导数与圆锥曲线的练习
圆锥曲线的导数知识点总结
圆锥曲线的导数知识点总结在微积分中，导数是一个非常重要的概念。
导数可以用来描述曲线在某一点的斜率，以及曲线在该点的变化率。
在这篇文章中，我们将讨论圆锥曲线的导数，并总结相关的知识点。
圆锥曲线是指由一个平面直线在一个固定的点上旋转而成的曲线。
常见的圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
在这篇文章中，我们将讨论这些不同类型的圆锥曲线的导数，并总结它们的特点。
首先，让我们来看看圆的导数。
圆的方程可以表示为 x^2 + y^2 = r^2，其中 r 表示圆的半径。
我们可以使用隐式求导法来求得圆在任意点的导数。
首先，我们对方程两边同时对 x求导，得到 2x + 2y(dy/dx) = 0。
然后，解出 dy/dx，得到 dy/dx = -x/y。
这就是圆在任意点的导数公式。
从这个式子中我们可以看出，圆的导数是一个关于 x 和 y 的函数，它随着坐标点的不同而不同。
接下来，让我们来看看椭圆的导数。
椭圆的一般方程可以表示为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
我们可以使用同样的方法来求得椭圆在任意点的导数。
首先，对方程两边分别对 x 和 y 求导，得到 2x/a^2 + 2y/b^2(dy/dx) = 0。
然后，解出 dy/dx，得到 dy/dx = -x(a^2/b^2)/y。
和圆一样，椭圆的导数也是一个关于 x 和 y 的函数，它随着坐标点的不同而不同。
抛物线是另一种常见的圆锥曲线。
对于一般的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，我们可以使用求导法则来求得抛物线在任意点的导数。
对 y 关于 x 求导，得到 dy/dx = 2ax + b。
可以看出，抛物线的导数是一个关于 x 的线性函数。
这意味着抛物线在每个点的导数都是一条直线，斜率由抛物线的二次项系数 a 决定。
最后，让我们来看看双曲线的导数。
对于一般的双曲线方程 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，我们可以使用同样的方法来求得双曲线在任意点的导数。
高二圆锥曲线及导数
命题人：湖南师大附中高二数学备课组 (考试范围：选修1－1第2－3章)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是（ ）A ．(0，－2)B ．(0,2)C ．(2,0)D ．(－2,0)2．θ是第三象限角，方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是（ ） A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆3．设椭圆中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 在椭圆上.若椭圆的离心率为12，△PF 1F 2的周长为12，则椭圆的标准方程是（ ）A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 23＋y 24＝1D ．x 212＋y 216＝14．函数y ＝x ln x 在(0,5)上是（ ） A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上单调递减 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上单调递增 5．若双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2相切，则此双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±24xD ．y ＝±28x6．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为（ ） A ．a ≥3 B ．a >3 C ．a ≤3 D ．a <37．已知函数f (x )＝x －sin x ，若x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是 A ．x 1>x 2 B ．x 1<x 2 C ．x 1＋x 2>0 D ．x 1＋x 2<08．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9．若双曲线x 216－y 29＝1右支．．上一点P 到右焦点的距离为8，则点P 到左焦点的距离是 . 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 .11．设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为 .12．如果函数f(x)＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是 .13．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是 .14．若要做一个容积为108的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为 时，材料最省.15．已知命题p ：方程x 2m ＋y 2m －2＝1表示的曲线为椭圆；命题q ：方程x 2m －1＋y 2m －3＝1表示的曲线为双曲线；若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题12分)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积.17．(本小题满分12分)定义在R 上的函数f (x )＝13x 3＋cx ＋3 ，f (x )在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直.（1）求函数y ＝f (x )的解析式；（2）设g (x )＝4ln x －f ′(x )，求g (x )的极值.18．(本小题12分)经过点F (0,1)且与直线y ＝－1相切的动圆的圆心轨迹为M .点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，D (x 0，y 0)，B (x 1，y 1)， C (x 2，y 2)，－x 0<x 1<x 0<x 2 ，直线BC 平行于轨迹M 在点D 处的切线。
考点49 利用导数求切线方程——2021年高考数学专题复习真题练习
考点49：利用导数求切线方程【题组一 求切线斜率或倾斜角】 1．曲线在点处的切线斜率为 .()sin cos f x x x =,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．曲线在处的切线的斜率等于 .x y e x =+0x =3．曲线在点处的切线的倾斜角为 .34y x x =-()1,3-4．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则()323f x x =()()1,1f α222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+ .5．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为 .2ln y x x =-1x =αcos(22πα+6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为。
234x y lnx =-12-7．点P 在曲线上移动，设点P 处切线的倾斜角为，则角的范围是 。
323y x x =-+αα8．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是 。
()3ln f x x x x -+-()y f x =()()-1,-1f【题组二 在某点处求切线】1．曲线在点处的切线方程为________.()20xy x e --=()0,2-2．曲线在点处的切线方程为__________． cos y x x =+(0,1)3．曲线在点处的切线方程为______.()3x y x e x =+()0,04．曲线在处的切线方程为__________． ()sin 1ln 1=+++y x x x 0x =5．曲线在处的切线方程为__________． ()tan ln 11=+++y x x 0x =6． 曲线在点处的切线方程为__________. cos 2xy x =-()0,17．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是()f x 0x <()ln()3f x x x =-+()y f x =(1,3)-__________．8．若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()()3212f x a x ax x =++-()y f x =()()1,1f______________．【题组三 过某点求切线】1．过原点与曲线相切的直线方程为______. 2x y e =2．已知点在函数的图象上，则过点的曲线的切线方程()1,2A ()3f x ax =A ():C y f x =是 。
圆锥曲线基础训练题及答案
圆锥曲线基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．抛物线y 2=ax 的焦点坐标为(-2,0),则抛物线方程为（ ）A ．y 2=-4x B ．y 2=4x C ．y 2=-8x D ．y 2=8x2 ．如果椭圆的两个焦点三等分它所在的准线间的垂线段，那么椭圆的离心率为 （ ）A ．23 B ．33 C ．36 D ．66 3 ．双曲线191622=-y x 的渐近线方程为 （ ）A ． x y 34±= B ．x y 45±= C ．x y 35±= D ．x y 43±= 4 ．抛物线 x y 42= 的焦点坐标是（ ）A ．（－1，0）B ．（1，0）C ．（0，－1）D ．（0，1）5 ．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ） A 165x =±B 95x =±C 95y =±D 165y =± 6 ．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5,0)的距离是15,则P 到点(-5,0)的距离是 （ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或237 ．双曲线1322=-y x 的两条渐近线方程是 （ ）A ．03=±y xB ．03=±y xC ．03=±y xD ．03=±y x8 ．以椭圆的焦点为圆心，以焦距为半径的圆过椭圆的两个顶点，则椭圆的离心率为 （ ）A ．43)D (23)C (22)B (219 ．抛物线y x 42=上一点A 纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．抛物线()042<=a ax y 的焦点坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，a B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1610，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1610，D ．⎪⎭⎫⎝⎛0161，a 11．椭圆2x 2=1-3y 2的顶点坐标为（ ）A ．(±3，0)，(0，±2)B ．(±2，0)，(0，±3)C ．(±22，0)，(0，±33) D ．(±12，0)，(0，±13) 12．焦距是10，虚轴长是8，经过点(23, 4)的双曲线的标准方程是（ ）A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．1643622=-y x D ．1643622=-x y 13．双曲线22124x y -=-的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．x =C ．12y x =±D ．12x y =±14．已知椭圆方程为1322=+y x ，那么左焦点到左准线的距离为 （ ）A ．22 B ．223 C ．2D ．2315．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 （ ）A ．