第八章 相量法
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第八章相量法
ρ = a2 + b2
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
第八章 相量法(Phasor method
k =1
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
第八章相量法.ppt
第八章
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
第08章 相量法
α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
第八章相量法
i i
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
第八章 相量法
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
(j 1 为虚数单位)
2.电感
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
U L wLI L i 2
相量关系:
相量形式:
3.电容
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
I C wCU C u 2
相量关系:
(j 1 为虚数单位)
上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示 时仍满足KCL；任一回路所有支路正弦电压用相量表 示时仍满足KVL.
2. 电路的相量模型（phasor model)
(j 1 为虚数单位) 时域电路
的相量模型:电压、电流用相量；元件用相量模型。
4.指数形式
F Fe
j
极坐标形式 F F
(j 1 为虚数单位) 二、复数运算
1.加减运算----代数形式
2.乘除运算----极坐标形式
(j 1 为虚数单位)
解：
(j 1 为虚数单位)
Im 3.旋转因子 F• ej
O
F Re
(j 1 为虚数单位)
所以，电流表4的读数为5A；电流表5的读数为7.07A。
小结：
1. 求正弦稳态解是求微分方程的特解，应 用相量法将该问题转化为求解复数代数方程 (j 1 为虚数单位) 问题。 2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微 分方程，而直接列写相量形式的代数方程。
(j 1 为虚数单位)
注意：
1. 只有正弦量才能用相量表示,非正弦量 不可以.
(j 相量只是表示正弦量 1 为虚数单位) ,不是等于正弦量. 2.
3. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量 图上,不同频率不行.
第八章 相量法
上 页 下 页
2.正弦信号是一种基本信号， 2.正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂 正弦信号是一种基本信号 的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。 的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
f (t ) = ∑ Ak cos(kωt + θ k )
k =1
n
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。 论价值和实际意义。
复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
上 页
下 页
若 则 Im
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) A1+A2
Im
A1+A2
A2
A2 A1 A1 0 Re
0 图解法
Re
A1-A2
-A2
上 页
下 页
②乘除运算 —— 采用极坐标式 若 则:
A1=|A1| θ 1 ，A2=|A2| θ 2
上 页
下 页
2. 正弦量的相量表示 造一个复函数
无物理意义
j(ω t +Ψ)
A(t) = 2Ie
= 2Icos(ωt + Ψ ) + j 2Isin(ωt +Ψ )
对 A(t) 取实部 Re[ A(t)] = 2Icos(ω t +Ψ ) = i(t)
是一个正弦量 有物理意义
j(ω t+Ψ )
结论 任意一个正弦时间函数都
=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
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③旋转因子 复数
2.正弦信号是一种基本信号， 2.正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂 正弦信号是一种基本信号 的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。 的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
f (t ) = ∑ Ak cos(kωt + θ k )
k =1
n
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。 论价值和实际意义。
复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
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若 则 Im
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) A1+A2
Im
A1+A2
A2
A2 A1 A1 0 Re
0 图解法
Re
A1-A2
-A2
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②乘除运算 —— 采用极坐标式 若 则:
A1=|A1| θ 1 ，A2=|A2| θ 2
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2. 正弦量的相量表示 造一个复函数
无物理意义
j(ω t +Ψ)
A(t) = 2Ie
= 2Icos(ωt + Ψ ) + j 2Isin(ωt +Ψ )
对 A(t) 取实部 Re[ A(t)] = 2Icos(ω t +Ψ ) = i(t)
是一个正弦量 有物理意义
j(ω t+Ψ )
结论 任意一个正弦时间函数都
=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
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③旋转因子 复数
第八章 相量法
而A2中包含了正弦量中不同变量中可变的两个要素I、φ i （不同变量，I、φ i 不相同）。 定义：1：A1 2e jt 称为旋转矢量——是个不变的复指数函数
可以看出 i(t)和指数函数A是一一对应的关系，再将A作如下变换：
其在实轴上的投影随时间规律变化就是正弦量（取实部）。
2e jt 是随时间从实轴出发沿逆时针方向旋转的一个矢量，
