2020年高中数学原创试题(9) 精品
(全国II卷)陕西省2020届高三数学九月联考试题理
7A.-B.C.12§12D.（全国II 卷）陕西省2020届高三数学九月联考试题 理注意事项:1本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分. 2. 本试卷满分150分，测试时间120分钟。
3.考试范围：必修 1〜5，选修2 — 1, 2— 2, 2 — 3。
第I 卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1.已知集合 A {x x 2 4x 12 0}, B {yy J X 2}，则 AIB A.[0 , 6)B.[2 , 6)C.(-2, 0] D2.3 2i2 9iA.12 31 i B. 12 31.i C.12 31.iD.12 3185 8585 8585 8585 853. 已知a log 315,b lOg4 20, c lOg 6 30,则A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a4. “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故。
故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事； “闭月”，是述说貂蝉拜月的故事； “羞花”，谈的 是杨贵妃醉酒观花时的故事。
她们分别是中国古代的四大美女。
某艺术团要以四大美女为主 题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵 “沉鱼”，讲的是西施浣纱的妃的概率为e x5.函数f （x ） 3 sinx 的图象大致为 x则上述正确结论的序号为9.已知正方体 ABCD- ABiGDi 的体积为16逅，点P 在正方形 ABiGD 上，且A , C 到P的距离6. (x7.已知 A （2，4），B （4，1），C （9，5），D （7， 8），现有如下四个结论:uuu ①ABuujrAC ；②四边形为平行四边形;uur③ACUULT BD 与夹角的余弦值为 7「29 ； ;145uuu uuur. _④AB AC 保;A.①③B. ②④C. ①④D.②③8•《九章算术》卷七一一盈不足中有如下问题:“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七,不足三。
2020年河北省邯郸一中高考数学第九次模拟测试试卷 含解析
2020年高考数学第九次模拟测试试卷一、选择题（共12小题）1．已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜1}，集合N＝{x|log2x＞1}，则下列结论中成立的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M∩（∁U N）＝M D．（∁U M）∩N＝N 2．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．复数z＝（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知平面向量，满足，，且，则向量在方向上的投影是（）A．B．C．2D．15．若实数x，y满足2x+5y＝8，则xy的最大值是（）A．8B．C．16D．6．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.50≈0.1305）A．6B．12C．24D．488．“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的﹣个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）816357492 A．75B．65C．55D．459．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A．+B．+C．+D．+10．将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，0]B．[0，]C．D．11．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．312．对于任意x1，x2∈[1，+∞），当x2＞x1时，恒有a1n＜2（x2﹣x1）成立，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]二、填空题（共4小题）13．（﹣x+2）6的展开式中的常数项为．14．若函数，则不等式f（a）＜a的解集是．15．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*），则a2019+a2020＝．16．在平面五边形ABCDE中，∠A＝60°，AB＝AE＝6，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC ＝DE＝6．将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120°，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积是．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且．（1）求角B的大小；（2）若，a+c＝4，求△ABC的面积．18．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店A B C D E W型号手机销量6613811T型号手机销量1291364（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部）满足关系η＝3ξ+4．若表中W型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差S2的值．（用m表示，结论不要求证明）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，PA＝PD＝AD＝2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．20．如图，已知抛物线C：y2＝x和⊙M：（x﹣4）2+y2＝1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）做两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点．（1）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．21．已知函数f（x）＝ax2+bx+1在x＝3处的切线方程为y＝5x﹣8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝ke x恰有两个不同的实根，求实数k的值；（3）数列{a n}满足2a1＝f（2），a n+1＝f（a n），n∈N*，证明：①a n+1＞a n＞1②S＝＜2．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）在曲线C1上任取一点Q，连接OQ，在射线OQ上取一点P，使|OP|•|OQ|＝4，求P点轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上任取一点M，在曲线C2．上任取一点N，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣7|+|2x﹣5|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，已知正实数a，b，且，证明：k2m≥1．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜1}，集合N＝{x|log2x＞1}，则下列结论中成立的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M∩（∁U N）＝M D．（∁U M）∩N＝N 【分析】可求出集合M，N，然后进行交集、并集和补集的运算即可．解：M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞2}；∴M∩N＝∅，M∪N＝{x|x＜0，或x＞2}≠N，∁U N＝{x|x≤2}，M∩（∁U N）＝M，∁U M＝{x|x≥0}，（∁U M）∩N＝N．故选：C．2．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若方程表示椭圆，则可得出﹣1＜m＜3或3＜m＜7，从而可得出“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的充分不必要条件．解：若方程表示椭圆，则，解得﹣1＜m＜3或3＜m＜7，故“﹣1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件．故选：A．3．复数z＝（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．解：由z＝＝＝﹣+i；∴z＝﹣+i，对应的点为（﹣，）在第二象限．故选：B．4．已知平面向量，满足，，且，则向量在方向上的投影是（）A．B．C．2D．1【分析】利用向量的数量积转化求解向量，在方向上的投影即可．解：设向量与的夹角是θ，则向量在方向上投影．故选：A．5．若实数x，y满足2x+5y＝8，则xy的最大值是（）A．8B．C．16D．【分析】结合已知，直接利用基本不等式即可求解最大值．解：因为，当且仅当2x＝5y时等号成立，又因为2x+5y＝8，所以10xy≤16，故xy的最大值是，故选：B．6．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.50≈0.1305）A．6B．12C．24D．48【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．解：模拟执行程序，可得：n＝3，S＝sin120°＝，不满足条件S≥3.10，n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．8．“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的﹣个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）816357492 A．75B．65C．55D．45【分析】先理解“n阶幻方”的定义，再结合等差数列求和公式求解即可．解：由1，2，3，4…24，25的和为＝325，又由“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”的定义可得：“5阶幻方”的幻和为＝65，故选：B．9．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A．+B．+C．+D．+【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案．解：由已知中的三视图，圆锥母线l＝＝2，圆锥的高h＝＝2，圆锥底面半径为r＝＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S＝πr2+r2sin120°＝π+，故几何体的体积为：V＝Sh＝×（π+）×2＝+，故选：D．10．将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，0]B．[0，]C．D．【分析】利用辅助角公式先化简f（x），然后根据三角函数的图象平移关系求出g（x），结合函数的单调性进行求解即可．解：＝sin2x+＝sin（2x+）+，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[2（x+）+]+＝sin（2x+）+＝cos2x+，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z，则等k＝0时，函数的单调递增区间为[﹣，0]，故选：A．11．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】记O为坐标原点．由题意可得F1（﹣c，0），不妨设l1：，l2：，则直线l：．联立，求出P的坐标，|PF1|＝b，|OP|＝a．推出PQ|＝2|PF1|，得到|PQ|＝2b，，通过余弦定理转化求解离心率即可．解：记O为坐标原点．由题意可得F1（﹣c，0），不妨设l1：，l2：，则直线l：．联立，解得，则，故|PF1|＝b，|OP|＝a．因为，所以|PQ|＝2|PF1|，所以|PQ|＝2b，，则．因为，所以，所以，整理得c4﹣4a2c2+3a4＝0，则e4﹣4e2+3＝0，解得．故选：B．12．对于任意x1，x2∈[1，+∞），当x2＞x1时，恒有a1n＜2（x2﹣x1）成立，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]【分析】对于任意x1，x2∈[1，+∞），当x2＞x1时，恒有a1n＜2（x2﹣x1）成立，可得alnx2﹣2x2＜alnx1﹣2x1成立，令f（x）＝alnx﹣2x，可知函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，求导，即可求出a的取值范围．解：对于任意x1，x2∈[1，+∞），当x2＞x1时，恒有a1n＜2（x2﹣x1）成立，即alnx2﹣2x2＜alnx1﹣2x1成立，令f（x）＝alnx﹣2x，∴f（x2）＜f（x1），∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，∴f′（x）＝﹣2≤0在[1，+∞）恒成立，∴a≤2x在[1，+∞）恒成立，∵当x≥1，2x≥2，∴实数a的取值范围为（﹣∞，2]，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（﹣x+2）6的展开式中的常数项为﹣76．【分析】解法一：由题意利用乘方的意义，二项展开式的通项公式，分类讨论求得（﹣x+2）6的展开式中的常数项．解法二：把﹣x看成一项，按照二项式定理展开，分析r的取值特征；再把展开，分析它的通项公式中k的取值特征，从而确定展开式中的常数项．解：解法一：（﹣x+2）6表示6个因式（﹣x+2）的乘积，故常数项的产生存在以下几种情况：①一个因式取，一个因式取﹣x，其余的4个因式都取2；②两个因式取，两个因式取﹣x，其余的2个因式都取2；③6个因式都取2；④有三个因式取，有三个因式取﹣x，故展开式中的常数项为﹣•••24+•••22+•26﹣•＝﹣480+360+64﹣20＝﹣76，故答案为：﹣76．解法二：（﹣x+2）6的展开式的通项公式为T r+1＝••2r，要使该项含有常数项，r必须为偶数，故r的取值为0，2，4，6．对于，它的通项公式为T k＝•（﹣1）k•x2k+r﹣6，要使该项为常数项，需2k+r﹣6＝0，故k的取值分别为3，2，1，0．故展开式的常数项为•20•（﹣）+•22•+•24•（﹣）+•26•1＝﹣20+360﹣480+64＝﹣76，故答案为：76．14．若函数，则不等式f（a）＜a的解集是（﹣1，+∞）．【分析】分类讨论分别求出a的值即可．解：由题意，得或，解得a≥0或﹣1＜a＜0，所以所求不等式的解集是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．15．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*），则a2019+a2020＝4041．【分析】依题意，可求得数列{a n﹣a n﹣1}是以3﹣2＝1为首项，1为公比的等比数列，继而可得数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，从而可求得答案．解：∵a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*）①，∴2a2＝2（a1+1）＝6，∴a2＝3．由①得：a n﹣1a n＝2（S n﹣1+1）（n≥2，n∈N*）②，①﹣②得：a1＝2，a n（a n+1﹣a n﹣1）＝2[（S n+1）﹣（S n﹣1+1）]＝2a n（n≥2，n∈N*），又a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣1＝2（n≥2，n∈N*）③，∴a n+2﹣a n＝2（n∈N*）④，④﹣③得：∴a n+2﹣a n+1＝a n﹣a n﹣1（n≥2，n∈N*），又a n≠a n﹣1（n≥2，n∈N*），∴数列{a n﹣a n﹣1}是以3﹣2＝1为首项，1为公比的等比数列，∴a n﹣a n﹣1＝1（n≥2，n∈N*），∴数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n＝2+（n﹣1）×1＝n+1．∴a2019+a2020＝2020+2021＝4041，故答案为：4041．16．在平面五边形ABCDE中，∠A＝60°，AB＝AE＝6，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC ＝DE＝6．将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120°，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积是252π．【分析】根据折叠后四棱锥的性质及球的性质定出球心，结合勾股定理求出球的半径，进而可求．解：设△ABE的中心为O1，∵BC⊥CD，DE⊥CD，故四边形BCDE为矩形，设矩形BCDE的中心为O2，过O1作垂直于平面ABE的直线l1，过O2作垂直于平面BCDE的直线l2，则由球的性质可知，直线l1与l2的交点O为几何体ABCDE外接球的球心，取BE的中点F，连接O1F，O2F，由条件得O1F＝O2F＝3，∠O1FO2＝120°，连接OF，△OFO1≌△OFO2，从而OO1＝3，连接OA，则OA为所得几何体外接球的半径，在直角△AOO1中，AO1＝6，OO1＝3，可得＝27+36＝63，即外接球的半径为R＝OA＝3，故所得几何体外接球的表面积为S＝4π×63＝252π三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且．（1）求角B的大小；（2）若，a+c＝4，求△ABC的面积．【分析】（1）由得，即2a cos B+c cos B+b cos C＝0，由正弦定理可得，2sin A cos B+sin C cos B+sin B cos C＝0，即2sin A cos B+sin（B+C）＝2sin A cos B+sin A＝sin A（2cos B+1）＝0，所以2cos B+1＝0，即，从而求出B；（2）由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac（1+cos B），所以13＝16﹣ac，所以ac＝3，再利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积；解：（1）∵，∴，即2a cos B+c cos B+b cos C＝0，由正弦定理可得，2sin A cos B+sin C cos B+sin B cos C＝0，即2sin A cos B+sin（B+C）＝2sin A cos B+sin A＝sin A（2cos B+1）＝0，∵A，B∈（0，π），∴sin A≠0，∴2cos B+1＝0，即，又∵B∈（0，π），∴；（2）由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac（1+cos B），∵，a+c＝4，∴13＝16﹣ac，∴ac＝3，则△ABC的面积；18．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店A B C D E W型号手机销量6613811T型号手机销量1291364（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部）满足关系η＝3ξ+4．若表中W型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差S2的值．（用m表示，结论不要求证明）【分析】（I）根据相互独立事件的概率公式计算；（II）根据超几何分布列的概率公式求出X的各种取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望；（III）根据方差的性质和变量间的关系即可得出D（η）．解：（I）设事件M1为从A店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W型号手机，设事件M2为从A店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W型号手机，则事件M1，M2相互独立，且P（M1）＝＝，P（M2）＝＝，∴抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率为P＝++＝．（II）由表格可知W型号手机销售量超过T型号手机的店有2个，故X的肯取值有0，1，2．且P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝．∴X的分布列为：X012P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．（III）∵D（ξ）＝s02＝m，η＝3ξ+4，∴S2＝D（η）＝9D（ξ）＝9m．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，PA＝PD＝AD＝2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥BQ，AD⊥PQ，利用线面垂直的判定，可得AD⊥平面PQB．；（Ⅱ）利用PA∥平面MQB，可得MN∥PA，利用比例关系，即可得到结论；（Ⅲ）证明PQ⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面MQB的法向量＝，取平面ABCD的法向量＝（0，0，1），利用向量的夹角公式，即可求得二面角M﹣BQ﹣C的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD．