分式与分式方程题型分类讲义全
北师大版八年级下册第五章分式与分式方程讲义
八下数学第五章分式与分式方程5.1认识分式一般地，用,A B 表示两个整式，A B ÷可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，那么称A B为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母,对于任意一个分式,分母都不能为零。
例1， 下列各式中哪些是整式？哪些是分式?211(1);;(3);(4);2242b a b x xy x y a x ++-+- (2) 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以）同一个不等于零的整式,分式的值保持不变. 这一性质可以用式子表示为：,(0)b b m b b m m a a m a a m⋅÷==≠⋅÷。
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.例2, 化简下列分式 2225(1);;20xy a ab x y b ab++ (2) 在化简的结果中,如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式,化简分式时,通常要使结果成为最简分式或是整式.5。
2分式的乘除法两个分式相乘，把分子相乘的积作为分子，把分母相乘的积作为分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘。
这一法则可以用式子表示为：;b d bd b d b c bc a c ac a c a d ad⋅=÷=⋅= . 例3, 计算2222244(1);(4);2x xy xy x xy y x y x y x y x y+-+÷÷---+ (2) 5.3分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
这一法则可以用式子表示为：b c b c a a a±±=. 例4,计算222(1);(2);(3);22a b x y m n n n a b b a x y y x n m n m n m++++-------- 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，为了计算方便,异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作为它们的共同分母。
分式方程应用题分类讲解与训练(很全面)
分式方程应用题分类讲解与训练一、【行程中的应用性问题】例1 甲、乙两个车站相距96千米,快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？分析：等量关系:慢车用时=快车用时+ （小时)例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1。
5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．解:设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意,得xx 6828-=x 5.1828，解得46x =， 经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =，即普通快车车的平均速度为46km ／h,直达快车的平均速度为69km ／h ．评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解,要要检验是否符合题意,即满足实际意义．4060例3 A 、B 两地相距87千米,甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度.分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+ (小时）例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解： 设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得：方程两边都乘以2x ，去分母,得 30—15＝x ， 所以，x ＝15． 检验：当x ＝15时，2x ＝2×15≠0，所以x ＝15是原分式方程的根，并且符合题意．∵，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．所行距离 速度 时间甲（87-45）千米x 千米/小时乙45千米（x+4)千米/小时30608745x-454x +例5 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．解: 设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意,得:解得x＝15．经检验x＝15是这个方程的解．当x＝15时，3x＝45．即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．例6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B；若从原地出发,但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。
专题5.16 分式与分式方程(全章复习与巩固)(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.16分式与分式方程（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.特别说明：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±=；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.特别说明：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式➽➼分式的意义✭✭分式的基本性质1．已知分式2x nx m+-（m ，n 为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误．．的是（）x 的取值－22pq分式的值无意义012A ．2n =B ．2m =-C ．6p =D ．q 的值不存在【答案】A【分析】根据分式有意义的条件可得m ，n 的值，进而可知p ，q 的值，选出符合要求的选项即可．解：∵x 为﹣2时方程无意义，∴x －m =0，解得：m =﹣2，故B 正确，故分式为：22x n x ++，当x =2时，分式的值为0，故2×2＋n =0，n =﹣4，故A 错误，故分式为：242x x -+，当分式值为1时，2x －4=x +2，解得：x =6，故6p =，故C 正确，当2422x x -=+时，2x －4=2x ＋4，此等式不成立，则q 的值不存在，故D 正确，故选：A ．【点拨】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．举一反三：【变式1】若不论x 取何实数时，分式22ax x a-+总有意义，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a >且0a ≠C ．1a >D ．1a <【答案】C 【分析】分式22ax x a-+总有意义，则分母永远不等于0，即22x x a -+的最小值大于0，据此解题即可．解：∵分式22ax x a-+总有意义，∴()22211x x a x a -+=-+-的最小值10a ->，解得1a >．【点拨】本题主要考查分式有意义的条件及二次函数的最值问题，能够熟练利用条件列不等式是解题关键．【变式2】若分式||3(3)(2)a a a --+的值为0，则a 满足的条件是（）A ．3a =B ．3a =-C ．3a =±D ．3a =或2a =-【答案】B【分析】由分式的值为0的条件可得：()()30320a a a ì-=ïí-+¹ïî①②，再解方程与不等式即可．解：∵分式||3(3)(2)a a a --+的值为0，()()30320a a a ì-=ï\í-+¹ïî①②由①得：3,a =±由②得：3a ≠且2,a ≠-∴ 3.a =-故选B【点拨】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，而分母不为0”是解本题的关键．2．不改变分式的值，下列各式变形正确的是（）A ．11x x y y +=+B ．1x yx y-+=--C ．22x y x y x y-=++D ．22233x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可一一判定．解：A.11x x y y ++≠，故该选项错误，不符合题意；B.()1x y x y x y x y---+==---，故该选项正确，符合题意；C.22x y x y x y-=-+，故该选项错误，不符合题意；D.22239x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故该选项错误，不符合题意；【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．举一反三：【变式1】下列各式从左边到右边的变形正确的是（）A ．22x y y xx y x y--=++B ．a b a bc c-+-=-C ．0.220.22a b a ba b a b++=++D ．1x yx y--=+【答案】B【分析】根据分式的基本性质作答．解：A 、22x y y xx y x y--=-++，此选项变形错误；B 、a b a bc c -+-=-，此选项变形正确；C 、0.22100.2102a b a ba b a b++=++，此选项变形错误；D 、1x yx y--=-+，此选项变形错误；故选B ．【点拨】本题主要考查了分式的变形，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．【变式2】如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大10倍，则分式的值（）A ．