复变函数与积分变换之复变函数的导数

哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
第二章 解析函数
第三讲复变函数的导数与解析函数学习要点
掌握复变函数的导数与微分
掌握C-R 方程与函数可导的充要条件
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换一、复变函数的导数与微分
()()
f z z f z
z
则说在可导，此极限值称为在
的导数.
1. 定义
()
.
w f z D z D
z z z D
=
+∆=∈
设在区域上有定义，为中
一点，点
()()
lim
z
f z z f z
z
∆→
+∆-
∆
如果极限存在，
'00
00
()() ()lim
z z z
f z z f z
dw
f z
dz z
=∆→
+∆-
==
∆
记作：
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
00
.
z z z z z
∆→=+∆→
定义中即的方式
是
注意
任意的
：
()
().
f z D
f D
D
z
如果在区域内
区域内可导：处处可导，则说在内可导
问题：复变函数的导数与实变元函数的导
数有什么不同？
1
例讨论下列函数的可导性.
1)()2
f z x yi
=+2
2)()||
f z z
=
哈尔滨
工程大学复变函数与积分变换
()
f z
z
解：的定义域为全体复平面，
在定义域内任取一点，则
1.()2
f z x yi
=+
00
()()
lim
z
f z z f z
z
∆→
+∆-
∆
0000 0
()2()(2) lim
z
x x y y i x y i
x yi
∆→
+∆++∆-+
=
∆+∆
2
lim
z
x yi
x yi
∆→
∆+∆
=
∆+∆
哈尔滨工
程大学复变函数与积分变换
00
2
lim lim1
z z
x yi x
x yi x
∆→∆→
∆+∆∆
==
∆+∆∆
00
0,
z z y z
x
+∆
∆=
让沿平行于轴的直线趋向时，
因故
00
22
lim lim2
z z
x yi yi
x yi yi
∆→∆→
∆+∆∆
==
∆+∆∆
()2.
f z x yi
=+
所以在其定义域内处处不可导00
0,
z z x z
y
+∆
∆=
让沿平行于轴的直线趋向时，
因故
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
2
2.()||
f z z
=
()22 00
()
lim lim
z z
f z z f z z z z
z z ∆→∆→
+∆-+∆-
=
∆∆
解由导数的定义,有
lim()
z
z
z z z
z
∆→
∆
=+∆+
∆
()()
lim
z
z z z z zz
z
∆→
+∆+∆-
=
∆
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
(0)0
f'=
且；
0,0,
z z
≠∆
当时沿着平行于实轴的方向趋于时有0
lim()
z
z
z z z z z
z
∆→
∆
+∆+=+
∆
lim()
z
z
z z z z z
z
∆→
∆
+∆+=-
∆
2
()0.
f z z z
=≠
所以在的点处处不可导
当z=0时, 该极限值为零. 故在点z=0处函数可导
0,
z∆沿着平行于虚轴的方向趋于时有
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换2. 复变函数的微分
00
()()
df z A z f z z
z
=∆
称为函数在处的微分，或说函数在处可微。

与一元函数一样，复变函数的可导和微分是等价的。

00
00
()
()()
z A f z
dw f z z f z dz
'
=
''
=∆=
若函数在点可微，则，即
00
()()
(||) (0)
w f z z f z
A z o z z
∆=+-
=∆+∆∆→
若
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
00
()()
f z z f z z
若在处可导，则在处必定连续；反之不成立。

3. 可导与连续的关系
[]
00
00
()() lim()()lim()
z z z z
f z f z
f z f z z z
z z →→
-
-=-
-
00
()()
lim()lim
z z z z
f z f z
z z
z z
→→
-
=-
-
0()0
f z'
=⋅=
证：因为
().
f z z
故在处连续
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换1.()0()
c c
'=为复数
2.[()()]()()
f z
g z f z g z
'''
±=±
3.[()()]()()()()
f z
g z f z g z g z f z
'''
=+
4. 求导法则
2
()()()()()
4.[](()0)
()()
f z f z
g z g z f z
g z
g z g z
''
-
'=≠
5.{[()]}()()()
f g z f w g z w g z
'''
==
其中
1
6.()(),()
()
.
f z w f z z w
w
ϕ
ϕ
'===
'
是两个互为反函数的单值函数
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换二、 Cauchy-Riemann方程
复变函数的可导性不等价于它的实部和虚部的可微性。