因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．又Q为AD中点，所以AD⊥BQ．因为PA＝PD，Q为AD的中点，所以AD⊥PQ．又BQ∩PQ＝Q，所以AD⊥平面PQB．（Ⅱ）解：当时，PA∥平面MQB．下面证明：连接AC交BQ于N，连接MN．因为AQ∥BC，所以．因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面MQB∩平面PAC＝MN，所以MN∥PA，所以，所以，即．（Ⅲ）解：因为PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，所以PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Q﹣xyz．由PA＝PD＝AD＝2，则有A（1，0，0），，．设平面MQB的法向量为＝（x，y，z），由，且，，可得令z＝1，得．所以＝为平面MQB的一个法向量．取平面ABCD的法向量＝（0，0，1），则＝，故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．20．如图，已知抛物线C：y2＝x和⊙M：（x﹣4）2+y2＝1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）做两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点．（1）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．【分析】（1）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k HE ＝﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），可得y1+y2＝﹣2y H＝﹣4，从而可求直线EF的斜率；法二：求得直线HA的方程为y＝x﹣4+2，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；（2）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x＝0，可得t＝4y0﹣（y0≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x＝0时，直线AB在y轴上的截距t＝4m﹣（m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．解：（1）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k HE＝﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），∴＝﹣，∴＝﹣，∴y1+y2＝﹣2y H＝﹣4．∴k EF＝＝＝＝﹣．法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB＝60°，可得kHA ＝，kHB＝﹣，∴直线HA的方程为y＝x﹣4+2，联立方程组，得y2﹣y﹣4+2＝0，∵y E+2＝，∴y E＝﹣2，x E＝．同理可得y F＝﹣﹣2，x F＝，∴k EF＝﹣．（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵k MA＝，∴k HA＝，∴直线HA的方程为（4﹣x1）x﹣y1y+4x1﹣15＝0，同理，直线HB的方程为（4﹣x2）x﹣y2y+4x2﹣15＝0，∴（4﹣x1）y02﹣y1y0+4x1﹣15＝0，（4﹣x2）y02﹣y2y0+4x2﹣15＝0，∴直线AB的方程为（4﹣x）y02﹣yy0+4x﹣15＝0，令x＝0，可得t＝4y0﹣，（y0≥1），∵t′＝4+＞0，∴t关于y0的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当y0＝1时，t min＝﹣11．法二：设点H（m2，m）（m≥1），HM2＝m4﹣7m2+16，HA2＝m4﹣7m2+15．以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x﹣m2）2+（y﹣m）2＝m4﹣7m2+15，①⊙M方程：（x﹣4）2+y2＝1．②①﹣②得：直线AB的方程为（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m＝m4﹣7m2+14．当x＝0时，直线AB在y轴上的截距t＝4m﹣（m≥1），∵t′＝4+＞0，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当m＝1时，t min＝﹣11．21．已知函数f（x）＝ax2+bx+1在x＝3处的切线方程为y＝5x﹣8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝ke x恰有两个不同的实根，求实数k的值；（3）数列{a n}满足2a1＝f（2），a n+1＝f（a n），n∈N*，证明：①a n+1＞a n＞1②S＝＜2．【分析】（1）求出原函数的导函数，依题意，，得到关于a，b的不等式组，求得a，b的值，则函数解析式可求；（2）方程f（x）＝ke x，即x2﹣x+1＝ke x，得k＝（x2﹣x+1）e﹣x，记F（x）＝（x2﹣x+1）e﹣x，利用导数求其极值，可知当k＝或k＝时，它们有两个不同交点，因此方程f （x）＝ke x恰有两个不同的实根；（3）①2a1＝f（2）＝3，得＞1，又，作差证明a n+1＞a n＞1．②由，得a n+1﹣1＝a n（a n﹣1），可得，即．由裂项相消法证明S＝＜2．【解答】（1）解：f（x）＝ax2+bx+1，f′（x）＝2ax+b，依题意，，即，解得，∴f（x）＝x2﹣x+1；（2）解：方程f（x）＝ke x，即x2﹣x+1＝ke x，得k＝（x2﹣x+1）e﹣x，记F（x）＝（x2﹣x+1）e﹣x，则F′（x）＝（2x﹣1）e﹣x﹣（x2﹣x+1）e﹣x＝﹣（x2﹣3x+2）e﹣x＝﹣（x﹣1）（x﹣2）e﹣x．令F′（x）＝0，得x1＝1，x2＝2．∴当x＝﹣1时，F（x）取极小值，当x＝2时，F（x）取极大值．可知当k＝或k＝时，它们有两个不同交点，因此方程f（x）＝ke x恰有两个不同的实根；（3）证明：①2a1＝f（2）＝3，得＞1，又，∴＞0，∴a n+1＞a n＞1．②由，得a n+1﹣1＝a n（a n﹣1），，即．∴＝＝＝＜2．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）在曲线C1上任取一点Q，连接OQ，在射线OQ上取一点P，使|OP|•|OQ|＝4，求P点轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上任取一点M，在曲线C2．上任取一点N，求|MN|的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（I）C1化为普通方程为，化为极坐标方程为．设Q（ρ1，θ0），P（ρ，θ），则，即，∵，∴，∴（II）C2化为直角坐标方程为．化为参数方程为（φ为参数），|MN|的最小值为椭圆C2上的点N到直线C1，距离的最小值．设N（2cosφ，sinφ），则，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣7|+|2x﹣5|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，已知正实数a，b，且，证明：k2m≥1．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥2，从而得到m＝2，再由，得2k2≥1，进而证明不等式成立．解：（Ⅰ）由f（x）≥6，得不等式|2x﹣7|+|2x﹣5|≥6，当时，不等式可化为﹣（2x﹣7）﹣（2x﹣5）≥6，解得；当时，不等式可化为﹣（2x﹣7）+（2x﹣5）≥6，即2≥6，无解；当时，不等式可化为（2x﹣7）+（2x﹣5）≥6，解得．综上，不等式f（x）≥6的解集是．（Ⅱ）∵f（x）＝|2x﹣7|+|2x﹣5|≥|2x﹣7﹣（2x﹣5）|＝2，当且仅当（2x﹣7）（2x﹣5）≤0时取等号，∴m＝2．∵，∴．∵，∴，∴2k2≥1，即k2m≥1．。
原创2023学年中考数学预测模拟考试卷 (含答案)
第Ｉ卷(选择题共30分)一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一顶符合题意，每小题3分，共30分）1. 4的算术平方根是A. 2B. －2C. ±2D. 162. 据统计部门报告，我市去年国民生产总值为238 770 000 000元，那么这个数据用科学记数法表示为A. 2. 3877×10 12元B. 2. 3877×10 11元C. 2 3877×10 7元D. 2387. 7×10 8元3．若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形4．把代数式322-+分解因式，结果正确的是x x y xy363A．(3)(3)+-B．22x x y x yx x xy y-+3(2)C．2x x y-3()-D．2(3)x x y5．已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为9 cm，⊙O2的半径为2 cm，则O1O2的长是A．1 cm B．5 cm C．1 cm或5 cm D．0.5cm 或2.5cm6．若0(12=)3yx，则y+y+-+x-的值为A ．1B ．－1C ．7D ．－77．如图，是张老师出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是8．如图，是有几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个9．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 A ．6cmB ．35cm C ．8cmD ．53cm10. 在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A 点出发，要到距离A 点1000m 的C 地去，先沿北偏东70︒方向到达B 地，然后再沿北偏西20︒方向走了500m 到达目••••ABCDyxO（第7题）（第8题）ABC北东（第10题）（第9题）剪去的地C ,此时小霞在营地A 的A. 北偏东20︒方向上B. 北偏东30︒方向上C. 北偏东40︒方向上D.北偏西30︒方向上☆绝密级 试卷类型A济宁市二○一一年高中阶段学校招生考试数 学 试 题第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共15分；只要求填写最后结果)11．在函数4y x =+中, 自变量x 的取值范围是 .12．若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是． 13. 如图，PQR ∆是ABC ∆经过某种变换后得到的图形.如果ABC ∆中任意一点M 的坐标为（a ，b ），那么它的对应点N 的坐标为.得分 评卷人(第13题)14．某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是.15．如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M（点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为.三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．（5分）计算：084sin 45(3)4-︒+-π+-17．（5分）上海世博会自2010年5月1日到10月31日，历时184天.预测参观人数达7000万人次.如图是此次盛会在5月中旬入园人数的统计情况.（1）请根据统计图完成下表．众数 中位数 极差 入园人数得分 评卷人得分 评卷人A BCD· ·MNα(第15题)/万（2）推算世博会期间参观总人数与预测人数相差多少？ 18．（6分）观察下面的变形规律：211⨯＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；……解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ； （2）证明你猜想的结论； （3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯. 19．（6分）如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD .得分 评卷人得分 评卷人(1) 求证：BD CD =；(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.20．（7分）如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数ky x=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.得分 评卷人yABCEFD(第19题)得评卷21．（8分）分人某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.22．（8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N .当6CP =时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DEFC EP=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.得分 评卷人(第22题)23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.得分 评卷人Axy B OCD数学试题参考答案及评分标准说明：解答题各小题只给出了一种解法及评分标准．其他解法，只要步骤合理，解答正确，均应给出相应的分数． 一、选择题题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B B D C C D B BC二、填空题11．4x ≥-； 12．5； 13．（a -，b -）； 14．16； 15．tan tan m n αα-⋅．三、解答题16．解：原式2224142=-⨯++ ··························································· 4分 5= ··············································································································· 5分 17．（1）24，24，16 ············································································ 3分 （2）解：17000184(2182232426293034)10-⨯⨯⨯++⨯++++ 700018.4249=-⨯70004581.62418.4=-=(万)答：世博会期间参观总人数与预测人数相差2418.4万 · 5分18．（1）111nn -+······················································································ 1分（2）证明：n 1－11+n ＝)1(1++n n n －)1(+n n n ＝1(1)n n n n +-+＝)1(1+n n . ···· 3分（3）原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…＋20091－20101＝12009120102010-=. ················································································· 5分 19．（1）证明：∵AD 为直径，AD BC ⊥，∴BD CD =.∴BD CD =. ················································· 3分（2）答：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. 4分理由：由（1）知：BD CD =，∴BAD CBD ∠=∠.∵DBE CBD CBE ∠=∠+∠，DEB BAD ABE ∠=∠+∠，CBE ABE ∠=∠， ∴DBE DEB ∠=∠.∴DB DE =.······················································ 6分 由（1）知：BD CD =.∴DB DE DC ==.∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. ···· 7分20．解：（1）设A 点的坐标为（a ，b ），则k b a=.∴ab k =.∵112ab =,∴112k =.∴2k =.∴反比例函数的解析式为2y x=.······································· 3分(2) 由212y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2,1.x y =⎧⎨=⎩∴A 为（2，1）. ····························· 4分 设A 点关于x 轴的对称点为C ，则C 点的坐标为（2，1-）. 令直线BC 的解析式为y mx n =+. ∵B 为（1，2）∴2,12.m n m n =+⎧⎨-=+⎩∴3,5.m n =-⎧⎨=⎩∴BC 的解析式为35y x =-+. ·············································· 6分 当0y =时，53x =.∴P 点为（53，0）. ··························· 7分21.（1）解：设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设（20x -）米.根据题意得：35025020x x =-. ·············································· 2分 解得70x =.检验:70x =是原分式方程的解.答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米. ············· 4分 （2）解：设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队（1000y -）米.由题意，得10,70100010.50yy ⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩解得500700y ≤≤． ···················· 6分所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米； 方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米； 方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米． 8分22．（1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，则DF DE FC EP =，EM EF EN EG=，12GF BC ==.∵DE EP =，∴DF FC =. ······················································ 2分∴116322EF CP ==⨯=，12315EG GF EF =+=+=. ∴31155EM EF EN EG ===. ··························································· 4分（2）证明：作MH ∥BC 交AB 于点H ， ········································· 5分则MH CB CD ==，90MHN ∠=︒. ∵1809090DCP ∠=︒-︒=︒， ∴DCP MHN ∠=∠.∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠，90DPC CDP ∠=︒-∠，∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ∆≅∆. ································· 7分 ∴DP MN =. ····································································· 8分23．（1）解：设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =.∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. ……………………………3分(2) 答：l 与⊙C 相交.…………………………………………………………………4分证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =.∴B 为（2，0），C 为（6，0）.∴223213AB =+=.设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=︒=∠. ∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠.又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆. ∴CE BCOB AB =.∴62213CE -=.∴8213CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2.∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交.……………………………………………7分(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .(第22题)HBCDEMNA PAxyBOCD(第23题)EPQ可求出AC 的解析式为132y x =-+.…………………………………………8分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）.∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）.…………………………………………10分。
