高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题

高考指数函数和对数函数

一.基础知识

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方

根，其中n >1，且n ∈N *

．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩

⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n

n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m )1,,,0(1

1

*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

（1）r a ·s

r r a a += ),,0(R s r a ∈>；

（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；

（3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]

b (f ),a (f [

或)]a (f ),b (f [；

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；

（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○

2 x N N a a

x

=⇔=log ； ○

3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○

2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

对数 （二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1

M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =N

M

a log M a log －N a log ；

○

3 n a

M log n =M a log )(R n ∈．

注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论

（1）b m

n

b a n a m

log log =；（2）a b b a log 1log =．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对

数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5

log 5x y = 都不是对数函数，

而只能称其为对数型函数．

○

2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

1、指数函数与对数函数

1、（2009湖南文）2

log ）

A ．

B

C ．12

- D ． 12

2、（2012安徽文）23log 9log 4⨯=（ ） A ．

1

4

B ．

12

C ．2

D ．4

3、（2009全国Ⅱ文）设2

lg ,(lg ),a e b e c === ( )

A.a b c >>

B.a c b >>

C.c a b >>

D.c b a >>

4、（2009广东理）若函数()y f x =是函数(0,1)x

y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =（ ）

A. 2log x

B. 12

log x C.

12

x D. 2

x 5、（2009四川文）函数)(2

1

R x y x ∈=+的反函数是（ ）

A. )0(log 12>+=x x y

B. )1)(1(log 2>-=x x y

C. )0(log 12>+-=x x y

D. )1)(1(log 2->+=x x y

6、（2009全国Ⅱ理）设323log ,log log a b c π=== ）

A. a b c >>

B. a c b >>

C. b a c >>

D. b c a >>

7、设3

.02

13

1)

2

1

(,3log ,2log ===c b a ，则（ ）

A.c b a <<

B. b c a <<

C. a c b << D .c a b << 【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。 8、若2log a ＜0，1

()2

b

＞1，则 ( )

A ．a ＞1,b ＞0

B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 9、（2009江苏）已知集合{}

2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =

【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 10、设25a b m ==，且

11

2a b

+=，则m =（ ）

11、（2010全国文）函数)1)(1ln(1>-+=x x y 的反函数是( )

A.y=1x e +-1(x>0)

B. y=1x e -+1(x>0)

C. y=1x e +-1(x ∈R)

D.y=1x e -+1 (x ∈R) 12、方程032

41

=--+x x

的解是_________ .

13、（2011四川理）计算21

100)25lg 4

1(lg -÷-_______ ．

14、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________ 。

15、已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,2

2

()()f a f b +=_________ .

【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.

16、7）设232555

322555

a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是

A.a ＞c ＞b

B.a ＞b ＞c

C.c ＞a ＞b

D.b ＞c ＞a 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 17、（2010四川理）=+25.0log 10log 255（ ）