江苏省启东中学2013-2014学年高一下学期期中考试 数学 Word版含答案

命题人：陶永花（考试时间120分钟，满分160分）一、填空题：本大题共14小题．每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．不等式021≤+-x x 的解集为 ▲ ． 2．下列命题中，正确的命题个数是 ▲ ． ①;22bc ac b a >⇒>②;22bc ac b a ≥⇒≥③;bc ac cbc a >⇒> ④;bc ac c bc a ≥⇒≥⑤⎩⎨⎧>>bc ac b a 0>⇒c ；⑥⎩⎨⎧≥≥bcac b a 0≥⇒c 3．在ABC ∆中，3,3,2π=∠==B b a ，那么=∠A ▲ ．4．直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则=a ▲ ．5．已知直线)0(02>=-+a a y a x ，则当此直线在两坐标轴上的截距和最小时，a 的值是 ▲ ． 6．点),(y x P 在直线04=-+y x 上，则22y x +的最小值为 ▲ ．7．已知数列}{n a 中，,11=a 对所有的*,2N n n ∈≥都有2321n a a a a n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列}{n a 的通项公式为=n a ▲ ．8．在ABC ∆中，已知A c b B c a cos cos -=-，则ABC ∆的形状是 ▲ ．9．如果实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，那么yx )21(4的最大值为 ▲ ．10．经过点)1,2(P 的直线l 到)1,1(A 、)5,3(B 的距离相等，则直线l 的方程是 ▲ ．11．已知c b a ,,是ABC ∆的三条边，c b a ,,成等差数列，c b a ,,也成等差数列，则ABC ∆的形状是 ▲ ．12．直线022=+-k y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是▲ ．13．已知数列}{n a 的通项公式为12112--=n n a n ，则此数列的前n 项和取最小时，n = ▲ ．14．若关于x 的不等式（组）92)12(297022<+-+≤n n x x 对任意*N n ∈恒成立，则所有这样的解x 的集合是 ▲ ．江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试 高一数学试卷高考资源网二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）若不等式0252>-+x ax 的解集是}221|{<<x x ， （1）求a 的值；（2）解不等式：01522>-+-a x ax ．16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos（1）求ACsin sin 的值； （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S ．17．（本小题满分15分） （1）若实数y x ,满足：⎩⎨⎧>≤+-001x y x ，求x y的范围；（2）设正数y x ,满足12=+y x ，求yx 11+的最小值； （3）已知45<x ，求25414--+=x x y 的最大值．18．（本小题满分15分）已知两直线,0)1(:,04:21=++-=+-b y x a l by ax l 求分别满足下列条件的b a , 的值．（1）直线1l 过点),1,3(--并且直线1l 与直线2l 垂直；（2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到这两直线的距离相等．19．（本小题满分16分）设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，已知无论βα,是何实数，恒有0)(sin ≥αf 和0)cos 2(≤+βf ．（1）求c b +的值； （2）求证：3≥c ；（3）若)(sin αf 的最大值为8，求c b ,的值．20．（本小题满分16分）设数列}{n a 的前n 项的和n S ，已知,11=a *231,32312N n n n n na S n n ∈---=+． （1）求2a 的值； （2）证明：数列}{na n是等差数列，并求出数列}{n a 的通项公式; （3）证明：对一切正整数n ，有471111321<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n a a a a ．江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试高一数学答案1． ]1,2(-； 2． 4 ； 3．4π； 4． -1 ； 5． 1； 6．8； 7． ⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)2()1()1(122n n n n a n ；8．等腰三角形或直角三角形；9．2；10．032=--y x 或2=x ；11．等边三角形；12．01<≤-k 或10≤<k ；13．11或12；14． }92,1{-15．（本小题满分14分）若不等式0252>-+x ax 的解集是}221|{<<x x ， （1）求a 的值；（2）解不等式01522>-+-a x ax ．解：（1）由题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯=-+=-<221222150a a a …………… 4分解得2-=a …………… 7分（2）由（1）得2-=a ，故原不等式化为03522>+--x x …………… 10分21303522<<-⇒<-+⇒x x x …………… 14分 所以不等式的解集为)21,3(-．16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos（1）求ACsin sin 的值； （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S ．