而 i(t ) Re[I 2e jt ]
I I1 I 2
2. 相量的乘除 u (t ) 2U cos(t u ) U U u i (t ) 2 I cos(t ) I I
i i
复阻抗
U U u U Z ( u i ) I i I I Z z
I 1 I 1 1 I 2 I 2 2 I I I
1 2
显然，三角函数本身的代数和较 麻烦，若转化为相量求代数和后 再转换成正弦函数就容易的多。
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) Re I1 2e jt Re I 2 2e jt Re (I1 I 2 ) 2e jt
U Z I Z z Ii Uu
3．正弦量的一阶微分（积分）仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相 量乘以（除以） jω 。（P211） 正弦量的积分仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相量除以jω 。
i (t ) 2 I cos(t i ) 则 di(t ) dt j I
除法时，复数的模直接相除，而幅角相减。
A1 1 A2 2 A1 A2 1 2
1 2
§8-2正弦量
可以看出 i(t)和指数函数A是一一对应的关系，再将A作如下变换：
其在实轴上的投影随时间规律变化就是正弦量（取实部）。
2e jt 是随时间从实轴出发沿逆时针方向旋转的一个矢量，
而 i(t ) Re[I 2e jt ]
I I1 I 2
2. 相量的乘除 u (t ) 2U cos(t u ) U U u i (t ) 2 I cos(t ) I I
i i
复阻抗
U U u U Z ( u i ) I i I I Z z
I 1 I 1 1 I 2 I 2 2 I I I
1 2
显然，三角函数本身的代数和较 麻烦，若转化为相量求代数和后 再转换成正弦函数就容易的多。
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) Re I1 2e jt Re I 2 2e jt Re (I1 I 2 ) 2e jt
U Z I Z z Ii Uu
3．正弦量的一阶微分（积分）仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相 量乘以（除以） jω 。（P211） 正弦量的积分仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相量除以jω 。
i (t ) 2 I cos(t i ) 则 di(t ) dt j I
除法时，复数的模直接相除，而幅角相减。
A1 1 A2 2 A1 A2 1 2
1 2
§8-2正弦量
第8章 相量法
第八章相量法一、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况。
5、掌握最大功率传输的概念，及在不同情况下的最大传输条件。
二、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
四、学时安排总学时：4五、教学内容§8.1 复数相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。
1. 复数的四种表示形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平面的表示。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三角形式：两种表示法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采用代数形式比较方便。
若则即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。
图 8.2(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。
若则即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。
除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因子：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转一个角度θ，而模不变，如图 8.4 所示。
第8章_相量法
(3) 由于复数感抗的存在使电流滞后电压。
22
3、电容： i (t) + u(t) 时域模型 时域
u(t ) 2U sint
频域
U0 o U
I
C
du (t ) i(t ) C dt 2CU cost 2CU sin( t 90o )
jC U I
有效值关系 I=C U 相位关系 i 超前u 90°
jC U I
1 U j C 相量模型
+
I
U
1 U I j 1 I j C C
三个含义：
相量图
23
容抗： X C
定义
1 C
错误的写法 1 u C i
1 U C I
容抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； (2) 容抗的绝对值和频率成反比。
注 意
① Ψi 与参考方向的设定有关，不同则差180º 。 ②正弦量的一个重要性质： 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频 正弦量的代数和等，结果均为同频正弦量。
8
§8 - 3 相量法的基础(****)
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义：
表示正弦量的复常数称为相量。 例如： 正弦量 i 220 2 cos(314t 30 )A
定义： 随时间按正弦规律变化的电压和电流，称为正弦量。 i
u 在图示参考方向的前提下， +
i(t ) I m cos(t i )
5
注意： 方向是随时间在周期性的变化， 所以更要标定参考方向。
1、变化的快慢： ①频率f：每秒变化的次数。单位：Hz ②周期T： 变化一次所需的时间。单位：s ③角频率ω： 每秒变化的弧度数。单位：rad/s 2、大小及有效值： ①瞬时值： 小写，任一时刻的实际值。 ②最大值： 幅值，最大的瞬时值。峰峰值
第8章 相量法
第8章 相量法
8. 1 复数及运算
8. 2 正弦量的基本概念 8. 3 正弦量的相量表示 8. 4 电阻、电感和电容元件上电压 和电流的相量关系
8. 5 电路定律的相量形式和电路的相量模型
8. 1 复数及运算
1. 复数A表示形式： Im b A Im b A |A| |A|称为模
O
两种表示法：
称为辐角
作业：217页
(17 j9)(4 j6) 22035 ? 20 j5
19.24 27.9 7.21156.3 解：上式 180.2 j126.2 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠ A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故 把 ej 称为旋转因子。
Im
几种不同值时的旋转因子：
jI
0
I
, e 2
j
2
cos j sin j 2 2
解： I 10030o A
u 311.1cos(314t 60 )V 试用相量表示 i, u 。
o
U 220 60o V
例2.