扩大20倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小10倍【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可求出答案；解：()x y xy xyx y x y x y==+++101010010101010 故选：B ．【点拨】本题考查了分式的基本性质；解题的关键是熟练运用分式的基本性质进行化简比较．类型二、分式➽➼相关概念➽➼最简分式✭✭约分✭✭最简公分母✭✭通分3．分式122m +与11m +的最简公分母是（）A ．22m +B ．2m +C ．1m +D ．21m -【答案】A【分析】根据最简公分母的概念，求解即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．解：分式122m +与11m +的最简公分母22m +，故选：A【点拨】此题考查了最简公分母的概念，解题的关键是熟练掌握最简公分母的概念．举一反三：【变式】分式212x y 和216xy 的最简公分母是（）A ．2xyB ．222x y C ．226x y D ．336x y 【答案】C【分析】根据最简公分母的确定方法解答即可．解：分式212x y 和216xy的最简公分母是226x y ．故选：C ．【点拨】本题主要考查了最简公分母的确定方法，确定最简公分母的一般方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．4．下列分式中，属于最简分式的是（）A ．2xB ．22x x C ．42xD ．11x x --【答案】A【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可．解：A.2x，是最简分式，符合题意；B.22x x =12x，不是最简分式，不合题意；C.422x x=，不是最简分式，不合题意；D.111xx -=--，不是最简分式，不合题意，故选：A ．【点拨】本题考查最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式．举一反三：【变式】下列分式中是最简分式的是（）A ．224x x B ．22x y x y++C ．2211x x x +++D ．242x x -+【答案】B【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果．解：A 选项22142x x x=，故不是最简分式；B 选项不能再化简，故是最简分式；C 选项()22121111x x x x x x +++==+++，故不是最简分式；D 选项()()2224222x x x x x x +--==-++，故不是最简分式．故选：B ．【点拨】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式．类型三、解分式方程➽➼根的情况➽➼增根✭✭无解5．（1）通分：()22xyx y +和22x x y -；（2）约分：22416m mm --．【答案】（1）()()()()2222xy x y xyx y x y x y -=++-，()()()222x x y x x y x y x y +=-+-；（2）4m m +【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；（2）原式变形后，约分即可得到结果．解：（1）()()()()2222xy x y xyx y x y x y -=++-，()()()222x x y xx y x y x y +=-+-；（2）()()()224416444m m m m m m m m m --==-+-+．【点拨】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．举一反三：【变式】（1）约分：236a bab；（2）通分：223b a 与abc 【答案】（1）2a ；（2）2223b c a bc 与3233a a bc【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．解：（1）2336322a b ab a aab ab ⨯==⨯；（2）223b a与abc 最简公分母为：23a bc ，则：2222222333b b bc b ca a bc a bc ⨯==⨯，23223333a a a a bc bc a a bc⨯==⨯．【点拨】本题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．6．若分式方程1x aa x -=+有增根，则a 的值为________．【答案】1-【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母10x +=，得到=1x -，然后代入整式方程算出a 的值即可．解：方程两边同时乘以1x +得，()1x a a x -=+，∵方程有增根，∴10x +=，解得=1x -．∴10a --=，解得1a =-．故答案为：1-．【点拨】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x 的值是解答此题的关键．举一反三：【变式】如果关于x 的方程2133mx x =---有增根，那么m 的值为________．【答案】2-【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x 的值，最后代入整式方程求出k 的值即可．解：分式方程去分母得：23x m =--，由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程得：2m =-．故答案为：2-．【点拨】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．类型四、解分式方程➽➼根的情况➽➼正（负）数解✭✭非负（正）数解7．若关于x的不等式组341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩无解，且关于y的分式方程3122y a yy y+=---的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．【答案】16【分析】首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负整数得出a为整数，23a+为非负整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案．解：341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩①②，解不等式①得：3x≥，解不等式②得：7x a<-，∵不等式组341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩无解，∴73a-≤，∴10a≤，分式方程3122y a yy y+=---去分母，得32y y a y-=---，∴23ay+=，∵分式方程3122y a yy y+=---的解为非负整数，∴0y≥且20y-≠，∴203a+≥且4a≠，∵a为整数，23a+为非负整数，∴2a=-，1，7，10，∴整数a的和为2171016-+++=．故答案为：16．【点拨】此题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解决此题关键．举一反三：【变式】若关于x 的方程301ax x+=-无解，则a 的值为______．【答案】0或-3【分析】先去分母化为整式方程，根据分式方程无解得到x =0或x =1或3+a =0，将解代入整式方程求出a 即可．解：去分母，得3x +a （x -1）=0，∴（3+a ）x-a =0，∵原分式方程无解，∴x =0或x =1或3+a =0，当x =0时，a =0；当x =1时，3+0=0，无解；∴a =0，当3+a =0时，解得a =-3，故答案为：0或-3．【点拨】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．8．若关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是____．【答案】4m ≥-且3m ≠-【分析】先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m 的取值范围．解：去分母得，m +3＝2x ﹣1，∴x ＝42+m ，∵方程的解是非负数，∴m +4≥0即m ≥﹣4，又因为2x ﹣1≠0，∴x ≠12，∴42+m ≠12，∴m ≠-3，则m 的取值范围是m ≥﹣4且m ≠-3．故答案为：m ≥﹣4且m ≠-3．【点拨】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解即可．举一反三：【变式】关于x 的方程1233x m x x -=+--有正数解，则m 取值范围是______．【答案】5m <且2m ≠【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据这个方程有正数解和3x ≠建立不等式，由此即可得．解：1233x m x x -=+--，方程两边同乘以()3x -，得()123x m x -=+-，去括号，得126x m x -=+-，移项、合并同类项，得5x m -=-，系数化为1，得5=-+x m ，关于x 的方程1233x m x x -=+--有正数解，50m ∴-+>，且53m -+≠，解得：5m <且2m ≠，故答案为：5m <且2m ≠．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键，需注意的是，分式方程有正数解隐含方程不能有增根．类型五、分式➽➼化简✭✭求值9．关于x 的分式方程334111ax x x x +-+=--的解为正整数，则满足条件的整数a 的值为____________．【答案】-3【分析】求得分式方程的解，利用方程的解的特征确定整数a 的值．解：分式方程334111ax x x x +-+=--的解为：24x a =+，∵分式方程有可能产生增根1，又∵关于x 的分式方程334111ax x x x +-+=--的解为正整数，且24x a =+≠1，∴满足条件的所有整数a 的值为：-3，∴a 的值为：-3，故答案为：-3．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，方程的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题的关键．