高中数学测试题及答案doc原创
高中数学测试题及答案doc原创一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个选项不是实数集的子集？A. 有理数集B. 整数集C. 无理数集D. 复数集答案：D2. 若函数f(x)=2x+1，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. 3D. -3答案：A3. 一个圆的半径为5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 25答案：B4. 等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么a5的值为：A. 13B. 11C. 9D. 7答案：A5. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的值为：A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}答案：B6. 函数y=x^2-4x+3的顶点坐标是：A. (2,-1)B. (2,1)C. (-2,1)D. (-2,-1)答案：A7. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么它的周长是：A. 10B. 11C. 12D. 13答案：C8. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，那么a3的值为：A. 7B. 5C. 3D. 1答案：A9. 函数y=1/x的图像关于：A. 原点对称B. y轴对称C. x轴对称D. 直线y=x对称答案：A10. 一个正方体的体积为27，那么它的表面积是：A. 54B. 108C. 216D. 486答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若sinα=3/5，且α为锐角，则cosα=______。
答案：4/52. 一个数列的前三项为1，2，4，从第四项开始，每一项是前三项的和，那么这个数列的第五项是______。
答案：73. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)=______。
答案：3x^2-34. 一个圆的直径为10，那么它的周长是______。
答案：π*105. 一个等比数列的首项为2，公比为3，那么它的第五项是______。
答案：486三、解答题（每题10分，共40分）1. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求函数的顶点坐标和对称轴。
【原创】2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题(海南卷)(解析版)
2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学（海南）一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1. 设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（ ）A. {1，3，5，7}B. {2，3}C. {2，3，5}D. {1，2，3，5，7，8} 【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B =故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2. (12)(2)i i ++=（ ）A. 45i +B. 5iC. -5iD. 23i + 【答案】B【解析】【分析】直接计算出答案即可.【详解】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3. 在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A. 2CD CA +B. 2CD CA -C. 2CD CA -D. 2CD CA +【答案】C【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°【答案】B【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%【答案】C【解析】【分析】 记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A. 2种B. 3种C. 6种D. 8种【答案】C【解析】【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7. 已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. [2,)+∞C. (5,)+∞D. [5,)+∞【答案】D【解析】【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <-所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.8. 若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.10. 已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n +=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n n的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得m y x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， n y =±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11. 下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +） B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +） D. 5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】【分析】 首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.12. 已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A. 2212a b +≥ B. 122a b -> C. 22log log 2a b +≥-D. ≤【答案】ABD【解析】【分析】 根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b -->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为()21212a b ab a b +=+≤++=，所以2a b +≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________【答案】13【解析】【分析】利用11A NMD D AMN V V --=计算即可.【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯= 故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.14. 3C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163 【解析】 【分析】 先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x == 所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-= 解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.15. 将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．【答案】232n n -【解析】 【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+ 【解析】 【分析】利用3tan 5ODC ∠=求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=， 因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形； 在直角OQD △中，25OQ r =，27DQ =， 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以32522125=， 解得22r =等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯=； 扇形AOB 的面积(221322324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+. 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在①ac =sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】解法一： 由sin 3sin AB可得：ab=不妨设(),0a b m m =>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析： 据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-， 则：sin A ==，此时：sin 32c A m =⨯=，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =， 与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭, ()1??22sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=若选②，3csinA =,则32=,c =;若选③,与条件=c 矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.【答案】（1）2nn a =；（2）2382(1)55n n +-- 【解析】 【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列(){}111n n n a a -+-的通项公式，然后结合等比数列前n 项和公式求解其前n 项和即可.【详解】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩， 整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >==，数列的通项公式为：1222n nn a -=⋅=.(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----. 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：2 2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得22⨯列联表；（3）计算出2K，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的概率为640.64100=；（2）由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80(]75,11510 10 20合计74 26 100（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bcKa b c d a c b d-⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22⨯列联表，考查了独立性检验，属于中档题. 20. 如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB 2，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//AD l ，利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面PDC ，从而得到l ⊥平面PDC ；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Q m ，之后求得平面QCD 的法向量以及向量PB 的坐标，求得cos ,n PB <>，即可得到直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥ 且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥ 因为CDPD D =所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ， 设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-， 因为QB 2222(1)(01)(10)21m m -+-+-=⇒=设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,1)n =-，则2222226cos ,2310(1)111n PB n PB n PB⋅<>====⨯++-⋅++ 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于6|cos ,|n PB <>=所以直线PB 与平面QCD 6【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.21. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18. 【解析】 【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N 到直线AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22. 已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围． 【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞ 【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数()f x 得导函数()’f x 的单调递增，当a=1时由()’10f =得()()11min f x f ==,符合题意；当a>1时，可证1()(1)0f f a ''<，从而()'f x 存在零点00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，得到min ()f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1x ≥恒成立；当01a <<时，研究()f 1.即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围. 解法二：利用指数对数的运算可将()111lna x lnx f x elna x e lnx +-≥++-≥+转化为,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,注意到()g x 的单调性，进一步等价转化为1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,利用导数求得()max h x ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a 的对数不等式，解得a 的取值范围.【详解】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --, ∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; （2）解法一：1()ln ln xf x ae x a -=-+,11()x f x ae x-'∴=-，且0a >. 设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x -'=+> ∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e -<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a-''∴=--<, ∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-， 因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞).解法二：()111x lna x f x ae lnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥, 显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,则()111x h x x x-=-=' 在()0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,+∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.。
高中原创试题出处及答案
高中原创试题出处及答案试题一：数学-几何题题目：在一个直角三角形ABC中，∠C为直角，已知AB=5，AC=3，求BC的长度。
解题思路：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
即AB² = AC² + BC²。
答案：首先计算AC² = 3² = 9，然后将AB² - AC² = 5² - 9 = 25 - 9 = 16，得到BC² = 16。
因此，BC = √16 = 4。
试题二：物理-力学题题目：一个质量为2千克的物体，从静止开始自由下落，忽略空气阻力，求物体在下落2秒时的速度。
解题思路：根据自由落体运动的公式，v = gt，其中v是速度，g是重力加速度（取9.8 m/s²），t是时间。
答案：将已知数值代入公式，v = 9.8 m/s² × 2 s = 19.6 m/s。
物体在下落2秒时的速度为19.6米每秒。
试题三：化学-物质的量题题目：在标准状况下，1摩尔的氧气（O₂）的体积是多少？解题思路：根据摩尔体积的定义，在标准状况下（0℃，1大气压），1摩尔任何气体的体积都是22.4升。
答案：1摩尔氧气（O₂）的体积是22.4升。
试题四：生物-遗传题题目：如果一个生物体的基因型为AaBb，其中A和B是两对独立遗传的基因，求其后代出现aaBB的概率。
解题思路：根据孟德尔的分离定律和独立分配定律，Aa与Aa的后代出现aa的概率是1/4，Bb与Bb的后代出现BB的概率也是1/4。
答案：后代出现aaBB的概率是1/4 × 1/4 = 1/16。
试题五：历史-年代题题目：请列举中国历史上的“文景之治”时期，并简述其主要特点。
解题思路：文景之治是中国西汉时期的一个历史时期，由汉文帝和汉景帝统治。
答案：文景之治时期指的是公元前180年至公元前141年，主要特点是政治清明、经济繁荣、社会稳定，是中国封建社会早期的一个黄金时期。
高中数学试卷原创题
一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知函数f(x)=2x²-3x+1，则f(-1)的值为（）A. -4B. -2C. 2D. 42. 若log₂(x-1)+log₂(x+1)=3，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S₂=5，S₄=14，则a₁₀的值为（）A. 11B. 12C. 13D. 144. 在△ABC中，若sinA=3/5，cosB=1/2，则sinC的值为（）A. 1/10B. 1/5C. 3/10D. 2/55. 已知集合A={x|0<x<1}，B={x|-1<x<0}，则A∪B=（）A. {x|-1<x<0}B. {x|0<x<1}C. {x|-1<x<1}D. {x|x<-1或x>1}6. 若(1+i)²=a+bi，则a+b的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知函数f(x)=x³-2x²-5x+6，则方程f(x)=0的三个根之和为（）A. -2B. -1C. 1D. 28. 若(cosθ+isinθ)⁴=a+bi，则a的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 29. 在平面直角坐标系中，点P(-1,2)关于直线y=x的对称点坐标为（）A. (1,-2)B. (2,-1)C. (-2,1)D. (-1,2)10. 已知双曲线C: x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为F₁(-c,0)，F₂(c,0)，若|F₁F₂|=8，则双曲线C的方程为（）A. x²/16-y²/12=1B. x²/12-y²/16=1C. x²/16+y²/12=1D. x²/12+y²/16=111. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，则f(-3)的值为（）A. -6B. -2C. 2D. 612. 已知椭圆C: x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的焦点为F₁，F₂，若|F₁F₂|=6，且C的右顶点坐标为(5,0)，则椭圆C的方程为（）A. x²/25+y²/16=1B. x²/16+y²/25=1C. x²/25+y²/9=1D. x²/9+y²/25=1二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知log₂8=3，则log₄32=________。
