14.4 单跨超静定梁的极限荷载ppt课件
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《单跨超静定梁》PPT课件
作用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称
为固端剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示。2Biblioteka 、讨论几种情况 例1:解:
3
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
4
5
6
7
超静定结构与静定结构的对比:
8
例2: 解:
9
11 X1 12 X 2 1C 0 21 X1 22 X 2 2C 0
1
二、杆端力的表示方法和正负号的规定
1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺 时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负， 逆时针为正。
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。
A MAB0
P
B MBA0
P A
QAB0
B QBA0
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载
10
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
12
当 A时 1,
M BA
2
EI l
2i
M AB
4
EI l
4i
i---线刚度.
13
见P111表
例3:
14
见P111表
例4:
15
见P111表
例5:
16
17
例6:
18
例7:
《建筑力学与结构》课件——第十章 超静定结构的内力计算
力法计算超静定结构
(2) 建立力法方程
11X 1 12X 2 1F 0 21X 1 22X 2 2F 0
建筑力学与结构
(3) 计算系数和自由项
δ11 4a3 / 3EI
1F 5qa4 / 8EI
2024/11/13
δ22 a3 / 3EI δ12 δ21 a3 / 2EI 2F qa4 / 4EI
M AB
M1X1
MF
l 3 ql 8
1 ql 2 2
1 ql 2 8
取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构，利用
计算静定结构的位移，达到求解超静定结构的方法，称为力
法。
2024/11/13
13
力法计算超静定结构
2.力法的典型方程
建筑力学与结构
1 11 X1 12 X 2 1F 0 2 21 X1 22 X 2 2F 0
2024/11/13
14
力法计算超静定结构
建筑力学与结构 n次超静定结构
δ11 X 1 δ12 X 2 δ1i X i δ1n X n 1F 0 δ21 X1 δ22 X 2 δ2i X i δ2n X n 2F 0
…………………………………………..……
δn1 X1 δn2 X 2 δni X i δnn X n nF 0
2024/11/13
7超静定次数的确定来自建筑力学与结构 3.去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束，用 三个约束反力代替该约束作用。
2024/11/13
8
超静定次数的确定
建筑力学与结构 4.将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座改为固定铰支座，相 当于去掉一个约束，用一个约束反力代替该约束作用。
各杆的杆端弯矩表达式
结构力学极限荷载PPT课件
i 1
上式中，n是塑性铰数目。
取任一可接受荷载 FP，相应的弯矩图称为 M 图。令
此荷载及内力在上述机构位移上作虚功，虚功方程为：
由实验可知理想刚塑性材料模型能较为准确反映结构极限状态的变形。
第9页/共63页
理想弹性状态下的变形（弹性变形）
强梁弱柱
理想刚塑性状态下的变形（塑性变形）
第10页/共63页
极限荷载
塑性铰
弯矩图
极限弯矩（P266）
杆件截面所能承受的最大弯矩。
塑性铰（P267）
当截面弯矩达到极限弯矩时，两个无限靠近的相邻截面可产生有限的相 对转角，产生局部弯曲变形，这种情况与带铰的截面相似，称为塑性铰。
对称截面的形心轴 与等面积轴重合， 皆为对称中心线。
矩形截面：
1.5
Mu Wu
M s Ws
圆形截面：
16 3
薄腹工字截面： 1.1
M
M
M
弹塑性变形发展阶段
Mu Ms
M s 屈服弯矩 M u 极限弯矩
弯矩与转角的关系曲线
第17页/共63页
弯矩M与曲率r的关系曲线例
