离散数学10.1-2
离散数学 图
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欧拉是这样解决这个问题的：将四块陆
地表示成四个点，桥看成是对应结点之间的 连线。则哥尼斯堡七桥问题就变成了：从A， B ， C ， D 任一点出发，通过每边一次且仅一 次返回原出发点的路线（回路）是否存在？ 欧拉证明这样的回路是不存在的。
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第二阶段是从 19 世纪中叶到 1936 年。
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图论的产生和发展经历了二百多年的历
史，大体上可分为三个阶段： 第一阶段是从 1736 年到 19 世纪中叶。 当时的图论问题是盛行的迷宫问题和游戏问 题。最有代表性的工作是著名数学家欧拉于 1736年解决的哥尼斯堡七桥问题。
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东普鲁士的哥尼斯堡城（今俄罗斯的加里宁格
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例10.1.1 图10-1的两个图分别为无向图和
有向图。在（ a ）中， e7 是环， e1 、 e2 与 e3
是邻接边。在（ b ）中， v2v1 与 v2v3 是邻接
边，但v2v3和v3v2不是邻接边，v5为孤立结
点。
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定义 10.1.2 （ 1 ）含有平行边（或弧）的图 称为多重图（ Multigraph ）。不含平行边 （ 或 弧 ） 和 环 的 图 称 为 简 单 图 （ Simple Graph）。
论应用于电网络研究。1857年英国的凯莱也
独立地提出了树的概念，并应用于有机化合 物分子结构即CnH2n+2的同分异构物数目的研 究中。 1936年匈牙利的数学家哥尼格写出了第 一本图论专著《有限图与无限图的理论》， 标志着图论成为一门独立学科。
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离散数学 图
10.7 树及其应用 教学内容：树，树叶，分支点，生成树，
最小生成树，Kruskal算法， Prim算法，根树，有序树， 二叉树，树的遍历， 最优二叉树， Haffman算法
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10.9 最短路径 教学内容：最短路径，Dijks位于普雷格尔（Pregel）河的两岸，河中有
一个岛，于是城市被这条河、它的分支和岛分成了
四个部分，各部分通过7座桥彼此相通。该城的居
民喜欢在周日绕城散步。于是就产生了这样一个问
题：能不能设计一条散步的路线，使得一个人从家
里（或从四部分陆地任一块）出发，经过每座桥恰
好一次再回到家里？这就是有名的哥尼斯堡七桥问
题。
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哥尼斯堡七桥问题看起来并不复杂，因
此立刻吸引许多人的注意，但是实际上很难
解决。
瑞士数学家欧拉注意到了这个问题，并
在1736年写的有关“哥尼斯堡七桥问题”
的论文中解决了这个问题。这篇论文被公认
为是图论历史上的第一篇论文，欧拉也因此
被誉为图论之父。
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简单（回）路，基本（回）路， 连通图，连通分支，点（边）割集， 割（边），强（单向，弱）连通图， 强（单向，弱）分图
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10.4 欧拉图与哈密顿图 教学内容：欧拉（回）路，欧拉图，
哈密顿（回）路，哈密顿图
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10.6 平面图 教学内容：平面图，面，边界，欧拉公式
1936年匈牙利的数学家哥尼格写出了第 一本图论专著《有限图与无限图的理论》， 标志着图论成为一门独立学科。
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第三阶段是1936年以后。由于生产管 理、军事、交通运输、计算机和通讯网络等 方面的大量问题的出现，大大促进了图论的 发展。特别是计算机的大量应用，使大规模 问题的求解成为可能。
离散数学课件 离散10.1-10.3节PPT
Undirected graphs (Õã)
Definition: A graph G = (V, E) consists of V , a nonempty set of vertices (º:) or nodes and E, a set of edges (>). Each edge has either one or two vertices associated with it, called its endpoints. An edge is said to connect its endpoints. A graph with an infinite vertex set is called an infinite graph; a graph with a finite vertex set is called a finite graph. Example: A computer network is made up of data centers and communication links between computers.