举一反三：【变式】对于关于x 的分式方程()2141111k k x x x +=≠-+--①若k ＝1，则方程的解为________；②若方程有增根且无解，则k 的值为________；③若方程的解为负数，请你写出符合条件的且互为相反数的两个k 的值________．【答案】2x =k ＝2|k|>5即可，如6±【分析】①若k ＝1，得到分式方程为2114111x x x +=+--，解分式方程即可求解；②根据方程有增根且无解，可得x =±1，然后把x 的值代入整式方程中进行计算即可解答；③根据题意可得51k x k -=+，利用方程的解为负数求出k 的取值范围，再求出互为相反的两个k 值．解：①若k ＝1，得到分式方程为2114111x x x +=+--，去分母得114x x -++=，解得2x =．故答案为：2x =；②将()2141111k k x x x +=≠-+--去分母得()114x k x -++=，解得51k x k-=+．∵方程有增根且无解，∴210x -=，解得1x =±，当x =1时，511k k-=+，解得：2k =，当x =-1时，511k k -=-+无解，∴k 的值为2．故答案为：2k =；③∵方程的解为负数，∴x ＜0且x ≠±1，∴501k k-<+且511k k -≠±+，解得5k <-或5k >，∴符合条件的且互为相反数的两个k 的值可以是±6．故答案为：5k <-或5k >，如±6．【点拨】本题考查了分式方程的增根，分式方程的解法，根据题意求出x 的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．10．计算：(1)211a a a ---；（2）4222⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭a a a a 【答案】(1)11a -(2)a 【分析】（1）先对原式通分变为同分母的分式，再相减即可解答本题；（2）先将括号内的进行计算，再将除法转换为乘法后，再约分即可得到答案．解：（1）211a a a ---=2(1)(1)11a a a a a +----=2(1)(1)1a a a a -+--=22(1)1a a a ---=22+11a a a --=11a -（2）4222⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭a a a a =4222a a a a ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=24422a a a a -+⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭=222a a a a-⨯-=a【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．举一反三：【变式】计算：(1)22122x x x x-+÷；（2）2126339x x x x --++--．（3）22241123x x x x x ---÷+--．（4）2443111m m m m m -+⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭．【答案】(1)12x -；(2)2239x x --；(3)52x +；(4)22m m --+．【分析】（1）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（3）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（4）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算．解：（1）22122x x x x-+÷解：原式()()()1121x x x x x +-=⋅+12x -=；（2）2126339x x x x --++--解：原式()()1263333x x x x x -=+++-+-()()()()()()()()2336333333x x x x x x x x x -+-=+++--++-()()236633x x x x x -++-+=+-22239x x x +-=-()()()()3133x x x x +-=+-13x x -=-；（3）22241123x x x x x ---÷+--解：原式()()()()3121122x x x x x x -+-=-⋅+-+2322x x x x +-=-++()232x x x +--=++（4）2443111m m m m m -+⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭解：原式()()()22113111m m m m m m -+-⎡⎤=÷-⎢⎥---⎣⎦()()2231211m m m m ⎡⎤---⎢⎥=÷--⎢⎥⎣⎦()222411m m m m -⎡⎤-=-÷⎢⎥--⎣⎦()()()221122m m m m m --=-⋅--+22m m -=-+．【点拨】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．类型五、解分式方程➽➼运算✭✭化简✭✭求值11．先化简，再求值：2224124421x x x x x x x x ⎛⎫-+-÷--- ⎪-+--⎝⎭，然后从1-，0，1，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】21--x x，1x =-时，12-【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后从所给数中取一个使分式有意义的数代入计算．解：原式()()()22222412212x x x x x x x x x ⎛⎫+--+-=÷- ⎪----⎝⎭()22224412212x x x x x x x x ⎛⎫-+--=÷-- ⎪----⎝⎭()2222441212x x x x x x x -+--+=÷----12121x x x x -=⋅---111x x =---21x x =--20x -≠ ，且10x -≠，且0x ≠2x ∴≠，且1x ≠，且0x ≠取=1x -时，原式12=-【点拨】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分；关键是掌握分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分，同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．举一反三：【变式】先化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，从不等式组()3421213212x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩的整数解中，选取一个你最喜欢的x 的值代入求值．【答案】82x +，1x =时，83【分析】根据分式的乘除法法则和约分法则把原式化简，根据解一元一次不等式组的步骤解出不等式组，从解集中选取使分式有意义的值代入计算即可．解：22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭22(2)22(2)(2)x x x x x x x ⎡⎤-=+÷⎢⎥-⎣⎦-++-22(2)(2)(2)(2)(2)2(2)x x x x x x x x ⎡⎤-=-÷⎢⎥-+-+-⎣⎦+2428x x x x =÷--2482x x x x -=⋅-82x =+，由()34212x x -≤-，2863x x -≤-，解得：54x ≥-；由13212x x +-<，4132x x --<，解得：3x <，故不等式组的解集为：534x -≤<，0,2,2x ≠- 当1x =时，原式83=．【点拨】本题考查的是分式的化简求值和一元一次不等式组的解法，掌握分式的乘除法法则和约分法则是解题的关键．12．解分式方程．(1)33122x x x-+=--；（2）214111x x x -+=+-【答案】(1)1x =(2)无解【分析】（1）分式方程两边同乘以(2)x -去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程两边同乘以(1)(1)x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）33122x x x-+=--323x x -+-=-3+23x x +=-22x =解得，1x =经检验，1x =是原方程的解，所以，原方程的解为：1x =（2）214111x x x-+=+-2(1)4(1)(1)x x x --=+-222141x x x -+-=-22x -==1x -经检验，=1x -是增根，原方程无解．【点拨】此题主要考查了解分式方程，正确找出分式方程的最简公分母是解答本题的关键．举一反三：【变式】解分式方程(1)432x x =+；（2）217133x x x+=---【答案】(1)6x =(2)无解【分析】（1）等号两边同时乘以(2)x x +将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可；（2）等号两边同时乘以(3)x -将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可．（1）解：432x x=+，去分母得：43(2)x x =+，解得：6x =，经检验6x =是原方程的解；（2）217133x x x+=---去分母得：2137x x +=-+，解得：3x =，经检验3x =是原方程的增根，故原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解本题的关键，注意解分式方程需要验根．类型五、分式方程的应用➽➼列方程✭✭解方程✭✭求值13．（1）解方程：411233x x x -=+--；（2）先化简，再求值：222(2)5242x x x x x x ++-÷---+，其中x 从2-，2和3中选一个合适的值．【答案】（1）2x =-（2）72x +，75【分析】（1）将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最检验整式方程的解是不是分式方程的解即可；（2）根据分式的运算法则化简，再代入一个使原方式有意义的值求解即可．