2020年新课标全国高考理科数学9年真题分类汇编(专题12-解析几何)
D． 2 2 ，3 2
解 析 ： 由 直 线 x + y + 2 = 0 得 A(−2,0), B(0, −2) ， ∴ | AB |= 22 + 22 = 2 2 ， 圆
(x − 2)2 + y2 = 2 的圆心为 (2,0) ，∴圆心到直线 x + y + 2 = 0 的距离为 2 + 2 = 2 2 ，∴点 P 到直 1+1
专题 12 解析几何
一、考试大纲
1．直线与方程 (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. (4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式), 了解斜截式与一次函数的关系. (5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. (6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 2．圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断 两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 3．圆锥曲线 (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
三、典型高考试题讲评
题型 1 直线与圆的位置关系
例 1 （2018·新课标Ⅲ，理 6 ）直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在
2020年高中数学必备解题模板之模板十三求空间角
空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:（2020·北京市八一中学高三三模）在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD ∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.1．（2020·安徽省高三二模）如图，在四面体ABCD 中，E 是线段AD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，AB BD =，BC DC EC ==.（1）证明：BD EC ⊥；（2）求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值.2．（2020·梅河口市第五中学高三三模）如图在四棱锥S ABCD -中底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，2ABC π∠=，侧面SAB 为正三角形且平面SAB ⊥底面ABCD ，12AB BC AD ==，,E F 分别为,SD SB 的中点.（1）证明：//EC 平面SAB ；（2）求EC 与平面FCD 所成角θ的正弦值.3．（2020·新疆维吾尔自治区高三三模）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且12AF EF DE AD ===．（Ⅰ）证明：平面ABF ⊥平面CDF ； （Ⅰ）求直线AF 与平面CDE 所成角的大小．4．（2020·陕西省榆林中学高三三模）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点,E F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦值为155若存在，确定点C 的位置；若不存在，请说明理由.5．（2020·四川省新津中学高三二模）如图，在四棱柱ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC ，ⅠABC ＝45o ，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1．（1）求PD 与BC 所成角的大小； （2）求证：BCⅠ平面PAC ； （3）求二面角A -PC -D 的大小．6．（2020·陕西省安康中学高三三模）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC =BC =2，ⅠCBB 1=3π，点A 在平面BCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形； （2）求二面角E -B 1C -A 1的平面角的余弦值．7．（2020·上海高三二模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小（结果用反三角函数值表示）8．（2020·湖南省高三三模）在如图的空间几何体中，四边形BCED 为直角梯形，90,2DBC BC DE ︒∠==，2AB AC ==，3CE AE ==，且平面BCED ⊥平面ABC ，F 为棱AB 中点.（1）证明：DF AC ⊥；（2）求二面角B AD E --的正弦值.9．（2020·山东省高三二模）在四边形ABCP 中，2,3AB BC P π==∠=，2PA PC ==；如图，将PAC 沿AC 边折起，连结PB ，使PB PA =，求证：（1）平面ABC ⊥平面PAC ；（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 所成角的正弦值为34，求二面角F PC A --的大小.10．（2020·北京八中高三二模）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅰ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅰ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:（2020·北京市八一中学高三三模）在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD ∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.因为,AN BN BE EO ==，故//EN AO ，故EN BD ⊥.因为2,2BC CD BD ===，所以222BD BC DC =+且CO BD ⊥，所以2BCD π∠=.因为,BP PC BE EO ==，故//EP CO ，所以EP BD ⊥.因为EN EP E ⋂=，EN ⊂平面ENP ,EP ⊂平面ENP ，故BD ⊥平面ENP ， 因为NP ⊂平面ENP ，BD ⊥NP .因为,AN NB AM MD ==，故//MN BD ，所以MN NP ⊥.（2）由（1）可得,AO BD CO BD ⊥⊥， 所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角， 因为二面角A BD C --为直二面角，所以2AOC π∠=即AO OC ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系，则()()1313110,0,0,0,0,3,,0,,,0,,,,0222222O A N M P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故130,,22NP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13,0,22AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0MN =.设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =，则00NP m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即300y z x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故0x =，取3y =，则1z =，所以()0,3,1m =.设平面ANP 的法向量为(),,n u v w =，则00NP n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即3030v w u w ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取1w =，则3,3u v ==， 故()3,3,1n =，所以427cos ,=747m n m n m n⋅==⨯，因为二面角A NP M --的平面角为锐角，故二面角A NP M --的余弦值为277.1．（2020·安徽省高三二模）如图，在四面体ABCD 中，E 是线段AD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，AB BD =，BC DC EC ==.（1）证明：BD EC ⊥；（2）求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）取线段BD 的中点F ，连接EF 、CF .因为E 是线段AD 的中点，所以EF AB ∥.又AB BD ⊥，所以EF BD ⊥. 因为BC DC =，F 是BD 的中点，所以CF BD ⊥. 因为EF ⊂平面ECF ，CF ⊂平面ECF ，EFCF F =，所以BD ⊥平面ECF ，而CE ⊂平面ECF ，所以BD EC ⊥.（2）解法一：令BC DC EC a ===，则2AB BD a ==，那么1222EF AB a ==，1222CF BD a ==， 所以2222EF CF a EC +==，所以EF CF ⊥.又EF BD ⊥，CF BD ⊥，故可以以点F 为原点，射线FC 、FD 、FE 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则20,,02B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,0,02C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,,02D a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22,,022BC a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，22,,022DC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，22,0,22EC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面BEC 、平面DEC 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =，由00m BC m EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11112202222022ax ay ax az ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，取111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则()1,1,1m =-. 由00n DC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222202222022ax ay ax az ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，取111111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则()1,1,1n =. 所以2221111111cos ,1113m n m n m n ⋅⨯-⨯+⨯===++. 故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为13. 解法二：令BC DC EC a ===，由已知及（1）可得：BE ED a ==，所以BCE ，CDE △均为棱长为a 的正三角形.取CE 中点G ，则BG CE ⊥，DG CE ，故BGD ∠为二面角B CE D --的平面角，在BEG 中，32BG DG a ==，2BD a =， 由余弦定理可得：2221cos 23BG DG BD BGD BG DG +-∠==-⨯，故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为13. 2．（2020·梅河口市第五中学高三三模）如图在四棱锥S ABCD -中底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，2ABC π∠=，侧面SAB 为正三角形且平面SAB ⊥底面ABCD ，12AB BC AD ==，,E F 分别为,SD SB 的中点.（1）证明：//EC 平面SAB ；（2）求EC 与平面FCD 所成角θ的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3131【解析】（1）如图所示：取AD 中点M ，连接EM CM ，，因为EM 为SAD 中位线，平面SAB= EM平面SAB EM M //所以平面EMC平面SAB⊂平面EMC，EC平面SAB.AB中点O，连接=，所以SA因为平面SAB⊥底面设122AB BC AD ===，(1,0,0)B ，(0,0,3)S ，13(,0,)22F ， (1,4,0)D -，13(,2,)22E -，(1,2,0)C . 所以13(,2,)22FC =-，(2,2,0)CD =-，33(,0,)22EC =-， 设平面FCD 的一个法向量为(),,m x y z =，则00FC m CD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即132022220x y z x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩， 可取3x =，解得3y =，5z =.则(3,3,5)m =，331sin 31331EC mEC m θ-===. 3．（2020·新疆维吾尔自治区高三三模）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且12AF EF DE AD ===．（Ⅰ）证明：平面ABF ⊥平面CDF ；（Ⅰ）求直线AF 与平面CDE 所成角的大小．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅰ）π3． 【解析】（Ⅰ）证明：Ⅰ梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且梯形ADEF底面ABCD AD =， 又AB AD ⊥，AB ∴⊥平面ADEF ，AB DF ∴⊥，在梯形ADEF 中，过F 作FG AD ⊥，垂足为G ，设2AD =，可得112AF EF DE AD ====， 则12AG =，32GF =， 2222233322FD FG GD ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则222AF FD AD +=，即AF FD ⊥，又AB AF A =，且,AB AF ⊂平面ABF ，FD ∴⊥平面ABF ，而FD ⊂平面CDF ，Ⅰ平面ABF ⊥平面CDF ；（Ⅰ）解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，330,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，130,,22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0DC =，130,,22DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，130,,22AF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面CDE 的一个法向量为(),,n x y z =，由2013022n DC x n DE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 取1z =，得()0,3,1n =． 设直线AF 与平面CDE 所成角的大小为θ，则33sin cos ,122AF nAF n AF n θ⋅====⨯， 3πθ∴=，即直线AF 与平面CDE 所成角的大小为π3．4．（2020·陕西省榆林中学高三三模）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点,E F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦值为155若存在，确定点C 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】（1）证明：ⅠAB BC =，E 为AC 的中点，ⅠBE AC ⊥又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，ⅠPA BE ⊥ⅠPA AC A ⋂=ⅠBE ⊥平面PACⅠBE ⊂平面BEFⅠ平面BEF ⊥平面PAC （2）解：如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为,AC PC 的中点，Ⅰ//EF PA ，ⅠEF BE ⊥，EF AC ⊥，又BE AC ⊥，Ⅰ,,EB EC EF 两两垂直，分别以,,EB EC EF 方向为,,x y z 轴建立坐标系.则()0,2,0A -，()0,2,2P -，()23,0,0B ，()0,2,0C ，设()23,2,2BG BP λλλλ==--，[]0,1λ∈所以()()()231,21,2AG AB BG λλλ=+=-- ()23,2,0BC =-，()0,4,2PC =-，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =，则 ·0·0n BC n PC ⎧=⎨=⎩，2320420x y y z ⎧-+=⎪⇒⎨-=⎪⎩，令1x =，则3y =，23z =， Ⅰ()1,3,23n = 由已知15?5·AG n AG n = ()221543541614λλ⇒=-+ 12λ⇒=或1110（舍去） 故12λ=故线段PB上存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为155，此时G为线段PB的中点.5．（2020·四川省新津中学高三二模）如图，在四棱柱ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，ⅠABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．（1）求PD与BC所成角的大小；（2）求证：BCⅠ平面PAC；（3）求二面角A-PC-D的大小．【答案】（1）60o（2）见解析．（3）60o【解析】（1）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD="CD"所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH所以ⅠPDH为PD与BC所成角因为四边形，ABCD为直角梯形，且ⅠABC=45o，所以ⅠDAⅠAB又因为AB=2DC=2，所以AD=1，因为RtⅠPAD、RtⅠDAH、RtⅠPAH都为等腰直角三角形所以PD=DH=PH=2，故ⅠPDH=60o（2）连接CH，则四边形ADCH为矩形，ⅠAH=DC 又AB=2，ⅠBH=1在RtⅠBHC中，ⅠABC=45o ，ⅠCH=BH=1，CB=2ⅠAD=CH=1，AC=2ⅠAC 2+BC 2=AB 2ⅠBCⅠAC,又PA 平面ABCDⅠPAⅠBCⅠPA∩AC=AⅠBCⅠ平面PAC（3）如图，分别以AD 、AB 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，ⅠAP =(0，0，1)，PC =(1，1，-1)设m=(a ，b ，c)为平面PAC 的一个法向量， 则0{0m AP m PC ⋅=⋅=，即0{0c a b c =+-= 设1a =，则1b =-，Ⅰm=(1，-1，0)同理设n=(x ，y ，z) 为平面PCD 的一个法向量，求得n=(1，1，1)Ⅰ1110011cos ,222m n m n m n ⋅⨯-⨯+⨯〈〉===⋅⨯所以二面角A -PC -D 为60o6．（2020·陕西省安康中学高三三模）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC =BC =2，ⅠCBB 1=3π，点A 在平面BCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形；（2）求二面角E -B 1C -A 1的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）217- 【解析】（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥，又因为1112BE BB ==，2BC =，3EBC π∠=，所以3CE =， 因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥，因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥，从而1AA AC ⊥，又四边形11ACC A 为平行四边形，则四边形11ACC A 为矩形；（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以11(0,0,1),(0,2,1),(0,1,0),(3,0,0)A A B C ，平面1EB C 的法向量(0,0,1)m =，设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =，由1(,,)(3,1,0)03n CB x y z y x ⊥⇒⋅-=⇒=，由11(,,)(0,1,1)00n B A x y z y z ⊥⇒⋅=⇒+=， 令13,3x y z =⇒==-，即(1,3,3)n =-，所以，321cos ,717m n -<>==-⨯， 所以，所求二面角的余弦值是217-.7．