y 2=16xB ．y 2=12xC ．y 2= -16xD ．y 2= -12x16．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．3C ．12 D ．217．下列表示的焦点在y 轴上的双曲线方程是（ ）A ．13422=+y xB ．14322=+y xC ．13422=-y xD ．13422=-x y 18．抛物线y =2px 2(p ≠0)的焦点坐标为（ ）A ．(0，p )B ．(10,4p ) C ．(10,8p) D ．(10,8p±) 19．与椭圆205422=+y x 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．x y 42=B ．x y 42±=C ．y x 42=D ．y y 42±=20．已知双曲线的渐近线方程为x y43±=，则此双曲线的（ ）A ．焦距为10B ．实轴和虚轴长分别是8和6C ．离心率是45或35 D ．离心率不确定21．双曲线122=-y x 的渐近线方程是（ ）A ．±=x 1B ．y =C ．x y ±=D ．x y 22±= 22．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解”是正确的，则以下命题中正确的是（ ）A ．方程(x ，y)=0的曲线是CB ．坐标满足方程f(x ，y)=0的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程f(x ，y)=0的轨迹D ．方程f(x ，y)=0的曲线不一定是C23．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ）A ．165x =±B ．95x =±C ．95y =±D ．165y =±24．双曲线191622=-x y 的焦点坐标是 （ ）A ．()0,5和()0,5-B ．()5,0和()5,0-C ．()0,7和()0,7- D ．()7,0和()7,0-25．已知抛物线的焦点坐标为(－3,0),准线方程为x =3,则抛物线方程是（ ）A ．y 2+6x =0B ．y 2+12x =0C ．y +6x 2=0D ．y +12x 2=0 26．双曲线 191622=-y x 的渐近线的方程是（ ）A ．x y 43±= B ．x y 34±= C ．x y 169±= D ．x y 916±= 27．对抛物线24y x =,下列描述正确的是（ ）A ．开口向上,焦点为(0,1)B ．开口向上,焦点为1(0,)16 C ．开口向右,焦点为(1,0)D ．开口向右,焦点为1(0,)1628．双曲线2y 2-x 2=4的一个焦点坐标是（ ）A ．(0,-)6B ．(6,0)C ．(0,-2)D ．(2,0)29．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．430．到直线x=－2与定点P （2，0）距离相等的点的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线二、填空题31．(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是 32．与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________________________33．椭圆4422=+y x 的焦点坐标为___________，__________． 34．抛物线x y 42=的准线方程为______ 35．到x 轴,y 轴距离相等的点的轨迹方程_________.36．已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;37．若双曲线22145x y -=上一点P 到右焦点的距离为8，则P 到左准线的距离为38．若定点(1,2)A 与动点(),Px y 满足，4OP OA ⋅=则点P 的轨迹方程是39．已知双曲线的离心率为2，则它的实轴长和虚轴长的比为 。
高二数学 导数和圆锥曲线训练 试题(共2页)
县凤凰中学(zhōngxué)高二数学导数和圆锥曲线训练
1、曲线在点处的切线方程为 .
2、直线与曲线y=lnx相切，那么的值是 .
3、函数那么= .
4、函数的单调递增区间是〔〕
A. C.(1,4) D.(2,+
5、函数假设且在x=1处获得极
值-2，那么a= ，b= ,c= .
6、上有最大值3，那么此函数在[-2，
2]上的最小值为 .
7、抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，那么抛物线的方程为〔〕
B. D.
8、假设点〔3，1〕是抛物线的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率
为2，那么p= .
9、F
1，F
2
为椭圆的两个焦点，过F
1
的直线交椭圆于A，B两点，
假设那么 .
10、椭圆的长轴长是短轴长的3倍且经过点P〔3，0〕，那么椭圆的HY方程为
.
11、椭圆,长轴在y轴上，假设焦距为4，那么m等于〔 )
A.4
B.5
12、双曲线的离心率为2，焦点是(-4,0),(4,0),那么(nà me)双曲线方程为
内容总结。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。
导数与圆锥曲线
导数与圆锥曲线一．解答题（共16小题）1．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．2．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．3．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．4．已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．5．已知函数f（x）=e x﹣ax，其中a＞0．（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=K恒成立．6．设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．7．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．8．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y ﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．9．设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．10．已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．11．已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．12．在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．13．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2﹣4x+2=0的圆心．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2．当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．14．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．15．如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．16．如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．（I）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：（Ⅱ）设直线AB的方程是x﹣2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．导数与圆锥曲线一．解答题（共16小题）1．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．2．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0的x取值范围即可得到单调区间；（Ⅱ）当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．由（I）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．利用导数先证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（﹣x2）．即f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，因此得证．【解答】解：（Ⅰ）易知函数的定义域为R．==，当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．（Ⅱ）当x＜1时，由于，e x＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．由（Ⅰ）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．下面证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即证＜．此不等式等价于．令g（x）=，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．即．∴∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．从而，f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．3．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．4．已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．5．已知函数f（x）=e x﹣ax，其中a＞0．（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=K恒成立．【分析】（1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x）=0，令f′（x）=0，解可得x=lna，分x＜lna与x＞lna两种情况讨论可得f（x）取最小值为f（lna）=a﹣alna，令g （t）=t﹣tlnt，对其求导可得g′（t）=﹣lnt，分析可得当t=1时，g（t）取得最大值1，因此当且仅当a=1时，a﹣alna≥1成立，即可得答案；（2）根据题意，由直线的斜率公式可得k=﹣a，令φ（x）=f′（x）﹣k=e x ﹣，可以求出φ（x1）与φ（x2）的值，令F（t）=e t﹣t﹣1，求导可得F′（t）=e t﹣1，分t＞0与t＜0讨论可得F（t）的最小值为F（0）=0，则当t≠0时，F（t）＞F （0）=0，即e t﹣t﹣1＞0，进而讨论可得φ（x1）＜0、φ（x2）＞0，结合函数的连续性分析可得答案．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=0，解可得x=lna；当x＜lna，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞lna，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故当x=lna时，f（x）取最小值，f（lna）=a﹣alna，对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当a﹣alna≥1，①令g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt，当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，故当t=1时，g（t）取得最大值，且g（1）=1，因此当且仅当a=1时，①式成立，综上所述，a的取值的集合为{1}．