（1）解：411233x x x -=+--，方程两边同乘3x -，得()41231x x -=-+，解得2x =-，检验：当2x =-时，30x -≠，∴原分式方程的解是2x =-；（2）解：222(2)5242x x x x x x ++-÷---+()()222252(2)2x x x x x x x +-+-=⋅--++512x x -=-+252x x x +-+=+72x =+，2x =- 或2时，原分式无意义，3x ∴=，当3x =时，原式77325==+．【点拨】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题的关键．举一反三：【变式】解方程：(1)2232122x x x x x --+=--（2）()32011x x x x +-=--【答案】(1)1x =(2)无解【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；（2）根据解分式方程的步骤求解即可．解：（1）2232122x x x x x--+=--去分母，得()22322x x x x ---=-，解得1x =，经检验，1x =是原方程的根，∴原方程的解为：1x =；（2）()32011x x x x +-=--去分母，得()320x x -+=，解得1x =，经检验，1x =是原方程的增根，∴原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．14．小状元书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、15元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.5倍，若用1800元在该店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（假设购进的两种图书全部销售完）【答案】(1)甲种图书售价每本30元，乙种图书售价每本20元(2)甲种图书进货400本，乙种图书进货800本时利润最大【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可；（2）先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．（1）解：设乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.5x 元，,由题意得：14001800101.5x x-=，解得：20x =，经检验，20x =是原方程的解，∴甲种图书售价为每本1.52030⨯=元，答：甲种图书售价每本30元，乙种图书售价每本20元；（2）设甲种图书进货a 本，总利润W 元，则(30203)(20152)(1200)48400W a a a =--+---=+∵2015(1200)20000a a +⨯-≤，解得400a ≤，∵W 随a 的增大而增大，∴当a 最大时W 最大，∴当400a =本时，W 最大，此时，乙种图书进货本数为1200400800-=（本），答：甲种图书进货400本，乙种图书进货800本时利润最大．【点拨】本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．举一反三：【变式1】为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多5元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?(2)由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共100桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的12，由于是第二次购买，商家给予八折优惠．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少最少总金额是多少元?【答案】(1)甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶(2)当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为()+5x 元/桶，结合该单位分别用900元和720元采购相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可列出关于x 的分式方程，进而求解即可．（2）设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液为()100m -桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数的12，即可得出关于m 的一元一次不等式，解得m 的取值范围，然后设所需资金总额为w 元，根据题意列出函数关系式，再利用函数性质即可解决最值．（1）解：设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为()5+x 元/桶，依题意得：9007205x x =+，解得：=20x ，经检验，=20x 是原方程的解，且符合题意，525x ∴+=．答：甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶：（2）解：设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液()100m -桶，依题意得：()11002m m ≥-，解得：1003m ≥，设所需资金总额为w 元，则()250.8201000.841600w m m m =+-=+ ，40> ，w ∴随m 的增大而增大，∴当34m =时，w 取得最小值，最小值43416001736=⨯+=，答：当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元．【点拨】此题考查了分式方程的运用、一元一次不等式以及一次函数运用，解题关键是找准等量关系，正确列出方程．【变式2】某水果店一次购进了若干箱水蜜桃和李子，已知购进水蜜桃花费800元，购进李子花费1680元，所购李子比水蜜桃多10箱，李子每箱的进价是水蜜桃每箱进价的1.4倍．(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为多少元？水蜜桃和李子各多少箱？(2)根据市场情况，每箱李子可以比每箱水蜜桃的利润多5元，这批水果全部售完后，店家若想获得不少于800元的利润，应该如何确定每箱水蜜桃和李子的售价？【答案】(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱(2)每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元【分析】（1）设水蜜桃每箱x 元，则李子每箱1.4x 元，由题意列出分式方程，解之，再根据进货费用算出多少箱即可；（2）设水蜜桃每箱利润y 元，则李子每箱利润(5)y +元，由题意列出不等式，解不等式即可．（1）解：设水蜜桃每箱x 元，则李子每箱1.4x 元，根据题意得：1680800101.4x x -=，解得：40x =，经检验40x =是原方程的解，则1.4 1.44056x =⨯=，8004020÷=，16805630÷=，答：水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱；（2）设水蜜桃每箱利润y 元，则李子每箱利润(5)y +元，根据题意得：8001680(5)8004056y y ++≥，解得：13y ≥，134053+=，1355674++=，答：每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元．【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；理解题意，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．【变式3】为预防新冠疫情的反弹，桐君阁大药房派采购员到厂家去购买了一批A 、B 两种品牌的医用外科口罩．已知每个B 品牌口罩的进价比A 品牌口罩的进价多0.7元，采购员用7200元购进A 品牌口罩的数量为用5000元购进B 品牌数量的2倍．(1)求A 、B 两种品牌每个口罩的进价分别为多少元？(2)若B 品牌口罩的售价是A 品牌口罩的售价的1.5倍，要使桐君阁大药房销售这批A 、B 两种品牌口罩的利润不低于8800元，则A 品牌口罩每个的售价至少定为多少元？【答案】(1)A 品牌每个口罩的进价为1.8元，则B 品牌每个口罩的进价为2.5元(2)3元【分析】（1）设A 品牌每个口罩的进价为x 元，则B 品牌每个口罩的进价为()0.7x +元，根据用7200元购进A 品牌口罩的数量为用5000元购进B 品牌数量的2倍列分式方程解答；（2）先求出两种品牌口罩购买的数量，设每个A 品牌口罩的售价定为y 元，则每个B 品牌口罩的定价为1.5y 元，列不等式求解即可．（1）解：设A 品牌每个口罩的进价为x 元，则B 品牌每个口罩的进价为()0.7x +元，720050020.7x x =⨯+，解得 1.8x =，经检验， 1.8x =是原方程的解，且符合题意，∴0.7 2.5x +=，答：A 品牌每个口罩的进价为1.8元，则B 品牌每个口罩的进价为2.5元；（2）购进B 品牌口罩的数量为5000 2.52000÷=（个），购进A 品牌口罩的数量为200024000⨯=（个），设每个A 品牌口罩的售价定为y 元，则每个B 品牌口罩的定价为1.5y 元，依题意得：()()4000 1.82000 1.5 2.58800y y ⨯-+⨯-≥，解得3y ≥，答：A 品牌口罩每个的售价至少定为3元．【点拨】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列得方程或不等式是解题的关键．。
第五章 分式与分式方程【复习课件】-(北师大版)
与被除式相乘.
上述法则用式子表示为：
b ·d = bd
b÷ d = b ·c = bc
分式的乘方法则 理解要点：
( a )n b
a bn
.
（1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不
√ 要把
a
n
b
an bn
写成
×
a b
n
an b
.
（2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，
找最简公分母： 第一要看系数；第二要看字母(式子）. 分母是多项式的先因式分解，再找公分母.
