高等数学第三章习题课答案

第三章 微分中值定理习题课

一、判断题（每题3分）

1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（ √ ）

2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（ × ）

3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( × )

4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . ( × )

5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 .

（ √ ）

6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件. ( × )

7.函数()arctan f x x x =的图形没有拐点. （ √ ）

8.因为函数y =在0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =的拐点.（ × ）

二、选择题（每题3分）

1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．x

e B ．ln x

C ．x

D ．2

1x -

2．对于函数()2

1

1f x x

=+，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）. （A ）[]2,0-；

（B ）[]0,1；

（C ）；[]1,2-

（D ）[]2,2-

3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ）

(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.

4．已知函数3

()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）.

（A ）

1

3 （B （C ）12 （D 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数 6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).

A. 单调减函数

B.单调增函数

C. 有单调增区间也有单调减区间

D. 没有单调性

7. 函数2129223-+-=x x x y 的单调减少区间是 （ C ）. （A ）),(+∞-∞ （B ）)1,(-∞

（C ）)2,1(

（D ）),2(+∞

8．设(),a b 内()0f x ''>，则曲线()y f x =在(),a b 内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）. （A ）上方;

（B ）下方;

（C ）左方;

（D ）右方.

9.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则 （ A ）. （A ）3,30a b a b +=+= （B ）0,30a b a b +=+= （C ）2,320a b a b +=+=

（D ）0,340a b a b +<+=

10. 设函数()y f x =在开区间(,)a b 内有()'0f x <且()"0f x <，则()y f x =在(,)a b 内（ C ）

A.单调增加，图像是凹的

B.单调减少，图像是凹的

C.单调减少，图像是凸的

D. 单调增加，图像是凸的

11．函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a 和c 应满足（ C ）. （A ）0a <且0c =； （B ）0a >且c 是任意实数； （C ）0a <且0c ≠；

（D ）0a <且c 是任意实数.

12． 函数23

++=x x y 在其定义域内（ B ） （A ）单调减少 (B) 单调增加 (C) 图形是凹的

(D) 图形是凸的

13．若()()

00,x f x 为连续曲线()y f x =上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）. （A ）()()

00,x f x 必为曲线的拐点; （B ）()()

00,x f x 必为曲线的驻点; （C ）0x 点必为曲线的极值点;

（D ）0x x =必为曲线的拐点.

14.函数()2ln f x x x =-的驻点是（ B ）. （A ）1x = （B ）12

x =

（C ）(1,2) (D) 1(,1ln 2)2

+

15．函数2

ln(1)y x x =-+的极值（ D ）. A ．是1ln 2-- B ．是0 C ．是1ln 2- D ．不存在

16.设()[0,1]()f x x f x ''=在上有＜0，则下述正确的是（ A ）

( A ) (1)f '＜)0()1(f f -＜(0)f '; ( B ) (0)f '＜)0()1(f f -＜(1)f '; ( C ) (1)f '＜(0)f '＜)0()1(f f -; ( D ) (0)f '＜(1)f '＜)0()1(f f -

17.设()f x 具有二阶连续的导数，且20()

lim

3,ln(1)

x f x x →=-+则(0)f 是()f x 的

（ A ）

（A ）极大值； （B ）极小值; （C ）驻点; （D ）拐点.

18.设函数()y f x =在0x x =处有()0f x '=0,在1x x =处导数不存在，则( C ). A. 0x x =,1x x =一定都是极值点 B.只有0x x =可以是极值点

C. 0x x =, 1x x =都可能不是极值点

D. 0x x =,1x x =至少有一个是极值点

三、 解答题（求极限每题4分其余每题 8分）

1．

求极限

2

2000001

1sin sin 1cos 2(1)lim lim lim lim lim 0sin sin 22→→→→→---⎛⎫-===== ⎪⎝

⎭x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）11lim 1ln x x

x x →⎛⎫

⎪⎝⎭

-

- =()()1

1ln 1ln 11

lim

lim 11ln ln x x x x x x x x x x x

→→--+-=--+

1

1ln ln 11

lim

lim ln 1ln 22x x x x x x x x x →→+===

+-+

0(3)11lim 1→⎛⎫

⎪⎝⎭

--x x x e 01lim (1)→--=-x

x x e x x e 0011lim lim 12x

x

x x x x x x x e e e xe e e xe →→-===-+++ （4）

2

00011ln(1)

ln(1)

lim(

)lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-==++

001

1111lim

lim lim 22(1)2(1)2

x x x x x x x x x →→→-

+====++

20

sin (5)lim

tan →-x x x

x x 22

00sin 1cos lim lim

tan 3x x x x x x x x →→--==0sin 1lim 66x x x →==