已知 I 5015o A, f 50Hz.
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 50 2cos(314 t 15o ) A
二. 相量图
i(t ) 2 Icos(ω t y i ) I I y i
。
8. 1 复数及运算
8. 2 正弦量的基本概念 8. 3 正弦量的相量表示 8. 4 电阻、电感和电容元件上电压 和电流的相量关系
8. 5 电路定律的相量形式和电路的相量模型
8. 1 复数及运算
1. 复数A表示形式： Im b A Im b A |A| |A|称为模
O
两种表示法：
称为辐角
作业：217页
(17 j9)(4 j6) 22035 ? 20 j5
19.24 27.9 7.21156.3 解：上式 180.2 j126.2 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠ A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故 把 ej 称为旋转因子。
Im
几种不同值时的旋转因子：
jI
0
I
, e 2
j
2
cos j sin j 2 2
解： I 10030o A
u 311.1cos(314t 60 )V 试用相量表示 i, u 。
o
U 220 60o V
例2.
已知 I 5015o A, f 50Hz.
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 50 2cos(314 t 15o ) A
二. 相量图
i(t ) 2 Icos(ω t y i ) I I y i
。
第08章相量法
？ 则：U＝10V U 10e j15V？ -j15º 已知： I 10050 A
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
第八章 相量法
99.5531 99.55e j 31 u (t ) 99.55 2 cos(t 31)V
（ 3）
注意：
电路
在这样的表示中舍弃了正弦量的时间因子。如果给 出一个正弦量的相量表示，要求出该正弦量的瞬时值 表达式，只要在相量式中乘以一个不变的量 2e jt ， 然后取其实部即可得到该正弦量的瞬时表达式。 例如，已知 U 10e V 求u=? ∵ U 2e jt 10 2e j 300 e jt 10 2e j (t 300 )
j
代数式 指数式 极坐标形式
U
电路
设a、b为正实数
j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e
在第一象限Ⅰ 在第二象限Ⅱ
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
设：
U e U 1 1 j 2 U e U
2 2
j 1
电路
则：
U1 U1 j 1 2 e U2 U2
A
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
说明： 设：任一矢量 则：
e A
j 90
( j ) A
§8.2
一、交流电的概念
电路 5 、 一个正弦量对时间积分的相量等于该正弦量相量 除以 j
( idt )
I j
如： i
2I cos(t i ) I Ie j
i
1 2I uc idt cos(t i )dt C C
2I 2I sin(t i ) cos(t i ) C 2 C
（ 3）
注意：
电路
在这样的表示中舍弃了正弦量的时间因子。如果给 出一个正弦量的相量表示，要求出该正弦量的瞬时值 表达式，只要在相量式中乘以一个不变的量 2e jt ， 然后取其实部即可得到该正弦量的瞬时表达式。 例如，已知 U 10e V 求u=? ∵ U 2e jt 10 2e j 300 e jt 10 2e j (t 300 )
j
代数式 指数式 极坐标形式
U
电路
设a、b为正实数
j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e
在第一象限Ⅰ 在第二象限Ⅱ
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
设：
U e U 1 1 j 2 U e U
2 2
j 1
电路
则：
U1 U1 j 1 2 e U2 U2
A
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
说明： 设：任一矢量 则：
e A
j 90
( j ) A
§8.2
一、交流电的概念
电路 5 、 一个正弦量对时间积分的相量等于该正弦量相量 除以 j
( idt )
I j
如： i
2I cos(t i ) I Ie j
i
1 2I uc idt cos(t i )dt C C
2I 2I sin(t i ) cos(t i ) C 2 C
第8章 相量法
重点掌握正弦稳态电路 的解题思路。