（2）根据题意，k==﹣a，令φ（x）=f′（x）﹣k=e x﹣，则φ（x1）=﹣[﹣（x2﹣x1）﹣1]，φ（x2）=[﹣（x1﹣x2）﹣1]，令F（t）=e t﹣t﹣1，则F′（t）=e t﹣1，当t＜0时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F′（t）＞0，F（t）单调递增，则F（t）的最小值为F（0）=0，故当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即e t﹣t﹣1＞0，从而﹣（x2﹣x1）﹣1＞0，且＞0，则φ（x1）＜0，﹣（x1﹣x2）﹣1＞0，＞0，则φ（x2）＞0，因为函数y=φ（x）在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈（x1，x2），使φ（x0）=0，即f′（x0）=K成立．【点评】本题考查导数的应用，涉及最大值、最小值的求法以及恒成立问题，是综合题；关键是理解导数的符号与单调性的关系，并能正确求出函数的导数．6．设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）假设存在a，使得k=2﹣a，根据（I）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（I）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题．【解答】解：（I）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=1+，令g（x）=x2﹣ax+1，△=a2﹣4，①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x1=，x2=，当0＜x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0；故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．（Ⅱ）由（I）知，a＞2．因为f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+﹣a（lnx1﹣lnx2），所以k==1+﹣a，又由（I）知，x1x2=1．于是k=2﹣a，若存在a，使得k=2﹣a，则=1，即lnx1﹣lnx2=x1﹣x2，亦即（*）再由（I）知，函数在（0，+∞）上单调递增，而x2＞1，所以＞1﹣1﹣2ln1=0，这与（*）式矛盾，故不存在a，使得k=2﹣a．【点评】此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．7．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB 与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．8．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y ﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与=即可得到关于t 系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，∴，∴，又=，∴，即a2=2b2．联立得，解得，∴M的方程为．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|CD|===．联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，∴交点为A（0，），B，∴|AB|==．===，∴S四边形ACBD∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．∴四边形ACBD面积的最大值为．【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．9．设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的=，知距离，由△ABD的面积S△ABD=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，=，∵△ABD的面积S△ABD∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10．已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．【分析】（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标，代入利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由题意得，化简得y2=2x+2|x|．当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0，所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）和y=0（x＜0）．（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的方程为y=k（x﹣1）．由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=2+，x1x2=1．∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为﹣．设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．故====（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+x3+x4+11+2++1+1+2+4k2+1=8+4（k2+）≥8+4×2=16，当且仅当k2=，即k=±1时，的最小值为16．【点评】此题是个难题．考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．11．已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．12．在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．【分析】（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），根据对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，可得|x+2|=且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧，从而可得曲线C1的方程；（Ⅱ）当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），设切线方程为kx ﹣y+y0+4k=0，利用直线与圆相切可得，从而可得过P所作的两条切线PA，PC的斜率k1，k2是方程的两个实根，设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可得；同理可得，由此可得当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D 的纵坐标之积为定值为6400．【解答】（Ⅰ）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|=且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧∴=x+5化简得曲线C1的方程为y2=20x（Ⅱ）证明：当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y﹣y0=k（x+4），即kx﹣y+y0+4k=0，∴，整理得①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根∴②由，消元可得③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，∴y1，y2是方程③的两个实根∴④同理可得⑤由①②④⑤可得==6400∴当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆相切，考查韦达定理的运用，解题的关键是切线与抛物线联立，属于中档题．13．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2﹣4x+2=0的圆心．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2．当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．【分析】（Ⅰ）确定x2+y2﹣4x+2=0的圆心C（2，0），设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，利用离心率为，即可求得椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2=，由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切，可得，同理可得，从而k1，k2是方程的两个实根，进而，利用，即可求得点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2﹣4x+2=0得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心C（2，0）设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，∵，∴a=4，∴b2=a2﹣c2=12∴椭圆E的方程为：（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1：y﹣y0=k1（x﹣x0）l2：y﹣y0=k2（x﹣x0），且k1k2=由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切得∴同理可得从而k1，k2是方程的两个实根所以①，且∵，∴，∴x0=﹣2或由x0=﹣2得y0=±3；由得满足①故点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣3），或（）或（）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，解题的关键是确定k1，k2是方程的两个实根，属于中档题．14．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．【分析】（I）由题意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0），可得⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．利用线段的垂直平行的性质可得，解出即可得到圆的方程；（II））由题意，可设直线l的方程为x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d=，再利用弦长公式即可得到b=．把直线l的方程为x=my+2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论．【解答】解：（I）由题意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0）．故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．则，解得．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；（II）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，则圆心到直线l的距离d=，∴b=．由得（5+m2）y2+4my﹣1=0．设l与E的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2）．则，．∴a===，∴ab===．当且仅当，即时等号成立．故当时，ab最大，此时，直线l的方程为，即．【点评】本题综合考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式b=、直线与椭圆相交的弦长公式a=、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．．