Each phone call is represented by a directed edge There are multiple edges
9 / 41
Terminology for undirected graphs
Definition: Two vertices u and v in an undirected graph G are called adjacent (ƒ ) or neighbors in G if u and v are endpoints of an edge of G. The edge is called incident ('é) with u and v. The degree (Ý) of a vertex v in an undirected graph, denoted by deg(v), is the number of edges incident with it, except that a loop at a vertex contributes twice to the degree of that vertex. A vertex of degree zero is called isolated ( á ) A vertex is pendant (]! ) if it has degree one
《离散数学》刘任任版第十章
习题十1．证明：若G 是简单图，则()()q p p G 2/22-≥χ.分析：()G χ指G 的点色数，显然如果()G χ=k ，则G 的顶点集可以划分为k 个独立集。
设每个独立集的顶点数为p i ，则∑=ki i p 1=p ，由柯西－施瓦丝不等式有： 且由于每个独立集中的任意两个点不邻接，所以第i 个独立集中任何一点的度不会大于p-p i ，本题的关键是利用这两个结论。
2．()k G =χ的临界图G 称为k 临界图. 证明：唯一的1临界图是1K ，唯一的2临界图是2K ，仅有的3临界图是长度为奇数3≥k 的回路.分析：若G 的每个点都是临界点，则G 称为临界图。
由于1-色图是零图，因此1-临界图仅能是1K ，2-色图是2部图，因此2-临界图仅能是2K ，3-色图恒含奇圈，且奇圈至少是3-色才能正常着色，因此3-临界图仅能是长度为奇数3≥k 的回路.证明：（1）()11=K χ，且()01=-v K χ<1，故K1是1临界图；反之，G 是1-临界图，若|V(G)|>1，则G 是零图，()1=-v G χ，所以|V(G)|=1，从而G 是平凡图K1。
（2）()22=K χ，且()1),(22=-∈∀v K K V v χ，故K2是2临界图；反之，G 是2-临界图，即()2=G χ，于是G 的顶点可划分为两个极大独立集V1和V2，若|V1|>1，则())(2),(1G v G G V V v χχ==-⊆∈∀，与G 是临界图矛盾，因此|V1|=1，同理|V2|=1。
因此G=K2。
（3）因为不含奇回路的图是二分图)2)((=G χ。
故3-色图必含奇回路。
显然，奇回路必是3-临界图。
设G 是含奇回路的3-临界图。
若G 不是奇回路，则可分两种情况讨论：)2/()( 2 2 )()(2 ,,1,| | ,, ,)( 2222221222211112221121q p p G x q p p k k p q p k p p p p p p p p p p v d q p p V k p k p p k i p V V V k G k G x ki i p i k i k i k i i i i i i i i k i i k i i i i k -≥-≥≥--≤-=-=-≤=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥===∑∑∑∑∑∑∑=======故，即从而而个顶点相邻，每个顶点最多与其它且），（柯西－施瓦丝不等式因为。
离散数学英文DMAv7_10.1_2_3_4 (1)
Roadmaps
This is a GPS trajectory dataset collected in (Microsoft Research Asia) GeoLife project by 182 users in a period of over two years (from April 2007 to August 2012). This trajectory dataset can be used in many research fields, such as mobility pattern mining, user activity recognition, location-based social networks, location privacy, and location recommendation. The following heat maps visualize its distribution in Beijing.
