优化探究2-2

－
∴f(x)在[a，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤1. 答案：(－∞，1]
e x－2x≤0， 4．已知函数 f(x)＝ (a 是常数且 a>0)，对于下列命题： 2ax－1x>0
－
Go the distance
1 ①函数 f(x)在 R 上是单调函数；②函数 f(x)的最小值是－1；③若在 2，＋∞上 f(x)>0 恒成立，则 a 的取值范围是 a>1；④对任意 x1<0，x2<0 且 x1≠x2，恒有 f 其中正确命题的序号是________． 解析： 当 x>0 时， 注意到 a>0， 函数 f(x)是斜率大于 0 的一次函数， 是增函数， 而当 x≤0 1x 时，函数可化为 f(x)＝ e －2，是减函数．函数在两段区间上的增减性不同，故①错误；由 ①知函数 f(x)在(－∞，0]上是单调减函数，在(0，＋∞)上是单调增函数且连续，所以 f(x)的 1 最小值是 f(0)＝－1，②正确；当 x>0 时，注意到函数 f(x)是增函数，所以只需要 f 2>0 即 可，解得 a>1，③正确；对于④，当 x≤0 时，函数 f(x)＝e x－2 的图象是把函数 y＝ex 的图
B．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
，x≥1 2 ∴函数 f (x)＝2 ，x≤－1 1 2，－1<x<1
x k x
1
由此可见，函数 fk(x)在(－∞，－1)单调递增． 故答案为：(－∞，－1)． 答案：C 5． 已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称， 当 x2>x1>1 时， [f(x2)－f(x1)]· (x2 1 －x1)<0 恒成立，设 a＝f －2，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，c 的大小关系为( A．c>a>b C．a>c>b B．c>b>a D．b>a>c )
3 2 25 解析： 函数 f(x) 的定义域是 ( － 1,4) ， u(x) ＝－ x2 ＋ 3x ＋ 4 ＝－ x－2 ＋ 4 的减区间为
3，4， 2
3 ∴函数 f(x)的单调减区间为 2，4. 答案：D 3． 函数 f(x)的定义域为{x∈R|x≠1}， 对定义域中任意的 x， 都有 f(2－x)＝f(x)， 且当 x<1 时，f(x)＝2x2－x，那么当 x>1 时，f(x)的递增区间是( 5 A. 4，＋∞ 7 C. 4，＋∞ )
－
x1＋x2 fx1＋fx2 . 2 2 <
象关于 y 轴对称后下移两个单位得到的，由图象可以直接看出是凹函数，因而④正确． 答案：②③④ x 5．已知 f(x)＝ (x≠a)． x－a (1)若 a＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若 a>0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围． 解析：(1)证明：任设 x1<x2<－2， 则 f(x1)－f(x2)＝ ＝ x1 x2 － x1＋2 x2＋2
x－12－1，x>2 ＝ ， 2 －x－1 ＋1，x≤2
Go the distance
由图象可知单调递减区间为(1,2)． 答案：(1,2) 2x＋k 8．使函数 y＝ 与 y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，实数 k 的取值范 x－2 围是________． 解析：由于 y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数．故若使函数 y＝ 2x－2＋4＋k 4＋k ＝2＋ 在(3，＋∞)上是增函数，则有 4＋k<0，得 k<－4. x－2 x－2 答案：(－∞，－4) 三、解答题 b 9．已知函数 f(x)＝2x＋ ＋c 其中 b，c 为常数且满足 f(1)＝5，f(2)＝6. x (1)求 b，c 的值； (2)证明：函数 f(x)在区间(0,1)上是减函数； 1 (3)求函数 y＝f(x)，x∈ 2，3的值域． b 解析：(1)f(x)＝2x＋ ＋c x 2x＋k ＝ x－2
Байду номын сангаас
Go the distance
x 1 关于函数 f(x)＝(e )* x的性质，有如下说法：①函数 f(x)的最小值为 3；②函数 f(x)为偶 e
函数；③函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0]． 其中所有正确说法的个数为( A．0 C．2 ) B．1 D．3
1 1 1 x 1 x x 解析：由题意可得 f(x)＝(e )* x＝ex·x＋(ex*0)＋ ex*0＝1＋e ＋ex，因为 e >0，所以 1 e e 1 ＋ex＋ x≥1＋2 e 1 1 ex·x＝3，故①正确；f(－x)＝1＋ x＋ex＝f(x)，故②正确；f ′(x)＝ex－ e e
5 1， B. 4 7 1， D. 4
1 解析： 由 f(2－x)＝f(x)， 得函数图象关于直线 x＝1 对称， 当 x<1 时， 递减区间是 －∞，4， 由对称性得，选 C. 答案：C 4．(2015 年长沙模拟)设函数 y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数 k，定义
1 1 解析：对任意 x∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0 恒成立，即 2mx－ ＋2m x－x<0 在 2mx 8m2x2－1＋4m2 x∈[1，＋∞)上恒成立，即 <0 在 x∈[1，＋∞)上恒成立，故 m<0，因为 8m2x2 2mx 1＋4m2 －(1＋4m )>0 在 x∈[1，＋∞)上恒成立，所以 x > 在 x∈[1，＋∞)上恒成立，所以 8m2
2 1