h b
h strain
例 求单跨梁的极限荷载,截面极限弯矩为Mu（P269）
1）静力法(作弯矩图)：
FP
解： 结构在A、C截面出现塑性铰。 A
l/2 C
l/2
B
FPu
6M u l
Mu
FP
A
C
B
Mu
极限状态弯矩图
第29页/共63页
2）虚功法(作破坏机构图)
FP
红线为变形后的杆件，兰点为塑性铰
A
C
Mu
Mu Wu s
结构力学结构的塑性分析与极限荷载 ppt课件
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
结构力学 结构的极限荷载与弹性稳定图文
A
B
D
C
l/3
l/3
l/3
解: AB段极限弯矩为 M u ，BC段极限弯矩为Mu。
塑性铰的可能位置：A、B、D。
A l/3
B
Mu B
l/3
FPu
DC Mu
D
l/3
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
1）B、D截面出现塑性
FPu
铰，由弯矩图可知，只 有当 Mu 3Mu 时，此破
A l/3
B
Mu B
分析：(1) 图(a)表示截面处于弹性阶段。
该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，
称为屈服极限y，此时的弯矩Ms称为弹性 s a)
极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：
s
MS
bh2 6
s
y0
（2）图(b）—截面处于弹塑性阶段，
y0
截面外边缘处成为塑性区，应力为常数， s b)
§11-2 基本概念
=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性
2
C l
2 4
B Mu
由We=Wi，可得 所以有1 4q源自l 24M uqu
16M l2
u
三次超静定 三个塑性铰
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
例11-4-3 已知梁截面极限弯矩为Mu ，求极限荷载 。 解:塑性铰位置：A截面及梁上最大弯矩截面C。
q
qu
A
l
BA
Mu A
Mu C C B
l-x
x
例11-1-1 设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载 作用(图a)，试求极限荷载FPu 。
解：由M图知跨中截面 弯矩最大，在极限荷载作用 下，塑性铰将在跨中截面形 成，弯矩达极限值Mu(图b)。
梁的极限荷载
梁的极限荷载梁在横向力作用下，除了产生弯矩外，通常还产生剪力。
一般来说，剪力对梁的极限荷载影响很小，可忽略不计。
故，考虑梁的极限荷载前面的分析结果仍然有效。
一、静定梁的极限荷载图（a ）图（b ）图（c ）L/2 L/2图示矩形等截面简支梁，跨中受由零逐渐增加的集中荷载P 作用。
在加载初期，梁的各截面均处于弹性阶段，随着荷载的增加，跨中截面的最外侧纤维先达到屈服极限σy ，该截面的弯矩达到M y ，弹性阶段结束。
此时的荷载称为弹性极限荷载P y 。
由静力平衡条件可得：4LP M y y = ，于是，L M P yy 4=当荷载继续增加时，中间截面的塑性范围逐渐加大，最后达到极限弯矩M u ，形成塑性铰而使结构成为机构。
此时，位移可任意增大，而承载力却不能增大，即，荷载达到极限P u 而使结构处于极限状态。
由静力平衡条件，4L P M u u = ，于是，LM P u u 4= 如图（b ）所示。
极限荷载P u 与弹性极限荷载（屈服极限）P y 的比值：5.1===αyu y u M M P P二、超静定梁的极限荷载超静定梁有多余约束，故在出现多个塑性铰后才丧失承载力。
例1．图示两端固定的等截面梁AB ，其正、负弯矩的极限值都是M u ，均布荷载q 逐渐增加。
求极限荷载q u ，并分析荷载q 与跨中截面C 的竖向位移ΔCV 之间的关系。
q图（a ） L/2 L/2①当梁处于弹性状态时的弯矩图如下qL 2/12 qL 2/12图（b ）qL 2/24②当q 逐渐增大时，A 、B 两处的弯矩先同时达到极限M u ，此时，A 、B 、C 三处的弯矩关系仍然保持。
M u M u图（c ）M u /2③当q 逐渐增大至q 1时，A 、B 两处的弯矩同时达到极限M u ，A 、B 截面已成为塑性铰， M u 不变，梁已经变为简支。
此时刻梁的受力认为是两端作用M u ，承受均布荷载q 1 的简支梁，如下图。
载常数和形常数表 单跨超静定梁PPT演示文稿
BA
A
B
l
BA
↓↓↓↓↓↓↓↓
Δ
MAB QAB
β θA
θB
转角位移方程
QBA MBA