异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，
然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
上述法则可用式子表示为 b d bc ad bc ad . a c ac ac ac
分式的混合运算顺序
混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运 算的综合运用，综合性强.
知识点 分式方程 分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数.
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤 1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化 成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程 的解，否则须舍去. 4.写出原方程的根.
∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2， ∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，
例 若关于x的分式方程 求m的值．
无解，
解析：先把分式方程化为整式方程，再分 两种情况讨论求解：整式方程无解与解为分 式方程的增根．
第06讲分式方程(讲义)(原卷版)-2024年中考数学一轮复习讲义
第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。
分式和分式方程复习 ppt课件
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小结
1.通过本节课你复习了哪些知识? 2.应用分式方程知识解决问题时应注意什么问题?
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1.分式方程的概念 2.分式方程根的概念 3.分式方程的增根问题 4.分式方程的解法 5.分式方程的应用
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作业1.复习二元一次方程组的内容,掌握概念, 解法,及应用.
2.搜集典型题目5道以上,并有自己对题目 的见解.
(A)
2 x 1
5 x3
(B)3y 1
2
y5 6
2
(C)2x2
1 2
x3
0
(D)2x
5
8x 1 7
考点2分式方程根的概念
例2、若
(A)
9 5
x 3是分式方程 3ax
(B)
9
5 (C)
5 9
2x
1的解，则a的值为（D
(D)
5 9
）
例3关于x的分式方程 m 3 1的解为正数,则m的取值范 围是__________ x 1 1 x
x2 4 2(x 2)
x=-2是增根,应舍去,原方程无解
3.关于x的方程的
m 1 x2
解是负数,则m的取值范围是_m__<_2_且__m_≠0
4.已知
x
a
2
与
b x2
的和等于
x
4x 2
则
4
a
2
，b
2
.
解:根据题意得
ab
4x
x 2 x 2 x2 4x
a(x 2) b(x 2) 4x
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教学目标
• 1.熟练掌握分式方程的相关概念,解法以及列分式 方程解应用题.
2021年北师大版八年级下册第五章分式与分式方程讲义及中考题
第五章分式与分式方程一认识分式知识点一分式的概念1、分式的概念从形式上来看，它应满足两个条件:（1）写成的形式(A、B 表示两个整式) （2）分母中含有这两个条件缺一不可2、分式的意义（1）要使一个分式有意义，需具备的条件是（2）要使一个分式无意义，需具备的条件是（3）要使分式的值为0，需具备的条件是知识点二、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个分式的值不变用字母表示为AB=,A M A A MB M B B M⨯÷=⨯÷(其中M是不等于零的整式)知识点三、分式的约分1、概念:把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分2、依据:分式的基本性质注意:(1)约分的关键是正确找出分子与分母的公因式(2)当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。
(3)要会把互为相反数的因式进行变形，如:(x--y)2=(y--2)2二、分式的乘除法【巩固训练】1、(2013四川成都)要使分式51x-有意义，则x的取值范围是( )(A)x≠1 (B)x＞1 (C)x＜1 (D)x≠－12、(2013深圳)分式242xx-+的值为0，则x的取值是A．2x=-B．2x=±C．2x=D．0x=3、(2013湖南郴州)函数y=中自变量x的取值范围是()A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3 4．(2013湖南娄底，7，3分)式子有意义的x的取值范围是()A ． x ≥﹣ 且x ≠1B ． x ≠1C ．5．(2013贵州省黔西南州，2，4分)分式的值为零，则x 的值为( ) A ． ﹣1B ． 0C ． ±1D ． 1 6．(2013广西钦州)当x= 时，分式无意义．7、(2013江苏南京)使式子1+1 x -1有意义的x 的取值范围是 。
8、(2013黑龙江省哈尔滨市)在函数3xy x =+中，自变量x 的取值范围是 ．9、 (2013江苏扬州)已知关于x 的方程123++x nx =2的解是负数，则n 的取值范围为 ． 10、(2013湖南益阳)化简:111x x x ---= ． 11、(2013山东临沂，6，3分)化简212(1)211a a a a +÷+-+-的结果是( )A ．11a -B ．11a +C ．211a -D ．211a +12、 (2013湖南益阳)化简:111x x x ---= ． 13、(2013湖南郴州)化简的结果为( )A ． ﹣1B ． 1C ．D ．14、(2013湖北省咸宁市)化简+的结果为 x ．15、(2013·泰安)化简分式的结果是( )A ．2B ．C ．D ．－2考点:分式的混合运算．分析:这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的加法，此时要先确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．16(2021年四川乐山)．若m 为正实数，且13m m -=，221m m-则= 17(2013重庆市(A ))分式方程2102x x-=-的根是( ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－218、(2013湖南益阳)分式方程xx 325=-的解是( )A ．x =3B ．x =3-C ．x =34D ．x =34- 19、(2013白银)分式方程的解是( )A ． x =﹣2B ． x =1C ． x =2D ． x =320、(2013江苏扬州)已知关于x 的方程123++x nx =2的解是负数，则n 的取值范围为 ． 【答案】2<n 且 1.5n ≠． 21．(2013山东临沂)分式方程21311x x x+=--的解是_________________． 22. (2013广东省)从三个代数式:①222b ab a +-，②b a 33-，③22b a -中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a =6，b =3时该分式的值．23、(2013湖北孝感，19，6分)先化简，再求值:，其中，．考点: 分式的化简求值；二次根式的化简求值．24．(2013江苏苏州，21，5分)先化简，再求值:23111x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中x 32． 25．(2013贵州安顺，20，10分)先化简，再求值:12a)111(2++÷+-a a a ，其中a=3－1.6．(2013山东德州,18,6分)先化简，再求值:244412222+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+-a a a a a a a a ，其中a=2－1.26、．(2013湖南永州，19，6分)先化简，再求值:22111121x x x x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪---+⎝⎭， 2.x =其中 【思路分析】先化简，再求值。
分式和分式方程总结 ppt课件
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解分式方程的步骤