Graph Theory
Rosen 7th ed., ch. 10
Chapter 10
Graphs
图
图/Graph：
论
可直观地表示离散对象之间的相 互关系，研究它们的共性和特性，以 便解决具体问题。
10.1 图的概念/Introduction of Graph 10.2 图的术语/Graph Terminology 10.3 图的表示与同构/ Representing Graph and Graph Isomorphism 10.4 连通性/Connectivity
10.2 图的术语/Graph Terminology
[定义]相邻和关联：
在无向图G中，若e=（ａ，ｂ） ∈Ｅ，则称ａ 与/connect。a、b称为边e的端点或结束顶点 /endpoint. 在有向图G中，若e=（ａ，ｂ）∈Ｅ，即箭头由 ａ到ｂ，称ａ相邻到ｂ，或a关联或联结b。a称为e 的起点/initial vertex，b称为e的终点/terminal or end vertex。
离散数学第10章-树
10.2 生成树与割集（续）
• 2 定义10.3（秩，零度） 设图G有n个顶点，e条边，ω个分支， 称n-ω为图G的秩，称e-n+ω为图G的零度。 • G的秩是G的各分支中生成树的枝数之和。 • G的零度是G的各分支中生成树的连枝数 之和。
10.2 生成树与割集（续）
• 二、割集与断集 • 1 定义10.4（割集） 设D是图G的一个边集，若在G中删去 D的全部边后所得图的秩减少1，而D的 任何真子集均无此性质，则称D为G的割 集。 • 例 图10.2
10.2 生成树与割集（续）
• 5 定义10.7（基本回路/基本回路组） 设连通图G中给定生成树T，在T中加一条弦， 恰产生一条回路，称此回路为关于T的基本回 路。 连通图G有e条边，n个顶点，给定的生成树T 应有n-1条枝，e-n+1条弦，所以恰有e-n+1条基 本回路，这些回路的全体称为生成树T的基本 回路组。 给出生成树，求基本割集和基本回路。
10.3 最小生成树（续）
• 克鲁斯科尔算法 • 定理10.8 克鲁斯科尔算法所得到的图T是最小生 成树。
10.1 树及其性质（续）
• 推论 若G是n个顶点，ω个分枝的森林，则G 有n-ω条边。 • 定理10.2 在任一棵非平凡树T中，至少有两片树 叶。 • 证明
10.2 生成树与割集
• 一、生成树 • 1 定义10.2（生成树） 图G的生成子图是树T，称T为G的生成 树。 从G中删去T的边，得到的图称G的余枝， 记为Ť。 T中的边称为树枝（或枝）。 Ť中的边称为G的弦（或连枝）。 • 定理10.
• 四、树的基本变换 • 图10.4 • 1 定义10.8（树的基本变换） 设连通图G的生成树T，通过上述加一弦，再 G T 删去一枝得到另一棵生成树，这种变换称为树 的基本变换。 • 2 定义10.9（距离） 设连通图G的生成树Ti和Tj，出现在Ti而不出 现在Tj的边数称为Ti和Tj的距离，记为d(Ti, Tj)。
离散数学10 树
第十章 树10.1画出所有不同构的，有5个顶点的树。
解图10.1 习题1图10.2 证明：一棵树的顶点度数之和为)1 |(|2-V ，其中V 是顶点集。
证明一棵树的所有顶点的度数之和∑==ni iE v 1||2)deg(，因为树的1||||-=V E ，所以)1|(|2||2)deg(1-==∑=V E v ni i。
故一棵树的顶点度数之和为)1 |(|2-V 。
10.3 一棵树有3个2度顶点，5个3度顶点，8个4度顶点，问有几个一度顶点？解设树T 有n 个一度顶点，则∑)deg(v =)1853(21483523-+++=⨯+⨯+⨯+⨯n n ，从而有23=n 。
即该棵树有23个一度顶点。
10.4 一棵树2n 个顶点的度数为2，3n 个顶点的度数为3，…，k n 个顶点度数为k ，问有几个顶点度数为1个顶点。
解设有1n 个度数为1的顶点。
顶点数k n n n v +++=...21，边数1)...(121-+++=-=k n n n v e 。
由握手定理知：∑==-=ni i v v e 1)deg()1(22，故k n n n n n n k k ⨯++⨯+⨯=-+++...212) (22121)因此，2)2(...2431+-+++=k n k n n n10.5 证明：一棵树若有三片树叶，则至少有一个顶点度数大于等于3。
证明反证法。
设),(E V T =且没有一个顶点度数大于等于3，则对于V v ∈∀，有2)de g (≤v ，从而有：∑-+≤)3|(|23)deg(V v||21)1|(|2E V <--=与握手定理矛盾。
故至少有一个顶点度数大于等于3。
10.6 ),(E V T =是一棵树，证明：若T 仅有两个1度顶点，则T 是一条直线。
证明假设T 不是一条直线，因为T 仅有两个1度顶点，所以树中至少存在一个顶点，其度数3≥。
从而有：∑-++⨯≥)3|(|2312)deg(V v1)1|(|2+-=V 1||2+=E ||2E > 与握手定理矛盾。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件一、引言1.1 离散数学的概念离散数学是研究离散结构及其性质的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用计算机科学：图论在网络设计、算法分析中的应用，集合论在数据结构设计中的应用等。
