概率论与数理统计_20_中心极限定理

练习2解答（续）
方法二：把二项分布看成多个独立 同分布的1-0分布之和，再根据中心 极限定理用标准正态分布近似计算
练习2解答（续2）
方法二续
小结：当n很大时，二项分布 B(n,p)可看成是很多独立同分布 的1-0分布之和，从而可以用正 态分布的CDF连续函数来近似原 来二项分布的CDF（离散值）。 用Mathematica作图来对比，这 个近似很优秀。
k 1 n
练习1解答
练习2
某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工 率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要 供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产？
练习2求。
……
用Mathematica可求得 r_min = 141
n
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
独立同分布的中心极限定理 设 X1,, X n , 是独立同分布的随机变量序 列，且 EX k ，DX k 2 0, (k 1,2,) 则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1
n
k
n x}
n
n
则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1 k k 1
n
n
k
n
DX k
k 1
n
1 x} 2

e
x
t2 2
dt
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的 简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的 经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
概率论与数理统计
第20讲 中心极限定理
张宏浩
中心极限定理的客观背景
在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的 综合影响所形成的. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素 （如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每 个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小 的. 那么弹着点服从怎样分布 ？ 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综 合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作 用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.
小结 中 心 极 限 定 理
2 独立同分布 E ( X k ) ，D( X k ) n 近似地 2 中心极限定理 X N ( n , n ) k ~ k 1 n ~ N ( n, p ) 棣莫弗 拉普拉斯 近似地 中心极限定理 n ~ N ( np, np(1 p)) 李雅普诺夫 E ( X k ) k , D( xk ) k 2 n n 近似地 2 中心极限定理 X k ~ N ( k , Bn ) k 1 k 1
什么是中心极限定理 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不 研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机 变量，即：
Yn
k 1
X k E( X k )
k 1
n
n
D( X k )
k 1
练习4解答
练习4解答（续）
李雅普诺夫(Lyapunov)定理
设X 1 , , X n , 相互独立，且EX k k，DX k k 0,
2 2 (k 1,2, )，设Bn k2 , 若存在正数， k 1 n
1 使得当n 时， 2 Bn
2 E {| X | } 0 k k k 1
说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。
用频率估计概率时误差的估计：
由上面的定理知
n np n P P p n n
P
n n np pq npq n pq n pq
n pq n pq 1
用这个关系式可解决 许多计算问题。
2
在n很大时有
第一类问题是已知 n, p, , 求概率
n P p ; n
第二类问题是要使
n
n
与 p 的差异不大于定数 的概率
n
1 2

e
x
t2 2
dt
即
证明见下面两页
独立同分布中心极限定理的证明：
（续下页）
（续上页）
练习1
一加法器同时收到20个噪声电压Vk ( k 1,2,n), 设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0, 10) 上服从均匀分布.记V Vk，求P V 105的近似值.
则对于任意 x ，恒有：
德莫佛-拉普拉斯(De Moivre—Laplace)定理 设随机变量 n (n 1,2,) 服从参数为n,p(0<p<1)的二 项分布 ，即 n ~ B(n, p).
n np 1 lim P{ x} n npq 2


x
t2 e 2 dt
不小于预先给定的数 ，问最少应做多少次试验？
这时只需求满足下式的最小的n,
2 n pq 1
n n 1 P p 2 pq n
第三类问题是已知 n , p 及 ， 求 ， 先求 x 使 n pq 2 x 1 , 有 x , 故 x . pq n
( q 1 p)
证：n X k ，
k 1
n
其中 X 1 ,, X n 相互独立且都服从于 (0-1) 分布。 EX k p， DX k pq 。 n
由独立同分布的中心极限 定理有结论成立。
n
lim P{
X
k 1
k
n
n
x}
1 2

e
x
t2 2
dt
推论： 设随机变量 n (n 1,2,) 服从参数为 n , p (0<p<1) 的 二项分布, 即n ~ B(n, p). 当 n 充分大时有：
a np n np b np P{a n b} P{ } npq npq npq b np a np ( ) ( ) npq npq
练习3
现有一批种子，其中良种占1/6。今任取6000粒， 问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所 占的比例与1/6的差不超过多少？相应的良种粒数 在哪个范围内？
练习3解答
练习3解答（续）
练习4
1 假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒， 6 试用切比雪夫（Chebyshev）不等式和中心极限定 理分别估计：这600粒种子中良种所占比例与 1 之 6 差的绝对值不超过0.02的概率。
注
随机变量X 1 , X 2 ,是相互独立的