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
相量法
I 2 R
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
第八章 相量法
F• ej
旋转因子 0
F Re
特殊旋转因子
+jF
Im
F
e
j
2 cos
2
2
j sin
j
2
j
0 -F
Re - jF
，e
2
2
cos
2
j sin
2
j
，e j cos( ) j sin( ) 1
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
iu 1, i
角频率 有效值 初相位
w
I1 o
i1
i2
i w 2 I2
i1+i2 i3
w
wI t
3
i3
1
2
3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 正弦量 复数 变换的思想
3. 正弦量的相量表示
造一个复函数
无物理意义
j (wt y )
F (t ) 2 Ie F (t ) 2 I cos(wt y ) j 2 I sin( wt y ) 2 I cos(wt y ) i(t )
F(t) 包含了三要素：I、 、w， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
i(t ) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ
注意
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
U u (t ) 2U cos(wt ) U
注意 ① 正弦量
第八章 相量法
0
e
j90
cos 90 j sin 90 j
e
j 90
90
0
⑥“j”的数学意义和物理意义 设相量
e
j
cos j sin 1
j
0
re jψ A
re
j ( )
A e
旋转 90 因子：
e
j 90 B
+j
+ UA N
–
uA 220 2 cos 314 t V
+ A
U AB N
UC +
– –
U A 220 0 V UB 220 120 V UC 220 120 V
UB +
–
B
C
由KVL定律可知
UAB 220 V 220 cos ( 120 ) j sin ( 120) V
求：i i1 i2 。
i2 11 2 cos(314 t 60 )A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A (16.5 - j3.18)A 16.8 10.9 A
有效值 I =16.8 A
⑥“j”的数学意义和物理意义 设相量
e
j
cos j sin 1
j
re jψ A
A e
re
j ( )
A e
j
re
j ( )
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模 不变。 故把 ej 称为旋转因子。 旋转 90 因子：
3. 正弦量的相量表示
e
j90
cos 90 j sin 90 j
e
j 90
90
0
⑥“j”的数学意义和物理意义 设相量
e
j
cos j sin 1
j
0
re jψ A
re
j ( )
A e
旋转 90 因子：
e
j 90 B
+j
+ UA N
–
uA 220 2 cos 314 t V
+ A
U AB N
UC +
– –
U A 220 0 V UB 220 120 V UC 220 120 V
UB +
–
B
C
由KVL定律可知
UAB 220 V 220 cos ( 120 ) j sin ( 120) V
求：i i1 i2 。
i2 11 2 cos(314 t 60 )A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A (16.5 - j3.18)A 16.8 10.9 A
有效值 I =16.8 A
⑥“j”的数学意义和物理意义 设相量
e
j
cos j sin 1
j
re jψ A
A e
re
j ( )
A e
j
re
j ( )
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模 不变。 故把 ej 称为旋转因子。 旋转 90 因子：
3. 正弦量的相量表示
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不适于瞬时值关系。
U LI i u 2
U L jL I L jX L I L
相量模型：
u, i
u
0
i
t
波形图
+j
UL
u
L
IL
+
jXL
IL
i
+1
U
O
相量图
3、电容元件
瞬时值表达式：
+
iC
C
uC
-
duC iC C dt
cos x j sin x
j (t )
对于同频 正弦量而 言相同
u 2U cos ( t ) Re[ 2Ue
时域 一 一 对 应