数学逻辑：计算机程序设计中的逻辑判断，布尔代数在电路设计中的应用等。
二、集合论2.1 集合的基本概念集合的定义：由明确的元素构成的整体。
集合的表示法：列举法、描述法。
2.2 集合的运算并集、交集、补集的定义及运算性质。
集合的幂集。
三、逻辑与布尔代数3.1 命题逻辑命题、联结词、复合命题的真值表。
命题逻辑的推理规则。
3.2 谓词逻辑个体、谓词、量词。
谓词逻辑的推理规则。
3.3 布尔代数布尔代数的基本运算：与、或、非。
布尔表达式的化简。
四、图论4.1 图的基本概念图的定义：节点和边的集合。
无向图、有向图、多重图、加权图等。
4.2 图的运算图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
图的连通性：强连通、弱连通。
4.3 特殊图二分图、树、路径、圈。
网络流、最短路径问题。
五、组合数学5.1 排列组合排列、组合的定义及计算公式。
分布计数原理。
5.2 计数原理鸽巢原理、包含-排除原理。
二项式定理、多项式定理。
5.3 组合设计区块设计、拉丁方、Steiner系统等。
组合设计的性质和构造方法。
《离散数学教案》课件六、数理逻辑与计算逻辑6.1 数理逻辑的基本概念命题、联结词、逻辑代数。
真值表和逻辑等价式。
6.2 计算逻辑形式语言和自动机。
编译原理中的逻辑分析。
七、组合设计与编码理论7.1 组合设计的基本概念区块设计、拉丁方、Steiner系统。
组合设计的性质和构造方法。
7.2 编码理论线性码、循环码、汉明码。
编码的纠错能力和应用。
八、图的同态与同构8.1 图的同态图的同态的定义和性质。
同态定理和同态的应用。
8.2 图的同构图的同构的定义和性质。
同构定理和同构的应用。
九、树与森林9.1 树的基本概念树的定义和性质。
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
离散数学 代数系统(1)
例10.1.7 设R为实数集， 为集合R上的二元运算，对任意
的a，b∈R，a b=a+2b，问这个运算满足交换律、结合律 吗？
解 因为2 3=2+2×3=8，而3 2=3+2×2=7，23≠3 2，故
该运算不满足交换律。
又=2因+2为×（（23 +32）× 44）=（=223+，2×（32） 3+）2 ×44≠=216 （，3而 42） （，3 故4）该运
运算在A上满足结合律。
例10.1.6 设A为非空集合， 为集合A上的二元运算，对任意 的a，b∈A，ab=a，证明 是可结合的。
证明 因为对于任意的a，b，c∈A，
（a b） c=a c=a，而a （b c）= a b=a， 所以有（a b）c= a （b c），因此运算是可结合的。
10.1 二元运算及其性质
b∈Z，a b =2a+b，问运算是否可交换？
解：因为
a b=2a+b=2 b +a=b a，
所以是可交换的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定 都有义（10x.1 .4y）设 z=为x集 （合y Az）上，的则二称元该运二算元，运若算对是任可意结x，合y的，，z∈也A称，
有零元；对于乘法运算来说，1是单位元，0是零元。
例 设有一个由有限个字母组成的集合X，叫字母表，在X 上构造任意长的字母串，叫做X上的句子或字，串中字母 的个数叫做这个串的长度，且当一个串的长度n=0时用符 号∧表示，称作空串。这样构造出了一个在X上的所有串 的集合X*。
10.1 二元运算及其性质
10.2 代数系统
例 设代数系统（A，*），其中A={x，y，z}，*是A上的 一个二元运算。对于表10.2-1中所确定的几个运算，试分 别讨论它们的交换性、等幂性，并且讨论在A中关于*是 否有零元及单位元，如果有单位元，那么A中的元素是否 有逆元。
离散数学屈婉玲第十章
12
家族树与根树的分类
定义10.5 设T为一棵非平凡的根树, vi,vjV(T), 若vi可达vj， 则称vi为vj的祖先, vj为vi的后代; 若vi邻接到vj, 则称vi为vj的父 亲, vj为vi的儿子. 若vj,vk的父亲相同, 则称vj与vk是兄弟．
将根树T中层数相同的顶点都标定次序, 称T为有序树． 根树的分类： (1) 若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉树. (2) 若T的每个分支点都恰好有r个儿子, 则称T为r叉正则树. (3) 若T是r叉正则树, 且所有树叶的层数相同, 则称T为r叉完 全正则树. 有序的r叉树, r叉正则树, r叉完全正则树分别称作 r叉有序树, r叉正则有序树, r叉完全正则有序树．
21
用2叉有序树存放算式
用2叉有序树表示含有2元运算和1元运算的算式: 每个分支点
放一个运算符, 其运算对象是以它的儿子为树根的子树所表 示的子算式. 规定运算对象的排列顺序, 如被除数、被减数放
在左边．所有的变量和常量都放在树叶上.
