求递推数列的通项公式的十一种方法包含特征根和不动点

求递推数列的通项公式的九

种

方

法

利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.

一、作差求和法

例

1 在数列{n a }中，

31=a ,)

1(1

1++=+n n a a n n ，求通项公式

n a .

解：原递推式可化为：

1111+-

+=+n n a a n n 则,21

1112-+=a a 3

1

2123-+=a a

41

3134-

+=a a ，……，n n a a n n 1

111-

-+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n

a n 1

4-=.

二、作商求和法

例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12

2

1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）

解：原递推式可化为： )

]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0

∵ n n a a ++1＞0， 1

1+=+n n

a a n n

则

,4

3,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 1

1=，即n a =

n

1

. 三、换元法

例 3 已知数列{n a }，其中

9

13

,3421=

=

a a ，且当n ≥3时，)(31

211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n

a （1986年高考文科第八题改编）.

解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3

1

21n n n b b b --=

是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31

.故

n n n n b b )31

()31(91)31(2211==⋅=---.故

n n n a a )31

(1=--.由逐差法可得：

n n a )3

1

(2123-=.

例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，

且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解 由1221=+---n n n a a a 得：

1

)()(211=------n n n n a a a a ，令

11---=n n n a a b ，则上式为121=---n n b b ，

因此}{n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。

由

于

12312121=-++-+-=+++--n n n a

a a a a a a

b b b

又2

)

1(121-=+++-n n b b b n 所

以

)1(2

1

1-=

-n n a n ，

即

)2(2

12

+-=

n n a n 四、积差相消法

例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列0a ，1a ，n a …，n a ，…满足

122221-++++=n n b =12-n ，即

1

-n n a a =12-n

. 逐

项

相

乘

得

：

n a =2)12(-222)12()12(-⋅⋅-⋅n ，考虑

到10=a ，

故

⎩⎨⎧

-⋅⋅--=2

222)

12()12()12(1n n a

)

1()

0(≥=n n .

五、取倒数法

例6 已知数列{n a }中，其中,11=a ，，所以即

2

1n n a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁▁

（2002年上海高考题）.

解 由题意知n a ＞0，将2

1n n a a =+两边

取对数得n n a a lg 2lg 1=+，即

2lg lg 1

=+n

n a a ，所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为

2

的

等

比

数

列

，

1

21

13

lg 2

lg lg -=⋅=-n n n a a ，即1

2

3-=n n a .

七、平方（开方）法

例8 若数列{n a }中，1a =2且

2

13-+=n n a a （n 2≥）

，求它的通项公式是n a .

2n a 32a n {n a （n 解 递推式n

n

n S S S 431

+=+可变形为41311+⋅=+n

n S S （1）

设（1）式可化为)1

(

311

λλ+=++n n S S （2）

比较（1）式与（2）式的系数可得2=λ，则有

)21(

3211

+=++n n S S 。故数列{21

+n

S }是以

321

1

=+S 为首项，3为公比的等比数列。21+n S =n n 3331=⋅-。所以1

31

-=n n S 。 ，

12

383322+⋅-⋅-=

n n n

式是

。 、C 为常

化为

.

}中，

项公式

比较系数得

λ=-4，①式即是：

)34(23411-+⋅-=⋅-n n n n a a .

则数列}34{1

-⋅-n n a 是一个等比数列，

其首项53

41

11-=⋅--a ，公比是2.

∴112534--⋅-=⋅-n n n a

即1

12534--⋅-⋅=n n n a .