4、已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为分离体建立矩平衡方程：
QABMAB l MBAQA FB
MAB QAB
MAB
Q’‘ AB
P
MBA
+
P
QBA MBA
Q’‘ BA
Q0 AB
Q0 BA
单跨超静定梁 载常数和形常数表
1、形常数：由单位杆端位移引起的杆端力 (只 与截面尺寸和材料性质有关的常数)。 2、载常数：由荷载引起的杆端力 (只与荷载形 式有关的常数)
1
2
A
ql 2 12
ql 2
A
FPl 8
FP 2
两端固定的单跨超静定梁的载常数和形常数
q
i, l
B
A 1
B
i, l
6i
ql 2
3i
5FP l
16
3i
3i l2
16
l2
4
一端固定一端定向滑动的单跨超静定梁的载常数和形常数
q
A i, l
i, l
B
A
1
ql 2
3
ql 2
ql
6 0
i
0
B
i
0
A
FPl 2
FP
FP
i, l
B
FPl 2 0
5
3、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
M 4i 2i 6i M F
AB
A
B
lHale Waihona Puke ABM 2i 4i 6i M F
结构力学课件 第十二章 结构的极限荷载
Mu
× 2δθ
=
0
Pu
A
δθ B
δθ
C Mu
2δθ
Pu/2
本例中，截面上有剪力，剪力 会使极限弯矩值降低，但一般 影响较小，可略去不计。
机械系 董达善 教授
第十二章 结构的极限荷载
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。
A截面先出现塑性铰，这时 M A = 3Pl /16 = M u P = 16M u / 3l
机械系 董达善 教授
第十二章 结构的极限荷载
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
上节定理的应用：
极小定理的应用
穷举法：列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏 机构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。
试算法：每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破 坏荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可破坏 荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构继续运算。
Pu1 ≥ Pu2 若把 Pu2看成可破坏荷载，Pu1 看成可接受荷载。
故有
Pu1 ≤ Pu2 Pu1 = Pu2
3.极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。
证明：由于极限荷载 Pu 是可接受荷载，由基本定理 Pu ≤ P+ 4.极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。
证明：由于极限荷载 Pu 是可破坏荷载，由基本定理 Pu ≥ P−
令 M max = M u ，得
Pu
=
4Mu
/
l
=
4 4000
× 26.79×106
=
26.79
kN
l/2
l/2
结构力学第十五章 结构的塑性分析与极限荷载.ppt
坏形态才可能实现。
A l/3
B
Mu
B
l/3
FPu
DC Mu
D
l/3
FPu MuB MuD
B
3 l
FPu
M
u
(
3 l
6 l
)
Mu 3Mu
Mu
A
B
FPu
9 l
Mu
(Mu 3Mu )
D
6 l
FPu
D
C
Mu
20
2) A、D截面出现塑性铰。由弯矩图可知，只
解:
为Mu。
塑性铰位置：A截面及跨 A
中最大弯矩截面C。
q
B l
整体平衡 M A 0
FRB
1(1 l2
qul 2
Mu )
qu
A
Mu A
l-x
Mu C C x
B
FRB
FRB
1 2
qul
Mu l
qu
BC段平衡
Fy 0 FQC FRB qu x 0
C
FQC Mux
4
1）残余应变
当应力达到屈服应力σs后，从C点卸载至D
点，即应力减小为零。此时，应变并不等于
零，而为εP。由下图可以看出， ε= εs+ εP， εP是应变的塑性部分，称为残余应变。
s A
CB
o
ε
D
sεεP
ε
s
ε
理想弹塑性模型
5
2）应力与应变关系不唯一
当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之 间不再存在一一对应关系，即对于同一应力，
载常数和形常数表 单跨超静定梁PPT演示文稿