例 ((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij))
19
实例
解 传输100个八进制数字中各数字出现的个数, 即以100乘各频 率为: 25, 20, 15, 10, 10, 10, 5, 5, 以它们为权构造最优二叉树. 最佳前缀码 01-----0 11-----1 001-----2 100-----3 101-----4 0001-----5 00000-----6 00001-----7
例题
例2 已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶 点的度数均为4，求T的阶数n，并画出满足要求的所有非同 构的无向树. 解 设T的阶数为n, 则边数为n1，4度顶点的个数为n7. 由握手定理, 2m = 2(n1) = 51+21+31+4(n7), 解出n = 8，4度顶点为1个.
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学⼀、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是⼀个可以判断真假的陈述句。
联接词：∧、∨、→、?、?。
记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。
记住“q除⾮p”意思是“?p→q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
系统规范说明的⼀致性是指系统没有可能会导致⽭盾的需求，即若pq⽆论取何值都⽆法让复合语句为真，则该系统规范说明是不⼀致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以⽤真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成⼀个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后⾯，如?x>0P(x)。
当论域中的元素可以⼀⼀列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。
同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(? xP(x))∧(?xQ(x))。
量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。
1.5量词嵌套我们采⽤循环的思考⽅法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使⽤德摩根定律，将否定词移⼊所有量词⾥。
1.6推理规则⼀个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证⼆、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。
常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R 实数集，R+正实数集，C复数集。
A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的⼦集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真⼦集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。
幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它⾃⾝。
离散数学第10章——半群与群
e a b c
e e a b c
a a e c b
b c b c c b e a a e
特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结 果都等于剩下的第三个元素
二、群的定义、术语、实例
定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无 限群. (2) 只含单位元的群称为平凡群. (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换 群或阿贝尔 (Abel) 群.
方法：根据定义验证，注意运算的封闭性
2. 设V1= <Z, +>, V2 = <Z, >,其中Z为整数集合, + 和 分别代表普通加法和乘法. 判断下述集合S 是否构成V1和V2的子半群和子独异点. (1) S= {2k | kZ} (2) S= {2k+1 | kZ} (3) S= {1, 0, 1}
定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最
小正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元.
若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元. 在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
(3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算 构成环. (4) 设Zn＝{0,1, ... , n－1}，和分别表示模n的加 法和乘 法，则<Zn,,>构成环，称为模 n的整数 环.