] Re[ 2Ue j e jt ]
复域
正弦时间函数
复常数 （包含有效值、初相）
u 2U cos ( t )
相量
三、相量与正弦量的关系
The Phasor
相量法即用复数为工具来表示正弦量。 正弦量 相量(或复数)
变换的思想
相量是一个包含正弦量“幅值”和“相 位”信息的复数。
一、复习复数：
(review the complex number) b
+j
F
r
θ
0 a +1
1.复数的表示形式
(1)代数形式
F a jb
(2)三角形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
同频的正弦量。
例： 计算 i
i
U m cos( t i )
+ _ R1
i2
i1
C
Um i1 cos( t i ) R1 du s (t ) i2 C U mC cos( t i 90) dt
Um i i1 i2 cos( t i ) U mC cos( t i 90) R1 U m (1 / R1 ) 2 (C ) 2 cos[ t i arctg (R1C )]
I )e j t ] Re[ 2 ( I1 2
I I1 I2 I1 I 2 2
（2）微分特性
u 2U cos(t i )
du d Re[ dt dt
2U e
j t
d ] Re dt
2U e
jt
i2
i i1 i2 对应的相量形式为
I I1 I 2 =10 /60° + 22 /-150 °
=(5 + j8.66) + ( -19.05 - j11) = -14.05 - j2.34 = 14.24 /-170.54° A i = 14.24
2cos(314t - 170.54 °)A
F r
a b
2
2
F r cos jr sin
F re F r
j
b arctan a
例：
3+j4= 5 /53.1° -3+j4= 5 /-53.1 °
10 /30 °
=10(cos30 °+ jsin30 °) =8.66+j5
×
=5 /126.9 °
Charles Steinmetz:
德裔美国电机工程师。
在1893年提出了相量法。
In 1901, he became the president of the IEEE ( Institute of Electrical and Electronics Engineers)
§8-2 正弦信号的相量表示法
正弦电压：
u 2U cos ( t )
表示u的相量有：
Ue j U
U e j Um m
或
正弦量的运算转换为相对应的相量运算
加法特性
u u1 u2 U U1 U 2
微分特性
du jU dt
j----旋转90o因子
du Re[ 2 ( j U )e jt ] dt
du jU dt
时域 复域
（3）积分特性
U udt j
五、相量图
在复平面上按各正弦量的大小和初始 位置画的有向线段。
Ψ
例1
用有效值相量表示下列正弦量， 并画相量图
i (t ) 10 2 sin( t 60 )
积分特性
U udt j
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 最大值 Im= 10A 变量，小写字母 常数，大写字母
10 A 有效值 I = 2
最大值相量 I m 10 /30 A 有效值相量 I 10 / 30 A 2
| i |
（3）同频率正弦量的相位差
设: f1(t)= A1 cos(t+ 1) , f2(t)= A2 cos(t+ 2) 则相位差: 12= 1- 2 = (t+ 1) -( t+ 2)= 1 - 2
相位关系： ① 12 = 0 1 = 2 称f1与f2 同相
有效值
？
j45
45
I m 10 e
？
正误判断
已知：
u 2 10 cos ( t 15 )
则：
U 10 ？
10 e j15 U
15
？
正误判断
已知：
10050 U
则：
u Hale Waihona Puke 100 cos( t 50 )？
最大值
100 2
§8-3 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
时 域
u=0 i=0
u、i均为
(KVL) (KCL)
相量 形式
同频正弦量
U 0 I 0
（证明略）
例
已知：f=50Hz,I1=10A,θ1=60o, I2=5A, θ2= -90o 求：I3, θ3, i3, 并画相量图
I3 I1 I2 5 j3.66 6.236
u(t ) 2U cos( t u )
uR
-
2U cos(t u ) 2RI cos(t i )
U RI u i
U RI
相量形式： 相量模型：
U RI
+j
I
+
U
R
I
O 相量图
U
i u
+1
2、电感元件
瞬时值表达式：
+
iL
L
di uL L dt
相量形式：
uL
-
U L jL I L
U L LI L u i 2
U LI ＝X L I i u 2
定义：
X L＝L＝2fL
称
感抗
(1）XL 与ω 有关。
（2）XL 为电压与电流有效值之比，