1 1 x2－x1 ＝ － ＝ >0， x1 x2 x1x2 ∴f(x2)>f(x1)． ∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． 1 1 1 (2)∵f(x)在 2，2上的值域是2，2，又 f(x)在2，2上单调递增， 1 1 2 ∴f 2＝2，f(2)＝2.∴a＝5. B 组 高考题型专练 1．(2015 年青岛质量检测)在实数集 R 中定义一种运算“*”，对任意 a，b∈R，a*b 为唯 一确定的实数，且具有性质： (1)对任意 a∈R，a*0＝a； (2)对任意 a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．
23 5， . ∴f(x)的值域是 3 1 1 10．已知函数 f(x)＝ － (a>0，x>0)． a x (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数； 1 1 (2)若 f(x)在 2，2上的值域是2，2，求 a 的值． 解析：(1)证明：设 x2>x1>0，则 x2－x1>0，x1x2>0， 1 1 1 1 ∵f(x2)－f(x1)＝ a－x －a－x
f1＝5 ⇒ b f2＝6 4＋ ＋c＝6
2＋b＋c＝5
，

2
b＝2 ∴ . c＝1
(2)证明：设 x1，x2∈(0,1)且 x1<x2 2 ∵f(x)＝2x＋ ＋1 x 2 2 ∴f(x2)－f(x1)＝ 2x2＋x ＋1－2x1＋x ＋1
Go the distance
A 组 考点基础演练 一、选择题 1．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是( A．y＝ln(x－2) C．y＝x－x
－1
) B．y＝－ x D．y＝x
－
2 3
解析：函数 y＝ln(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，函数 y＝－ x在(0，＋∞)上单调递减； 函数 y＝x－x
解析：根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，且在(1，＋∞)上是减函数． 1 5 a＝f －2＝f2，所以 b>a>c. 答案：D 二、填空题 6．已知函数 f( x＋2)＝x＋2 x，则函数 f(x)的值域为________． 解析：令 2＋ x＝t，则 x＝(t－2)2(t≥2)． ∴f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)． ∴f(x)＝x2－2x(x≥2)． ∴f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0，即 f(x)的值域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 7．已知函数 f(x)＝x|a－x|(x∈R)，且 f(2)＝0，则函数 f(x)的单调递减区间为________． 解析：由 f(2)＝0 得 a＝2.所以 f(x)＝x|2－x|
2 1
2x1－x2 ＝2(x2－x1)＋ x2x1
Go the distance
1 ＝2(x2－x1) 1－x1x2 ＝ 2x2－x1x1x2－1 <0 x1x2
∴f(x2)<f(x1) ∴f(x)在(0,1)上是减函数． (3)由(2)知函数在(0,1)上是减函数，易知在(1，＋∞)上是增函数 1 当 x∈ 2，3时 f(x)min＝f(1)＝5 1 23 又∵f ＝ 6 ， f (3) ＝ ， 2 3 1 f(3)>f 2， ∴f(x)max＝ 23 ， 3
2x1－x2 . x1＋2x2＋2
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， ∴f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设 1<x1<x2，则 ax2－x1 x1 x2 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ . x1－a x2－a x1－ax2－a ∵a>0，x2－x1>0， ∴要使 f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0 恒成立，∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1]．
2 2
1＋4m2 1 1 1 1> ，解得 m<－ 或 m> (舍去)，故 m<－ . 8m2 2 2 2 答案：A 3．已知函数 f(x)＝e|x a|(a 为常数)．若 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则 a 的取值范
－
围是________． 解析：∵f(x)＝e
|x－a| x a e x≥a， ＝ －x＋a x<a， e
－1
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增；函数 y＝x 3在(－∞，0)单调递增，在(0，
－
2
＋∞)上单调递减．故选 C. 答案：C 2．函数 f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( 3 A. －∞，2 3 C. －1，2 )
3 B. 2，＋∞ 3 D. 2，4
fx，fx≤k， 1 － 函数 fk(x)＝ 取函数 f(x)＝2 |x|.当 k＝ 时，函数 fk(x)的单调递增区间为( 2 k， fx>k，
)
Go the distance
A．(－∞，0) C．(－∞，－1) 1－|x| 1 1 1 － 解析：由 f(x)≤ 得：2 |x|≤ ，即 2 ≤2 2 2 解得：x≤－1 或 x≥1，
1 ≥0 得 x∈[0，＋∞)，故③错．从而正确说法的个数为 2. ex 答案：C 1 2．设函数 f(x)＝x－ ，对任意 x∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0 恒成立，则实数 m 的取 x 值范围是( ) 1 B. －2，0 1 D. 0，2
1 A. －∞，－2 1 1 C. －2，2