定义10.13 设<R,+,· >是环
(1) 若环中乘法 · 适合交换律，则称R是交换环 (2) 若环中乘法 · 存在单位元，则称R是含幺环 (3) 若a,b∈R，ab=0 a=0∨b=0，则称R是无零因 子环 (4) 若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R 是整环
《离散数学课件》1-2集合的基本概念
集合与元素的关系
如果 a是集合A 的一个元素，就叫做 a属于 集合A，这时记为 a∊A 。 如果 a不是集合A中的一个元素，就叫做a 不属于A ，这时记为a∉A 。 对于任给的一个对象a和任给的一个集合A， 或者a属于A，或者 a不属于A， 二者必居其一，不可得兼。
16/69
隶属关系的层次结构
若A⊆B且A≠B ， 说A是B 的真子集，记为A⊂B 。
25/69
命题2：空集是唯一的。
证明：设 Ø1，Ø2 是两个空集合。 由命题1， Ø 1⊆ Ø 2 且 Ø2⊆Ø1 故 Ø1 = Ø2
26/69
集合之间的关系
包含（子集） A B x (xA xB)
不包含 相等 不相等 真包含 不真包含 A ⊈ B x (xA xB) A=BABBA AB ABABAB AB
31
6.2 集合的基本运算
6.2.1 集合的并、交、差 6.2.2 集合的对称差 6.2.3 文氏图 6.2.4 集合的幂集合 6.2.5 多个集合的并与交
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并运算：A∪B
A∪B={x │x∊A或x∊B}
其元素是所有的或者属于集合A，或者属于集 合B的元素组成。
A∪B
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交运算： A∩B
③数0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 可以组成一个集合, 阿拉 伯数字集。 ④数0，1, 3, 4可以组成一个集合。 ⑤二十六个英文字母可以组成一个集合, 英文字母集
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一、集合与元素
集合：某些确定的、能够区分的对象的聚合。 元素：组成一个集合的那些对象称为这一集合 的元素和成员。 用大写字母代表集合， 用小写英文字母代表集合的元素。
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离散数学-10.1-10.2：组合数学PPT课件
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例10.1.2：
例设A, B, C 是3个城市，从A 到 B 有3条道路，从B 到
C 有2条道路，从A 直接到 C 有2条道路，问:
(1)从 A 到 C 有多少种不同的方式？
(2) 从A到C最后又回到A有多少种不同的方式？其中经过
例（1）：有10种画册，每种数量不限，现在要 取3本送给3位朋友，问有多少种方法？
解：此题为求多重集 a 1, a 2,..., a 1 0的3排
列数问题，根据定义得，N=103=1000
例（2）：有2面红旗、3面黄旗一次悬挂在一根 旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？
解：此题为求多重集 2红 旗 ,3黄 旗 的全
排列数问题，根据定义得: N 5! 10
2!3!
.
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多重集的组合（无序，可重复）
当r ni ， 多重集 S ={ n1a1, n2a2, …, nkak } 的r组 合数为 N(rr!(kk11))!!Ckrr1
证明 一个 r 组合为 { x1a1, x2a2, …, xkak }，其中 x1 + x2+ … + xk = r , xi 为非负整数. 这个不定方程 的非负整数解对应于下述排列
推广：事件 A1有 p1种产生方式，事件 A2有 p2
种产生方式，…, 事件 Ak 有 pk 种产生的方式，
则 “事件A1或 A2或 … Ak” 有 p1+p2+…+pk 种
产生的方式.
.
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乘法法则
乘法法则：事件A 有 m 种产生方式，事件 B 有n 种产生方式，则 “事件A与B” 有 m n 种 产生方式. 使用条件：事件 A 与 B 产生方式彼此独立 适用问题：分步选取
离散数学 第十章、群与环
子群判定定理3 子群判定定理
定理10.7 （判定定理三） 判定定理三） 定理 为群， 是 的非空有穷子集 的非空有穷子集， 设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当 为群 是 的子群当且仅当 ∀a,b∈H有ab∈H. ∈ 有 ∈ 必要性显然. 为证充分性， 证 必要性显然 为证充分性，只需证明 a∈H有a−1∈H. ∈ 有 任取a∈ 任取 ∈H, 若a = e, 则a−1 = e∈H. ∈ 若a≠e，令S={a,a2,…}，则S⊆H. ， ， ⊆ 由于H是有穷集 必有a 是有穷集， 由于 是有穷集，必有 i = aj（i<j）. ） 根据G中的消去律得 aj−i = e，由a ≠ e可知 j−i>1，由此得 根据 中的消去律得 − ， 可知 − ， −− −− a j−i−1a = e 和 a a j−i−1 = e −− 从而证明了a 从而证明了 −1 = a j−i−1∈H.
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群的性质： 群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： 为群， 中的幂运算满足： 定理 中的幂运算满足 (1) ∀a∈G，(a−1)−1=a ∈ ， (2) ∀a,b∈G，(ab)−1=b−1a−1 ∈ ， (3) ∀a∈G，anam = an+m，n, m∈Z ∈ ， ∈ (4) ∀a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z ∈ ， ∈ (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn. 为交换群， 为交换群 的逆元， 也是 的逆元. 也是a 证 (1) (a−1)−1是a−1的逆元，a也是 −1的逆元 根据逆元唯一 等式得证. 性，等式得证 (2) (b−1a−1)(ab)= b−1(a−1a)b = b−1b = e, (ab)( b−1a−1)=e， 同理 ， 的逆元. 故b−1a−1是ab的逆元 根据逆元的唯一性等式得证 的逆元 根据逆元的唯一性等式得证.