（2020·上海高三二模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）证明见解析 （2）2arccos 3【解析】（1）Ⅰ底面ABC 是等腰直角三角形，且AC BC =，1CC C =⊥平面ACC ）以C 为原点，直线(0,2,0CB =()10,2,2CB =，(2,0,1CD =设平面1B CD 的一个法向量(,,n x y z =则122020n CB y z n CD x z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，1=，得(1,2,2n =-，设二面角11B CD C --的平面角为423CB nCB n ⋅=⨯⋅由图形知二面角1B CD -11CD C --的大小为8．（2020·湖南省高三三模）在如图的空间几何体中，四边形BCED 为直角梯形，90,2DBC BC DE ︒∠==，2AB AC ==，3CE AE ==，且平面BCED ⊥平面ABC ，F 为棱AB 中点.（1）证明：DF AC ⊥；（2）求二面角B AD E --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）306. 【解析】（1）证明：取AC 中点为G ，连接GE 和GF ，如图所示因为//GF BC ，且12GF BC =， 又因为//DE BC ，且12DE BC =，故//GF DE ，且GF DE =，即四边形GFDE 为平行四边形，故//GE DF ，CE AE =，G 为AC 中点，GE AC ∴⊥；又//GE DF ，DF AC ∴⊥.（2）平面BCED ⊥平面ABC ，平面BCED 平面ABC BC DB AC =⊥，，DB ∴⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，DB AC ∴⊥.由（1）知,DF AC BD DF D ⊥⋂=，,BD DF ⊂平面ABC ，AC ∴⊥平面ABD ，而AB 平面ABD ，AC AB ∴⊥，2AB AC ==，22,2BC DE ∴==.取BC 中点O 连接OE 和OA ，四边形BCED 为直角梯形，则//OE DB ，DB ⊥平面ABC ，OE ∴⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，OA ⊂平面ABC ，故OE BC OE OA ⊥⊥，，,AB AC OA BC =∴⊥，∴分别以OA 、OB 、OE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图所示3,1CE AE OE ==∴=，则(0,2,1)D ，(0,0,1)E ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C -，故(2,2,1)AD =-，(2,0,1)AE =-，(2,2,0)CA =，易知平面ABD 的一个法向量为(2,2,0)CA =，设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x y z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，令2,1,0z x y =∴==， (1,0,2)n ∴=.设二面角B AD E --的为θ，则6|cos ||cos ,|6||||n CAn CA n CA θ⋅=〈〉==， 2630sin 166θ. ∴二面角B AD E --的正弦值为306. 9．（2020·山东省高三二模）在四边形ABCP 中，2,3AB BC P π==∠=，2PA PC ==；如图，将PAC沿AC 边折起，连结PB ，使PB PA =，求证：（1）平面ABC ⊥平面PAC ；ABC中，∴为等腰直角三角形，且ABC取AC的中点O∴⊥OB AC OP,=OB OP1,2∴=PB OBOP OB∴⊥=，OP AC O∴⊥平面PACOBOB⊂平面ABC..平面ABC⊥平面（2）以OA-(0,1,0),(0,1,3),(0,2,0)CP CA =-=-设(01)AF mAB m =<<.则(,CF CA AF m =+=设平面PFC 的一个法向量为(,,)x y z =n .则00n CF n CP ⋅=⋅= (3mx y m y z +-+=AP 与平面||||2n AP n AP ⋅∴=整理得234m m +2又OB 为平面PAC 的一个法向量3cos ,2n OBn OB n OB ⋅∴〈〉== ,6n OB π∴〈〉=，二面角F PA C --的大小为6π.10．（2020·北京八中高三二模）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅰ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅰ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅰ）π3（Ⅰ）不存在，见解析【解析】（Ⅰ）证明:因为ⅠPAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥CD .AD CD D =，AD CD ⊂，平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD .（Ⅰ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)O A B C D G P --，(1,2,3),(1,0,3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=-，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =所以00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20,230,y x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 令1z =，则 (3,01)m =，，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，(m nm n ⋅=EFG 与平面ABCD ）假设线段PA 上存在点m 所成的角为PM PA λ=，λ∈,GM GP PM GP PA λ=+=+，所以()()2,4,231GM λλ=-- 所以2cos cos ,324GM m πκ==220λλ=，，方程无解，所以，不存在这样的点。
2022-2023学年原创全国名校高中数学真题模拟专题训练- 不等式
2022-2023学年届全国名校高三数学模拟试题分类汇编(上) 06 不等式 一、选择题1、(河南省实验中学2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第二次月考)对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是 A ．k ＞1 B k=1 C ．k ≤ 1 D ．k＜1 答案：D2、(河南省实验中学2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第二次月考)命题p :若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件； 命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则A “p 或q ”为假B “p 且q ”为真C p 真q 假D p假q 真 答案：D3、(湖南省长郡中学2022-2023学年届高三第二次月考)函数∑=-=20071)(n n x x f 的最小值为（ ）A. 1003×1004B. 1004×1005C. 2006×2007D. 2005×2006答案：A4、(湖南省长郡中学2022-2023学年届高三第二次月考)若实数z y x ,,满足1222=++z y x ，则zx yz xy ++的取值范围是（ ）（A ）]1,1[- （B ）]21,21[- （C ）]21,1[- （D ）]1,21[- 答案：D5、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)1)(2-+=ax ax x f 在R 上恒满足0)(<x f ，则a 的取值范围是（ ）A ．0≤aB ．4-<aC ．04<<-aD ．04≤<-a 答案：D6、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)设a 、b 、c 都是正数，那么三个数ba 1+、c b 1+、ac 1+（ ）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案：D7、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)已知d c b a 、、、均为正数,bd c da d c c db a bc b a a s +++++++++++=,则有（ ）A ．20<<sB ．21<<sC ．32<<sD ．43<<s 答案：B8、(2022-2023学年年重庆一中高2022-2023学年级第一次月考)若()sin f x x x λ=+是区间[1,1]-上的减函数，且2()1f x t t λ≤++在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围（ ）A ．12t <-B ．1t ≤-C ．1t >-D ．2t ≥- 答案：B9、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)已知120a a >>，则使得2(1)1i a x -<(1,2)i =都成立的x 范围的充要条件是A ．2222(,)a a - B ．12(0,)a C ．1122(,)a a -D.22(0,)a答案：B10、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)设函数lg ||(0)()21(0)xx x f x x <⎧=⎨-≥⎩ ，若0()0f x >，则0x 的取值范围是A.(,1)(1,)-∞-+∞B.(,1)(0,)-∞-+∞C.(1,0)(0,1)-D.(1,0)(0,)-+∞答案：B11、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)关于x 的不等式22cos lg(9)cos lg(9)x xx x +-<+-的解集为A．(- B ．(3,3)- C．(3,(22,3)--D ．()(,22)22ππ--答案：D12、(安徽省潜山县三环中学2022-2023学年届高三上学期第三次联考)不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．)2,2(-B ．]2,2(-C ．]2,(-∞D ．)2,(--∞答案：B13、(安徽省潜山县三环中学2022-2023学年届高三上学期第三次联考)设奇函数()f x 在（0，+∞）上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 ( ) A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(1,0)(0,1)- 答案：D14、(甘肃省兰州一中2022-2023学年—2022-2023学年高三上学期第三次月考)设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为 （ ） A ．),3()2,1(+∞⋃ B ．),10(+∞C ．),10()2,1(+∞⋃D ．（1，2）答案：C15、(甘肃省兰州一中2022-2023学年—2022-2023学年高三上学期第三次月考)对于满足40≤≤p 的所有实数p ，使不等式x p x px x 都成立的342-+>+的取值范围（ ）A ．13-<>x x 或B ．13-≤≥x x 或C ．31<<-xD ．31≤≤-x答案：A16、(广东省深圳中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度高三第一学段考试)设a>1，若对于任意的]2,[a a x ∈，都有],[2a a y ∈满足方程,3log log =+y x a a 这时a 的取值集合为（）A ．}21|{≤<a aB ．}2|{≥a aC ．}32|{≤≤a aD ．}3,2{答案：B17、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)设b ,a 是两个实数，且b a ≠在①2223b ab a >+；②322355b a b a b a +>+；③)1(222--≥+b a b a ；④2>+abb a 这四个式子中，恒成立的有A.1个B.2个C.3个 D 4.个 答案：A18、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)已知函数)0(18),20(cos 4cos ),0(42321>+=<<+=≠+=x x xy x x x y x x x y π)20)(tan 221)(cot 1(4π<<++=x x x y ，其中以4为最小值的函数个数是A.0B.1C.2D.3 答案：A19、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)若不等式0lg ])1[(<--x x t x 对任意的正整数t 恒成立，则实数x 的取值范围是A.}1|{>x xB.}210|{<<x x C.}1210|{><<x x x 或 D.}1310|{><<x x x 或 答案：C20、(四川省成都市高2022-2023学年届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个命题中正确的是A 、若a 、b ∈R ，则|a |－|b |＜|a ＋b |B 、若a 、b ∈R ，则|a －b |＜|a |＋|b |C 、若实数a 、b 满足|a －b |＝|a |＋|b |，则ab ≤0D 、若实数a 、b 满足|a |－|b |＜|a ＋b |，则ab ＜0 答案：C21、(湖南省衡阳市八中2022-2023学年届高三第三次月考试题)设函数()sin ,[,]22f x x x x ππ=∈-，若12()()f x f x >，则下列不等式必定成立的是( ). A ．120x x +>B ．2212x x >C ．12x x >D ． 12x x <答案：B22、(江西省崇仁一中2022-2023学年届高三第四次月考)若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1bD ．若a ＜b ＜0，则b a ＞ab答案：B23、(江西省崇仁一中2022-2023学年届高三第四次月考)已知函数f (x )满足条件①f (x )＞0；②对任意x 、y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )；③x ＞0时，0＜f (x )＜1．则不等式f －1(x 2－4x ＋3)＞f－1(3)的解集为（）A ．(－∞，0)∪(4，＋∞)B ．(0，4)C ．(0，1)∪(3，4)D ．(－∞，0)∪(3，4)答案：C24、(揭阳市云路中学2022-2023学年届高三数学第六次测试)不等式3112x x-≥-的解集是（ ）A ．324x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．324x x x ⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭或 D ．{}2x x <答案：B ．原不等式等价于(43)(2)020x x x --≤-≠且25、(山东省平邑第一中学2022-2023学年届高三元旦竞赛试题)“0,0x y ><”是“222x y xy+≤-”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A26、(山东省平邑第一中学2022-2023学年届高三元旦竞赛试题)已知p>0,q>0,p,q 的等差中项是12，x=p+,1,1q q y p +=则x+y 的最小值为（ ）A. 6B. 5 C 4 D 3 答案：B27、(山东省德州市宁津高中2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第一次月考)若011<<ba ，则下列结论不正确．．．的是 A ．||||||b a b a -=-B ．22b a < C ．2>+baa b D ．2b ab < 答案：A28、(山东省德州市宁津高中2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第一次月考)已知函数11()()12x f x xa =-+（a >0）,若()f x ≤0恒成立,则a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，1]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞） 答案：D29、(陕西省西安铁一中2022-2023学年届高三12月月考)若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)23,2[-B ．]23,2(-C ．)23,3[-D ．)23,3(-答案：A30、(上海市张堰中学高2022-2023学年届第一学期期中考试)设z y x >>，N n ∈，且zx nz y y x -≥-+-11恒成立，则n 的最大值为 （ ）A 、2B 、3C 、4D 、5答案：C31、(西南师大附中高2022-2023学年级第三次月考)已知4a b ab +=，a 、b 均为正数，则使a b m +>恒成立的m 的取值范围是（ ）A ．m < 9B ．9m ≤C ．m < 8D ．8m ≤答案：A32、(福建省福州三中高三年级第二次月考)设|13|)(-=x x f ，a b c <<且)()()(b f a f c f >>，则下列关系中一定成立的是（ ）A ．b c 33>B ．a b 33>C ．233>+a cD ．233<+a c答案：D33、(福建省福州三中高三年级第二次月考)已知()()()1f x x a x b =--+，n m ,是方程0)(=x f 的两根，且a ＜b ，m ＜n ，则a ．b ．m ．n 的大小关系是（ ） A ．m ＜a ＜b ＜n B ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b答案：B34、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)给出以下4个结论，其中正确的个数为（ ） A ．0 B ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ①函数2log (sin cos )y x x =-不是周期函数； ②函数5sin(3)2y x π=+既不是奇函数也不是偶函数； ③已知4个数a 、b 、c 、d ，满足ad bc =，则a 、b 、c 、d 成等比数列； ④1023101(12)1222212⋅-+++++=-．答案：A35、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)关于210,x ax ax x R -+>∈的不等式对恒成立的充要条件是（ ）A ．0＜a ＜4B ．a ＝0或4 Ｃ．0≤a ≤4 Ｄ．0≤a ＜4 答案：D36、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)已知实数对2222(,)326(,)2346x y x y x f x y x y x y +==+--满足，则的取值范围是（ ） A ．55[22-+ B ．[5,10] Ｃ．1,1]Ｄ．[7-+答案：A37、(广东省高明一中2022-2023学年届高三上学期第四次月考)同时满足条件：①函数图象成中心对称图形；②对任意,[0,1]a b ∈，若b a ≠，有)2(2)()(ba fb f a f +<+的函数是（ ） A ．||log x y a = B ．x y 2cos =C ．)3tan(π-=x yD ．3x y =答案：C天天向上独家原创11 / 11 38、(黑龙江省双鸭山一中2022-2023学年-2022-2023学年学年上学期期中考试)-1()f x 是函数+1()=2x f x 的反函数，若-1-1()+()=0f a f b ，则a+b 的最小值是（ ）A.1B. 2C.答案：D。
2024年荆州市中考数学试卷(含答案解析)
2024年荆州市中考数学试卷（含答案解析）.doc某书签分享赚钱赏收藏原创保护版权申诉/ 16 立即下载加入VIP，备课更划算当前位置：首页> 初中 > 初中数学 > 数学中考 > 中考真题> 2024年荆州市中考数学试卷（含答案解析）.docx 2024年荆州市中考数学试卷（含答案解析）.docx文档编号：上传时间：2024-06-23 类型：DOCX 级别：精品资源页数：16 大小：1.82MB 价格：61.00积分（10积分=1元）《2024年荆州市中考数学试卷（含答案解析）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年荆州市中考数学试卷（含答案解析）.docx（16页珍藏版）》请在七彩学科网上搜索。