那么什么条件下复变函数才能可导呢？
00
00
()
()()
()lim
z
w f z z
f z z f z
f z
z
∆→
=
+∆-
'=
∆
若在处可导，故由导数定义，
i
lim.
i
x
y
u v
x y
∆→
∆→
∆+∆
=
∆+∆
哈
尔滨工程大学复变函数与积分变换
00
i
()lim i
x
u v u v
f z
x x x
∆→
∆+∆∂∂
'==+
∆∂∂
00
i
()lim i.
i
y
z
u v v u
f z
y y y
∆→
∆
∆+∆∂∂
'==-
∆∂∂
当沿平行于虚轴的直线趋于时，
比较以上两式即得
,
u v v u
x y x y
∂∂∂∂
==-
∂∂∂∂
Cauchy-
Riemann方程
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
()(,)(,)
()
f z u x y iv x y D
f z D
=+
设定义在区域内，则在内一点可导的充要条件是：
2
,
u v u v
x y y x
∂∂∂∂
==-
∂∂∂∂
在该点满足柯西—黎曼方程：
1(,),(,)(,)
u x y v x y x y
在点处可微；
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换证明：充分性
(,),(,)(,)
u x y v x y x y C R
-设在点处可微，且
方程成立
(,)
x y
则在点处有
1
,
u u
u x y
x v
η
∂∂
∆=∆+∆+
∂∂
2
v v
v x y
x v
η
∂∂
∆=∆+∆+
∂∂
22
12
,x y
ηη∆+∆
其中是关于的高阶无穷小
,
u v u v
a b
x y y x
∂∂∂∂
==-==-
∂∂∂∂
设
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
12
12
() ()()()
f u i v
a x
b y i b x a y
a i
b x i y i
ηη
ηη
∆=∆+∆
=∆-∆++∆+∆+
=+∆+∆++
则
()
lim
z
f z u v v u
a i
b i i
z x x y y ∆→
∆∂∂∂∂
=+=+=-
∆∂∂∂∂所以
()
(lim0)
z
f z
a ib
z
ηη
∆→
∆
=++=
∆
12
i
x i y
ηη
η
+
=
∆+∆
这里，
于是，有
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换必要性
()
f z D D z x iy
=+设在内解析，则在内任意一点
处可导，且
00
()()() ()lim lim
z z
f z z f z f z
f z
z z
∆→∆→
+∆-∆
'==
∆∆
(),(),
f z u i v f z a bi
'
∆=∆+∆=+
令
()()
()()(||)
f z u i v a ib z z
a i
b x i y o z
ε
∆=∆+∆=+∆+∆
=+∆+∆+∆
有
()()(lim0)
z
f z f z z z
εε
∆→
'
⇒∆=∆+∆=
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
(||)
u a x b y o z
∆=∆-∆+∆；
(||)
v b x a y o z
∆=∆+∆+∆；
(,),(,)
u x y v x y z
于是可得在点可微,且
,
u v u v
a b
x y y x
∂∂∂∂
===-=-
∂∂∂∂
C-R方程
2
().
f z x iy
=+
讨论函数的可导性
()0
f z xy z
==
讨论函数在的可微性．例2
例3
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
2
(,),(,),
u x y x v x y y
==
因为所以
1,0,0,2
u u v v
y
x y x y
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
(,)(,),
u x y v x y
和在复平面上处处可微
12
u v
y
x y
C R
u v
y x
∂∂
⎧
===
⎪∂∂
⎪
-⎨
∂∂
⎪=-=
⎪∂∂
⎩
由方程1
2
y
⇒=
2
1
,()Im()=
2
f z x iy z
=+
因此仅在直线上的各点可导
例2 解
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
(,),(,)0
u x y xy v x y
=≡
由于所以
(,0)(0,0)
(0,0)lim0(0,0)
x y
x
u x u
u v
x
∆→
∆-
===
∆
(0,)(0,0)
(0,0)lim0(0,0)
y x
y
u y u
u v
y
∆→
∆-
===-
∆
()(0)x y
f z f
z x i y
∆∆
∆-
=
∆∆+∆
()0
f z xy z
==
讨论函数在的可微性．例3
解
但是由于
满足C-R方程；
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
00
lim lim
(1)1
x x
y k x
x y k x x k
x i y x ki ki ∆→∆→
∆=∆
∆∆∆∆
==
∆+∆∆++
而
k
随着值不同，极限值也不同，故极限不存在()0.
f z z=
所以在处不可微
(,),(,)
u x y v x y
常用是否有连续的偏导数
来代替是否可微
为什么满足C-R方程，函数还
不可微（导）？
因为C-R方程只是必要条件
哈尔
滨工程大学复变函数与积分变换
22
22
22
(,)(,)-
0 (,)(,)
00
w u x y iv x y C R
xy
x y
x y
u x y v x y
x y
=+
⎧
+≠
⎪
+
==⎨
⎪+=
⎩
验证是否满足方程，并讨论其可导性，其中
()(,)(,)0
00
f z u x y iv x y z
u v u v
C R
x y y x
=+=
∂∂∂∂
-===-=
∂∂∂∂
在点满足
方程：，
解：
(,)(,)(0,0)
()0,.
u x y v x y
f z z=
但、在点不连续，所以复变函数在不连续从而不可导
例4
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
00
()
()
1
.
. f z z z
f z z
如果函数在及的邻域内处处
可
定义：
导，则称在解析
三、解析函数
00
()().
f z z z f z
如果在不解析，则为的奇点
称
()().
f z f z
⇔
在区域内可导在区域内解析注意()().
f z f z
⇔
在一点处可导在该点处解析
⨯
()()
().
f z D f z D
f z D
如果在区域内每一点解析，称在内解析，或称是内的一个解析函数
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
2
2
(),()2
1
()
5
()
f z z f z x yi
f z z f z
z
==+
==
分别讨论函数的，
，
例
的解析性
2
()0
.
f z z z
==
仅在处可导，在其他点处都不可导，它在复平面上处处不解析
()2
f z x yi
=+在复平面内不可导，所以复平面内是处处不解析的；
2
()
f z z
=
因为在复平面内处处可导，
所以在复平面内是
解：
解析的；
哈尔滨工程
大学复变函数与积分变换
2
1
0()
z f z
z
'
≠=-
由求导法则知，当时，
1
0()
0.
z f z
z
z
==
=
所以除外，在复平面上处处解析，是它的奇点
1
()
f z
z
=
考虑
哈尔滨工程大学复
变函数与积分变换
,
u v u v
x y y x
∂∂∂∂
==-
∂∂∂∂
定理
2. 函数解析的充要条件
()(,)(,)
f z u x y i
D
v x y
=+
函数在定义域
内解析
其
的充要条件是
1(,),(,)
u x y v x y D
在内可微;
2(,),(,)-
u x y v x y C R
D
在满足
内方程
()(,)(,)
f z u x y iv x
D
y z D
z
∈
=+
函数在解析的充要条件只需把定理中的“”改
点
内
的某个
成“邻域”即可。