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多重集的排列
多重集 S ={n1a1, n2a2, …, nkak}，0 <ni +∞ (1) 全排列 r = n, n1 + n2 + … + nk = n
n! N n1 ! n2 ! ... nk !
证明：分步选取，先放 a1, 有 C n1 种方法；再放 a2, n n nk 2 有C n 种方法， ... , 放 a 有 种方法 k C n
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组合分析部分
第10章 组合分析初步
3
第10章组合分析初步
10.1 加法法则和乘法法则
加法法则与乘法法则 应用实例
10.2 基本排列组合的计数方法（重点）
排列组合问题的分类
集合的排列与组合
多重集的排列与组合
10.3 递推方程的求解与应用（重点分治算法）
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加法法则
事件 A有 m 种产生方式，事件 B 有 n 种产生方 式，则“事件 A 或 B”有 m+n 种产生方式. 使用条件：事件 A与 B 产生方式不重叠 适用问题：分类选取. 方式分别计数，再相加. 推广：事件 A1 有 n1 种产生方式，事件 A2有 n2 种产生方式，…, 事件 Ak 有 nk 种产生的方式， 则“事件A1 或 A2或…Ak” 有 n1+n2+…+nk 种产 生的方式.
模型
排列
放球
排列
非降路径
选取
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应用——栈输出的计数
例 将1,2,…,n按照顺序输入栈,有多少个不同的输出序列？ 解：将进栈、出栈分别记作 x,y, 出栈序列是n个x，n个y的 排列，排列中任何前缀的 x 个数不少于y 的个数. 等于从 (0,0) 到 (n,n) 的不穿过对角线的非降路径数.
实例：n=5 x, x, x ,y, y, x, y, y, x, y 进,进,进,出,出,进,出,出,进,出 3, 2, 4, 1, 5
Pnr n! r C n r ! r ! ( n r )! 0 证明方法： 公式代入 组合证明（一一对应） nr nr
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基本计数公式的应用
例1 从1—300中任取3个数使得其和能被3整除有 多少种方法？
解 令 A={1, 4, …, 298}，B={2, 5, …, 299}
r!( k 1)!
证明 一个 r 组合为 { x1a1, x2a2, …, xkak }，其中 x1 + x2+ … + xk = r , xi 为非负整数. 这个不定方程 的非负整数解对应于下述排列 1…1 0 1…1 0 1…1 0 …… 0 1…1 x1个 x2个 x3个 xk个
( r k 1)! r Ck r 个1，k-1个 0 的全排列数为 N r 1 r!( k 1)!
C={3, 6, …, 300}
将方法分类：
分别取自 A, B, C:
3 各 C100
C100 A, B, C各取1个：
3 1 N 3C100 (C100 )3 1485100
）
例2 求1000！的末尾有多少个0？ 解 1000! = 1000 999 998 … 21 将上面的每个因子分解，若分解式中共有 i 个5, j 个2，那么 min{ i, j } 就是 0 的个数. 1, …, 1000 中有 500 个是 2 的倍数，j > 500; 200 个是 5 的倍数， 40 个是 25 的倍数（多加40个5）， 8 个是 125 的倍数（再多加8个5）， 1 个是 625 的倍数（再多加1个5） i = 200 + 40 + 8 + 1 = 249. min{ i, j }=249.
