行列式计算方法研究毕业论文

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第1章行列式的计算方法 (1)

第1节利用行列式定义与性质计算 (1)

第2节化三角形法 (3)

第3节降阶法 (4)

第4节递推公式法及数学归纳法 (5)

第5节利用德蒙行列 (7)

第6节行列式的特殊计算法 (8)

第2章行列式的应用 (11)

第1节行列式在代数中的应用 (11)

第2节行列式在几何中的应用 (12)

第3节行列式在多项式理论中的应用 (14)

结论 (16)

参考文献 (17)

致谢 (18)

第１章 行列式的计算方法

第1 节 利用行列式定义与性质计算

定义1[1] 对任何n 阶方阵()ij n

A a =，其行列式记为ij n

A a = ．

()

(

)

12

1212

121n n n n

t p p p ij p p p n

p p p A a a a a ==

-∑ ．

其中12

n p p p 是数组1，2，…，n 的全排列，∑表示对关于这些全排列的项(共有!n

项)全体求和．

性质1 行列互换，行列式不变，即

nn

n n

n n nn

n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212

2212

1211121

22221

11211=

.

性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立．

性质2 对换行列式两行的位置，行列式反号． 性质3 若行列式有两行相同，则行列式等于0．

性质4 用一个数乘以行列式的某一行，等于用这个数乘以这个行列式，或者说某一行的公因式可以提出来，即

nn

n n in i i n

nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 212111************

=. 推论1 若行列式某行（列）元素都是0，则行列式等于0． 推论2 若一个行列式的任两行成比例，则行列式值为0． 性质5 行列式具有分行相加性，即

nn

n n n n n

a a a c

b

c b c b a a a

21221111211+++=nn n n n n a a a b b b a a a

212

1

11211+nn

n n n n a a a c c c a a a

21

2

111211. 性质6 把行列式的某一行的若干倍加到另一行，行列式值不变， 即

nn

n n kn h k in i i n

nn n n kn k k kn in k i k i n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a ca a ca a ca a a a a

21

2121

112

11

21

21221

1112

11=+++. 例1[1] 计算行列式0

00500400300

2000=

D . 解 展开式中项的一般形式是

12341234j j j j a a a a .

显然，如果51≠j ，那么011=j a ，从而这个项都等于零．因此只需考虑51=j 的那些项；同理，只需考虑24j =，33j =，42j =这些列指标的项．这就是说行列式不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而6)3421(=τ这一项前面的符号应该是正的，所以

1205432=⋅⋅⋅=D .

例2[2] 计算n 级行列式c

d

d

d

d c d d

d d c d

d d d c d =.

解 这个行列式的特点是每一行有一个元素是c ，其余1-n 个是d . 根据性质6，把行列式第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变，直到第n 列也加到第一列，即得

c

d

d

d

d

n c d c d d

n c d

d c d n c d

d d d n c d )1()1()1()1(-+-+-+-+= =[]11(1)11d d d d c d d d c n d d c d d

d

d

d

c

+-. 把第二行到第n 行都分别加上第一行的-1倍，就有

[]d

c d

d c d d d

c d d d d n c d ----+= 0

00

01)1(.

根据例1得

[]1)()1(---+=n d c d n c d .

把行列式的某一行（或列）的元素写成两数和的形式，然后利用行列式的性质5将原行列式写成两行列式之和, 进而使行列式简化以便计算．

例3 计算行列式3

32

1

32

21321

1λλλ+++=

a a a a a a a a a D .

解

3

32

32

2321

3

32

1

32

21

321

0λλλλλ+++++=a a a a a a a a a a a a a a a D

=[]3233221321))((a a a a a -+++λλλλλ.

第2节 化三角形法

化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法，这是计算行列式的重要方法之一. 利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式．对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各行（或列）加到第1行（或第1列）或第n 行（或第n 列），然后再化简．