线性代数的一些证明题分析

线性代数一些证明题

1

题目

设n阶可逆矩阵A满足A2 = A，求A的特征值。

知识点

特征值与特征向量

矩阵的行列式

解题过程

解：因为A2=A

所以A 2－A=0

所以det(A2－A)=det[ A (A －E)]=det( A )det( A－E)=0 A为可逆矩阵，所以det(A)工0

所以det( A－E)=0

所以A 的特征值为1.

常见错误

设存在入，使Ax = Ax成立

则det( Ax )=det( A)det( x)

=det( x)

= n det( x) (错误在于向量取行列式)

所以有n det(A)成立.

又因为A2=A

det( A)2 =det(A), 即det( A)=0 或det( A)=1.

由于A 为可逆矩阵，det(A).工0

所以det( A)=1

当n为奇数时，入.=1

当n为偶数时，入=1.

相关例题

设A为n阶矩阵若A2=E，试证A的特征值是1或-1.

2 题目

设A 是奇数阶正交矩阵，且det( A)=1 ，证明det( E-A)=0. 知识点

①正交矩阵的定义： A T A=E

②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T=E

③矩阵运算规律

④转置矩阵的性质：(A+B )T=A T+B T

⑤det( A)=det( A T)

⑥ det( AB )=det( A)det( B)

⑦det( -A)=(-1)n det( A)

解题过程

••A是正交矩阵

•£ —A= A T A - A= A T A - EA= ( A T- E)A

vdet( A)=1

「det(E—A)二det(( A T—E)A)二det( A T—E)det( A)=det( A T —E)

Tdet(E—A)=det( E—A)T=det( E—A T)

••det(A T—E)= det( E—A T)= det( —(A T—E))= (—1)n det( A T —E)

vn为奇数

• (—1)n= —1

•det(A T—E)=0

•det( E—A)=0

常见错误

①误以为det( E—A)= det( E) —det( A)，于是det( E—A)=1 —det( A)=1 —1=0

②vdet( A)=1

「.a i a2 •-a n = 1(其中a「a2,…,为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素).

•••det( E —A)= (1-a i) (1-a2)-(1-a n).

v det(E-A)=det(( A T-E)A)=det( A T-E)det(A)=det( A T-E)

且det( A T-E)= ( a i-1 ) ( a2-1 )•••( a n-1 ).

••(1- a i ) ( 1- a2 )•••( 1- a n ) = ( a i -1 ) ( a2-1 )•••( a n-1 ) =(-1) 0( 1- a1 ) ( 1- a2 )^( 1- a n )

v n 为奇数

•(—1)n= —1

X i

X2 X3 1

2x 1 (a 2) x 2 (b 2)X 3 3 (1

(1 — a i ) (1 — a ?)…(〔—a n ) =0

以上证法先把A 变为上三角，再用E 减去变化后的A ，再求行 列式，这是错误的。

相关例题

证明：若A 为正交矩阵，则det( A)= ±1.

题目

试就a,b 的各种取值情况，讨论下列线性方程组的解，若有解，则求 出解。

3ax 2 (a 2b)x 3 3

知识点线性方程组解的结构

解题过程

1 解：B= 2

1 1

a 2

b 2

3 a 2b

2A

1 1 1 1

0 a b 1

0 3a a 2b 3

X 3

0, X 2 1 ,X 1 a 其解可由 ax 2 bx 3 此时增广矩阵可化为:

可见，rank(B)=2,

但增广矩阵的秩为 3，所以方程组(1)无解,

1111

(1)当a — b 0,且a 0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于 3，而

且等于未知数的个数，故方程组(1 )有唯一解。其解为:

⑵当a-b=0，且a 0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2,秩小

于未知数的个数，此时故方程组(1)有无穷多解

1，解得X 2 1 b

X 3,，代入第一个方程 a a

X 1 X 2

X 3 1 得到 X 1 1 - 1 - X 3 ； a a

(3 )当a=0，b 为任意数,

1111

0 a b 1

0 a b 0

1 1 1 1 *00b 1 0 0 0 1

X 1

a 1 a

b 彳1 X 3 I

a a a 1

b 1

X 2 X 3 -X 3 a a a X 3 X 3 (任意)

般解为:

常见错误

在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。

如，当a b 时，就说原方程有唯一解，没有指出a 0，当a=b 时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b 0，等等。

相关例题

确定a,b 的值，使下列方程组

x1 x2 x3 1

2x1 (a 2)x2 (b 2)x3 3

3ax2 (a 2b)x3 3 (1)有唯一解； (2)无解；

有无穷多解，并求出通解。

4

题目

若1, 2, 3线性无关， 4 k1 1 k2 2 k3 3，其中k1,k2,k3 全不为0. 证明2, 3, 4 线性无关. 知识点向量线性相关

解题过程

证法一：(从定义出发)

设存在常数k1 ,k2 ,k3 ，使得k1 2 k2 3 k3 4 0

已知 4 k1 1 k2 2 k3 3 ，代入上式，得

k1 2 k2 3 k3 (k1 1 k2 2 k3 3) 0

化为：k1k3 1 (k1 k2k3 ) 2 (k2 k3k3 ) 3 0

由题意知：1, 2, 3 线性无关