15．如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．【分析】（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出k MA•k MB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．【解答】解：（Ⅰ）由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，由得x2﹣kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1），所以k MA•k MB=====﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME．（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．由，解得或．则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣，﹣1）．于是s1=|MA|•|MB|=•|k1|••|﹣|=．由得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．解得或，，则点D的坐标为（，）．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为（，）．于是s2=|MD|•|ME|=．故=，解得k12=4或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．【点评】本题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好．16．如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．（I）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：（Ⅱ）设直线AB的方程是x﹣2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．【分析】（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x2=4y 得x2﹣4kx﹣4m=0．设A、B两点的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），x1x2=﹣4m．由点P（0，m）分有向线段所成的比为λ，得．由此可以推出．（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（﹣4，4）．设圆C的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则解得．所以圆C的方程是x2+y2+3x﹣23y+72=0．【解答】解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x2=4y 得x2﹣4kx﹣4m=0．①设A、B两点的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程①的两根．所以x1x2=﹣4m．由点P（0，m）分有向线段所成的比为λ，得．又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，﹣m），从而.．==．所以．（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（﹣4，4）．由x2=y得，所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3设圆C的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则解之得．所以圆C的方程是，即x2+y2+3x﹣23y+72=0．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．。
2024高考巴蜀圆锥曲线解答题解析
2024高考巴蜀圆锥曲线解答题解析一、解答题1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线()2:20E y px p =>，O 是坐标原点，过()4,0的直线与E 相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．(1)求抛物线E 的方程；(2)若()0,2P x 在抛物线E 上，过()4,2Q -的直线交抛物线E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，求12k k ⋅的值．3【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线2:4,,C x y M N =为抛物线C 上两点，,M N 处的切线交于点()00,P x y ，过点P 作抛物线C 的割线交抛物线于,A B 两点，Q 为AB 的中点.(1)若点P 在抛物线C 的准线上，（i ）求直线MN 的方程（用含0x 的式子表示）；（ii ）求PMN 面积的取值范围.(2)若直线MQ 交抛物线C 于另一点D ，试判断并证明直线ND 与AB 的位置关系.【答案】(1)（i ）012y x =【详解】（1）（i ）设点221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为抛物线2:4C x y =，得12y x '=，则()21111:42MP x l y x x x -=-，整理得2111124y x x x =-①，()22221:42NP x l y x x x -=-，整理得2221124y x x x =-②，联立①②得()0120121214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在抛物线C 的准线上，即直线1y =-上，所以124x x =-，设直线MN 的方程为y kx b =+，斜率必存在，联立24=+⎧⎨=⎩y kx bx y ，消去y 得2440x kx b --=，所以212012Δ161604244k b x xk x x x b ⎧=+>⎪+==⎨⎪=-=-⎩，得0121k x b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.所以直线MN 的方程为0112y xx =+；（ii ）由（i ）得21x x -=（2）直线ND 与AB 平行，证明：直线AB 斜率必存在，设消去y 得20444x kx kx -++=则()2034340161610444k kx x x k x x kx ⎧-+>⎪+=⎨⎪=+⎩，得则直线(21:4MQ x l y k x x '-=-()2122011214442x k k x x x k x ----=-整理得()(221284k x x k ---则2211112842D kx k x kx x x k x -+-=-则2101284142D kx k kx y k x ⎛-+-= -⎝【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般联立方程，然后用韦达定理来解决问题，特别是当一个交点知道的情况下，3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知()()122,0,2,0C C -，动点P 满足1PC 与2PC 的斜率之积为定值14.(1)求动点P 的轨迹Γ的方程；(2)过点()4,0M 的直线l 与曲线Γ交于,A B 两点，且,A B 均在y 轴右侧，过点A 作直线:1l x '=的垂线，垂足为D .（i ）求证：直线BD 过定点；（ii ）求MBD 面积的最小值.【答案】(1)(22104x y y -=≠(2)（i ）证明见解析；（ii ）3【分析】（1）设动点P 的坐标，由题意列式并化简，即可得答案；（2）（i ）设直线方程:l x my =结合题意有(2212212240Δ644884124m m m m y y m y y m ⎧-≠⎪=-⎪⎪-⎨+=⎪-⎪⎪⋅=<-⎩解得22m -<<，且122my y =又直线BD 的方程为1y y -=令0y =，则()122111y x x y y -=--()(122121235422=y y y y y y y y ++-=-4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知点00(,)P x y 是椭圆E :221(0)a b a b +=>>上的动点，离心率2e =设椭圆左、右焦点分别为12,F F ，且12|||4|PF PF +=(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线12,PF PF 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，问PAB 面积是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．5．（23-24高三上·重庆·期中）已知椭圆C :()2210a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,01,0F F -,，椭圆C 上一动点A 在第二象限内，点A 关于x 轴的对称点为点B ，当AB 过焦点1F 时，直线2AF 过点30,4⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)点B 与焦点2F 所在直线交椭圆C 于另一点P ，直线AP 交x 轴于点T ，求TAB △面积最大时，点A 横坐标的值.【答案】(1)22143x y +=(2)13-设直线PB 的方程为1x my =+，联立得()2234690m y my ++-=，由于直线则12122269,343m y y y y m m -+=-=++直线PA 的方程为(21121y y y y x x ++=-令0y =，得(1121212y my y x y x x y y ==++即(4,0)T ；()()1114||432TABS x AB x =-⋅=-6．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆C ：()2210a b a b +=>>的上、下顶点分别为A ，B ，左顶点为D ，ABD △(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆外一点(),0M m 的直线交椭圆于P ，Q 两点，已知点P 与点P '关于x 轴对称，直线P Q '与x 轴交于点K ；若AKB ∠是钝角，求m 的取值范围．【点睛】方法点睛：求解椭圆的方程，关键是求得所以需要两个条件，如本题中，等边三角形以及等边三角形的面积，一共两个条件，用这两个条件列方程组，即可求得,a 7．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）如图3所示，点1F ，A 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点和右顶点，点F 为抛物线2:16C y x =的焦点，且124OF OA OF ==（O 为坐标原点）.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点1F 作直线l 交椭圆E 于B ，D 两点，连接AB ，AD 并延长交抛物线的准线于点M ，N ，求证：1MF N ∠为定值.8．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆()22:10x y C a b a b +=>>的离心率为e =，且经过点()1,e .(1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，F 分别为椭圆C 的上顶点和右焦点，直线()3:0l y kx k =->与椭圆C 交于点B ，D ，F 到直线AB ，AD 的距离分别为1d 和2d ，求证：12d d =.。
圆锥曲线典型例题(精华版)
