第八章 相量法

I )e j t ] Re[ 2 ( I1 2
I I1 I2 I1 I 2 2
（2）微分特性
u 2U cos(t i )
du d Re[ dt dt

2U e
j t
d ] Re dt

2U e
jt
Charles Steinmetz:
德裔美国电机工程师。
在1893年提出了相量法。
In 1901, he became the president of the IEEE ( Institute of Electrical and Electronics Engineers)
§8-2 正弦信号的相量表示法
积分特性
U udt j
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 最大值 Im= 10A 变量，小写字母 常数，大写字母
10 A 有效值 I = 2
最大值相量 I m 10 /30 A 有效值相量 I 10 / 30 A 2

u(t ) 2U cos( t u )
uR
-
2U cos(t u ) 2RI cos(t i )
U RI u i
U RI


相量形式： 相量模型：
U RI
+j




wk.baidu.com
I
+
U
R
I
O 相量图
U
i u
+1
2、电感元件
瞬时值表达式：
F r
a b
2
2
F r cos jr sin
F re F r
j
b arctan a
例：
3+j4= 5 /53.1° -3+j4= 5 /-53.1 °
10 /30 °
=10(cos30 °+ jsin30 °) =8.66+j5
×
=5 /126.9 °
有效值
？
j45
45
I m 10 e
？
正误判断
已知：
u 2 10 cos ( t 15 )

则：
U 10 ？
10 e j15 U

15

？
正误判断
已知：
10050 U

则：
u 100 cos( t 50 )？
最大值
100 2
§8-3 电路定律的相量形式
i2
i i1 i2 对应的相量形式为

I I1 I 2 =10 /60° + 22 /-150 °
=(5 + j8.66) + ( -19.05 - j11) = -14.05 - j2.34 = 14.24 /-170.54° A i = 14.24


2cos(314t - 170.54 °)A
2.复数的代数运算 相加(减):使用代数形式
(a jb) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
相乘（除）:使用指数形式
F F1F2 r1r2e
j (1 2 )
F1 r1 j (12 ) F e F2 r2
二．正弦信号的相量表示
根据欧拉公式:
e
jx
电路分析研究的主要内容：
1. 电阻电路分析（1-4）；
2. 动态电路分析（6-7）； 3. 正弦稳态电路分析（8-12）。
激励为正弦量时对电路物理参量的分析
研究正弦电路的意义 （1）正弦电路在电力系统和电子技术领域中广泛应用。 发电厂发出的电压是正弦电压； 常用的音频信号发生器输出的信号是正弦信号； 语音广播及电视广播技术中所用的“（超）高频 载波”是正弦波等等。
相量形式：
1 (或U C j IC ) C
I C jC U C



1 UC IC C
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
统一用cosine 函数
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅（最大值） Im：表示大小 Amplitude
有效值: 电器铭牌上标示的都是有效值。
在一个周期内， i(t)流过R所作的功与直流I流过同 一R所作的功相等，则此I称为i(t)的有效值。
同频的正弦量。
例： 计算 i
i
U m cos( t i )
+ _ R1
i2
i1
C
Um i1 cos( t i ) R1 du s (t ) i2 C U mC cos( t i 90) dt
Um i i1 i2 cos( t i ) U mC cos( t i 90) R1 U m (1 / R1 ) 2 (C ) 2 cos[ t i arctg (R1C )]
1．用相量可以唯一地表征一个的正弦量，
即：若 I1＝I 2 则 i1 i2 , 反之亦然。
2．相量能表示一个正弦量，但不等于正弦量；
i I
相量只能用来比较相同频率的正弦量； 相量加上频率才能求得正弦量；
物理意义： 唯一对应
正弦时间函数 正弦量的计算
复指数函数 相量 相量计算
四、正弦量的运算转换为相对应的相量运算
④ 12 = ±/2 称f1与f2 正交
4、注意(Notice)：
(1) 只有同频率的正弦信号才可以比较相位 (2) 在同一问题或同一电路中，可选定一个
变量，令其初始相位为零，其余变量与它相
比较。称此变量为参考正弦量。
(3) 正弦量乘以常数、正弦量的微分、积分、
同频正弦量的代数和运算, 其结果仍为一个
优点
1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（2）正弦信号是一种基本信号。借助于傅立叶级数，
可以把复杂的非正弦周期信号分解成为一系列不
同频率的正弦分量。
f ( t ) Ak cos(kt k )
k 1
n
研究正弦稳态电路具有重要的理论价值和实际意义。

du Re[ 2 ( j U )e jt ] dt
du jU dt
时域 复域
（3）积分特性
U udt j
五、相量图
在复平面上按各正弦量的大小和初始 位置画的有向线段。
Ψ
例1
用有效值相量表示下列正弦量， 并画相量图
i (t ) 10 2 sin( t 60 )