注：
哈尔滨工程大学复变函数
与积分变换
()
u v v v
f z i i
x x y x
u u v u
i i
x y y y
∂∂∂∂
'=+=+
∂∂∂∂
∂∂∂∂
=-=-
∂∂∂∂
注解:
1. 解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全
独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；
2. 柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件
而非充分条件；
3. 解析函数的导数有更简洁的形式：
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
(),()
.
D f z g z
在区域内，解析，则其和、差、积、商（分母为零的点除外）仍解析
()()
(),
[()].
h g z D w f h G
z D h g z G
w f g z D
==
∈=∈
=
设在内解析，在内解析，又对每一个，对应的
则复合函数在内解析
定理2
哈
尔滨工程大学复变函数与积分变换
1
01
1.()
.
n n
n
P z a z a z a
-
=+++
多项式
在整个复平面内处处解析
()
2.()0
()
P z
Q z
Q z
≠
有理分式函数在的区域内解析.
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
,
(1)(),(2)()(cos sin)
(3)Re()
x
f z z f z e y i y
w z z
==+
=
判定下列函数在何处可导何处解析？
2222 ()()
,,,
f z x axy by i cx dxy y
a b c d
=+++++设
问常数取何值时，在复平面内处
处解析？
()()
.
f z D f z
D
'
如果在区域内处处为零，那么
在内为一常数
例6
例7
例8
哈尔滨工程
大学复变函数与积分变换
1,0,0,1
u u v v
x y x y
∂∂∂∂
====-
∂∂∂∂
C R w z
-=可知：方程不满足，所以在
复平面内处处不可导。