AB
A
B
l
AB
M 2i 4i 6i M F
BA
A
B
l
BA
↓↓↓↓↓↓↓↓
Δ
MAB QAB
β θA
θB
转角位移方程
QBA MBA
4、已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为分离体建立矩平衡方程：
QABMAB l MBAQA FB
MAB QAB
MAB
Q’‘ AB
P
MBA
+
P
QBA MBA
Q’‘ BA
Q0 AB
A B
i, l B
1
3FPl 16
11FP
3i
5FP l
16
3i
3i l2
16
l2
4
一端固定一端定向滑动的单跨超静定梁的载常数和形常数
q
A i, l
i, l
B
A
1
ql 2
3
ql 2
ql
6 0
i
0
B
i
0
A
FPl 2
FP
Hale Waihona Puke FPi, lB
FPl 2 0
5
3、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
M 4i 2i 6i M F
q
i, l
B
A 1
B
i, l
6i
ql 2
l
2i
ql 12 4i
6i
l 2
FP i, l
A B
FPl 6i
FP
8l
12i
2
l2
i, l B
1
12i
l2
6i
l
极限荷载授课PPT课件
3）不受温度变化、支座移动等因素影响，它们只影响 变形发展过程。最后到机构形态时，影响消失。
单跨超静定梁的极限荷载
例1:求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Mu。
q
*机动法
临界状态时，由虚功方 程：
l
l
qu
2
2 0
x
qudx
Mu
Mu
Mu
2
1 4
l 2
qu
4 M u
qu
16 M u l2
…… ……
或：“可破坏荷载的最小值是极限荷载的上限”。 或：“极限荷载是可破坏荷载的最小值” 2、下限定理（亦称“静力定理”、或“极大定理”)
A
Mu
x
Mu
x l 2 2
dx C Mu
B
Mu
Mu
*静力法 y 0
VB
qul 2
(整体分析）
Mu
取BC为脱离体 M B 0
Mu
Mu
qu
l 2
l 4
0
qu
16 M u l2
或直接由弯矩图得
1 8
qul 2
2M u
极限状态弯矩图
qu
Mu
Mu
C
l
2
vA 0
B
vB
qul 2
极限状态受力图
例2:求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Mu。 q
解: 确定塑性铰的位置：
若B、D出现塑性铰，则B、D两截面的弯矩
为Mu，M A 3M u 这种情况不会出现。
P
AB
C
D
l/3 l/3 l/3
若A出现塑性铰，再加荷载时，B截面弯矩 减少D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于 3Mu
单跨超静定梁的极限荷载
例1:求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Mu。
q
*机动法
临界状态时，由虚功方 程：
l
l
qu
2
2 0
x
qudx
Mu
Mu
Mu
2
1 4
l 2
qu
4 M u
qu
16 M u l2
…… ……
或：“可破坏荷载的最小值是极限荷载的上限”。 或：“极限荷载是可破坏荷载的最小值” 2、下限定理（亦称“静力定理”、或“极大定理”)
A
Mu
x
Mu
x l 2 2
dx C Mu
B
Mu
Mu
*静力法 y 0
VB
qul 2
(整体分析）
Mu
取BC为脱离体 M B 0
Mu
Mu
qu
l 2
l 4
0
qu
16 M u l2
或直接由弯矩图得
1 8
qul 2
2M u
极限状态弯矩图
qu
Mu
Mu
C
l
2
vA 0
B
vB
qul 2
极限状态受力图
例2:求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Mu。 q
解: 确定塑性铰的位置：
若B、D出现塑性铰，则B、D两截面的弯矩
为Mu，M A 3M u 这种情况不会出现。
P
AB
C
D
l/3 l/3 l/3
若A出现塑性铰，再加荷载时，B截面弯矩 减少D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于 3Mu
《超静定梁》PPT课件
B
8 Fa 9 - 2021/4/23
FN' wBB2
1F 9 B
wB1 wB2
C
查表得：
wB1
(F
FN 3EI
)a3
C
wB 2
FN (2a)3 3EI
代入上式得：FN
FN
1 9
F
C
弯矩图为：
2
-
Fa 9
21
