、积分思想等．利用数学分析的思想方法可以使中学数学问题更加趋向于简单化和形象化，结果更加清晰明确，更能提高中学生的解题能力与思维能力．本课题着力于提高中学生的解题能力，通过选取典型的中学例题与高考题，找出数学分析思想与技巧在其中的应用，并且对比不同解题过程和解题效果．站在数学分析的角度来看中学数学的某些问题会更深刻更全面，因此应掌握更多的数学分析知识摸清数学分析与中学数学的联系，在学习和教学中做到真正的居高临下．参考文献[1] 吕世虎，等．从高等数学看中学数学．北京:科学出版社．[2] 李建民师专数学分析教材改革的几点看法．中国高等教育研究．1997:1619—1620．[3] 刘广支著．数学分析选讲．燕龙江教育出版社，1993．[4] 刘玉莲，傅沛仁著．数深发析讲义．高教出版社．[5] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京:高等教育出版社，1991．[6] 唐高华，韦素娥，任北上，黄倩霞．高师数学主干课程教材与教法现状的调查分析[J]．广西师范学院学报(自然科学版)，1998，15(4)．[7] F·克莱因(德)．高观点下的初等数学(第一卷)[M]．武汉:湖北教育出版社，1989．。