第十一章 第二节 二项式定理

突破点一二项式的通项公式及应用

[基本知识]

1．二项式定理

2.二项式系数与项的系数

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)C r n a

n －

r b r

是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项．( ) (2)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (3)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题

1.⎝⎛⎭⎫1x －x 10的展开式中x 2的系数等于________． 答案：45

2．在⎝⎛⎭⎫x 2－2

x 6的展开式中，常数项为________． 答案：240

3.⎝

⎛⎭⎪⎫

x －124x 8

的展开式中的有理项共有________项．

答案：3

[全析考法]

考法一 形如(a ＋b )n 的展开式问题

[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2

x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40

D ．80

(2)(2019·陕西黄陵中学月考)⎝⎛⎭⎫x ＋1

2x 6的展开式中常数项为( ) A.5

2 B ．160 C ．－52

D ．－160

[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·

22＝40. (2)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r 6x 6－2r

，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以展开式中的常数项是T 4＝⎝⎛⎭⎫123C 36＝5

2，选A.

[答案] (1)C (2)A [方法技巧]

二项展开式问题的常见类型及解法

(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．

(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．

[例2] (1)(2018·广东一模)⎝⎛⎭⎫x ＋1

x (1＋2x )5的展开式中，x 3的系数为( ) A ．120 B ．160 C ．100

D ．80

(2)(2019·陕西两校联考)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112

D ．168

[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x (1＋2x )5＝x (1＋2x )5＋1

x (1＋2x )5，∵x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为x ·C 25(2x )2＝40x 3，1x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为1x ·C 4

5(2x )4＝80x 3，∴x 3的系数为40＋80＝120.故选A.

(2)根据(1＋x )8和(1＋y )4的展开式的通项公式可得，x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.故选D.

[答案] (1)A (2)D [方法技巧]

求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路

(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．

(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2.

(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．

[例3] (1)(2019·枣阳模拟)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30

D ．60

(2)(2019·太原模拟)⎝

⎛⎭⎫2x ＋1

x －15的展开式中常数项是________． [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ， 令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2

，

又(x 2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x

6－k ， 令6－k ＝5，则k ＝1，

所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.

(2)由⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15＝⎝⎛⎭⎫－1＋2x ＋1x 5，则其通项公式为(－1)5－r C r 5⎝

⎛⎭⎫2x ＋1x r (0≤r ≤5)，其中⎝

⎛⎭⎫2x ＋1x r 的通项公式为2r －t C t r x r －2t (0≤t ≤r )． 令r －2t ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0，t ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2，t ＝1或⎩

⎪⎨⎪⎧

r ＝4，t ＝2，

所以⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中的常数项为(－1)5C 05＋(－1)3C 25×2C 12＋(－1)1C 45×22C 24

＝ －161.

[答案] (1)C (2)－161 [方法技巧]

三项展开式问题的破解技巧

破解(a ＋b ＋c )n 的展开式的特定项的系数题，常用如下技巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单；若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数．

[集训冲关]

1.[考法一](2＋3

3)100的展开式中，无理数项的个数是( ) A ．84 B ．85 C ．86

D ．87

解析：选A (2＋33)100展开式的通项为T r ＋1＝C r 100(2)100－r ·(33)r ＝C r 100250－r 2×3r 3，r

＝0,1,2， (100)

所以当r 是6的倍数时，T r ＋1为有理项， 所以r ＝0,6,12，…，96，共17项，

因为展开式共有101项，所以展开式中无理项的个数是101－17＝84.故选A. 2.[考法二](x 2－2)⎝⎛⎭⎫1＋2

x 5的展开式中x －1的系数为( ) A ．60 B ．50 C ．40

D ．20

解析：选A 由通项公式得展开式中x －1的系数为23C 35－22C 1

5＝60.

3.[考法二](x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40

D ．80

解析：选D (2x －y )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (－y )r ，当r ＝2时，T 3

＝240x 4y 2，当r ＝3时，T 4＝－160x 3y 3，故x 4y 3的系数为240－160＝80，故选D.

4.[考法三]在⎝⎛⎭⎫x ＋1

x －16的展开式中，含x 5项的系数为( ) A ．6 B ．－6 C ．24

D ．－24