T
0
i (t ) Rdt I RT
2 2
1 T 2 I 0 i (t )dt T
(1)式中代入
(1)式
i(t ) I m cos( t i ) 得
Im I 2
i(t ) I m cos( t i )
2.角频率（周期T、频率f）：表示变化快慢 Angular frequency(period, frequency) 定义：相角(t+i)随时间变化的速度（rad/s）
The Phasor
相量法即用复数为工具来表示正弦量。 正弦量 相量(或复数)
变换的思想
相量是一个包含正弦量“幅值”和“相 位”信息的复数。
一、复习复数：
(review the complex number) b
+j
F
r
θ
0 a +1
1.复数的表示形式
(1)代数形式
F a jb
(2)三角形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
+
iL
L
di uL L dt
相量形式：
uL
-
U L jL I L


U L LI L u i 2
U LI ＝X L I i u 2
定义：
X L＝L＝2fL
称
感抗
(1）XL 与ω 有关。
（2）XL 为电压与电流有效值之比，
2 2 f T
f: 频率
单位：rad/s
其中：T: 周期
单位：秒（S） 单位：赫兹（Hz）
1 f T
i(t ) I m cos( t i )
3. 初相位i ： (Phase angle)
（1）相位：
t i
表示进程（电角度）
（2）初相位i ： 正弦量在t=0时的相位， 与时间起点的选取有关。
判断对错：


1. U U 1 U 2



U1

U2
_
U m U 1m U 2 m u u1 u 2
2. Um=U1m+U2m
U=U1+U2


+

√
╳
U
二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式 1、电阻元件
瞬时值表达式：
u R RiR
iR
+
R
i(t ) 2I cos( t i )
| i |
（3）同频率正弦量的相位差
设: f1(t)= A1 cos(t+ 1) , f2(t)= A2 cos(t+ 2) 则相位差: 12= 1- 2 = (t+ 1) -( t+ 2)= 1 - 2
相位关系： ① 12 = 0 1 = 2 称f1与f2 同相

A
u (t ) 200 sin t V
解：
10－60 90 10－150 ( A) I
200 ＝ U 90 (V ) 2
例2
已知 解：
i1 10 2 cos(314t / 3)A
i2 22 2 cos(314t 5 / 6)A
求： i1
一、基尔霍夫定律的相量形式
时 域
u=0 i=0
u、i均为
(KVL) (KCL)
相量 形式
同频正弦量
U 0 I 0
（证明略）
例
已知：f=50Hz,I1=10A,θ1=60o, I2=5A, θ2= -90o 求：I3, θ3, i3, 并画相量图
I3 I1 I2 5 j3.66 6.236
常数，大写字母
常数，大写字母加点 常数，大写字母加点

正误判断
？ u 100 cos t U
瞬时值
复数
正误判断
50 e j15 50 2 cos( t 15 )？ U
复数
瞬时值
正误判断
已知：
i 10 cos( t 45 )

10 则I 45 2
正弦稳态分析 分析电路在正弦稳态下各支路或某些支路的电压、电
流、功率和能量情况(第9～12章)。 相量法（第8章）
第8章 相量法
重点： 1. 正弦量的表示； 2. 正弦量的相量表示； 3. 电路定理的相量形式。
§8-1 正弦量的基本概念
The Concept of the Sinusoidal Signal
正弦电压：
u 2U cos ( t )
表示u的相量有：
Ue j U
U e j Um m
或
正弦量的运算转换为相对应的相量运算
加法特性

u u1 u2 U U1 U 2
微分特性
du jU dt
j----旋转90o因子
cos x j sin x
j (t )
对于同频 正弦量而 言相同
u 2U cos ( t ) Re[ 2Ue
时域 一 一 对 应
] Re[ 2Ue j e jt ]
复域
正弦时间函数
复常数 （包含有效值、初相）
u 2U cos ( t )
相量
三、相量与正弦量的关系
不适于瞬时值关系。
U LI i u 2
U L jL I L jX L I L
相量模型：


u, i
u
0

i
t


波形图
+j

UL
u
L
IL
+
jXL

IL
i
+1
U
O
相量图
3、电容元件
瞬时值表达式：
+
iC
C
uC
-
duC iC C dt
（1）正弦量的代数和：
相量的代数和
同频正弦量的代数和仍是一个同频正弦量。
i i1 i2 2 I1 cos( t ) 2 I 2 cos( t 2 )
e j t ] Re[ 2 I e j t ] Re[ 2 I1 2
e j t ] Re[ 2 I
相位差为 12= 1- 2 = (t+ 1) -( t+ 2)= 1 - 2 ② 12 > 0 1 > 2 称f1超前f2
12 < 0
1 < 2 称f1滞后f2
限定 =- ~ +
1 (+)
0
ωt
2 (-)
③ 12 = 称f1与f2 反相