圆锥曲线典型例题强化训练一、选择题1、若点P 到直线y = -l 的距离比它到点（0,3）的距离小2,则点P 的轨迹方程为（ ）A2、若mx- + y--2x-4y = 0的圆心到直线x-y + n = 0的距离为手，则a 的值为1,3B. —或一2 23、设F1. Fz 为曲线G ： U 的焦点，P 是曲线 5 —-y-=l *jCi 的一个交点,6 2 34、经过抛物线y^=2x 的焦点且平行于直线3戈•-2y + 5 = 0的直线/的方程是（ A.6x-4y — 3 = 0 B. 3兀一 2y -3 = 05、若抛物线r =2/zv 的焦点与椭圆—+ = 1的右焦点重合，则"的值为（6 26、如图，过抛物线y- =2px （p>Q ｝的焦点F 的宜线I 交抛物线于点A 、B,交苴准线于点 若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为（8、已知双曲线务-詈=13>0）的中心在原点，右焦点与抛物线y- = 16x 的焦点重合,A. X" = 12yy" = \2x C. = 4yA-・2或2C ・2或0D ・・2或0则△PF1F2的面积为（ ）C （A ） i(B)l (C)迈 (D)2 迈C. 2x + 3y — 2 = 0D, 2x + 3y-l = QA- -2 B. 2 C ・-4 D ・4C, BA. C ・ .3V' =-%2 .9 y" = —X 丿2B ・ y" =3x D. y" =9x?77、唸-宁"的顶点为焦点，长半轴长为山椭圆方程为A. 乂+ 二= 64 52B.匕+2216 1216 4 D.M 4 16 0则该双曲线的离心率等于( D二、解答题21.已知椭圆F+厶＞ =1(0＜方＜1)的左焦点为F,左右顶点分别为A,C 上顶点为B,过FbC h-三点作0P ，英中圆心P 的坐标为行⑴若椭圆的离心率一斗，求。
高二数学圆锥曲线与导数
一、导数1．导数的概念：f ′（x ）=，导函数也简称导数.2．导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. ⑴函数f(x)在点x 0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x 0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。
如f(x)=在x=0有切线，但不可导。
⑵函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0),切线方程为y －f(x 0)=f ′(x 0)(x －x 0)例：1.（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______。
2.点P 在曲线y =x 3－x +上移动，设点P 处切线的倾斜角为，求的范围.3.求导公式：C ′=0（C 为常数）；（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x ）′=e x ;（a x ）′=a x ln a ;（ln x ）′=;（log a x ）′=log a e …… 4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）=（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）=c （x ） ;（uv ）′=u ′v +uv ′;（）′= （v ≠0）. 5．导数的应用：（一）.用导数求函数单调区间的一般步骤. ⑴确定函数f(x)的定义区间； ⑵求函数f(x)的导数f ′(x)；⑶令f ′(x)>0，或者“0≥”所得x 的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间； 令f ′(x)<0，或者“0≤”得单调减区间.特别注意：已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。
近年高考试题导数圆锥曲线及数列精选
1. (2014湖南) 设常数a>0，函数2()ln(1).2xf x ax x =+-+ (1)讨论f (x)在区间(0,＋∞)上的单调性；(2)若f (x)存在两个极值点x 1,x 2,且f (x 1)＋ f (x 2)>0，求a 的取值范围.112212P(x ,f(x )),Q(x ,g(x )),x 0,x 0,⇒≥>x 已知f(x)=e +sinx,g(x)=x-2，设PQ x P Q 若直线与轴平行，求、的最短距离。
x ax(a 0).(1)e ⇒>已知f(x)=x-e判断曲线f(x)在x=0处的切线能否与曲线y=相切，并说明理由；12x e 2.x a1212()若f(x )=f(x )=0(x <x )，求证:<⇒已知f(x)=ax ，g(x)=lnx ，若存在两个不等实数x 1,x 2,使f(x 1)=g(x 1)，f(x 2)=g(x 2)，求证x 1x 2>e 2⇒ (2013 四川)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩其中a 为常数，设A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))为函数 像上的两点,且x 1<x2(1)指出函数f (x)的单调区间；(2)若函数f (x)的图像在A 、B 处的切线互相垂直，且x2<0,求x 2－x 1的最小值； (3) 若函数f (x) 的图像在A 、B 处的切线重合，求a 的取值范围。
⇒ (2014天津) 设f(x)=x －ae x(a ∈R), 已知y=f(x)有两个零点x 1,x 2，且x 1<x 2.(1) 求a 的取值范围；(2) 证明：21x a x 随着的减小而增大;(3) 证明x 1+x 2随着a 的减小而增大。
3. (2014全国新课标)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+,曲线f (x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x －1)＋2.(1) 求a ，b; (2)证明：f (x)>1()ln ,(1)()f x x x f x ⇒=求在[t,t+2](t>0)上的最小值；12(2)ln x x e ex∈∞>-求证对一切实数x (0,+),都有2013 ⇒（全国）已知函数f (x)=e x －ln(x ＋m)(1) 设x=0 是f (x)的极值点，求m ，并讨论f (x)的单调性；(2) 当m≤2时，证明f (x)>04.(2014浙江)已知函数f (x)=x 3＋3|x －a|(a ∈R).(1) 若f (x)在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a)和N(a)，求M(a )－N(a)； (2) 设b ∈R,若[f (x)＋b]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，求3a ＋b 的范围. 5.(2014陕西)设函数f (x)=ln(1+x),g(x)=x f’(x),其中x≥0, f’(x)是, f (x)的导函数. (1) 令g 1(x)=g(x),g n+1(x)=g(g n (x)),n ∈N +,求g n (x)的表达式；(2) 若f (x )≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3) 设n ∈N +,比较g(1)+g(2)+……+g(n)与n －f (n)的大小，并加以证明.6. (2014全国大纲) 函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+. (1) 讨论f (x)的单调性；(2) 设a 1=1,a n+1=ln(a n ＋1),证明 2322na n n <≤++7. (2014山东)设函数22()(ln )()x e f x k x k e x x=-+为常数，是自然对数的底(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围。
极坐标_圆锥曲线_导数复习题-教师 - 副本
一．选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分. 1 若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=………………………………………………………（ ）A 3-B 6-C 9-D 12-解： D '0000000()(3)()(3)lim4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===-2．抛物线24x y =的焦点坐标是………………………………………………………………………………（ ）A ．（0,1）B ．（1,0）C ．（161,0）D ．)0,161(解：C3．已知直线m x y -=2是曲线x y 2ln =的切线，则=m ……………………………………………………（ ） A ．21-B ．21 C ．0 D ．1解：设切点为00(,)x y ，则012y x ==，，所以切点为1(,0)2，所以1022m =⨯-，解得1m =，故选D.4.直线y a =与函数33y x x =-的图象有相异三个交点，则a 的取值范围是………………………………（ ）A.（－2, 2）B.（－2, 0）C.（0, 2）D.（2,+∞） 解：A 5．把正整数数列{}n 中的数按如下规律排成三角形数阵：设 j i a ,是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行，从左往 右数第j 个数（如9,13,41,1==a a ）.若2010,=n m a ，则=+n m …………………………（ ） A.70 B.80 C.90 D.100 解：A6．已知函数()f x 是R 上的可导函数，函数/()y x f x =⋅的图像如图所示．则有…………………………（ ）A ．(2)(0)(3)f f f -<<B ．(3)(0)(2)f f f <<-C ．(2)(3)(0)f f f -<<D ．(3)(2)(0)f f f <-< 解：B7．设F 1，F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，以F 1为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若直线F 2M 与圆F 1相切，则该椭圆的离心率是……………………………………………………………（ ） A ．32- B ．13- C ．23 D ．22解：B8．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若n 2=1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n ……………（ ）xy-2O3A.15B.16C.17D.18 解：A9.对于不等式n n +2＜n +1(n ∈N*),某同学的证明过程如下: (1)当n =1时, 112+＜1+1,不等式成立.(2)假设当n =k (k ∈N*)时,不等式成立,即k k +2＜k +1,则当n =k +1时, 13)1()1(22++=+++k k k k ＜1)1()2()2()23(22++=+=++++k k k k k ,∴当n =k +1时,不等式成立.上述证法………………………………………………………………………（ ） A.过程全部正确 B.n =1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n =k 到n =k +1的推理不正确 解： D10．已知21,F F 是椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 两个焦点，过1F 的弦AB 与2F 组成等腰直角三角形，其中902=∠BAF ,椭圆的离心率为e ，则2e 等于…………………………………………………………（ ）A ．26-B ．269-C ．22D ．12-解：B二.填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.11 求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程解：33(1),360y x x y +=-+++= 12．双曲线的虚轴长为4,离心率26=e ,21,F F 分别是它的左、右焦点,若过1F 的直线与双曲线的左支交于B A ,两点,且AB 是2AF 与2BF 的等差中项,则AB 为_______．解：2813．抛物线C ：24x y =的焦点为F ．直线l 经过点E （1，1），且与抛物线C 的一个交点A 到点F 的距离为5，点A 在第一象限．那么，直线l 与抛物线C 围成的封闭区域的面积为 ． 解：8314．观察下列算式，猜测由此表提供的一般法则． 