二次函数典型例题一

练：在平面直角坐标系中，已知 A,B 是抛物线 (1)A,B 两点横坐标乘积是否为常数？ (2)若直线
y x2 上两个不
3、某市一座拱桥的示意图如下图， 大桥的主供肋 ABC 是抛物线的一部 分，跨径 AB 为 100m，拱高 OC 为 25m，抛物线顶点 C 到桥面的距离 为 16m， 建立如图所示坐标系.求点 E 的坐标和桥面宽度.
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x 2 交于 C(0 ，
2),D(3， )两点，点 P 是抛物线上一动点，当∠PCD=45°时，直
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线 PC 的解析式为？
7、已知 A,B 是抛物线
y 2 x 2 上的两个动点，其中点 A 在第二
y 3 x 2 分别交
象限， 点 B 在第一象限， A， B 在运动的过程中， 保持∠AOB=90° 固定不变，直线 AB 交 y 轴于点 D，若直线 是什么？ 直线 AB，y 轴于点 P.C，且∠DPC=∠DCP，则 DC 和 DP 的长分别
2.二次函数的恒成立 例：如果二次函数
y ax2 bx c 的函数值 y 0 对一切 x 恒
练：在平面直角坐标系 x0 y 中，抛物线
成立，那么系数 a, b, c 满足什么条件？
y x2 4x 5 与 x 轴
交于 A,B 两点（点 A 在点 B 的左侧）.点 M 是线段 AB 上的任意一 点，过点 M a, 0 作直线 MC⊥x 轴，交抛物线与点 C，记点 C (1)把上题中的 关于抛物线对称轴的对称点为 D（C,D 不重合） ，点 P 是线段 MC
MC⊥x 轴，交抛物线与点 C，记点 C 关于抛物线对称轴的对称点 为 D（C,D 不重合） ，点 P 是线段 MC 上一点，连结 CD,PD.若点 P 满足 MP= MC， 作 PE⊥PD 交 x 轴于点 E， 求出点 D 和点 P 的坐标.
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练：二次函数 两点.
y x 2 3x 的图象与 x 轴相交于点 O，A（3,0）
y 0, y 0 又会怎样？
在，请说明理由.
(3)已知关于 x 的二次函数 成立，求 k 的取值范围.
y x 2 2kx k 2 k ，若 y 1 恒
(4) 已知关于 x 的二次函数
y1 ax2 4ax 5a 和一次函数 y2 2 x 2 ，若对于任意 x 均有 y1 y2 ，求 a 的取值范围.
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水面离拱顶 2m，若水面下降 1m，水面会变成多宽？
(2)若关于 x 的二次函数
y mx2 3m 1 x 2m 2 的图象
与 x 轴两交点的距离为 2，求抛物线解析式. 4.线段关系 例：如图，抛物线与 x 轴交于点 A（-1,0） 、B（2,0）两点，与 y (3)设抛物线 析式.
y1 x2 bx c 的顶点 M
y M
x 2
1 上， 其图象与 x 轴交于
5、抛物线
O A B x
A,B 两点且 S△ABM =8 ， 求抛物线解析式.
左侧）.点 M 是线段 AB 上的任意一点，过点 M m, 0 作直线
y x 2 3x 4 与 x 轴交于 A,B 两点（点 A 在点 B 的
同的点，其中 A 在第二象限，B 在第一象限，且∠AOB=90°.
y 2 x 2 分别交直线 AB,y 轴于 P,C 两点， 且∠BPC=
∠OCP，求点 P 的坐标.
4、抛物线 y
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x 2 x 4 与 x 轴交于 A,B 两点，与 y 轴交于
点 C，若点 P 在 x 轴负半轴上，且 PB=PC，求 OP 的长. 6.给定面积找点 例：已知二次函数 在直线 y2
6 、抛物线 y x
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(1)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使△AOB 的面 积等于 6，求点 B 的坐标； (2)对于(1)中的点 B，在直线 OB 下方的抛物线上是否存在点 P， 使得△POB 的面积最大？若存在， 求出这个最大面积， 若不存在， 请说明理由.
x 2 与直线 y
小测试 1、抛物线
y 4 x2 3x 2 与 x 轴交于 A,B 两点，求 AB 的长.
2、若二次函数
y 5x 2 3x c 的函数值 y 0 对于一切 x
恒成立，求 c 的取值范围.
5.角度关系 例：已知抛物线 y
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x 2 x 2 经过点 A 4, a ，若点 P 在第
四象限的抛物线上，且满足∠POA=45°，求点 P 的坐标.
3.二次函数应用题 例 1：某商品每件进价 40 元，售价 60 元，每月可卖出 200 件， 若每件商品的售价每下调 1 元，每月可多卖 20 件，设每件商品 降价 x 元， 每月总利润为 y 元.(1)求 y 与 x 的函数关系式和自变量 x 的取值范围；(2)每件售价定为多少元时，每月利润最大？最大 有没有其他方法？
1.二次函数在 x 轴交点的距离 例：已知二次函数
B x2 , 0 ，求 AB 两点的距离.
y ax2 bx c 与 x 轴交于 A x1 , 0 和
月利润是多少？
例 2：一座拱桥的桥洞呈抛物线型，当桥洞里的水面宽 4m 时， 练：(1)求函数
y x 4 x 2 与 x 轴的两个交点的距离.
y 0 改成 y 0 ，结果是什么？
上一点，连结 CD,BD,PD. （1）当 a
1 时，问点 P 在什么位置，能使得 PD⊥BD;
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（2）若点 P 满足 MP= MC，作 PE⊥PD 交 x 轴于点 E，问是否存 在这样的点 E，使得 PE=PD，若存在，求出点 E 的坐标；若不存 (2)改成
y x px 2 p 5 的顶点为 M，且与 x 轴交于 求△AMB 面积的最小值及此时抛物线解 A x1 , 0 和 B x2 , 0 ，
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轴交于点 C（0，-2）.(1)求二次函数解析式；(2)点 P 在 x 轴正半 轴上，且 PA=PC，求 OP 的长.
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O A C B x