1、2024年荆州市初中学业水平考试数学(本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟)祝考试顺利注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回._一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中2、，只有一项符合题目要求)1. -15的相反数为 A. 15 B. -15 C. 5 D. -52. 据统计,2024 年国内全年出游人次为48.9亿,则数据4 890 000 000用科学记数法表示为 A.4.8910 B.48.910 C. 4.8910 D. 48.9103.某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是4.下列计算正确的是 A. 2a-a=1 B.aa=a C.a-1=a-1 D.a=a5.如图，将一块含60角的直角三角板斜边的两个顶点分别放在直尺的两条边上.若1=140,则2的度数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 35数学第1页(共6页)6.下列调查中，最适合3、采用全面调查(普查)方式的是A.调查某市初中学生每天课外锻炼的时间B.调查春节期间全国居民的花销情况C.调查某批次新能源汽车的续航能力D.调查乘坐飞机的乘客随身携带物品的安全性7. 如图,O是ABC的外接圆,ABC 的平分线交O于点D,连接AD,CD,若ADC=120,则tanACD= A. 33 B. 1 C. 3 D. 138.某同学在物理实验课上做“小孔成像”实验时，将一支长约3cm的蜡烛(包括火焰高度)立在小孔前，蜡烛所立位置离小孔的水平距离为6cm，此时蜡烛火焰通过小孔刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”，若以小孔为坐标原点，构建如图所示的平面直角坐标系xOy，记蜡4、烛火焰顶端A点处的坐标为(-6，3)，则A点对应的“像”的坐标为 A. (3,-1) B. (2,-1) C. (2,-2) D. (3,-2)9. 如图,在菱形ABCD中,B=60,E,F分别是边AB,BC的中点,连接EF,DF,若 EF=2,则DF 的长为A. 2 2B. 23C. 2 5D.2 710. 如图1,在矩形ABCD中(AD2AB),P,Q分别为边AB,BC上的动点,点 P 沿折线B-A-D-C以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点 B沿着 BC运动，当点Q到达点C时，点P随之停止运动.连接PQ，若BPQ的面积与运动时间t之间的函数图象如图2所示.下列结论中：AB边的长度为4；四边形ABCD的面积为20;当t=3时,点P与点D的距离为4;当t=4时,PQAB.正确的序号为 A. B. C. D. 数学第2页(共6页)二、填空题(共5题，每题3分，共15分)11. 计算: 3-8+|-3|=_.12.藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”.下表是学校藤球队中三名学生五次传踢球成绩的平均数及方差统计表，若要从这三名学生中选择一名成绩好且稳定的学生作为校藤球队的队长，则应选择学生 . 甲乙丙平均数方差1.20.50.513.端午节是中国首个入选世界非物质文化遗产的节文档加载中……请稍候！如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。
2020年湖北省武汉市第九中学高三数学理测试题含解析
2020年湖北省武汉市第九中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是等比数列，，公比，为的前n项和，为数列的前n项和，若.记,设为数列{}的最大项，则（）A.3B.4C.5D.6参考答案：B2. 平面向量均为非零向量，则的模长的范围是A.B. C. D.参考答案：C略3. 对任意，函数不存在极值点的充要条件是（）A、B、 C、或D、或参考答案：A4. 记时钟的时针、分针分别为、（为两针的旋转中心）．从点整开始计时，经过分钟，的值第一次达到最小时，那么的值是（）参考答案：B略5. （2016?大庆二模）复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣B．1 C．D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案．【解答】解：由﹣=，得复数﹣的实部与虚部分别为，1，∴数﹣的实部与虚部的和为．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6. 在△ABC中，设命题命题q:△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：Cq:△ABC是等边三角形7. 已知在上有两个零点，则的取值范围为( )A．（1，2）B．[1，2] C．[1,2) D．（1，2]参考答案：C（A）（B）（C）（D）8. 下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：A9. 设a=log85，b=log43，c=（）2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a=log85=log6425＜b=log43=log6427，a=log85=＞c=（）2=，∴b＞a＞c．故选：A．10. 某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】方法一：由题意，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类，求取种数，再满足其前提下，学生C第一个出场顺序也为两类，再根据概率公式计算即可，方法二：直接根据分步计数原理，可得，再根据概率公式计算即可．【解答】解：方法一：“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类．第一类：A最后一个出场，从除了B之外的3人选1人安排第一个，其它的任意排，故有A31A33=18种，第二类：A不是最后一个出场，从除了A，B之外的3人选2人安排在，第一个或最后一个，其余3人任意排，故有A32A33=36种，故学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场的种数18+36=54种，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的”的出场顺序为：分为两类第一类：学生C第一个出场，A最后一个出场，故有A33=6种，第二类：学生C第一个出场，A不是最后一个出场，从除了A，B之外的2人选1人安排在最后一个，其余3人任意排，故有A21A33=12种，故在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的种数6+12=18种，故学生C第一个出场的概率为=，方法二：先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31（非第一）种方法，其余三个自由排，共有A31A31A33=54这是总结果；学生C第一个出场，先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31，C第一个出场，剩余2人自由排，故有A31A31A22=18种，故学生C第一个出场的概率为=，故选：A．【点评】本题考查了分类计数原理和古典概率的问题，关键是分类求出相应条件的顺序，属于中档题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设二项式的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为q ，且p+q=272，则n 的值为。
专题28 事件的相互独立性(解析版)
专题28 事件的相互独立性一、单选题1．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲､乙两人通过强基计划的概率分别为43,54，那么两人中恰有一人通过的概率为A．35B．15C．14D．720【试题来源】辽宁省部分重点高中2020-2021学年高二下学期期中考试【答案】D【分析】由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过.【解析】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为41137545420P=⨯+⨯=.故选D.2．甲､乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为13，则甲队获得冠军的概率为A．49B．59C．23D．79【试题来源】江西省赣州市2021届高三二模【答案】B【分析】由题设知甲、乙两队获胜的概率分别为13、23，甲队要获得冠军，则至少在两局内赢一局，利用概率的乘法和加法公式求概率即可.【解析】由题意知每局甲队获胜的概率为13，乙队获胜的概率为23，所以至少在两局内甲队赢一局，甲队才能获得冠军，当第一局甲队获胜，其概率为13；当第一局甲队输，第二局甲队赢，其概率为212339⨯=. 所以甲队获得冠军的概率为125399+=.故选B. 3．五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是13、14、15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为 A ．5960B ．35C ．12D ．160【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷（新教材人教B 版） 【答案】B【分析】由对立事件为A ：三人都不去厦门旅游，求()P A ，应用()1()P A P A =-求概率即可.【解析】记事件A 至少有1人去厦门旅游，其对立事件为A ：三人都不去厦门旅游， 由独立事件的概率公式可得1112()(1)(1)(1)3455P A =---=， 由对立事件的概率公式可得3()1()5P A P A =-=，故选B. 4．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是 A ．0.56 B ．0.92 C ．0.94D ．0.96【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册） 【答案】C【分析】利用独立事件和对立事件的概率求解即可．【解析】设事件A 表示：“甲击中”，事件B 表示：“乙击中”．由题意知A ，B 互相独立． 故目标被击中的概率为P ＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－0.2×0.3＝0.94．故选C 5．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p 和2p ，则 A ．12p p = B ．12p p <C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能【试题来源】湖南省2021届高三下学期三模 【答案】B【分析】分别计算1p 和2p ，再比较大小.【解析】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率2019110p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．方法二：每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率102415p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．10201010124948105105100p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则12p p <．故选B.【名师点睛】概率计算的不同类型： （1）古典概型、几何概型直接求概率；（2）根据事件间的关系利用概率加法、乘法公式求概率； （3）利用对立事件求概率；（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率.6．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为433,,544，那么三人中恰有两人通过的概率为A ．2180 B ．2780C ．3380D ．2740【试题来源】2020-2021学年高二下学期数学选择性必修第三册同步单元AB 卷 【答案】C【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.【解析】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,,A B C ，显然,,A B C 为相互独立事件， 则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC ABC ABC ++，且,,ABC ABC ABC 互斥，∴所求概率()()()()P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++1334134313354454454480=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故选C. 7．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是45，通过第二项考核的概率是12；乙同学拿到该技能证书的概率是13， 那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是 A ．1315B ．1115C ．23D ．35【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A 基础练 【答案】D【分析】由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙两人都取不到证书的概率，由对立事件的概率公式可得选项.【解析】由已知得甲拿到该技能证书的概率为412525⨯=，则甲，乙两人都没有拿到证书的概率为21211535⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是23155-=，故选D. 【名师点睛】在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂，可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.8．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为 A ．0.24 B ．0.36 C ．0.6D ．0.84【试题来源】北京市大兴区2020-2021学年度高二上学期期末检测试卷【答案】D【分析】先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论．【解析】由题意小明每次投篮不中的概率是10.60.4-=，再次投篮都不中的概率是20.40.16=，所以他再次投篮至少投中一次的概率为10.160.84-=．故选D．【名师点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．9．某单位举行知识竞赛，给每位参赛选手设计了两道题目，已知某单位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为A．45B．1625C．125D．2425【试题来源】2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第二册）【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率计算公式，以及对立事件的概率计算公式，由题中条件，可直接得出结果.【解析】因为参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为242411525P⎛⎫=--=⎪⎝⎭.故选D.10．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为A．互斥B．相互对立C．相互独立D．相等【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A基础练【答案】C【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断.【解析】显然事件A和事件B不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A 是否发生与事件B 无关，事件B 是否发生也与事件A 无关，故事件A 和事件B 相互独立，故C 正确.故选C.11．袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 A ．0.0324 B ．0.0434 C ．0.0528D ．0.0562【试题来源】江西省新余市第一中学2020-2021学年高二年级第六次考试 【答案】B【分析】第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，据此由互斥事件的和及相互独立事件同时发生的概率公式求解.【解析】第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红， 所以第4次恰好取完所有红球的概率为222918291821()()0.043410101010101010101010⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选B 12．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放一枚质地均匀的硬币，所有人同时抛掷自己面前的硬币一次．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，事件“相邻的两个人站起来”没有发生．．．．的概率为 A ．12 B ．716 C ．38D ．14【试题来源】重庆市第七中学2021届高三上学期期中 【答案】B【分析】先研究相邻两个人站起来的情况，分为2个人站起来，三个人站起来及四个人站起来，3种情况，一一分析，没有发生的概率即用1减去上面站起来的概率即可. 【解析】由题意可知，四个人抛硬币，一共有4216=种不同的情况，其中有相邻两个人同为正面需要站起来有4种情况，三个人需要站起来有4种情况， 四个人都站起来共有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率44191616P ++==， 故没有相邻的两个人站起来的概率为9711616P =-=.故选B ． 13．某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是 A ．0.296 B ．0.288 C ．0.968D ．0.712【试题来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷新高考数学（第九模拟） 【答案】C【分析】设甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件,,A B C ，可得()0.6P A =，()0.6P B =，()0.8P C =，由事件,,A B C 相互独立，再根据对立事件的概率公式代入求解.【解析】甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件,,A B C ，则()0.6P A =，()0.6P B =，()0.8P C =，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则所求事件的概率为()()()()111P ABC P A P B C P P -=-⋅⋅==-0.40.40.20.968⨯⨯=，故选C. 14．某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A 到过疫区，B 确定是受A 感染的．对于C 因为难以判定是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和B 感染的概率都是12．同样也假定D 受A ，B 和C 感染的概率都是13．在这种假定下，B ，C ，D 中恰有两人直接受A 感染的概率是 A ．16B ．13 C ．12D ．23【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系B 提高练 【答案】C【分析】根据题意得出：因为直接受A 感染的人至少是B ，而C 、D 二人也有可能是由A 感染的，B ，C ，D 中恰有两人直接受A 感染为事件CD CD +．由此可计算出概率． 【解析】设,,B C D 直接受A 感染为事件B 、C 、D ， 则事件B 、C 、D 是相互独立的，()1P B =，1()2P C =，1()3P D =， 表明除了B 外，,C D 二人中恰有一人是由A 感染的， 所以12111()()()23232P CD CD P CD P CD +=+=⨯+⨯=，所以B 、C 、D 中直接受A 传染的人数为2的概率为12，故选C. 15．一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为A ．49 B ．59 C ．35D ．815【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过 【答案】B【分析】由题意利用相互独立事件概率的乘法公式，先求出两次摸到的全是白球的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解.【解析】记每次摸出白球为事件A ，每次摸出黑球为事件B ，则()4263P A ==，()2163P B ==， 两次摸出的球中至少有一个黑球包括两次黑球和一次白球一次黑球， 其对立事件为两次摸到的都是白球， 两次摸到的都是白球概率为224339⨯=， 所以两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为45199-=，故选B 【名师点睛】本题的关键点是第一次摸出球后又放回去，所以每次摸出白球和黑球的概率都不变，求出这两个概率，每次摸球是相互独立的，所以可以利用概率的乘法公式求出两次摸到的全是白球的概率，即可求出其对立事件至少有一个黑球的概率.16．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示. 其中()12,()6,()4,()8n n A n B n AB Ω====，则事件A 与事件BA ．是互斥事件，不是独立事件B ．不是互斥事件，是独立事件C ．既是互斥事件，也是独立事件D ．既不是互斥事件，也不是独立事件【试题来源】北京市丰台区2020-2021学年度高二上学期期中考试 【答案】B 【分析】由()4n A B =可判断事件是否为互斥事件，由()()()P AB P A P B =可判断事件是否为独立事件.