1 = 1 3 + 5 = 87 + 9 + 11 = 27，13 + 15 + 17 + 19 = 64，21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125， ……则第n 个等式左边的第一项为 ，右边为 ． 解：21n n -+，3n15.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{3cos sin x y θθ==（θ为参数），直线l 的极坐标方程为cos()63πρθ-=．点P 在曲线C 上，则点P 到直线l 的距离的最小值为 ．解：63-三.解答题：本大题6小题，共60分(9+9+9+9+12+12).16．已知函数321()3f x x ax bx =++，且1x =-是函数()f x 的一个极值点． （1）试写出用a 表示b 的表达式，并求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：（1）21b a =-．当1a <时，函数()f x 的递减区间为(1,12)a --，递增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞；当1a =时，函数()f x 没有极值点，不合题意，舍；当1a >时，函数()f x 的递减区间为(12,1)a --，递增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞．（2）213a <<或12a <<． 17. 设函数xx x f ln 1)(=（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）已知1ln 2ln a x x>对任意)1,0(∈x 成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）由2)ln (1ln )('x x x x f +-=由110)(',100)('≠>⇒<<<⇒>x ex x f e x x f 考虑到由 得该函数在)1,0(e 上单调递增，在),1()1,1(+∞及e上单调递减.（2）1ln 2ln 2ln (01ln 0)ln a x a x x x x x>⇔><<∴< 考虑到函数e x x f 1)(=在处有意义，函数⎥⎦⎤⎝⎛e x f 1,0)(在上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,1e 上单调递减，故e x xf 1)(=在处取得最大值-e ，所以，2ln )ln 2ln (max e xx -=所以，实数a 的取值范围是(ln 2,)e -+∞18．椭圆2214y x +=短轴的左右两个端点分别为A ，B ，直线l ：1y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点E ，F ，交椭圆于两点C ，D ．（1）若CE FD →→=，求直线l 的方程；（2）设直线AD ，CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =，求k 值．E F D CxyOA B19.某厂生产产品x 件的总成本32()120075c x x =+(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x 满足:2k P x =，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？413'22'2510500,100500221200()5007525()0:25()25k P x xx L x x x xL x x x ⨯=⨯∴==∴--∴=-==∴=24解:由题意知有:50得k=2510总利润L(x)=x 令则有件当件时,总利润最大.20．设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，曲线y = f ( x )通过点（0，2a +3），且在点（– 1，f （– 1））处的切线垂直于y 轴.（1）用a 分别表示b 和c ；（2）讨论函数g (x ) = – f ( x ) e -x的单调性；（3）当3a =-时，若对任意的1x ，2[2,)x ∈-+∞，不等式12|()()|g x g x M -≤恒成立，求M 的最小值. 解：（1）把点（0，2a +3）代入2()f x ax bx c =++中得23c a =+；F 2TOPyx曲线y = f ( x ) 在点（– 1，f （– 1））处的切线的斜率为2k a b =-+，那么有20a b -+=， 即得2b a =．综上，有2b a =，23c a =+． （2）可得g (x ) =2(223)x ax ax a e --+++，于是/22()(223)(22)(3)x x x g x ax ax a e ax a e ax e ---=+++-+=+当0a >时，/()0g x >，函数g (x )在R 上是增函数； 当0a <时，/23()()xg x a x ea-=+，可知函数g (x )在区间3(,)a-∞--上单调递减， 在区间33(,)aa ---上单调递增，在区间3(,)a-+∞上单调递减．（3）据（2）知，当3a =-时，函数()g x 在区间(,1)-∞-上单调递减，在区间(1,1)-上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减.所以当[2,)x ∈-+∞时，函数()g x 的最大值为max ()max{(2),(1)}g x g g =-．因为2(2)3g e -=，12(1)g e=.又2123e e >，所以2max ()3g x e =．由于(1)0g -=，而当1x >时，g (x ) =2(363)0xx x e -++>． 所以函数()g x 的最小值min ()g x =(1)0g -=．所以，212max min |()()|()()3g x g x g x g x e -≤-=，且当12x =-，21x =-时，等号成立． 由此，M 的最小值为23e ．21. 已知椭圆22222221(0,)x y a b c a b c a b+=>>>=+的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于3()2a c -．（1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F 2与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆相交 于A 、B 两点，若OA OB ⊥，求直线l 被圆F 2截得的弦长s 的最大值． 解：（1）依题意设切线长222||||()PT PF b c =--，∴当且仅当2||PF 取得最小值时||PT 取得最小值，而2min ||PF a c =-，223()()()2a cbc a c ∴----≥，102b c a c -∴<-≤，从而解得3252e <≤， 故离心率e 的取值范围是3252e <≤；（2）依题意Q 点的坐标为(1,0)，则直线的方程为(1)y k x =-，联立方程组 222(1)1y k x x y a=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22222222(1)20a k x a k x a k a +-+-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22122221a k x x a k +=+，22212221a k a x x a k -=+，代入直线方程得2121212[()1]y y k x x x x =-++2222(1)1k a a k -=+，221212221k a x x y y a k -+=+，又OA OB ⊥，2212120,0,OA OB x x y y k a ∴=∴+=∴=，k a ∴=，直线的方程为0ax y a --=，圆心2F (,0)c 到直线l 的距离2||1ac a d a -=+，由图象可知2222222|1|212142221912121221d c c c c c s a a c a c c --+-+=====-+++++-+， ∴3252e <≤，351,21342c c ∴<+<≤≤， ∴241(0,]41s ∈，所以max 24141s =．C ．（坐标系与参数方程选做题）11.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{12cos 22sin x y θθ=-+=+（θ为参数），直线l 的极坐标方程为3cos 4sin 12ρθρθ+=．则直线l 与曲线C 的公共点个数为 ； 【答案】：2 20．（本小题满分13分）动圆C 经过定点E (5,0)-，且与圆F ：22(5)16x y -+=外切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹L 的方程； （Ⅱ）已知定点M (0,1)-．问是否存在过点P (0,1)的直线l ，使其与轨迹L 交于A ，B 两点，且||||AM BM =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】：（Ⅰ）设点C 的坐标为(,)x y ，动圆C 的半径为r ，则有|CF| – 4 = r ，|CE| = r即得 |CF| – |CE| = 4．由于 4 < 25= |EF|，所以动点C 的轨迹为以E 、F 为左、右焦点的双曲线的左支，其方程为221(0)4x y x -=<． （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，l 与曲线L 没有交点，不合题设，所以直线l 的斜率存在，可设其方程为1y kx =+．设A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．把1y kx =+代入221(0)4x y x -=<中， 22(14)880(0)k x kx x ---=< 一方面，该方程有两个相异负根，即2280148041kk k ⎧<⎪-⎨⎪>-⎩，且226432(14)0k k +->解得 1222k <<．另一方面，弦AB 的中点N 的坐标为2241(,)1414k k k --，所以直线MN 的斜率为2221112144214k k k k k +--=- 据题设，直线MN 与直线l 垂直，所以有21212k k k-=- 即得 223k =，由1222k <<得不存在这样的斜率k ．综上，不存在过点P (0,1)的直线l ．13．已知“给定正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，得到的正确结论是 ． 【答案】：给定正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值B ．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为cos()4πρθ=-，直线l 的参数方程为,(x t t y t a=⎧⎨=--⎩为参数）．若直线l 与曲线C 有公共点，则实数a 的取值范围为 ； 【答案】：[2,0]- 12.)(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n n n f ，经计算的27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ， 推测当2≥n 时，有__________________________. 解：22)2(+>n f n19．（本小题满分12分）已知函数2()(2)ax f x ax x e =-，其中a 为常数，且0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(2,2)内单调递减，求a 的取值范围． 解：21．（14分）已知抛物线)0(2:2>=p py x C 上一点)4,(t A 到其焦点F 的距离为833． （1）求抛物线C 的方程及实数t 的值；（2）若直线1:+=kx y l 与抛物线C 交于B D ,两点，线段BD 的中点为M ．过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，过N 点所作曲线C 的切线为1l ； ①求证：1l 平行于直线l ；②过D B ,分别作MN 平行线交1l 依次为11,D B 两点，求四边形D D BB 11面积的最 小值及对应的k 值．解析：（1）由抛物线定义知：41833)2(4=⇒=--p p ， 抛物线方程为y x 212=，因为),4(t 在抛物线上，2±=t ． （2）①证明：如图，联立y x 212=和1+=kx y ，消去y 得0122=--kx x ，设),(),,(2211y x D y x B 中点),(00y x M ，21,22121-=⋅=+x x k x x ，141,42200210+=+==+=∴k kx y k x x x即中点)14,4(2+k k M ，)8,4(2k k N 又x x y 4)2(2='=' ，所以过N 的切线l 的斜率为l k y ∴=',∥1l ②01)4(8:21=+-⇒-=-y kx kx k k y l ， 所以N 到l 的距离22188kk d ++=281122212++=-+=k k x x k BD 而四边形D D BB 11为平行四形，232)8(1611+=⋅=∴k d BD S D D BB ，而，02≥k ，28161)(23min11=⨯=D D BB S ，此时0=k ．。
