专题3——三角形中常见的辅助线

专题三：三角形中常见的辅助线的作法一、斜边中线模型构成：Rt △ABC,∠ACB=090,D 为AB 边的中点目的：找等量关系，或2倍（1/2）的关系。

结果：AD=CD=BD例 1 已知：△ABC 中，∠A=060，CE ⊥AB,BD ⊥AC 求证：DE=12BC证明：取BC 中点M ，连结EM,DM先证EM=DM ⇐EM=12BC=DM 再证：∠2=π-∠1-∠3=π-（π-2∠ABC ）-（π-2∠ACB ）=060 则△EDM 为等边三角形，所以有DE=DM=12BC“Rt △中斜边上的中线等于斜边的一半”+“等腰对等底”+“等量代换” 例2、如图，直角三角形ABC 中，∠C=90︒，M 是AB 中点，AM=AN ，MN//AC 求证：MN=AC 证明：连结CM//AB AMMN AC MCA MAC AMN N ACM MNA MN AC∠︒∴=∴∠=∠=∠=∠∴∆≅∆∴=在直角三角形ABC 中，C=90M 是AB 的中点1CM=2又 例3已知：△ABC 中，CE ⊥AB,BD ⊥AC ，M,N 分别为BC,DE 的中点 求证：MN ⊥ED证明：连结EM,DM 先证 EM=DM ⇐EM=12BC=DM后证 MN ⊥ED ⇐N 为中点，EM=DM“RT △中斜边上的中线等于斜边的一半”+“三线合一定理” [思考]：若△ABC 为钝角△，又该如何呢？在Rt △中，又是怎样？例4已知：在△ABC 中，AB=AC,BD 为∠ABC 的角平分线，AM ⊥BC,DE ⊥BC, FD ⊥BDADCMABDEC213NEDBAMNMBCA求证：ME=14BF 证明：取BD 、BF 中点G 、N ，连结 DN ， EF ， GM 先证 DN=12BF再证：DN=DC ⇐∠DNC=∠C=∠ABC ⇐ ①DN ∥AB ⇐∠3=∠1②AB=AC 再证 GM=12DC后证 GM=ME ⇐∠MEG=∠MGE ⇐ ①∠GEM=∠2②∠GMB=∠C=2∠2 所以有ME=12DC=14BF “RT △中斜边上的中线等于斜边的一半(2次)”+“平行线性质1”+“等腰对等底”+“三角形中位线定理”例5如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 与D,M 为BC 边的中点，AB=10cm,则MD 长为多少？ 解：取 AB 中点N,连结DN,NM,则DN=12AB, ∠NDB= ∠B, 且∠NMD= ∠C ∠NDB= ∠NMD+ ∠DNM ∠B= ∠C+ ∠DNM=2∠C∴∠DNM=∠C=∠NDM 则DM=DN=12AB“Rt △斜边上中线等于斜边的一半”+“三角形中位线定理”+“外角性质”+“等底对等腰” 例6如图 ，Rt △ABC 中，∠C=090，CD 平分∠C ，E 为AB 中点，PE ⊥AB,交CD 延长线于P,那么∠PAC+∠PBC 的大小是多少？解：连结 CE ,则∠EAC=∠ECA∴∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠DAC-045又∠DAC=1800-∠ADC-045=0135-∠PDE∴∠DCE=(0135-∠PDE)- 045=∠DPE 则PE =EC=AE则可证∠PAC+∠PBC=∠PAB+∠BAC+∠PBA+∠ABC=1800“斜边中线性质”+“对顶角相等”+“等量代换”+“三角形内角和定理” 等腰三角形底边的中线例1、如图所示，在ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC 且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 提示：在AB 上取中点E ，连结DE ，可得DE ⊥AB ，并且AE=AC ，N GF 312CE D B AMNCD BA MPDCEBA证AED ≅ACD ，则有∠ACD=∠AED=90︒，即CD ⊥AC例2如图所示，等腰直角三角形ABC ，∠BAC=90︒，点D 是BC 的中点且AE=BF 求证：DE ⊥DF证明：连接AD二、“三线合一”模型“角平分线”+垂线→等腰三角形”构成：OC 为∠A0B 的角平分线，BC ⊥OC 于C 点 目的：构造等腰三角形结果： ⑴[边]：BC=AC,OA=OB →OC 为△OAB 的中线⑵[角]：∠3=∠4，∠ACO=090→ OC 为△ABO 的高线 ⑶[全等]：△ACO ≌△BCO4321C B AO 45459090BAC BD AD B C B DAEBDF ADE B DAE BD ADBDF ADE BDF ADEADF BDF ADE ADF DE DF∴⊥∠∠=︒=∠=∠=︒∴∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≅∴∠=∠∠+∠=︒∴∠+∠=︒⊥在等腰直角三角形ABC 中，AD 是中线1AD BC ，且DAE=，2又在和中BF=AE 又即例 1 已知：AD 是△ABC 的∠A 的平分线，CD ⊥AD 于D,BE ⊥AD 于AD 的延长线于E,M 是BC边上的中点。