【解析】因为()12,()6,()4,()8n n A n B n A B Ω====，所以()2n AB =，()4n AB =，()8n B =，所以事件A 与事件B 不是互斥事件， 所以()41123P AB ==，()()68112123P A P B =⨯=， 所以()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 是独立事件.故选B.17．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有．．一次准确预报的概率为 A ．0.8 B ．0.7 C ．0.56D ．0.38【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷 【答案】D【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.【解析】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7， 所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为0.8(10.7)(10.8)0.70.38P =⨯-+-⨯=.故选D ．18．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 A ．12B ．34 C ．23D ．14【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷 【答案】B【分析】先由相互独立事件的概率乘法公式，求出目标不被击中的概率，再由对立事件概率公式，即可得解.【解析】由于甲、乙、丙射击一次命中目标的概率分别为12，13，14， 三人同时射击目标一次，则目标不被击中的概率为11111112344⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由对立事件的概率公式可得目标被击中的概率为13144-=.故选B. 19．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分，甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9，0.8，0.75，则三人中至少有一人达标的概率为 A ．0.015 B ．0.005 C ．0.985D ．0.995【试题来源】2020-2021学年高二数学课时同步练（人教B 版2019选择性必修第二册） 【答案】D【分析】设出每一个每一个考生达标的事件，并求其对立事件的概率，根据相互独立事件的概率的和事件求解出答案.【解析】设 “甲考生达标” 为事件A ， “乙考生达标” 为事件B ， “丙考生达标” 为事件C ，则()0.9P A =，()0.8P B =，()0.75P C =，()10.90.1P A =-=，()10.80.2P B =-=，()10.750.25P C =-=，设 “三人中至少有一人达标” 为事件D ，则()()110.10.20.2510.0050.995P D P ABC =-=-⨯⨯=-=，故选D.【名师点睛】本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.20．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率是 A ．0.16 B ．0.24 C ．0.96D ．0.04【试题来源】内蒙古通辽市奈曼旗实验中学2018-2019学年高二下学期期末考试 【答案】C【分析】先求三人中至少有一人达标的对立事件的概率，再求其概率.【解析】至少有1人达标的对立事件是一个人也没达标，概率为()()()10.810.610.50.04---=，所以三人中至少有一人达标的概率为10.040.96-=.故选C【名师点睛】本题考查对立事件，属于基础题型.二、多选题1．下列各对事件中，为相互独立事件的是A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”【试题来源】2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A 版2019必修第二册）【答案】ABD【分析】利用相互独立事件的定义一一验证即可.【解析】在A 中，样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=，事件{}2,4,6M =，事件{}3,6N =，事件{6}MN =， 所以31()62P M ==，21()63P N ==，111()236P MN =⨯=， 即()()()P MN P M P N =，故事件M 与N 相互独立，A 正确.在B 中，根据事件的特点易知，事件M 是否发生对事件发生的概率没有影响，故M 与N 是相互独立事件，B 正确；在C 中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C 错误；在D 中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D 正确.故选ABD.【名师点睛】判断两个事件是否相互独立的方法：（1）直接法：利用生活常识进行判断；（2）定义法：利用()()()P MN P M P N =判断. 2．已知,A B 是随机事件，则下列结论正确的是A ．若,AB 是互斥事件，则()()()P AB P A P B =B ．若事件,A B 相互独立，则()()()P A B P A P B +=+C ．若,A B 是对立事件，则,A B 是互斥事件D ．事件,A B 至少有一个发生的概率不小于,A B 恰好有一个发生的概率【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A 基础练【答案】CD【分析】根据互斥事件加法公式、独立事件乘法公式、对立事件的定义即可求解.【解析】对于A ， 若,A B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B +=+，故A 错误； 对于B ， 若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，故B 错误；对于C ，根据对立事件的定义， 若,A B 是对立事件，则,A B 是互斥事件，故C 正确； 对于D ， 所有可能发生的情况有：只有A 发生、只有B 发生、AB 都发生、AB 都不发生四种情况，,A B 至少有一个发生包括：只有A 发生、只有B 发生、AB 同时发生三种情况， 故其概率是75%；而恰有一个发生很明显包括只有A 发生或只有B 发生两种情况，故其概率是50%， 故事件,A B 至少有一个发生的概率不小于,A B 恰好有一个发生的概率，故D 正确.故选CD. 3．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则A ．A 与B 互斥B ．A 与B 相互独立C ．3()4P A B =D ．()()P A P B =【试题来源】2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A 版必修第二册）【答案】BCD【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可.【解析】根据题意事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，可知两事件互不影响，即A 与B 相互独立，故B 正确，A 不正确；由()12P A =，()12P B =， 所以()()3()1-4P A B P A P B ==，且()()P A P B =，故D 正确，C 正确.故选BCD 4．分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件M =“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N =“第二枚骰子的点数为偶数”，则A ．M 与N 互斥B ．M 与N 不对立C ．M 与N 相互独立D ．()34P M N = 【试题来源】2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A 版必修第二册）【答案】BCD【分析】相互独立事件，互斥事件，对立事件，利用定义即可以逐一判断四个选项正误.【解析】对于选项A ：事件M 与N 是可能同时发生的，故M 与N 不互斥，选项A 不正确； 对于选项B ：事件M 与N 不互斥，不是对立事件，选项B 正确；对于选项C ：事件M 发生与否对事件N 发生的概率没有影响，M 与N 相互独立.对于选项D ：事件M 发生概率为1()2P M = ，事件N 发生的概率1()2P N =，()1131()()1224P M N P M P N =-=-⨯=，选项D 正确.故选BCD 【名师点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件，以及随机事件的概率，属于基础题.5．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以1A ，2A 表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是A ．23()30PB = B ．事件B 与事件1A 相互独立C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．1A ，2A 互斥 【试题来源】2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A 版2019必修第二册）【答案】AD【分析】先画出树状图，然后求得()1P A ， ()2P A ，()P B 的值，得A 正确；利用 ()()11()P A B P A P B ≠判断B 错误，同理C 错误；由1A ，2A 不可能同时发生得D 正确.【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此()1183305P A ==，()2122305P A ==，15823()3030P B +==，A 正确； 又()11530P A B =，因此()()11()P A B P A P B ≠，B 错误； 同理可以求得()()22()P A B P A P B ≠，C 错误；1A ，2A 不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选AD ．【名师点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.三、填空题1．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册） 【答案】35192【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可． 【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34．在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712×34＝35192． 故答案为351922．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时乙得分的概率为0.6，各球的结果相互独立.在某局打成10:10后，甲先发球，乙以13:11获胜的概率为________．【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A 基础练【答案】0.15【分析】依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，根据相互独立事件的概率公式计算可得；【解析】依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，其中发球方分别是甲、乙、甲、乙；所以乙以13:11获胜的概率()()10.50.60.50.610.60.50.50.60.15P =-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯= 故答案为0.153．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为________．【试题来源】安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期仿真模拟（二） 【答案】527【分析】根据A 的票数为3,2分类讨论，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出．【解析】若仅A 一人是最高得票者，则A 的票数为3,2．若A 的票数为3，则1111133327P =⨯⨯=； 若A 的票数为2，则BCD 三人中有两人投给A ，剩下的一人与A 不能投同一个人，213111242333327P C ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； 所以仅A 一人是最高得票者的概率为12145272727P P P =+=+=． 故答案为527． 【名师点睛】本题解题关键是根据A 的得票数进行分类讨论，当A 的票数为3时，容易求出1127P =，当A 的票数为2时，要考虑如何体现A 的票数最高，分析出四人投票情况，是解题的难点，不妨先考虑BC 投给A ，则D 投给B （C ），A 就投给C 或D （B 或D ），即可容易解出．4．暑假期间，甲外出旅游的概率是14，乙外出旅游的概率是15，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是________．【试题来源】2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A 版2019必修第二册）【答案】25【分析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件A ，则其对立事件A 为“暑假期间两人都未外出旅游”，先求得()P A ，再求解即可.【解析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件A ，则其对立事件 A 为“暑假期间两人都未外出旅游”，则()11311455P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()321155P A P A =-=-=.故答案为25. 5．事件,,A B C 互相独立，若()()()111,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，，则()P B =__________.【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷（新教材人教B 版） 【答案】12【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式解方程组可得结果.【解析】因为事件,,A B C 互相独立，所以1()()61()()81()()()8P A P B P B P C P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， 所以()()11()()8111()68P B P C P C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以1()4P C =，1()2P B =.故答案为12 【名师点睛】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式求解是解题关键.四、解答题1．已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为25，34，13．求： （1）3人都通过体能测试的概率；（2）只有2人通过体能测试的概率；（3）只有1人通过体能测试的概率．【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册）【答案】（1）110；（2）2360；（3）512．【分析】设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）只有2人通过体能测试为AB C＋A B C＋A BC，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（3）只有1人通过体能测试为A B C＋A B C＋A B C，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.【解析】设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”，由题意有：P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13．（1）设事件M1＝“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事件M1＝ABC，由事件A，B，C相互独立可得P(M1)＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×13＝110．（2）设事件M2＝“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则M2＝AB C＋A B C＋A BC，由于事件A，B，C，A，B，C均相互独立，并且事件AB C，A B C，A BC两两互斥，因此P(M2)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×113⎛⎫-⎪⎝⎭＋25×314⎛⎫-⎪⎝⎭×13＋215⎛⎫-⎪⎝⎭×34×13＝2360．（3）设事件M3＝“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则M3＝A B C＋A B C＋A B C，由于事件A，B，C，A，B，C均相互独立，并且事件A B C，A B C，A B C两两互斥，因此P(M3)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝25×314⎛⎫-⎪⎝⎭×113⎛⎫-⎪⎝⎭＋215⎛⎫-⎪⎝⎭×34×113⎛⎫-⎪⎝⎭＋215⎛⎫-⎪⎝⎭×314⎛⎫-⎪⎝⎭×13＝512．2．已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是12，事件B发生的概率是23，事件C发生的概率是34，求下列事件的概率：（1）事件A，B，C只发生两个的概率；（2）事件A，B，C至多发生两个的概率．【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册）【答案】（1）1124；（2）34．【分析】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况，利用互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式可得答案；（2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况，利用互斥事件概率的加法公式计算即可．【解析】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况：AB C，A B C，A BC，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P(A1)＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝112＋18＋14＝1124，所以事件A，B，C只发生两个的概率为11 24．（2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝124＋624＋1124＝34．所以事件A，B，C至多发生两个的概率为34．3．甲､乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为13和1.4求：（1）两人都译出的概率；。
2020届高三数学9月第一次联考试题(含解析)
2020届高三数学9月第一次联考试题（含解析）注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。