高三针对导数、圆锥曲线提优训练及答案
圆锥曲线、导数强化训练1、已知函数，在定义域内任取一点，使的概率是（ C ）A ．B ．C ．D ． 2、已知函数，，若的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点、，则下列判断正确的是（ C ） A ．，B ．，C ．，D ．，3、已知函数和函数在区间上的图象交于三点，则△的面积是（D ）ABCD ．4、已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（B ） A ．．8 C ．D ．65、已知函数的导函数,且,（其中为自然对数的底数）．若,使得不等式成立,则实数的取值范围是（ B ） A ．B ． C ． D ．]3,3[,2)(2-∈--=x x x x f 0x ()00f x ≤31232161()sin 4f x x π⎛⎫=π+ ⎪⎝⎭g()cos 4x x π⎛⎫=π+ ⎪⎝⎭,,A B C ABC 212,F F P 12PF PF >1e 2e 212PF F F =2133e e +6+6+()g x ()xg x e '=(0)(1)g g e '=e (0,)x ∃∈+∞()g x <m ()1,∞-()3,∞-()+∞,3()e -∞-4,6、函数，，其中R ，…为自然对数的底数．当时，恒成立，则的取值范围解：令，则 ①若，则，，在递增，， 即在恒成立，满足，所以；②若，在递增，且 且时，，则使， 则在递减，在递增， 所以当时，即当时，， 不满足题意，舍去；综合①，②知的取值范围为.8、在△中，，，且在边上分别取两点，点 关于线段的对称点正好落在边上，则线段长度的最小值为．()ln(1)f x a x =+()e 1xg x =-a ∈e =2.7180x ≥()()f xg x ≤a ()()()()1ln(1)0x H x g x f x e a x x =-=--+≥()()01x aH x e x x '=-≥+1a ≤11x ae x ≤≤+()0H x '≥()H x [)0,+∞()(0)0H x H ≥=()()f xg x ≤[)0,+∞1a ≤1a >()1x aH x e x '=-+[)0,+∞()(0)1H x H a ''≥=-10a -<x →+∞()H x '→+∞0(0)x ∃∈+∞，0()0H x '=()H x [)00x ，0()x +∞，()00x x ∈，()(0)0H x H <=()00x x ∈，()()f x g x >a (],1-∞ABC 5AB AC ==6BC =,AB AC ,M N A MN P BC AM【解析】方法一：设，∵A 点与点P 关于线段MN 对称， ∴，，在中，，，，，由正弦定理： 则，当时此时，.方法二：建立如图如示坐标系由得，设，，与交于点，由，得， ，此时．9、已知点分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过右焦点作两互相垂直的直线分别与椭圆相交于点和，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）方法一：由题意得 且 ∴ 方法二：由， 得.∴椭圆方程为. ,MAP AM x θ∠==AM MP x ==MPA θ∠=BMP ∆3cos5B=4sin 5B =2BMP θ∠=2MPB B πθ∠=--sin sin MP BM B BPM=∠554sin(2)sin(2)5x x x B B πθθ--⇒==--+44sin(2)5x B θ=++22B πθ+=min 4204915x ==+4cos2sin 5B θ==35,cos 5AB AC B ===(3,0)(0,4)B A -34,(,4)55AM a M a a =--(,0)P m AP MN G (,2),(3,3)2m G m ∈-1MG AP k k =- 42(4)5425a m a --=+25161663m a m +=- 1625516329[()]166333m m ⨯=-+--5403220[]6339≥⨯-=43m =-12(1,0),(1,0)F F -2222:1(0)x y C a b a b +=>>P ⎛ ⎝⎭C C 2F C ,A B ,M N AM BN ⋅uuu r uuu r1c =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+112112222b a b a 1222==b a ，22221==+a PF PF 12==b a ，2212x y +=xy（2）设，，直线为.直线为联立 则，，…………………6分. ∵同理令，则当时，， ∴ . …………………12分10、已知点是拋物线的焦点, 若点在上, 且. （1）求拋物线的方程;（2）若直线经过点且与交于(异于)两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数.解：（1）由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得 所以………………4分 （2）由（1）得,11(,)A x y 22(,)B x y AB 1(0)x my m =+≠PQ 11x y m=-+012)21212222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=my y m y x my x （12212y y m =-+2P Q 2m y y 2m 1 =-+g 22222222()()AM BN AF F M BF F N AF BF F M F N ⋅=+⋅+=⋅+⋅ 2222221221(1)2m AF BF AF BF m y y m +⋅=-=+=-+ 2222221()11121()2m m F M F N m m-++⋅=-=-+-+ 222211221m m AM BN m m ++⋅=--++ 211m t +=≥2334,11232AM BN t t⎛⎤⋅=∈-- ⎥⎝⎦-- 0m =32AM BN ⋅=-34,23AM BN ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦F ()2:20C y px p =>()0,1M x C 054x MF =C l ()3,1Q -C ,A B M AM BM 02p MF x =+00524p x x +=02x p =()0,1M x C 2:2C y px =021px =011,2x p ==2:=C y x ()1,1M当直线经过点且垂直于轴时, 此时,则直线的斜率,直线的斜率所以 .………………6分 当直线不垂直于轴时, ,设直线的斜率为,且经过，则直线方程为：，带入，得：，………………7分设,………………9分则直线的斜率, 同理直线的斜率， 综上, 直线与直线的斜率之积为 11、已知函数2()2xf x e mx x =-- （1）若0m =，讨论()f x 的单调性； （2）若12e m <-，证明：当[0,]x ∈+∞时，()12e f x >- 解析：（1）当0m =时，()e 2x f x x =-．()e 2xf x '=-，令()0f x '>，得ln 2x >．易知()f x 在(ln 2)-∞，上单调递减，()f x 在(ln 2)+∞，上单调递增． （2）证明：()e 22x f x mx '=--，e 2()e 2e 2e (e 2)2x xxf x m =-''=->---. 当[0)x ∈+∞，时，e 1e 2x >-≥，故()0f x ''>，故()f x '单调递增． 又e (0)1210(1)e 22e 21202f f m ⎛⎫''=-=-<=-->-⨯--= ⎪⎝⎭，，故存在唯一的0(01)x ∈，，使得0()0f x '=，即00e 220x mx =--， 且当0(0)x x ∈，时，()0f x '<，故()f x 单调递减， l ()3,1Q -x ((,3,A B AM AM k =BM BM k =12AM BM k k ==- l x l ()0k k ≠Q(3,-1）l 1(3)+=-y k x 2=y x 2310---=ky y k ()()1122,,,A x y B x y 121211,-3-+==y y y y k kAM 111211111111AM y y k x y y --===--+BM 211=+BM k y 1212121111111111231∴====-+++++--+ AM BM k k y y y y y y k kAM BM 12-当0()x x +∈∞，时，()0f x '>，故()f x 单调递增． 故02min 000()()e 2x f x f x mx x ==--． 因为0x x =是方程00e 220x mx =--的根，故00e 22x m=x -．故00002min00000e 21()e 2e e 22x x x x f x x x =x x x -=----．令1()e e (01)2xx g x =x x x --∈，，，11()e e 122x x g x =x '--，1()e 02x g x =x ''-<． 故()g x '在(0，1)上单调递减，故1()(0)02g x g ''<=-<，故()g x 在(0，1)上单调递减，∴e ()(1)12g x g >=-，故e()12f x >-． 12、已知，设函数（1）当时，求的极值点； （2）讨论在区间上的单调性；（3）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.【解析】（1）当时，，∴，令，则，当时，；当时，，所以是的极小值点，无极大值点。
导数与圆锥曲线内容总结
高二下学期期中复习一、导数1．导数的概念：f ′（x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.2．导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. ⑴函数f(x)在点x 0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x 0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。
如f(x)=x 在x=0有切线，但不可导。
⑵函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0),切线方程为y －f(x 0)=f ′(x 0)(x －x 0)如：①（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.（2x －y +4=0）.②点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）. 当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）； 当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）.∴α∈［0，2π）∪［43π，π）.3.求导公式：C ′=0（C 为常数）；（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x）′=e x; （a x）′=a xln a ;（ln x ）′=x 1;（log a x ）′=x1log a e.. 4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'=c f '（x ）. ;（uv ）′=u ′v +uv ′;（v u）′=2vv u v u '-' （v ≠0）. 5．导数的应用：（一）.用导数求函数单调区间的一般步骤. ⑴确定函数f(x)的定义区间； ⑵求函数f(x)的导数f ′(x)；⑶令f ′(x)>0，或者“0≥”所得x 的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间； 令f ′(x)<0，或者“0≤”得单调减区间.特别注意：已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。