求证：ME=MD证明：延长 CD 交AB 于F 点，BE 与ＡＣ延长线交于Ｇ点Ｄ为FC 中点，Ｍ为ＢＣ中点。

ＤＭ∥ＡＢ，∠１＝∠3∠４＋∠５＝090，∠２＋∠６＝090 ∠５＝∠Ｇ＝∠６∠４＝∠２ 则∠3＝∠４则ＭＤ＝ＭＥ“‘三线合一’定理的逆定理”＋“平行线的性质”＋“等底对等腰” 例２已知：△ABC 为等腰直角三角形，∠A=090,∠１＝∠2,CE ⊥BE求证：BD=2CE证明：延长 CE 、BA 交于F 点 先证 CF=2CE再证 RT △ABD ≌RT △CAF ⇐ “∠3=∠F ”+”AB=AC ”+”∠BAD=∠CAF ”则有BD=CF=2CE“‘三线合一’定理的逆定理”+“ASA ⇒全等”例3 已知：△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE,∠AED+∠CAE=1800(∠3+∠4=1800)求证：DE ∥BC证明：延长AE 交BC 边于F 点，则有∠3＝∠６且∠3＝∠5⇐ ①∠3+∠4=1800② ∠4+∠5=1800∴∠5＝∠6 则DE ∥BC“‘三线合一’定理的逆定理”＋“平行线的判定”例4 已知：在△ABC 中，AC>AB,AM 为∠A 的平分线，AD ⊥BC 于D 求证 ：∠MAD=12(∠B-∠C)证明：作BE ⊥AM,交AC 于E 点，交AM 于K 点 先证∠3=∠4⇐∠１＝∠2654321MGFED CBA 4321FE D BA54321FE D CBA 54321KEMDCB A∠5＝∠AEB ⇐ ① AM 为角平分线 ②BE ⊥AM 后证：∠B-∠C=∠4+∠5-∠C=∠4+∠AEB -∠C=2∠4 则∠3=∠4= 12（∠B-∠C ）即∠MAD=12(∠B-∠C) “三线合一逆定理”+“平行四边形的判定”例5 已知：在△ABC 的两边AB 、AC 上分别取BD=CE ，F 、G 分别为DE 、BC 的中点，∠A 的平分线AT 交BC 于T求证：FG ∥AT证明：作EN ⊥AT 于N 点，交AB 于L 点，作CK ⊥AT 于K 点，连结FN 、GK 先证：NF ∥且=12LD,KG ∥且=12MB 再证：LD=MB ⇐LM=DB=EC最后证明四边形FNKG 为平行四边形。

“‘三线合一’定理的逆定理”＋“平行四边形判定”例6、如图，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点 （1）求证：AF ⊥CD（2）在你连接BE 后，还能得出什么新结论？证明：（1）连接AC 、AD ，在△ABC 和△AED 中，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED∴△ABC ≅△AED ∴AC=AD在等腰△ACD 中，F 是底边CD 的中点∴AF ⊥CD例7、如图，△ABC ，∠ACB=90︒，AC=BC ，D 为AC 上一点，AE ⊥BD 的延长线于E ，且AE=12BD ，求证：BD 平分∠ABC提示：分别延长AE 和BC ，两者相交于F欲证BD 平分∠ABC ，只需证BE 是等腰三角形底边上的高与中线，MK NL G F TEDA BOF EDC BA FEDCBA蕴含着BE是AF的中垂线三、三角形中位线模型构成：△ABC中，D 为AB边中点目的：找中位线，构造：①2倍关系②相似三角形结果：①DE∥BC,DE=12BC ②△ADE∽△ABC例1 已知：在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D,DE⊥AC于E,F为DE中点求证：AF⊥BE证明：取BE中点H，连DH先证：Rt△EDH∽Rt△AED 则22 DE EC HD AE DE EF==∴ Rt△EDH∽Rt△AEF 则∠BED= ∠1∴∠EAF+∠AEG=090则AF⊥BE“AAA⇒△∽”+“中位线定理”+“（两直线）定义”例2 已知 BD、CE为△ABC的角平分线，AF⊥CE 于F,AG⊥CE于F,AG⊥BD于G求证：①FG∥BC ② FG=12(AB+AC-BC)证明：延长AF、AG 分别交BC于M、N 两点证G为AN中点⇐①BD⊥AN ②∠1=∠2F为AM中点⇐①∠3=∠4 ②CE⊥AM①则GF为△ANM中位线 GF∥BC, GF=12 MN②MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC“等腰△三线合一”+“△中位线定理”+“等量代换”思考：BD、CE为外角平分线时或一内一外角平分线时，又该如何证明？例3 已知，如图在ABCD中，P为CD中点，AP延长线交BC延长线于E,PQ∥CE 交DE于Q求证：PQ=12BC证明：先证△ADP≌△PCE 可得 CE=AD=BC再证 PQ为中位线，PQ=12CE“AAS⇒△≌”+“平行四边形性质”+“△中位线定理”AB CD EGFEDHBA4321GFNMECDAQPEDCBA例4 已知：梯形ABCD 中，AB=DC,AC ⊥BD,E 、F 为腰上中点，DL ⊥BC,M 为DL 与EF 的交点 求证：EF=DL证明：取AD 、EF 的中点 H 、K,连结 EH 、FH 、HK 易证EH ⊥HF 则HK=12EFRT △DLC 中可得M 为DL 中点，则DM=12DL由题意得 HK=DM 则EF=DL“三角形中位线定理（3次）”+“平行线性质”+“斜边上中线为斜边一半” 例 5 已知：锐角△ABC 中，以AB 、AC 为斜边向外作等腰直角△ADB ，△AEC,M 为 BC 中点，连结DM 、ME 求证：DM=EM ,DM ⊥EM证明：取AB 、AC 的中点F 、G,连结DF 、FM 、 ME 先证△DFM ≌△MGE ⇐① DF=GM②∠DFM=∠MGE ⇐∠1=∠2=∠3 ③FM=GE则DM=ME , ∠4=∠5再证∠DME=∠7+∠1+∠5=090，则 DM ⊥EM[思考]：∠BAC 为钝角时，又该如何证明？例6：如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 是AB 延长线上一点，且AB=BD ，CE 是腰AB 上的中线。