解分式方程与解一元一次方程类似， 化——包括去分母(在方程两边都乘最简公分母，化为整式方程)； 解——这个整式方程，得出未知数的值； 检验——所得到的值是否是原分式方程的根；写出答案
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例7：
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分式方程的增根问题：
求 k 的值．
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分式方程无解时，求参数的值： 1、分式方程除了增根，没有其它的解时，把增根代 入转化后的整式方程即可求出参数的值； 2、分式方程转化为整式方程，使整式方程无解的参 数的值也是
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例9：
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练习：
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列分式方程解应用题的方法与步骤
1．审：审题，找出相等关系． 2．设：一般求什么设什么——这是直接设，也可间接设． 3．列：根据等量关系列出分式方程． 4．解：解这个分式方程． 5．验：既要检验是否为所列分式方程的根，又要检验是 否符合实际情况． 6．答：完整地写出答案，注意单位． 这六个步骤关键是“列”，难点是“审”．
2 ⑤x2＋2x＋1；
a2b＋ab2 ⑥2；
⑦x
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精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
后的结果为最简分式
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分式的乘（除）法法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母 相乘的积作为积的分母．
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被 除式相乘．
(完整)分式与分式方程题型分类讲义
分式方程及其应用一、基本概念1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程。
2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母,在方程的两边都乘以 ，约去分母,化成整式方程; （2）解这个整式方程；（3)验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3。
用换元法解分式方程的一般步骤:① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用:分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2)检验所求的解是否 。
二、题型分类考点一:分式方程题型（一)分式方程去分母 1、解分式方程22311x x x时,去分母后变形为（ ）。
A ．()()1322-=++x xB ．()1322-=+-x xC ．()()x x -=+-1322D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（ ）A ．0322=--x xB ．13-=x x C ．x x =1 D ．12=-πx题型（二)解分式方程用常规方法解下列分式方程：25211111 332552323x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；题型（三）分式方程的解 1。
已知方程261=311xax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－22。
方程13462232622+++++++x x x x x x -5=0的解是( ）A 。
无解 B. 0 ， 3 C 。
—3 D 。
0, ±33。
如果)2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是（ ) A ．34 B 。
35C. 41 D 。
分式及分式方程复习讲义汇总
教学目标:1. 掌握分式概念、性质及运算.2 .掌握分式方程的概念、解法、及增根问题.、知识回顾■知识点1:分式及分式概念2X — 43.若分式的值为0,那么分式及分式方程分式：分母还字母的代数式：易辨错的分式有:0 X 2分式方程: 分母含字母的方程叫分式方程.易错点1 约分，找 公因式，同时约去分子分母的公因式.用的是分式的除法性质 易错点2 通分，找 最简公分母，化异分母为同分母，用的是分式的乘法性质.知识点3:解分式方程去分母，变分式方程为整式方程求解，记得验根. 2 .易淆点(1) 把分子分母中的分数，小数变成整数时，是分子分母同时扩大多少倍，用的是分式的性质; (2) 去分母，方程的每项同乘分母的最简公分母，用的是等式性质； 3.增根问题增根的概念：是 整式方程的根，同时又使最简公分母为 0的根叫增根，必须满足这两个条件. 常考题型：求含参数的增根问题.♦课前热身1.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式? ①X '②3 '③3；忌’④宁’⑤亡2X +2x +1 2'⑥，⑦卄-b7 '⑨(XT 尸分式: 2.当x__________ ;整式 ___________4 — X时，分式------ 有意义；当 XX-3X — 2时，分式斗上无意义.X-4知识点2:分式性质1.思路:4. 填空（ 1)3X 2X 2 +2xX +2(2) X-yx + y (X + y)2'2a - ab a — b (3) -__ab5. 化简:3a 2b 33a 2b(m-1) 6. 计算:7. a 2 a +1 -12ab 26a 2y 2 8y 3a 28.下列关于 2+XA. ---------5 a +129ab (1-m)；（3）2m —2m +11-m 22a — 2 a +2a 2aa 2 —4a -2X 的方程，是分式方程的是（B.=37+a-XX a C.---a bD.4=1 X —19.若关于X 的分式方程 ------ ——=1有增根，贝yX —1 X 10.解下列分式方程: ，丄=1； 5-2x2x -5 分式部分 、例题辨析 芒亞复例1若分式X+4 X 2的值为正数，则X 的取值范围是（） A. X >0 B. X >-4C.XM0D.X >-4 且 XM0练习 （1 ）当X时，分式1+x 2的值为负数.12-6x 2例如杲把分式為中的X 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ A .不变 B •变大3倍 C .缩小3倍 D.无法确定2练习 （1）把分式一J 中的X 和y 都扩大3倍，分式值X + y不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数 1 2—X —一 y ① 2__311 1 3 4 y三、归纳总结计算（ 1)X —3 X +3练习: (1) a +2-r4aX - 3X 2 —1 1 -X3.1-化简求值：若x J 3，求3X ~3X 4~(X +」- X-22-X）的值.练习 化简求值（一^ -飞a —b a -2ab+b2h(為一几),其中a G ,b —3 -0.2a _0.03b② -------------0.04a +b7二・ 1.区别分数与分式：分数是一个具体的数，是 整式.分式的分母一定含有字母，是 分式,2. 分数与分式在形式上相近， 性质上也类似，所以由熟悉的分数来类比学习和理解分式的性质和运算3. 分式的运算中，分子分母能因式分解的要先分解因式.四、拓展延伸7型0例5 1.如果分式 丄+1 =—1—，那么a +—的值为（ ）.a b a +bb a分式方程部分A.1 D.-22.已知:B.-1C.21+丄=5，求2x —3x y +2y 的值.提示：整体代入，① X +y =3xy ，②转化出1 +丄 X y -X +2xy +y练习 1.若实数a 、b 满足:2 2a 丄bc E 「a +ab + b 心古斗—+— = 2，则 ------------ 2的值为b a a 2+4ab+b 2已知 X 2 -3x +1=0,求 X 4练习若x + 1 =3,求 X 2X X 4 +x 2 +1的值.例7解下列分式方程(1)丄=? X -1 X0.2(2) 一—一 -丄=0 ;0.1X-0.3 x/ 八5 +X X +5(4) BP提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根练习解下列方程:0.4(2)亠-2 =X—3 0.1 X —0.3若关于x的分式方程—=1 -旦有增根，求m的值.X —3 X —31.若分式方程一6X +5= ------- 有增根，则增根是（X T x（x T ）A. x= 1X +1 2.若关于X的方程2X -XB. x= 1和x= 0C. X = 0D.无法确定1 X +k有增根，求增根和k的值. 3x 3x —32 3. m为何值时，关于X的方程——X -2mx+7^:7会产生增根?X+2五、作业与思考(1)亠+ 9=4 ；X +1 X X +7 十X +9X +6 X +8X +10X +9十X +6X +5提示：(1)换元法，设―=y ; ( 2)裂项法，X +1 X +7 =1 +丄x+6 x+6。