推荐-解析几何专题——圆锥曲线的综合运用专题训练-人教版[整理] 精品
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解析几何专题——圆锥曲线的综合运用专题训练生化 班 姓名 学号 一、选择题（在四个选项中有且只有一个是正确的，共10题，50分）1、斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为 ( )A.2B.554 C.5104 D.51082、抛物线y =ax 2与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有 ( ) A.x 3=x 1+x 2 B.x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3 C.x 1+x 2+x 3=0 D.x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=03、过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则直线l 共有 （ ）(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条4、设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 （ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] 5、若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，则x 2y 的最大值为 ( ) (A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ； (C) 442+b ；(D) 2b 。
6、已知双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）（A ）43 （B ）53 （C（D7、已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+ 8、已知双曲线22a x －22by ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º9、从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n,则能组成落在矩形区域B={(x ,y)| |x |<11且|y|<9}内的椭圆个数为 （ ）A ．43B ． 72C ． 86D ． 9010、设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（只要求直接写出结果，不必写出计算过程或推证过程，共6题，30分） 11、直角坐标平面xoy 中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OA OP ⋅=4。
高二数学圆锥曲线与导数
一、导数1．导数的概念：f ′（x ）= 0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.2．导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. ⑴函数f(x)在点x 0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x 0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。
如f(x)=x 在x=0有切线，但不可导。
⑵函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0),切线方程为y －f(x 0)=f ′(x 0)(x －x 0)例：1.（20XX 年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______。
2.点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 3.求导公式：C ′=0（C 为常数）；（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x ）′=e x ; （a x ）′=a x ln a ;（ln x ）′=x 1;（log a x ）′=x1log a e …… 4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ）， ［c ·f （x ）]'=c f '（x ） ;（uv ）′=u ′v +uv ′;（v u ）′=2vv u v u '-' （v ≠0）. 5．导数的应用：（一）.用导数求函数单调区间的一般步骤. ⑴确定函数f(x)的定义区间； ⑵求函数f(x)的导数f ′(x)；⑶令f ′(x)>0，或者“0≥”所得x 的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间； 令f ′(x)<0，或者“0≤”得单调减区间.特别注意：已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。
高中数学选修1_1全册习题(答案详解)
目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章 常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
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辅导讲义
一、教学目标
阶段性测试
1.复习导数立体几何与圆锥曲线的知识点
2.阶段性测试与评讲
二、上课内容
1. 复习之前复习的知识点
2. 阶段性测试
3. 评讲与小结
三、课后作业
见课后
四、家长签名
（本人确认：孩子已经完成“课后作业”）_________________
课堂小测（立体几何，圆锥曲线，导数）
1、（13分）如图5所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60,45,~ABD BDC ADP BAD ∠=∠=∆∆。
（1）求线段PD 的长； （2）若11PC R =，求三棱锥P-ABC 的体积。
2.（13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中
点，F 是DC 上的点且DF=2
1
AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高．
（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．
3、（5分）若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -
=-与曲线22
1165
x k y --=的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
4.(本小题满分14分)
已知椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点为
)
, (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程
5.(14分）设函数()()0.kx f x xe k =≠
(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间
（3）若函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，求k 的取值范围。
6.（14分）设函数()()1
0,1ln f x x x x x
=
>≠ （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）已知12a x
x >对任意()0,1x ∈成立，求a 的取值范围。
课后作业：
2007-2013年广东省高考真题《极坐标与参数方程》文科
2007年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点(2,)6
π到直
线l 的距离为 ．
第15题．（几何证明选讲选做题）如图4所示，圆O 的直径AB=6，C 为圆周上一点，3BC =过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ， 则∠DAC= ．
2008年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为
cos 3,4cos (0,0)2
π
ρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为 ．
第15题．（几何证明选讲选做题）已知P A 是圆O 的切点，切点为A ，P A ＝2.AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R = ．
2009年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）若直线⎩
⎨⎧+=-=t y t
x 3221（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常
数k =________．
第15题．（几何证明选讲选做题）如图3，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且4AB =，o
30ACB ∠=，则圆O 的面积等于 ．
2010年文科
第14题．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD =a ，CD
=
2
a
，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF = ．
第15题．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(ρ，θ)(02θπ≤＜)中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为 ．
2011年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos (0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
≤＜和
25()4x t
t R y t
⎧
=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为 ． 第15题．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为
．
2012年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为
25cos :(5sin x C y θθθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数，02πθ≤≤）和22
12:(22
x t C t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是参数），它们的交点坐标
为 ．
F E D C
B
A
第15题．（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 想切于点B ，D 是弦AC 上的点，
PBA DBA ∠=∠，若,AD m AC n ==，则AB = ．
2013年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．
第15题．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3,AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．
图 3
E
B
D。