电磁场与电磁波期末试题2013

一、选择题（10×2=20分）1.产生电场的源为( C )A 位移电流和传导电流；B 电荷和传导电流；C 电荷和变化的磁场；D 位移电流和变化的磁场。

2.在有源区，静电场电位函数满足的方程是（ A ）A 泊松方程；B 亥姆霍兹方程；C 高斯方程；D 拉普拉斯方程。

3. 如果真空中有一个点电荷q 放在直角坐标系的原点，则坐标),,(z y x 处的电位=Φ( D )A 22241z y xq++πε； B 222041z y x q++πε； C 22241zy x q ++πε； D 22241zy x q ++πε。

4. 某金属在频率为1MHz 时的穿透深度为60m μ，当频率提高到4 MHz 时，其穿透深度为（ B ）A 15m μ；B 30m μ；C 120m μ；D 240m μ。

5. 在正弦电磁场中，位移电流应与该处电场的方向一致，其相位（ C ） A 与电场相同； B 与电场相反； C 超前电场90°； D 滞后电场90°。

6. 一个半径为a 的导体球，球外为非均匀电介质，介电常数为a r 0εε=，设导体球的球心与坐标原点重合，则导体球与无穷远点的电容为（ B ）A a 04πε； B a 08πε； C a 012πε； D a 02πε。

7.对于非磁性介质，平行极化的均匀平面斜入射到介质分界面上，发生全透射的条件为（ B ）A 反射波平行极化；B 入射角等于布儒斯特角；C 入射角等于临界角；D 入射波为左旋园极化。

8.麦克思韦提出的( D )的概念，使在任何状态下的全电流都可保持连续A 传导电流；B 时变电流；C 运流电流；D 位移电流。

9. 如图所示的一个电量为q 的点电荷放在060导体内坐标),(d a 处，为求解导体包围空间的电位，需要( C )个镜像电荷A 1个；B 3个；C 5个；D 8个。

10. 已知良导体的电导率磁导率和介电常数分别为σμ和ε，则频率为ω的平面电磁波入射到该导体上时的集肤深度为( A )Aωμσ2； B 2ωμσ； Cωμσ21； D σωμ2。

60q二、填空题（18分，每空1分） 1. 设A =ya xy ˆ ，A⋅∇ =x ，A⨯∇ =ˆz ya ，=⨯∇⨯∇Aˆx a 。

2. 已知标量场为1)2s i n (),,(3++=y x z y x f ，则通过点)1,0,1(的等值面方程为1)2sin(3=-+y x 。

3. 在空间中外加恒定的电场和磁场，电场强度和磁感应强度分别为E和B 。

如果有一个带电q 的粒子以速度v通过该空间，那么它受到的洛伦兹力为=F ()q v +⨯ E B 。

4. 当平面波入射到两层非磁性介质的分界面上时，如果介质1与介质2的介电常数分别为1ε和2ε，入射角和透射角分别为iθ和tθ，那么折射定律的表达式为 12sin sin εεθθ=ti。

5. 写出欧姆定律的微分形式J E σ= 焦耳定律的微分形式p J E =⋅ 。

6. 写出时变电磁场的坡印亭矢量S=⨯ E H 和时域的坡印亭定理2221122V SVH E dV d E dV t μεσ∂⎛⎫-+=⨯+ ⎪∂⎝⎭⎰⎰⎰E H S 。

或1122VSVdV d dV t ∂⎛⎫-+=⨯+⎪∂⎝⎭⎰⎰⎰B H E D E H S J E7. 写出时变电磁场边界条件的矢量形式()21ˆ0nE E ⨯-=， ()21ˆSn D D ρ⋅-= ，()21ˆs nH H J ⨯-= ，()21ˆ0nB B ⋅-= 。

8. 均匀平面波由空气（z<0）斜入射到理想导体平面（z=0），已知入射波的磁场为]/[ˆ1.0)22(4m A e z x j +-=πyia H则入射波的电场强度)22(40)ˆˆ(26ˆz x j z x ik i e a a H aE +--=⨯-=ππη；反射波电场强度为)22(4)ˆˆ(26z x j z x r e a aE --+-=ππ。

9. 均匀平面电磁波由空气（z<0）入射到无限大理想介质界面（z=0），入射波的电场复矢量为)3(2)ˆˆ3(z x j zxie -+=πa aE（V/m ），已知理想介质区域（z>0）的相对磁导率1=rμ，相对介电常数25.2=rε，请计算入射角iθ030=；透射波的相位常数2k 6π= 1/m；三、计算题（1×10=10分）内、外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流I ，求柱内外的磁感应强度。

解：使用柱坐标系，使圆柱轴线在z 轴，电流密度矢量沿轴向ˆzJa=J ，大小为22,0,(),0r a J I a r b J b a r b J π<=<<=->=（2分）根据问题的对称性，可知磁场强度B只有圆周φ方向的分量，φφaB B ˆ=使用安培环路定理计算不同区域的磁场强度 ⎰⎰⋅=⋅SCSd J l d B 0μ （2分）取轴线为圆心，半径为r 的圆环ar <时， φπrB l d B C2=⋅⎰，0=⋅⎰SS d J μ，可得0=B （2分）br a <<时，φπrB l d B C2=⋅⎰，22220220000a b a r I a r J JdS S d J r S--=-==⋅⎰⎰μπμμμ)(可得φπμa a b r a r I B ˆ)()(222202--= （2分）br >时，φπrB l d B C2=⋅⎰， 可得rI B πμ20=（2分）四、概念题（1×10=10分）在无源区，在均匀、线性、各向同性介质中，写出正弦电磁场的麦克斯韦方程组复数形式，并推导电场强度和磁场强度满足的波动方程。