专题九 分式与分式方程-知识点与题型全解析(解析版)
09 分式与分式方程专题总结【思维导图】【知识要点】知识点一：分式的基础概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式，A为分子，B为分母。
B【注意】判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看。
与分式有关的条件：1．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）A．a2+1a2B．a+1a2C．a2−1a+1D．a−1a2+1【答案】D【解析】当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义；当a=-1时，a+1=0，故C中分式无意义；无论a取何值时，a2+1≠0，故选D．2．若代数式x+1x−3有意义，则实数x的取值范围是（）A．x=−1B．x=3C．x≠−1D．x≠3【答案】D【解析】∵代数式x+1x−3有意义，∴x−3≠0，∴x≠3故选：D．3．在1,1,x2+1,3xy,,a+1m中分式的个数有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【答案】B【解析】解：12，x 2+12，3xy π中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；1x ，3x+y ,a +1m 中的分母中含有字母，因此是分式； 故选：B ．题型一 分式值为0的判断方法 例1．分式x 2+2x−3|x |−1的值为0,则x 的取值为( )A ．x=-3B ．x=3C ．x=-3或x=1D ．x=3或x=-1【答案】A 【解析】 ∵原式的值为0， ∴{x 2+2x −3＝0|x |−1≠0，∴（x -1）（x+3）=0，即x=1或x=-3； 又∵|x|-1≠0，即x≠±1． ∴x=-3． 故选：A ． 跟踪训练一 1．当式子|x |−5x 2−4x−5的值为零时，x 的值是（ ）A ．±5B ．5C ．−5D ．5或1【答案】C 【解析】由题意，得：|x |−5=0，且x 2−4x −5≠0； 由|x |−5=0，得：x =±5；由x 2−4x −5≠0，得：x ≠5，x ≠−1； 综上得：x =−5， 故选C. 2．若分式x 2−1x+1的值为0，则x 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±1【答案】B【解析】∵分式x 2−1x+1的值为零，∴{x2−1=0x +1≠0，解得：x=1， 故选B ．知识点二：分式的运算（重点）基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
《分式方程》分式与分式方程PPT课件(第1课时)
解：（2）、（3）是分式方程，（1）、（4）、（5） 是整式方程，（6）不是方程.
注意：判断一个方程是不是分式方程，关键是看分母 中有没有未知数.（4）中π是一确定的数不是未知数.
2.岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的 笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个
笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量 与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的 价格为x元，则可列方程__2_0x_0___x3_5_03_.
等量关系： 列车的速度×行驶时间=1400 乘高铁列车行驶时间=乘特快列车的行驶时间﹣9 高铁列车的平均速度=特快列车平均速度× 2.8
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h， 那么 x 满足怎样的方程？
1400 1400 9
x
2.8x
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h， 那么 y 满足怎样的方程？
4 分式方程
第1课时
面对日益严重的土地沙化问题， 某县决定分期分批固沙造林，一期工 程计划在一定期限内固沙造林2400公 顷，实际每月固沙造林的面积比原计 划多30公顷，结果提前4个月完成计 划任务。原计划每月固沙造林多少公 顷？
1、这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：造林总面积2400公顷；实际每月造林面 积比原计划多30公顷；提前4个月完成原任务 未知量：原计划每月固沙造林多少公顷
1400 2.8 1400
y
y9
为了帮助遭受自然灾害地 区重建家园，某学校号召同学 自愿捐款．已知七年级同学捐 款总额为4800 元，八年级同 学捐款总额为5000元，八年级 捐款人数比七年级多 20人， 而且两个年级人均捐款额恰好 相等．如果设七年级捐款人数 为 x 人，那么 x 满足怎样的 方程？
《分式与分式方程》课件
分式的定义中，分母是除数，可以是整数 、多项式或分式。
分式的值随着分子和分母的取值变化而变 化，当分子和分母同号时，分式的值为正 ；当分子和分母异号时，分式的值为负。
分式的性质
总结词
分式的性质
详细描述
分式具有一些重要的性质，如分式的加减法、乘除法、约分和通分等 。
详细描述
分式的加减法性质指出，当分母相同时，可以直接对分子进行加减运 算；当分母不同时，需要先进行通分，再进行加减运算。
详细描述
分式的乘除法性质指出，分式与整数相乘或相除时，可以直接对分子 和分母分别进行乘除运算。
分式的约分与通分
总结词
分式的约分与通分
详细描述
约分是指将一个分式化简为最简形式的过程，通过约简分子和分母的公因式来 实现。通分是指将两个或多个分式化为具有相同分母的过程，以便进行加减运 算。
02
分式方程的解法
总结词
理解同分母分式的加减法规则
详细描述
同分母的分式可以直接进行加减运算，分母不变， 分子进行相应的加减运算。
总结词
掌握异分母分式的加减法规则
详细描述
异分母的分式在加减时，需要先通分，然后按照同分母 分式的加减法规则进行运算。
分式的乘除法
总结词
理解分数乘法的规则
01
详细描述
02 分数乘法时，分子乘分子作为
THANKS
新的分子，分母乘分母作为新 的分母，然后再化简。
总结词
理解分数除法的规则
03
详细描述
04 分数除法时，可以转化为乘法
运算，即被除数乘以除数的倒 数，然后再化简。
总结词
掌分式的一种方法，
通过分子和分母的最大公约数 来约简分式。
《分式方程》分式与分式方程
利用二次方程解分式方程的实例
实例说明
通过以上两种方法，我们可以将分式方程转化为更易于求 解的一元一次或一元二次方程。下面给出一个利用二次方 程解分式方程的实例
问题
求解分式方程 $\frac{x^2+2x+1}{x^2-1} - \frac{2x}{x1} = 1$
转化
首先去分母，得到 $x^2+2x+1-2x(x+1)=x^2-1$ ，化简 后得到一元二次方程 $x^2-x-2=0$ 。求解该一元二次方 程得到 $x=2$ 或 $x=-1$ 。然后代入原分式方程检验， 发现 $x=-1$ 是原方程的增根，所以原方程的解为 $x=2$ 。
一般形式
分式方程的一般形式是F(x)/G(x)=H(x)，其中F(x)、G(x)和H(x)是关于x的多项式 ，且G(x)不等于0。
特殊情况
有时分式方程的形式也可能出现分母中没有未知数的情况，这种情况下方程就变 成了整式方程。但这种情况并不常见，通常情况下分式方程中分母都会含有未知 数。
03
分式方程的解法与应用
浓度问题
化学实验中，不同浓度的溶液混合后 ，需要计算混合后的溶液浓度。这往 往涉及到分式方程的应用。
解分式方程的注意事项
注意去分母的方法
在去分母的过程中，要确保所选 取的方法不会改变方程的解，同 时要注意不要引入不合理的解（
如使得分母为零的解）。
检验解的合理性
在求得整式方程的解后，必须代 入原方程进行检验。因为去分母 的过程中可能会引入额外的解， 这些解满足整式方程但不一定满
组成部分
分子A和分母B。
分式的基本性质
01
02
03
性质1
分式的分子和分母同时乘 以（或除以）同一个不为 零的整式，分式的值不变 。
《分式方程》分式与分式方程PPT教学课件
-.
