专题3——三角形中常见的辅助线

专题三：三角形中常见的辅助线的作法

一、斜边中线模型

构成：Rt △ABC,∠ACB=090,D 为AB 边的中点

目的：找等量关系，或2倍（1/2）的关系。 结果：AD=CD=BD

例 1 已知：△ABC 中，∠A=060，CE ⊥AB,BD ⊥AC 求证：DE=12

BC

证明：取BC 中点M ，连结EM,DM

先证EM=DM ⇐EM=12

BC=DM 再证：∠2=π-∠1-∠3

=π-（π-2∠ABC ）-（π-2∠ACB ）=060 则△EDM 为等边三角形，所以有DE=DM=12

BC

“Rt △中斜边上的中线等于斜边的一半”+“等腰对等底”+“等量代换” 例2、如图，直角三角形ABC 中，∠C=90︒，M 是AB 中点，AM=AN ，MN//AC 求证：MN=AC 证明：连结CM

//AB AM

MN AC MCA MAC AMN N ACM MNA MN AC

∠︒∴=∴∠=∠=∠=∠∴∆≅∆∴=在直角三角形ABC 中，C=90M 是AB 的中点

1

CM=2

又 例3已知：△ABC 中，CE ⊥AB,BD ⊥AC ，M,N 分别为BC,DE 的中点 求证：MN ⊥ED

证明：连结EM,DM 先证 EM=DM ⇐EM=12

BC=DM

后证 MN ⊥ED ⇐N 为中点，EM=DM

“RT △中斜边上的中线等于斜边的一半”+“三线合一定理” [思考]：若△ABC 为钝角△，又该如何呢？在Rt △中，又是怎样？

例4已知：在△ABC 中，AB=AC,BD 为∠ABC 的角平分线，AM ⊥BC,DE ⊥BC, FD ⊥BD

A

D

C

M

A

B

D

E

C

213N

E

D

B

A

M

N

M

B

C

A

求证：ME=

14

BF 证明：取BD 、BF 中点G 、N ，连结 DN ， EF ， GM 先证 DN=12

BF

再证：DN=DC ⇐∠DNC=∠C=∠ABC ⇐ ①DN ∥AB ⇐∠3=∠1②AB=AC 再证 GM=12

DC

后证 GM=ME ⇐∠MEG=∠MGE ⇐ ①∠GEM=∠2②∠GMB=∠C=2∠2 所以有ME=12DC=

1

4

BF “RT △中斜边上的中线等于斜边的一半(2次)”+“平行线性质1”+“等腰对等底”+“三角形中位线定理”

例5如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 与D,M 为BC 边的中点，AB=10cm,则MD 长为多少？ 解：取 AB 中点N,连结DN,NM,则DN=1

2

AB, ∠NDB= ∠B, 且∠NMD= ∠C ∠NDB= ∠NMD+ ∠DNM ∠B= ∠C+ ∠DNM=2∠C

∴∠DNM=∠C=∠NDM 则DM=DN=1

2

AB

“Rt △斜边上中线等于斜边的一半”+“三角形中位线定理”+“外角性质”+“等底对等腰” 例6如图 ，Rt △ABC 中，∠C=090，CD 平分∠C ，E 为AB 中点，PE ⊥AB,交CD 延长线于P,那么∠PAC+∠PBC 的大小是多少？

解：连结 CE ,则∠EAC=∠ECA

∴∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠DAC-045

又

∠DAC=1800-∠ADC-045=0135-∠PDE

∴∠DCE=(0135-∠PDE)- 045=∠DPE 则PE =EC=AE

则可证∠PAC+∠PBC=∠PAB+∠BAC+∠PBA+∠ABC=1800

“斜边中线性质”+“对顶角相等”+“等量代换”+“三角形内角和定理” 等腰三角形底边的中线

例1、如图所示，在ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC 且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 提示：在AB 上取中点E ，连结DE ，可得DE ⊥AB ，并且AE=AC ，

N G

F 3

12

C

E D B A

M

N

C

D B

A M

P

D

C

E

B

A

证AED ≅

ACD ，则有∠ACD=∠AED=90︒，即CD ⊥AC

例2如图所示，等腰直角三角形ABC ，∠BAC=90︒，点D 是BC 的中点且AE=BF 求证：DE ⊥DF

证明：连接AD

二、“三线合一”模型

“角平分线”+垂线→等腰三角形”

构成：OC 为∠A0B 的角平分线，BC ⊥OC 于C 点 目的：构造等腰三角形

结果： ⑴[边]：BC=AC,OA=OB →OC 为△OAB 的中线

⑵[角]：∠3=∠4，∠ACO=090→ OC 为△ABO 的高线 ⑶[全等]：△ACO ≌△BCO

432

1C B A

O 45459090BAC BD AD B C B DAE

BDF ADE B DAE BD AD

BDF ADE BDF ADE

ADF BDF ADE ADF DE DF

∴⊥∠∠=︒=∠=∠=︒∴∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩∴≅∴∠=∠∠+∠=︒∴∠+∠=︒⊥在等腰直角三角形ABC 中，AD 是中线1

AD BC ，且DAE=，2又在和中BF=AE 又即