四、超静定结构（梁）的其它解法及研究现状
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。
2021/4/23
16
么么么么方面
• Sds绝对是假的
方法二 取支座 A 处阻止梁转动的约束 为多余约束。 代之以与其相应的多余反力偶 MA 得基本静定系。
变形相容条件为：
A 0
2021/4/23
q
B
A l
MA
q
B A
l
基本静定系
18
MAqΒιβλιοθήκη 变形相容条件为： A 0 B
几何方程
A
Aq AMA 0
郑州大学的李会知教授分析了集中荷载或均布荷载作用下 两端固支梁和一次超静定梁的弹塑性加载及变形过程，并 给出了加载各阶段的弯矩和位移计算公式。
中南大学的陈玉骥副教授采用半逆解法，求出了一端固定 一端铰支单跨超静定梁在均布荷载作用下的应力和位移， 并由此说明了材料力学解的精度和适用性。
燕山大学的韩晓娟副教授在三弯矩方程应用中引入刚度系 数和载荷分布系数，使应用这一定理解决工程实际问题时 更简捷、方便和实用．
2021/4/23
9
三 、变形比较法解超静定梁
图示为抗弯刚度为 EI 的一次超静定梁。 变形比较法： （1）将可动铰链支座B
第十四章超静定结构-PPT精品文档
3. 破坏前没有明显的塑性变形，即使塑性 4. 很好的材料，也会呈现脆性断裂；
粗糙区
光滑区
4. 断口特征：同一疲劳断口，一般都有明显的 5. 光滑区和粗糙区。
三、 疲劳破坏的机理
晶粒
初始裂纹
晶界
滑移带
初始缺陷 滑 移 滑移带 宏观裂纹
初始裂纹(微裂纹)
脆性断裂
四、疲劳破坏的危害 （1）广泛性 金属断裂事故的80﹪是疲劳断裂 （2）突然性 脆断前无显著变形 （3）破坏性 断裂事故
t
S min r 1 S max
循环特性（应力比）
对称循环 r = －1
S min r S max
脉动循环 静应力
r=0 （－∞） r=1
§14.2
疲劳失效与疲劳极限
一、疲劳失效(fatigue failure) 材料和构件在交变应力作用下 发生的破坏。
疲 劳 失 效 实 例
疲劳失效实例
五、关于疲劳问题的研究 最早的疲劳问题： 19世纪初机车轴疲劳断裂 最早的疲劳实验： 1829，W.A.艾伯特（德） 矿山提升焊接链反复加载， 105 次断裂 最早用“疲劳”一词： 1839，J.V.彭赛利（法）
第一个系统研究疲劳问题的人： A.沃勒（德）1847～1889 完成多 种疲劳试验，1850年发明旋转弯曲疲 劳试验机 20世纪： 40年代以前，设计都是采用静强 度计算方法，遇到交变荷载则加大安 全系数或降低许用应力。
1
－1——光滑试件的疲劳极限 ′－1——有应力集中试件的疲劳极限
应力集中的影响
2. 构件尺寸的影响
尺寸系数
1 d
1
－ 1 d
－构件的疲劳极限；
1 －光滑小试件的疲劳极限。
14.4 单跨超静定梁的极限荷载ppt课件
1) 无需考虑结构弹塑性变形的发展过程以及塑性铰形成 的顺序，只需预先判定最后的破坏机构。
2) 无需考虑变形协调条件，只需考虑极限状态下机构的平 衡条件（极限平衡法）即可求得，因而，比弹性计算简 单。
3)不受温度变化、支座移动等因素的影响。这些因素只影 响结构变形的发展过程，而不影响极限荷载的数值。 因为超静定结构在变为机构之前，已先成为静定结构。
极限荷载
FP
A
C
B
FPu C6M u / l
l /2
l /2
MA
=
3FPl 16
Mes3e1Frv6Peld
A FP FPs 重庆大学土木工程学院®
FP FPs
CFP= FPu
B
C
MC
=
5FPl 32
B
Mu
FPs FP FPu
C
B
FPu
2
Mu
Mu
2、机构法（虚功法、机动法）
u
M/ mu
20kNMu
m/
m
20kN
4m
2m 2m
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FPu
A
Mu
Mu
D= 6
DC 3
2 Mu
4
6m
2m
6
Mu
l
x0 x
C
B
Mu M (x)
FBy = ql /2 - Mu /l
5
【例14-4】试求图14-8a所示变截面梁的极限荷载。已知AB 段的极限弯矩为2Mu 40kN m，BC段的极限弯矩为 Mu 20kN m
FFPP
形成极限状态需有两个塑性铰，而 AA
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ql qx M u 0 (a)
2
l
令
M
(
x)
M
u
,
ql 2
x
qx2 2
M l
q
u
x
Mu
(b)
Mu
跨中塑性铰位置A 为 Mu
B A
x0
l
(
2 1)l 0.414l
极限荷载
qu
1 (1.5
2)
Mu l2
11.66
Mu l2