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
统一用cosine 函数
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅（最大值） Im：表示大小 Amplitude
有效值: 电器铭牌上标示的都是有效值。
在一个周期内， i(t)流过R所作的功与直流I流过同 一R所作的功相等，则此I称为i(t)的有效值。
电路分析研究的主要内容：
1. 电阻电路分析（1-4）；
2. 动态电路分析（6-7）； 3. 正弦稳态电路分析（8-12）。
激励为正弦量时对电路物理参量的分析
研究正弦电路的意义 （1）正弦电路在电力系统和电子技术领域中广泛应用。 发电厂发出的电压是正弦电压； 常用的音频信号发生器输出的信号是正弦信号； 语音广播及电视广播技术中所用的“（超）高频 载波”是正弦波等等。
1．用相量可以唯一地表征一个的正弦量，
即：若 I1＝I 2 则 i1 i2 , 反之亦然。
2．相量能表示一个正弦量，但不等于正弦量；
i I
相量只能用来比较相同频率的正弦量； 相量加上频率才能求得正弦量；
物理意义： 唯一对应
正弦时间函数 正弦量的计算
复指数函数 相量 相量计算
四、正弦量的运算转换为相对应的相量运算
2 2 f T
f: 频率
单位：rad/s
其中：T: 周期
单位：秒（S） 单位：赫兹（Hz）
1 f T
i(t ) I m cos( t i )
3. 初相位i ： (Phase angle)
（1）相位：
t i
表示进程（电角度）
（2）初相位i ： 正弦量在t=0时的相位， 与时间起点的选取有关。
T
0
i (t ) Rdt I RT
2 2
1 T 2 I 0 i (t )dt T
(1)式中代入
(1)式
i(t ) I m cos( t i ) 得
Im I 2
i(t ) I m cos( t i )
2.角频率（周期T、频率f）：表示变化快慢 Angular frequency(period, frequency) 定义：相角(t+i)随时间变化的速度（rad/s）
相位差为 12= 1- 2 = (t+ 1) -( t+ 2)= 1 - 2 ② 12 > 0 1 > 2 称f1超前f2
U LI i u 2
U L jL I L jX L I L
相量模型：
u, i
u
0
i
t
波形图
+j
UL
u
L
IL
+
jXL
IL
i
+1
U
O
相量图
3、电容元件
瞬时值表达式：
+
iC
C
uC
-
duC iC C dt
cos x j sin x
j (t )
对于同频 正弦量而 言相同
u 2U cos ( t ) Re[ 2Ue
时域 一 一 对 应
] Re[ 2Ue j e jt ]
复域
正弦时间函数
复常数 （包含有效值、初相）
u 2U cos ( t )
相量
三、相量与正弦量的关系
The Phasor
相量法即用复数为工具来表示正弦量。 正弦量 相量(或复数)
变换的思想
相量是一个包含正弦量“幅值”和“相 位”信息的复数。
一、复习复数：
(review the complex number) b
+j
F
r
θ
0 a +1
1.复数的表示形式
(1)代数形式
F a jb
(2)三角形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
同频的正弦量。
例： 计算 i
i
U m cos( t i )
+ _ R1
i2
i1
C
Um i1 cos( t i ) R1 du s (t ) i2 C U mC cos( t i 90) dt
Um i i1 i2 cos( t i ) U mC cos( t i 90) R1 U m (1 / R1 ) 2 (C ) 2 cos[ t i arctg (R1C )]
I )e j t ] Re[ 2 ( I1 2
I I1 I2 I1 I 2 2
（2）微分特性
u 2U cos(t i )
du d Re[ dt dt
2U e
j t
d ] Re dt
2U e
jt
i2
i i1 i2 对应的相量形式为
I I1 I 2 =10 /60° + 22 /-150 °
=(5 + j8.66) + ( -19.05 - j11) = -14.05 - j2.34 = 14.24 /-170.54° A i = 14.24
2cos(314t - 170.54 °)A
F r
a b
2
2
F r cos jr sin
F re F r
j
b arctan a
例：
3+j4= 5 /53.1° -3+j4= 5 /-53.1 °
10 /30 °
=10(cos30 °+ jsin30 °) =8.66+j5
×
=5 /126.9 °
Charles Steinmetz:
德裔美国电机工程师。
在1893年提出了相量法。
In 1901, he became the president of the IEEE ( Institute of Electrical and Electronics Engineers)