A = {1, 2, … , m}, B = {1, 2, … , n} f: AB
函数 单射 满射
m n! n
双射
n n! n! n P ( n, n )
单调
m n 1 2 m
严格单调 C(n,m)
计数 P(n,m)
n k nk 二 : ( x y) k x y . k 0
n n
n
n m m i m n i (8) r m (1) i r , m r n i 0 n n n n1 n2 n nt 多 : x1 x2 ... xt n n ... n t n n ... n x1 x2 ... xt .(1) t 1 2 t 1 2
组合分析
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智周万物-500强招聘-排列组合
1）10个小朋友排队买票，票1元一张，五 个人拿的是1元纸币，另外五个拿的是2元 纸币，售票员没有零钱，有多少种排队的 方法可以使得售票员始终找得开。 2）运算符号的妙用：在1、2、3、4、5、6、 7、8、9 这一串数字中间，加入运算符号 “＋”或“－”，使其代数和等于99，按 （1 …… 9）可以有几种解？倒过来的后者 （9 …… 1）可以有几 种解？
(2) 5！5！ (4) 5！4！
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二/多项式定理与组合恒等式
n n n k n (1) k 2 ; (2) (1) k 0, n N k 0 k 0 n n n l n 1 n n 1 2 n n2 (3) k k k 1 , n, k N k n2 ; (4) k k n(n 1)2 ; (5) l 0 k 0 k 0
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实例
例3 r 个相同的球放到 n 个不同的盒子里，每个盒 子球数不限，求放球方法数. 解：设盒子的球数依次记为 x1, x2, …, xn, 则满足下 述方程： x1 + x2 + … + xn = r， x1,x2, …, xn为非负整数 该方程的解的个数为：
( r k 1)! r N Ck r 1 r!( k 1)!
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排列组合的分类
选取问题：设 n 元集合 S，从 S 中选取 r 个元素. 根据是否有序，是否允许重复可将该问题分为四 个子类型 不重复 有序 无序 集合排列 P(n,r) 集合组合 C(n,r) 重复 多重集排列 多重集组合
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集合的排列
从 n 元集 S 中有序、不重复选取的 r 个元素称为 S 的一个r 排列，S 的所有 r 排列的数目记作 Pnr
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应用实例
例1 设A, B, C是3个城市，从 A 到 B 有3条道路， 从 B 到C 有2条道路，从 A 直接到 C 有4条道路， 问从 A 到 C 有多少种不同的方式？
解 N = 32+4 = 10 例2 求 1400 的不同的正因子个数
解 1400 = 23 52 7 正因子为：2i 5j 7k，其中 0 i3, 0j2, 0k1 N = (3+1)(2+1)(1+1) = 24
n n 1 n 1 n 1 (2) ... n1 n2 ... nt n1 1 n2 ... nt n1 n2 1 ... nt n1 n2 ... nt 1
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应用——栈输出的计数(续)
N: 堆栈输出个数 N:(0,0)到(n,n)不 穿过对角线的 非降路径数 N0:(0,0)到(n,n)的 非降路径总数 N1:(0,0)到(n,n)的 穿过对角线的 非降路径数 N2:(1,1)到(n,n) 的非降路径数.
关系：N=N =N0N1, N1=N2
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2n 2n ( 2n)! ( 2n)! 1 2n N n n 1 n! n! ( n 1)!( n 1)! n 1 n
1
n n1 n2 ... nk 1
N
nk n1 n2 C n C n n1 ...C n n1 ...nk 1
n! n1 ! n2 ! ... nk !
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(2) 若 r ni 时，每个位置都有 k 种选法，得 kr.
多重集的组合
当r ni ， 多重集 S ={ n1a1, n2a2, …, nkak } 的组 合数为 N ( r k 1)! C kr r 1
n m n m n m n m n (6) k r k r (7) k k m k 0 k 0 r
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函数计数小结
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实例
例4 排列 26个字母，使得a与b之间恰有7个字母， 求方法数.
7 2 P 解：固定a 和 b 中间选7个字母，有 24 种方法 将它看作大字母与其余 17个全排列有18！种，
N
7 2 P24
18!
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实例（续）
例5 (1) 10个男孩，5个女孩站成一排，若没女孩 相邻，有多少种方法？ (2) 如果站成一个圆圈，有多少种方法？ 解: (1) (2)
5
乘法法则
事件 A有 m 种产生方式，事件 B 有 n 种产生方 式，则“事件 A 与 B”有 mn 种产生方式. 使用条件：事件A与B产生方式相互独立 适用问题：分步选取. 方式是连续的步骤，各步 相互独立，分别计数，然后相乘. 推广：事件 A1 有 n1 种产生方式，事件 A2有 n2 种产生方式，…, 事件 Ak 有 nk 种产生的方式， 则“事件A1 与 A2与 …Ak” 有 n1n2…nk 种产生 的方式.
n! n! r Pn ( n r )! ( n r )! 0 n r n r
Pnr n! S 的 r- 环排列 数 = r r ( n r )!