例6
解：(1)(),(,),(,)
f z z u x y x v x y y
===-
哈尔滨工
程大学复变函数与积分变换
cos
x
v
e y
y
∂
=
∂
().
f z
所以在复平面内处处解析(2)()(cos sin)
x
f z e y i y
=+
(,)cos,(,)sin
x x
u x y e y v x y e y
==
cos,
x
u
e y
x
∂
=
∂
sin
x
u
e y
y
∂
=-
∂
sin,
x
v
e y
x
∂
=
∂
,
u v u v
x y y x
∂∂∂∂
==-
∂∂∂∂
从而
上面四个偏导数都连续，
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
2
Re()()
w z z x iy x x xyi
==+⋅=+
2,0,,
u u v v
x y x
x y x y
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
0,, x y C R
==-
但只有时它们才满足方程(3)Re()
w z z
=
2
(,),(,)
u x y x v x y xy
==
所以
,
此四个偏导数处处连续
Re()0,
.
w z z z
==
因而在处可导
但在复平面内处处不解析
哈尔滨工
程大学复变函数与积分变换
2,2
2,2
u u
x ay ax yb
x y
v v
cx dy dx y
x y
∂∂
=+=+
∂∂
∂∂
=+=+
∂∂
2222 ()()
,,,
f z x axy by i cx dxy y
a b c d
=+++++设
问常数取何值时，在复平面内处
处解析？
例7
解：
2222
x ay dx y ax by cx dy
+=++=--
令，
2,1,1,2()
.
a b c d f z
==-=-=
故当时，在
复平面内处处解析
哈尔滨工程大学复变函数与积
分变换
u u v v
x y x y
∂∂∂∂
===≡
∂∂∂∂
故
()()
.
f z D f z
D
'
如果在区域内处处为零，那么
在内为一常数
例8
证明：D
因为在区域内
'
1
()0
u v u v
f z i
x y i y y
∂∂∂∂
=+=+=
∂∂∂∂
u
0,0
v v u
i i
x x y y
∂∂∂∂
+≡-≡
∂∂∂∂
即
().
f z D
从在内为一常数
(,)
(,)
u x y
v x y
=
⎧
⇒⎨
=
⎩
常数
常数
哈
尔滨工程大学复变函数与积分变换1.()(,0)
().
az b
f z c d
cz d
f z
+
=
+
设至少有一个不为，指出的解析性区域，并求出导数
2
22'
2.()
[()][()]()
f z u iv z
f z f z f z
x y
=+
∂∂
+=
∂∂
如果是的解析函数，
证明：
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换3()()
(cos sin),0,
f z u iv z G G
z r i z
ϕϕ
=+∈
=+≠
.若是内的解析函数
则有
11
1),
2)()()
u v v u
r r r r
v u u v
zf z i r i
r r
θθ
θθ
∂∂∂∂
==-
∂∂∂∂
∂∂∂∂
'=-=+
∂∂∂∂
C-R方程的极坐标形式
哈尔滨
工程大学复变函数与积分变换
0,0,()
,().
az b
c d f z
d
a
f z
d
+
=≠=
'=
若则此时在整个复平面内解析且
'
2
()
()
ad bc
f z
cz d
-
=
+
且
1.()(,0)
().
az b
f z c d
cz d
f z
+
=
+
设至少有一个不为，指出的解析性区域，并求出导数
解
0,(),
d
c z f z
c
≠=-
若则为的奇点
(),
d
f z z
c
=-
故在除外的复平面内解析
哈尔滨工程大学
复变函数与积分变换
1
222
1
222
1
()()2
2
1
()2
2
u
f z u v u
x x
v
u v v
x
-
-
∂∂
=+⋅
∂∂
∂
++⋅
∂
2
22' 2.()
[()][()]()
f z u iv z
f z f z f z
x y
=+
∂∂
+=
∂∂
如果是的解析函数，
证明：
22
(),
f z u v
=+
证明
2222
u u v v
x x
u v u v
∂∂
=+
∂∂
++
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
2222
()
f z
y y y
u v u v
=+
∂∂∂
++
2222
u v v u
x x
u v u v
∂∂
=-+
∂∂
++
2 2222' (())(())()()()
u v
f z f z f z x y x x
∂∂∂∂
+=+=
∂∂∂∂
经整理有
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换请预习
调和函数谢谢同学们，再见。