§8-2 正弦信号的相量表示法
正弦电压：
u 2U cos ( t )
表示u的相量有：
Ue j U
U e j Um m
或
正弦量的运算转换为相对应的相量运算
加法特性
u u1 u2 U U1 U 2
微分特性
du jU dt
j----旋转90o因子
du Re[ 2 ( j U )e jt ] dt
du jU dt
时域 复域
（3）积分特性
U udt j
五、相量图
在复平面上按各正弦量的大小和初始 位置画的有向线段。
Ψ
例1
用有效值相量表示下列正弦量， 并画相量图
i (t ) 10 2 sin( t 60 )
积分特性
U udt j
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 最大值 Im= 10A 变量，小写字母 常数，大写字母
10 A 有效值 I = 2
最大值相量 I m 10 /30 A 有效值相量 I 10 / 30 A 2
| i |
（3）同频率正弦量的相位差
设: f1(t)= A1 cos(t+ 1) , f2(t)= A2 cos(t+ 2) 则相位差: 12= 1- 2 = (t+ 1) -( t+ 2)= 1 - 2
相位关系： ① 12 = 0 1 = 2 称f1与f2 同相
有效值
？
j45
45
I m 10 e
？
正误判断
已知：
u 2 10 cos ( t 15 )
则：
U 10 ？
10 e j15 U
15
？
正误判断
已知：
10050 U
则：
u Hale Waihona Puke 100 cos( t 50 )？
最大值
100 2
§8-3 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
时 域
u=0 i=0
u、i均为
(KVL) (KCL)
相量 形式
同频正弦量
U 0 I 0
（证明略）
例
已知：f=50Hz,I1=10A,θ1=60o, I2=5A, θ2= -90o 求：I3, θ3, i3, 并画相量图
I3 I1 I2 5 j3.66 6.236
u(t ) 2U cos( t u )
uR
-
2U cos(t u ) 2RI cos(t i )
U RI u i
U RI
相量形式： 相量模型：
U RI
+j
I
+
U
R
I
O 相量图
U
i u
+1
2、电感元件
瞬时值表达式：
+
iL
L
di uL L dt
相量形式：
uL
-
U L jL I L
U L LI L u i 2
U LI ＝X L I i u 2
定义：
X L＝L＝2fL
称
感抗
(1）XL 与ω 有关。
（2）XL 为电压与电流有效值之比，
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
统一用cosine 函数
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅（最大值） Im：表示大小 Amplitude
有效值: 电器铭牌上标示的都是有效值。
在一个周期内， i(t)流过R所作的功与直流I流过同 一R所作的功相等，则此I称为i(t)的有效值。
电路分析研究的主要内容：
1. 电阻电路分析（1-4）；
2. 动态电路分析（6-7）； 3. 正弦稳态电路分析（8-12）。
激励为正弦量时对电路物理参量的分析
研究正弦电路的意义 （1）正弦电路在电力系统和电子技术领域中广泛应用。 发电厂发出的电压是正弦电压； 常用的音频信号发生器输出的信号是正弦信号； 语音广播及电视广播技术中所用的“（超）高频 载波”是正弦波等等。
1．用相量可以唯一地表征一个的正弦量，
即：若 I1＝I 2 则 i1 i2 , 反之亦然。
2．相量能表示一个正弦量，但不等于正弦量；
i I
相量只能用来比较相同频率的正弦量； 相量加上频率才能求得正弦量；
物理意义： 唯一对应
正弦时间函数 正弦量的计算
复指数函数 相量 相量计算
四、正弦量的运算转换为相对应的相量运算
2 2 f T
f: 频率
单位：rad/s
其中：T: 周期
单位：秒（S） 单位：赫兹（Hz）
1 f T
i(t ) I m cos( t i )
3. 初相位i ： (Phase angle)
（1）相位：
t i
表示进程（电角度）
（2）初相位i ： 正弦量在t=0时的相位， 与时间起点的选取有关。
T
0
i (t ) Rdt I RT
2 2
1 T 2 I 0 i (t )dt T
(1)式中代入
(1)式
i(t ) I m cos( t i ) 得
Im I 2
i(t ) I m cos( t i )
2.角频率（周期T、频率f）：表示变化快慢 Angular frequency(period, frequency) 定义：相角(t+i)随时间变化的速度（rad/s）
相位差为 12= 1- 2 = (t+ 1) -( t+ 2)= 1 - 2 ② 12 > 0 1 > 2 称f1超前f2