（1）解：由正弦定理得：BAC b a c sin sin sin 22-=- …………… 3分 由已知bac B C A -=-2cos cos 2cos故AB C B C B A B BAC B C A sin cos sin cos 2cos sin 2cos sin sin sin sin 2cos cos 2cos -=-⇒-=-C B C B A B A B sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin +=+⇒)sin(2)sin(C B B A +=+⇒ …………… 5分在ABC ∆中A C B C B A sin )sin(,sin )sin(=+=+2sin sin sin 2sin =⇒=∴ACA C …………… 7分 （2）解：在ABC ∆中，由415sin 41cos =⇒=B B ， …………… 9分 由（1）得a c AC22sin sin =⇒= 由余弦定理得：412244cos 222222⋅⋅-+=⇒-+=a a a a B ac c a b …………… 12分 解得：41541521212,1=⨯⨯⨯=∴==∆ABC S b a …………… 14分17．（本小题满分15分）（1）若实数y x ,满足：⎩⎨⎧>≤+-001x y x ，求x y的范围；),1(+∞（2）设正数y x ,满足12=+y x ，求yx 11+的最小值；223+ （3）已知45<x ，求25414--+=x x y 的最大值．118．（本小题满分15分）已知两直线,0)1(:,04:21=++-=+-b y x a l by ax l 求分别满足下列条件的b a , 的值．（1）直线1l 过点),1,3(--并且直线1l 与直线2l 垂直；（2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到这两直线的距离相等． 解：（1）由题意得：⎩⎨⎧=--=++-0)1(043b a a b a…………… 4分解得：⎩⎨⎧==22b a …………… 6分（2）由直线1l 与直线2l 平行得：)1,0,0(1≠≠≠-=a b a a baaab -=⇒1 ① …………… 8分 041:1=+--∴y a a ax l 即0)1(4)1(=-++-aa y x a由坐标原点到两直线的距离相等得：原点在直线02)1(4)1(=-+++-a a b y x a 可得：0)1(4=-+aa b ② …………… 12分 解①②得：⎩⎨⎧-==22b a 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==232b a …………… 15分19．（本小题满分16分）设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，已知无论βα,是何实数，恒有0)(sin ≥αf 和0)cos 2(≤+βf ．（1）求c b +的值； （2）求证：3≥c ；（3）若)(sin αf 的最大值为8，求c b ,的值． （1）解：因为3cos 21,1sin 1≤+≤≤≤-βα，所以由题意得：当11≤≤-x 时，0)(≥x f 恒成立；当31≤≤x 时，0)(≤x f 恒成立；所以有0)1(=f …………… 4分101-=+⇒=++⇒c b c b …………… 5分（2）证明:由（1）得：(*)0390)3(≤++⇒≤c b f ……………8分 又因为c b c b --=⇒-=+11代入(*)式得：30)1(39≥⇒≤+--+c c c ……… 10分 （3）因为)(sin αf 的最大值为8，可得8)1(=-f 所以81=+-c b …………… 14分解⎩⎨⎧-=+=+-181c b c b 得⎩⎨⎧=-=34c b ． …………… 16分20．（本小题满分16分）设数列}{n a 的前n 项的和n S ，已知,11=a *231,32312N n n n n na S n n ∈---=+． （1）求2a 的值； （2）证明：数列}{na n是等差数列，并求出数列}{n a 的通项公式; (3)证明：对一切正整数n ，有471111321<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n a a a a ． （1）解：依题意：当1=n 时1,32131121121==---⨯=a S a S ，解得：42=a … 3分(2) 证明：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-------=---=-+)2)(1(32)1()1(31)1(232312231231n n n n a n S n n n na S n n n n …………… 5分两式相减得：)2(32)12()133(31)1(221≥---+----=+n n n n a n na a n n n 整理得：)2(1111)2)(1()1(111≥=-+⇒-+=⇒≥+-=++++n n a n a n a n a n n n na a n n n n n n n ……6分 又∴=-11212a a 对任意*N n ∈都有111=-++na n a n n …………… 7分故数列}{n an 是以1为首项1为公差的等差数列， …………… 8分所以2,1)1(1n a n n n a n n =∴=⨯-+= …………… 10分（3）证明：由（2）得：2n a n =22222221543211)1(151413121111111111n n a a a a a a a nn +-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++∴-4714712145111112151414131312145)1(1)1)(2(1541431321411<-=-+=--+---+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-+=-+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯++≤n n n n n n n n n n …………… 16分 所以得证．。