3.1工业机器人运动学概述

数学基础
机械手作为执行机构是用来保证复杂空间运 动的综合刚体，而且它自身也往往需要在机械 加工或装配等过程中作为统一体进行运动。因 此，我们需要一种用以描述单一刚体位移、速 度和加速度以及动力学问题的有效而又方便的 数学方法---矩阵法 数学描述是以四阶方阵变换三维空间点的齐 次坐标为基础的，能够将运动、变换和映射与 矩阵运算联系起来。
非零向量的方向角
非零向量 a 的方向角： 、 、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0 ,
M2 M1
0 , 0 .
o
x
y
向量的方向余弦
向量OM 的方向角α、β、γ的余弦cosα、cosβ、 cosγ叫做它的方向余弦。 方向余弦通常用来表示向量的方向.
物理意义是一个适量的长度乘以另一个矢量在其上投影的长度。 向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用 “×”表示叉积，即
i a b ax bx
j ay by
a z (a y bz a z by )i (a z bx a xbz ) j (a x by a y bx )k bz
显然 ax=|OM|cosα
ay=|OM|cosβ, az =|OM|cosγ
M (ax , ay , az )
z
o
x
y
向量方向余弦的坐标表示式
当 a x a y a z 0 时，
2
2
2
cos
cos
ax a x a y az ay
a x a y az
第三章
3.1 概述 3.2 3.3 3.4 3.5
工业机器人运动学
物体在空间中的位姿描述 坐标变换 变换方程的建立 RPY角与欧拉角
3.6 机器人连杆D-H参数机器坐标变换 3.7 建立机器人运动学方程实例 3.8 机器人逆运动学
3.1 概述
工业机器人是开式链结构，即机器人是由一 系列关节连接起来的连杆所组成的。一端固定在 基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操纵 物体。人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于 固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人 的运动学问题。 机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执 行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系。
M1 M 2
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
z
R
M1
M2
Q
P
N
o
y
x
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k
向量的点积是标量。用“ · ”来定义向量点积，即
a b axbx ayby azbz
第三章 工业机器人运动学
要实现对工业机器人 在空间运动轨迹的控制， 完成预定的作业任务，就 必须知道机器人在空间瞬 时的位置与姿态。如何计 算机器人手部在空间的位 姿是实现对机器人的控制 首先要解决的问题。
z
x o
y
Z
O
Y
X
本章讨论机器人运动学的基本问题，将引入齐次坐标 变换。推导出坐标变换方程；利用DH参数法，进行机器 人的位姿分析；介绍机器人正向和逆运动学的基础知识。
向量的模、方向角和方向余弦
向量的模与向量坐标的关系 由两点间距离公式可得 向量的模和坐标的关系。 向量OM的模为：
z
C
A
M(x,y,z)
B
|OM|

x2 y2 z2 .
x
o
y
当向量的起点不在原点时，设起点为M1(x1,y1,z1) 终点为M2(x2,y2,z2)，则 向量M1M2的模为：
3.1 概述
机器人运动学要研究的问题是： （1）正向运动学问题-运动分析 已知各个关节和连杆的参数和运动变量， 求解末端执行器（手部）的位姿。 （2）反向运动学问题-运动综合 在已知末端执行器（手部）要到达的目标 位姿的情况下，如何求解各个关节的运动变量。
机器人研究所
4
3.1 概述
通常采用矩阵法来描述机器人运动学问题， 工业机器人实际上是一系列关节连接起来的连杆 组成，把坐标系放在机器人的每一个连杆的关节 上，可用齐次变换来描述这些坐标系间的相对位 置和姿态方向。 机器人 “位姿” 是“位置和姿态” 的简称
cos
az a x a y az
2 2 2
.
方向余弦的特征
cos cos cos 1
2 2 2
特殊地：单位向量的方向余弦为
ax ax a y a a ( , , ) |a| |a| |a| |a|
0
{cos , cos , cos }.
2 ）,B(1,3,0),求向量 例1 已知两点A（2,2, 2 AB 的模，方向余弦和方向角。 解：
AB OB OA (1,3,0) (2, 2, 2) (1,1, 2)
AB 1 1 2 4 2
1 1 2 cos , cos , cos 2 2 2 2 1 3 , , . 3 3 4
k
空间两向量的夹角的概念：
a 0, b 0, 向量a 与向量b 的夹角 (a , b ) (b , a )
b

a
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.