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q B
1) 无需考虑结构弹塑性变形的发展过程以及塑性铰形成 的顺序，只需预先判定最后的破坏机构。
2) 无需考虑变形协调条件，只需考虑极限状态下机构的平 衡条件（极限平衡法）即可求得，因而，比弹性计算简 单。
3)不受温度变化、支座移动等因素的影响。这些因素只影 响结构变形的发展过程，而不影响极限荷载的数值。 因为超静定结构在变为机构之前，已先成为静定结构。
u
M/ mu
20kNMu
m/
m
20kN
4m
2m 2m
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FPu
A
Mu
Mu
D= 6
DC 3
2 Mu
4
6m
2m
6
l
FFP P FPs C
B
C
C
B
A
l /2
MC
=l
/52FPl 32
MA =M3u1F6Pl AA A
FP FFPFP=PusFPu
MCuC
Mu
BB B
Mu 1
MC =M5u3F22P=l 2
1 1
MA M=Au31F6Pl A
FPFPs FP FPu
C
FP FPs C
CC
B B
B
MMuu
A A
A
FPsFP =FPFPuFPu
14.4 单跨超静定梁的极限荷载
静14定.4A.梁1 ，超只静C要定FCP有梁一的个破B截坏面过出程现塑性铰AMu，A 梁C就FCCP成FP为= F机Pu 构B 。B 在超静定l /2梁中，l /由2 于具有多余约束，因l /2此，必Ml须/u2 有足够
多的塑性铰出现，梁才形成机构 。
MA
= A
3FP 16
取梁的破坏机构，如图所示。
FP
给体系一A 个虚C位移
B
W总 W1 W2 0C
l /2
l /2
MuA A
FP
FP= FPu C
B
C
C
B
l /2
Mu l /2
W1 FPu
MA
=
3FPl 16
FPu
FP
(
l 2
1
)
FPs
MA
=
3FPl 16
FP FPs FPu
W2
Mu (C1
21
)
B
Mu (31)
Mu
l
x0 x
C
B
Mu M (x)
FBy = ql /2 - Mu /l
5
【例14-4】试求图14-8a所示变截面梁的极限荷载。已知AB 段的极限弯矩为2Mu 40kN m，BC段的极限弯矩为 Mu 20kN m
FFPP
形成极限状态需有两个塑性铰，而 AA
BB
DD CC
可能出现塑性铰的截面有三个，即 除了A、D截面外还有截面突变处B
A
A
Mu C Mu
B B
A
W总 W1 W2 FPuM(C2l=513F2)Pl Mu (31) 0
Mu 1
MC =2=53F22Pl1 1
F 6M / l Mu
FPs FP FPu
Pu C
u
B
A
Mu A
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FPs FP FPu
C
B
3
14.4.3 超静定梁极限荷载FPu的计算特点
MCu C
FPu Mu
BB B
A All Rights Reselrv/2ed
MC
=l
/52FPl 32
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Mu 1
Mu
1
2= 2 1
1
14.4.2 超静定梁极限荷载FPu的计算方法
1、静力法
根据极限状态弯矩图,应用平 衡条件求解
FP
A
C
B
C
l /2
l /2
FPul / 4 (0.5 1)Mu
22MMuu 44mm
MMuu 22mm 22mm
1) B、D不可能同时出现塑性铰 AA22
2) A、D可能同时出现塑性铰
AA11
可按破坏机构列写虚功方程
AA
22MMuuBB22
BB11Leabharlann MMuuBB DDCC
MMuu
FPu (6 ) 2Mu Mu (3 )FP 0
A
B
DC
FPu
6Mu
/
6m
1M
2
极限荷载
FP
A
C
B
FPu C6M u / l
l /2
l /2
MA
=
3FPl 16
Mu A
A
Mu
All RighMtsAR=es3e1Frv6Peld
A FP FPs 重庆大学土木工程学院®
FP FPs
CFP= FPu
B
C
MC
=
5FPl 32
B
Mu
FPs FP FPu
C
B
FPu
2
Mu
Mu
2、机构法（虚功法、机动法）
4）不能使用叠加原理，因而每种荷载组合都需要单独进 行计算。
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4
【例14-3】试用静力法求图示单跨超静定梁的极限荷载。已 知该梁的极限弯矩为 Mu
极限状态下
M
x
ql 2
x
qx2 2
Mu l
x
A
确定跨中塑性铰位置
dM (x) dx
0,