2020-2021北京高三一轮复习03不等式学生版

不等式专题考纲

知识框图

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知识点梳理：

一：不等式性质及其应用

1.不等式的概念：用不等号（<、>、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫做不等式．

2.不等式的性质：

不等式性质1：（对称性）如果>a b ，那么b a ． 不等式性质2：（传递性）如果>a b ，且>b c ，则>a c ．

不等式性质3：加法法则（同向不等式可加性）()a b a c b c c >⇔+>+∈R ； 推论：,a b c d a c b d >>⇒+>+.

不等式性质4：乘法法则 若a b >，则000.c ac bc c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪

=⇒=⎨⎪<⇒<⎩

，，

推论1: 0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；

推论2：()

*22

00a b n a b >>∈⇒>>N ；

推理3：()

*00>>∈⇒>>n n

a b n N a b ；

推理4：(

)

01且+

>>∈>a b n N n 3．两个实数的大小比较：

（1）数轴法：对于任意两个实数a 和b ，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的

实数大．

（2）作差比较法：,0>a b ；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=；0->⇔>a b a b （作差与0比较） （3）作商比较法：,0>a b ：1>⇔>a a b b ；1=⇔=a a b b ；1<⇔

a b b

（作商与1比较） （4）特殊值法 （5）函数的性质 （6）分子有理化

例题讲解

考点1：不等式性质及其应用

【例1】（2019秋•海淀区校级期中）已知0a b <<，则下列不等式正确的是( )

A ．2a a b >+

B ．a b b +>

C ．2a ab >

D ．2b ab >

【例2】（2018秋•东城区期末）已知0a <，0b >，那么下列不等式中一定成立的是( )

A ．0b a -<

B ．||||a b >

C ．2a ab <

D ．

11

a b

<

【例3】（（2018秋•朝阳区期中）已知0x y >>，则下列不等关系中正确的是( )

A ．cos cos x y >

B ．33log log x y <

C ．112

2

x y < D ．11()()33

x y <

【例题4与的大小为 （用“=”，“ >”或“<”填空）

二、解不等式

（一）绝对值不等式

1.绝对值的几何意义：设a 是一个实数，在数轴上|a |表示实数a 对应的点与原点的距离；|x -a |表示实数x 对应的点与实数a 对应的点之间的距离.

2.关于绝对值的几个结论

定理：对任意实数a 和b ，有||a b a b +≤+

推论： ①.

a b a b -≤+；

②.a b a c c b -≤-+-； ③.a b c a b c ++≤++； 3.绝对值不等式的解法

①含绝对值的不等式|

|<与||>的解集

②含绝对值的不等式|x |a 的解集 ()()0f x c c ≥>⇔()()f x c f x c ≥≤-或；

()()0f x c c ≤>⇔()c f x c -≤≤.

（二）分式不等式

1.分式不等式的概念：分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.

2.分式不等式的解法：

① 不等式两边同乘以分母的平方，将之化为两个一元一次不等式组处理.

② 两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式组

求解．

（三）一元二次不等式

1．一元二次不等式概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．

2.一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）：

注：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根

的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决． 其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式；

②参数大于最大值或小于最小值； ③变更主元利用函数与方程的思想求解．

3..解一元二次不等式：通常先将不等式化为20ax bx c ++>或

20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；

例题讲解

考点1：绝对值不等式

【例1】（2019秋•西城区校级期中）解下列关于x 的不等式|21|3x -<；

考点2：分式不等式

【例1】（2018秋•东城区期末）不等式1

03

x x --的解集为 ．

【例2】（2018秋•东城区校级期中）下列选项中，使不等式1

x x

<成立的x 的取值范围是( )

A ．(-∞，1)(0-⋃，1)

B ．(1-，0)(1⋃，)+∞

C ．(0,1)

D ．(1,)+∞

考点3：一元二次不等式解法

【例1】（2019•北京模拟）不等式2230x x +->的解集为( )

A ．{|31}x x -<<

B ．{13}x x -<<

C ．{3xlx <-或1}x >

D ．{|1x x <-或3}x >

考点4：一元二次方程根的分布

【例1】（2019秋•海淀区校级期中）关于x 的方程2(3)70x m x m +-+-=的两根都大于3，则m 的取

值范围是()

A ．(-∞，1(1-+⋃，)+∞

B ．7

(2

-，1-

C ．(-∞，7

)(12

--⋃，)+∞

D ．(-∞，1-

【例2】若关于x 的不等式22840x x a --->在{|14}x x <<内有解，则a 的取值范围是( )

A ．4a <-

B ．4a >-

C ．10a >-

D ．10a <-