解：对于正弦电磁场，可由复数形式的麦克斯韦方程导出复数形式的波动方程，无源区麦克斯韦方程组为00H j D E j B B D ωω⎧∇⨯=⎪∇⨯=-⎪⎨∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩本构关系⎩⎨⎧==HB EDμε， 可得00H j E E j H H E ωεωμ⎧∇⨯=⎪∇⨯=-⎪⎨∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩(1) (2) (3) (4) （5分）对（1）式左右两端取旋度2()H H H j E ωε∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇=∇⨯将（2）式和（3）式代入可得 022=+∇H Hμεω同理可得 022=+∇E E μεω令μεω=k ，可得波动方程为02222=+∇=+∇E k E H k H （5分）五、计算题（1×10=10分）一个截面如图所示的长槽，向y 方向无限延伸，两侧边的电位为零，槽内∞→y ，0=ϕ，底部电位为ax Ux πϕ300sin),(=，求槽内电位。

0=ϕxya=ϕax U πϕ30sin=第七题用图解：分离变量为()()y Y x X =ϕ根据x 坐标的周期边界要求，选取 ()xk a x ka x X x xcos sin 21+= （3分）根据边界条件由 0,(0,)0x y ϕ== ，得02=a ；由 ,(0,)0x a y ϕ== ，得/(1,2,3,.....)xkn a n π==根据y 坐标的无限边界要求，可选取()1x k yY y c e -=（3分） 可得基本乘积解为()()sin n y an n n n n X x Y y C xeaππϕ-==为满足边界条件，选取基本解的叠加构成电位的表达式为 11sin n y an n n n n C xea ππϕϕ∞∞-====∑∑ （2分）由 000U x y ==),(,ϕ，可得∑∞==103n n xa n C a x U ππsin sin利用三角函数的正交归一性，可知只有当3=n 时，03U C =，其余系数()03=≠n C n最终可得槽中电位为303sin ya U x e aππϕ-⎛⎫=⎪⎝⎭（2分）六、计算题（1×10=10分） 在1=rμ,9=rε的理想介质中传播着磁场强度)]cos[)ˆˆˆ.(Az y x t a a aH z y x +----=ππωπ51121（m /A ）的均匀平面电磁波，试求：1）常数ω和A ； 2）波的传播方向，电磁波的波长和频率； 3）求平面电磁波电场强度的复数形式； 解：1）可以写出磁场强度的复数形式 )()ˆˆˆ.(Az y x j z y x e a a aH -+---=ππ51121可知传播矢量为 ()z y x a A a ak ˆˆˆ-+=π根据均匀平面波的定义 0=⋅H k()11()(1.5) 1.5101212x y z x y z k H A A ππ=+---=-+=aa a a a a即 50.-=A （2分）传播矢量为()z y x a a ak ˆ.ˆˆ50++=π1/m ， 波数 1.5(1/)k k m π==而 8/2 1.510/sec)r kc f rad ωεππ===⨯ ( （2分）2) 波矢量 z y x ka a a a ˆ31ˆ32ˆ32ˆ++=，波长m k 342==πλ，频率77.510f Hz =⨯（3分） 3）若已知9=rε，且1=rμ，可得波阻抗040()r rμμηηπεε===Ω 电场强度复数形式mV e a a a H aE z y x j z y x k /)ˆ10ˆ7ˆ2(95ˆ)5.0(++-+-=⨯-=πη （3分）时域形式 mV z y x t a aa E z y x/)]5.0(102cos[)ˆ10ˆ7ˆ2(958++-⨯+-=ππ七、计算题（1×10=10分） 给出以下均匀平面波表达式1）jkz y jkz x e a je aE --+=22ˆˆ； 2）()y x jk z y xe a j aaE 6854310--+=)ˆˆˆ(；3）()θθθsin cos cos sin ˆz jk x xe k E j a E 02=；4）()kz t a kz t aE y x+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ωπωsin ˆcos ˆ4435）()()t kz x aE a t kz x a a k E a E y xωπωππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=cos cos ˆsin sin ˆ0。

1）、请将复数形式表示的场矢量，变换为瞬时值，或做相反的变换。

2）、请判定它们的极化形式，如果是圆极化波或者椭圆极化波请说明旋向。

解：（1）复数域到时域()()()()()/2,Re (22)2cos /22cos 2sin 2cos j jkz jkz j tx y x y x y t e e e e t kz t kz t kz t kz πωωπωωω--⎡⎤=+=-++-⎣⎦=--+-E r a a a a a a xE 和yE 不相同，且x E 落后yE 相位2π，电磁波+z 方向传播，故为右旋圆极化波；（2分）（2）复数域到时域()()()()()()()()86,Re 10(345)1034cos 8650cos 86/21034cos 8650sin 86jk x y j t x y z x y z x y z t j e e t kx ky t kx ky t kx ky t kx ky ωωωπωω-⎡⎤=+-⎣⎦=++--+-+=++-++-E r a a a a a a a a a[]r ak j z xy r a k j z y x k k e a j a e a j a a E ⋅-⋅-⋅-=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ˆˆˆˆˆˆˆ101050545350可知传播方向矢量 )ˆ53ˆ54(ˆy x ka a a +-=在垂直于ka 的平面上，将电场强度分解为xya ˆ和za ˆ两个相互垂直的分量，这两个分量振幅相等，且xy a ˆ超前z a ˆ相位090，k z xya aa ˆˆˆ-=⨯，因此是左旋圆极化。