学习目标
1. 掌握分式方程的概念，可以判别分式方程； 2. 可以根据实际问题列分式方程.
情境引入
甲、乙两地相距 1400 km，乘高铁列车 从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h，已知 高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍.
（1）这一问题中有哪些等量关系呢？
等量关系： 列车的速度×行驶时间=1400, 高铁列车行驶时间=特快列车的行驶时间﹣9, 高铁列车的平均速度=特快列车平均速度×2.8.
捐款总额 捐款人数
第一次 4800元 第二次 5000元
x x+20
人均捐款额
4800 x
5000 x 20
4800 5000
x
x 20
探究新知 观察：下列方程有什么共同特点？
1400 1400 9 x 2.8x
1400 2.8 1400
y
y9
4800 5000 x x 20
分母中都含有未知数
3
情境引入
甲、乙两地相距 1400 km，乘高铁列车 从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h，已知 高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍.
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h, 那么x满足怎样的方程？
高铁列车平均速度：2.8x
特快列车行驶时间： 1400
x
高铁列车行驶时间：1400
2.8 x
等量关系：
第一块试验田的面积 = 第二块试验田的面积
12000 14000 x x 1500
问题解决
2.某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好 先用人工装运，6h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进 行，1h完成了后一半任务.如果设单独采用机械装运xh可以完成后一 半任务，那么x满足怎样的分式方程？
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分式方程及其应用一、基本概念1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .二、题型分类 考点一：分式方程 题型（一）分式方程去分母 1、解分式方程22311x x x++=--时，去分母后变形为（ ）。
A ．()()1322-=++x x B ．()1322-=+-x x C ．()()x x -=+-1322 D ．()()1322-=+-x x2、下列方程是分式方程的是（ ）A ．0322=--x x B ．13-=x x C ．x x =1 D ．12=-πx题型（二）解分式方程用常规方法解下列分式方程：25211111 332552323x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；题型（三）分式方程的解 1.已知方程261=311xax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－22.方程13462232622+++++++x x x x x x -5=0的解是( )A. 无解B. 0 , 3C. -3D. 0, ±33. 如果)2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是( ) A ．34 B. 35 C. 41D. 24（C ）关于x 的方程c c x x 22+=+的两个解是c x c x 2,21==，则关于x 的方程1212-+=-+a a x x 的两个解是（ ） A ．a a 2,B ．12,1--a a C ．12,-a a D ． 11,-+a a a题型（四）用换元法解分式方程1.用换元法解分式方程152--x x +510102--x x =7时,如果设152--x x =y,那么原方程可化为( )A. y+710=y B. y+71=y C. 10y+71=yD. y+10y 2=72.解方程 （1）06)2(5)2(2=+---x x x x ； （2）解方程xx x x 32543222+=-+.题型（五）解分式方程组1.解方程组：11131129x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩题型（六）增根 1. 若解分式方程2111x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或B. -12或C. 12或D. 12或-2. 若方程323-=--x k x x 会产生增根，试求k 的值题型（七）求待定常数的值或取值范围1.关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解为正数，求m 的取值范围；2.若关于x 的分式方程的解为非负数，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥1B ．a ＞1C ．a≥1且a≠4D ．a ＞1且a≠43.若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
4.设c b a 、、是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么（ ）． A ．c b 23= B ．b a 23= C ．c b =2 D ．b a =2变式1：已知123421+=-=+x x y y x ,则)(323x y -的值是______________.变式2：已知d c b a 、、、为正整数，且cd a b c d a b )1(71,74-=+-=，则a c 的值是_________；b d的值是___________．对应练习： 一、选择题 1、关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2 2．若解分式方程xx x x m x x 11122+=++-+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或 B. -12或 C. 12或D. 12或-3、已知,511ba b a +=+则b a a b +的值是（ ）A 、5B 、7C 、3D 、314、若x 取整数，则使分式1-2x 36x +的值为整数的x 值有 ( ) A 3个 B 4个 C 6个 D 8个 5、已知xBx A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） A 、－2 B 、2 C 、－4 D 、4 二、填空题 1、若分式方程x m x x -=--2524无解，那么m 的值应为__________,若已知132112-+=-++x x x B x A （其中A 、B 为常数），则A=__________，B=__________；2___________,且a +b +c ≠0，则k 的值为 . 3、方程的解是_____________已知关于x 的方程只有整数解，则整数a 的值为_____________ 4、已知d c b a 、、、为正整数，且cd a b c d a b )1(71,74-=+-=，则a c 的值是_________；b d的值是___________．5、设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn -的值为___________,若121-x 与)4(31+x 互为倒数，则x=__________.三、解答题 1、解下列分式方程（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++45352、解下列方程（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x3、若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.4、若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.5、解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .6、若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
7、若关于x 的方程11122+=-+-x xx k x x 不会产生增根，求k 的值。
8、若关于x 分式方程432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。
9、若关于x 的方程1151221--=+-+-x k xx k xx 有增根1=x ，求k 的值。
10、m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？当a 为何值时, )1)(2(21221+-+=+----x x ax x x x x 的解是负数?考点二：分式方程的实际应用 题型（一）行程问题（1）一般行程问题1．某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=2.从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
（2）水流问题1、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
2、一船自甲地顺流航行至乙地，用5.2小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.题型（二）工程问题1．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）A．﹣=2 B．﹣=2C．﹣=2 D．﹣=22、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？3、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？题型（三）利润（成本、产量、价格、合格）问题例1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。
小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人（3）这个八年级的学生总数在什么范围内？若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？1.某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．（1）若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；（2）若购买的两种球拍数一样，求x2.某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
3. 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d。
4.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。
小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？题型四：其他类型1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。