1.记全集，集合，集合，则（）A. B. ØC. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集.【详解】由得或，由得，则，所以，故选C.【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.2.已知复数（为虚数单位），则复数z的模长等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解.【详解】化简易得，所以，故选A.【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数满足约束条件则的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B【解析】【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数经过点时有最大值12，故选B.【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y轴的交点即可得出b的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对和分类讨论，当时，对应A,D:由A选项中指数函数图象可知，，A选项中二次函数图象不符，D选项符合；当时，对应B,C:由指数函数图象可知，，则B，C选项二次函数图象不符，均不正确，故选D.【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线，平面满足，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当时，，则可知；反之当时，与中的不一定平行，故选A.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．6.已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，（）A. 增大，增大B. 减小，减小C. 增大，先增大后减小D. 增大，先减小后增大【答案】C【解析】【分析】由分布列可知，随机变量服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断.【详解】由题意可知，随机变量满足二项分布，即，易得，所以当且不断增大时，增大，先增大后减小.故选C.【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线右焦点为，左顶点为，右支上存在点满足，记直线AB与渐近线在第一象限内的交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意依次求出点的坐标，求出直线的方程，联立渐近线求出点的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.【详解】易知，，得直线，联立渐近线，得，又，所以，得，又，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为时，渐近线方程为；当双曲线的标准方程为时，渐近线方程为.8.已知函数，e是自然对数的底数，存在（）A. 当时，零点个数可能有3个B. 当时，零点个数可能有4个C. 当时，零点个数可能有3个D. 当时，零点个数可能有4个【答案】C【解析】【分析】首先将的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将等价为，根据穿针引线画出草图，即可判断.【详解】将看成两个函数的交点，利用以直代曲，可以将等价看成，利用“穿针引线”易知时图象如图，所以当时最多有两个交点，当时最多有三个交点.故选C.【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.9.三棱柱中，平面，动点在线段上滑动（包含端点），记与所成角为，与平面所成线面角为，二面角为，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点作于，则，过点作于，连接，则,过点作于，连接，则．所以，，，由可知（位于处等号成立），由可知（当为直角时，等号成立），故选B.【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.10.已知函数若函数的零点个数为2，则（）A. 或B.C. 或D.【答案】D【解析】【分析】由，可知当时，的图象可由的图象沿轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数的图象，将的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可.【详解】如图，可得的图象.令，当时，不符合题意；当时，得，若，则满足可得；若，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当时，因为，所以在上有两个交点，不合题意舍去，当时，则需解得，故选D.【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
2020年贵州省遵义市第九中学高三数学理联考试卷含解析
2020年贵州省遵义市第九中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题“”，命题“”，若命题为真命题，则实数的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：C2. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线和曲线的公共点有（）A．个 B．个 C．个 D．无数个参考答案：B3. 设i为虚数单位，则复数的共轭复数（）A. B.C. D.A【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。
【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。
若，，，，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。
4. 已知实数满足，若取得的最优解有无数个，则的值为A．B． C．或D．参考答案：C5. 已知R上的不间断函数满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。
又函数满足：对任意的，都有成立，当时，。
若关于的不等式对恒成立，则的取值范围( )A. B. C. D.A6. 已知函数，若方程的解为，（），则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定的值.【详解】函数的对称轴满足：，即，令可得函数在区间上的一条对称轴为，结合三角函数的对称性可知，则：，，由题意：，且，故，，由同角三角函数基本关系可知：.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 设集合，，若，则（）A．{－1,0,2} B．{0,1,2} C．{0,2} D．{－1,0,1,2}参考答案：A由题意，则，解得，所以集合，所以，故选A．D略9. 在平面内，，动点，满足，，则的最大值是A．3 B．4 C. 8 D．16参考答案：B10. 若函数在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A．（1，2）B．C．D．（0，1）参考答案：C考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数在（﹣∞，+∞）上单调递增，可得，由此求得a的范围．解答：解：∵函数在（﹣∞，+∞）上单调递增，则有，解得≤a＜2，故选：C．点评：本题主要考查函数的单调性的性质，注意等价转化，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设A={（x，y）|x2﹣a（2x+y）+4a2=0}，B={（x，y）||y|≥b|x|}，对任意实数a，均有A?B成立，则实数b的最大值为．参考答案：2【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】用x表示出y，利用基本不等式计算的最小值，即可得出b的最大值．【解答】解：由x2﹣a（2x+y）+4a2=0得：y=x2﹣2x+4a，则=||，当ax＞0时，≥2=4，∴||≥|4﹣2|=2，即≥2，当ax＜0时，≤﹣2=﹣4，∴||≥|﹣4﹣2|=6，即≥6，∵对任意实数a，均有A?B成立，即||y|≥b|x|恒成立，即≥b恒成立，∴b≤2，故答案为2．【点评】本题考查了集合的包含关系，不等式的性质，属于中档题．12. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是参考答案：67713. 从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________________. 参考答案：0.214. 已知点O为的外心，且,则▲．参考答案：答案：615. 复数的虚部为______．参考答案：试题分析：，所以虚部为.考点：复数的代数运算.16. “0＜a＜b”是“（）a＞（）b”的条件．（填充分而不必要条件、必要而不充分件、充分条件、既不充分也不必要条件中一个）参考答案：充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据指数函数的性质先求出a＜b，再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由（）a＞（）b得：a＜b，故0＜a＜b是a＜b的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查指数函数的性质，是一道基础题．17. 已知函数，则_____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
高中数学试题及答案doc原创
高中数学试题及答案doc原创一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)答案：C2. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值：A. -1B. 1C. 5D. -5答案：A3. 一个圆的半径为5，其面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 25答案：B4. 直线y = 2x + 1与直线y = -x + 4相交于：A. (1, 3)B. (-1, 3)C. (1, -1)D. (-1, -1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 等差数列的前n项和公式为：________答案：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)2. 函数y = x^2 - 4x + 3的顶点坐标为：________答案：(2, -1)3. 一个三角形的内角和为：________答案：180°4. 圆的周长公式为：________答案：C = 2πr三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知等比数列{a_n}的前三项依次为2, 6, 18，求该数列的通项公式。
答案：a_n = 2 * 3^(n-1)2. 求函数f(x) = x^2 - 6x + 8在区间[1, 4]上的最大值和最小值。
答案：最小值f(3) = -1，最大值f(1) = 33. 已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2 + c^2 - b^2 = ac，求角B的大小。
答案：B = π/34. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，求导数f'(x)。
答案：f'(x) = 3x^2 - 6x5. 一个圆的直径为10，求该圆的面积。
答案：A = 25π6. 已知直线l：y = 3x + 2与抛物线y^2 = 4x相交于点A和B，求A、B两点的坐标。
答案：A(1, 3)，B(3, 9)四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，则该三角形的周长不可能为9。
高中数学考试试卷原创题(难度较大)
标题姓名： 校区：一、选择题（每题5分，共60分）1.已知集合{}122=+∈=y x Z x A ，集合{}12-==x y x B ，则B A ⋂的元素个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2.向量、，若)2,1(=，满足与+同方向的单位向量为)13133,13132(=b （ ） A.5 B.25 C.5 D.35 3.已知复数1z 、2z 满足21=z ，221=-z z ，i z z -=+3221，则=21z z （ ） A.i i -2528或 B.i i +-2528或C.i i 5157-或D.i i 5751+-或4.如图所示程序框图，若输出的结果为25=S ，则 输入的t =（ ）A.5B.9C.10D.155.抛物线y x 42=上两动点A 、B ，若8=AB 。
设()00,y x P 是线段AB 的中点，则=0y （ ）A.4B.8C.41D.16156.若P 点是双曲线C ：12222=-by a x （0,0>>b a ）上任意一点；在P 点处作C 的切线l 与两坐标轴交于A 、B 两点。
已知△OAB 的面积为2a ，则双曲线C 的离心率为（ ） A.5 B.3 C.2 D.257.从231、232、233···240这十个数字中随机抽取一个数字，则该数字的个位数字与十位数字之和是奇数的概率为（ ） A.107 B.53 C.21 D.528.已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+-0001y x y x ，则223y x z +=的最小值为（ ）A.1B.43C.22D.09.已知三棱锥A -BCD 的所有棱长都为2，点P 是平面BCD 内的一个动点，AP=3，若M 、N 、Q 分别为AB 、AC 、AD 的中点，则三棱锥P -MNQ 的外接球表面积为（ ） A.π3 B.π4 C.π5 D.π610.已知α是第二象限角，且1cos sin 5=+αα，则=+ααcos sin 18（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 11.已知几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长 为3的正方体，则该几何体的体积为（ ） A.23B.3C.233 D.23 12.函数x x x f )3()(2+=的图像大致为（ ） A.B.C. D.二、填空题（每题5分，共20分）13.()55)1(2+⋅+x x 的展开式中x 项的系数是 .14.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的值为 .15.已知实数a 、b 满足1=+b a .则()()1122++++b b a a 的最小值是 .16.已知函数)1ln(2ln )(+-=x ax x f .若)(x f 在定义域内有且仅有一个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题（每题12分，共60分）17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足n S a a n n 442121++=+，且73a S =.（1）求n a 得通项公式；（2）求数列{}n n S ⋅2的前n 项和n T .18.如图所示的三棱锥P -BCA 中，PA=AB=1，PC=BC=3（1）求证：PB ⊥AC ； （2）若PB=26，AB ⊥BC.求二面角A -PC -B 的余弦值。
2020年陕西省咸阳市兴平西郊高中高三数学文联考试题含解析
2020年陕西省咸阳市兴平西郊高中高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数y＝x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝( )A．-2或2 B．-9或3 C．-1或1 D．-3或1参考答案：A略2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位[KS5UKS5UKS5U]参考答案：A3. 已知都是正实数，且满足，则的最小值为（A）12 （B）10 （C）8 （D）6参考答案：C4. 设直线的倾斜角为，且，则、满足A. B. C. D.参考答案：D5. 设为虚数单位，则复数的虚部是（）A．3 B． C．1D．-1参考答案：D.试题分析：由复数的概念即可得出复数的虚部是，故应选D.考点：１、复数的概念.6. 顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为( )A．B．C．D．．参考答案：D解：AB⊥OB，T PB⊥AB，T AB⊥面POB，T面PAB⊥面POB．OH⊥PB，T OH⊥面PAB，T OH⊥HC，OH⊥PC，又，PC⊥OC，T PC⊥面OCH．T PC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2．而∆OCH的面积在OH=HC=时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=时，由PO=2，知∠OPB=30︒，OB=PO tan30︒=．又解：连线如图，由C为PA中点，故V O－PBC=V B－AOP，而V O－PHC∶V O－PBC==(PO2=PH·PB)．记PO=OA=2=R，∠AOB=α，则V P—AOB=R3sinαcosα=R3sin2α，V B－PCO=R3sin2α．===．T V O－PHC=′R3．∴ 令y=，y￠==0，得cos2α=－，T cosα=，∴ OB=，选D7. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得几何体的体积是（）cm3。
广东省深圳市第九高级中学2020年高三数学理联考试卷含解析
广东省深圳市第九高级中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设都是不等于1的正数，则“”是“”的什么条件( )A .充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要参考答案：B都是不等于的正数，，，即或解得或或，根据充分必要条件的定义可得“”是“”的充分非必要条件2. 函数在上的最大值为2，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：D略3. 若集合则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A4. 设向量满足，则=（）A．2 B．C．3 D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可以得到，这样代入即可求出的值，从而得出的值．【解答】解：===16﹣4=12；∴．故选：B．5. 若两个函数的图象有一个公共点，并在该点处的切线相同，就说明这两个函数有why点，已知函数f（x）=lnx和g（x）=e x+m有why点，则m所在的区间为（）A．（﹣3，﹣e）B．（﹣e，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣2）参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】新定义；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】设f（x）和g（x）的公共点为（a，b），（a＞0），求导数，建立方程组，求得alna=1，确定a的范围，再由m=﹣lna﹣a=﹣（a+）确定单调递增，即可得到m的范围．【解答】解：设f（x）和g（x）的公共点为（a，b），（a＞0），函数f（x）=lnx的导数为f′（x）=，g（x）=e x+m有的导数为g′（x）=e x+m，即有=e a+m，lna=e a+m，即为alna=1，令h（a）=alna﹣1，可得h（）=ln﹣1＜0，h（2）=2ln2﹣1＞0，即有＜a＜2，则m=﹣lna﹣a=﹣（a+）∈（﹣，﹣），而﹣＞﹣，故选C．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，解题的关键是分离参数，确定函数的单调性，属于中档题．6. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=10，进而可得抛物线的焦点坐标，可得c的值由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得a，b，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，即点在抛物线的准线上，则p=10，则抛物线的焦点为（5，0）；因为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，所以c=5，因为点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，所以a=4，b=3所以e==故选B．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为”这一条件的运用是关键．7. 已知非零平面向量,,“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C因为，平方：，展开，合并同类项，得：，所以，。
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2020年数学原创试题（9）
在复数运算中，1起到微妙的作用，下面列举几例。
例1、计算i i i 1
21
31
++ 分析：从i i 12+入手，将分子1用2i -代替，即i
i 12+i i i 22-+=，以此类推，将原式中的1均用2
i -代替，很容易得出结果。
解：原式i
i i i i i 22223-+-+-=i i i i 22
3-+-=.222i i i -=-= 例2、计算ai
b bi a -+ 分析：本题中没有明显的“1”，但实数a=a ·1=a ·（2i -），分子则为
a ·（2
i -）+bi=i （b-ai ），即可解出。
解：ai
b bi a -+.)()(2i ai b ai b i ai b bi i a =--=-+-= 例3、计算1212)2
3()23(i i --+ 分析：根据括号内复数的特征，可将
23i +变形为)231)(1(2)3(i i i i i +-=⋅+； 同理可得=-23i ).231)(1(i i --- 又3是12的因数，利用1)2
31(3=±-i 即可得出计算结果。
解：原式
1212]2)3()()([]2)3([i i i i i i -⋅---⋅+4312])231[(1i i +-⋅=4312])2
31[()(1i i --⋅--=1-1=0. 点评：总之，复数运算中“1”的代换有两种方式，其一为“代入”，如例1、例2，将1用2
i -代替；其二为“凑”，如例3，分子乘i 后，凑出了1的立方根。
例4、计算2008)12(32132i i
i -+++- 解：原式10042])12[(321)321(i i i i -+++=
1004)22(i i -+=1004i i +=.12514i i i +=+=⨯ 点评：代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则，但如果能通过表达式的结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质，1的立方虚根ω的性质，可有效地简化运算，提高速度。
例5、计算812)3122()2123(i
i i -++--的值。
解：812)3122()2123(i i i -++--=881212)2
321()1()2321(i i i i +-+++- 94)2
321()2321()2(11i i i +-+-+⨯=)2321(161i +-+=.387i += 点评：若i 2
321+-=ω，则13=ω，这是一个比较重要的结论，通过观察，不难得到i 2123--
)2321(i i +-=，i 31-)2321(2i +--=，从而利用13=ω，化简计算。