人教版初中数学四边形经典测试题及答案

一、选择题 1．如图，在ABCD 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD 的面积为( )
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
【答案】C
【解析】
【分析】 由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=，即AC BD ⊥，得出ABCD 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴142OC OC AC ===，132
OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，
∴90AOD ∠=，即AC BD ⊥，
∴ABCD 是菱形，
∴ABCD 的面积11862422
AC BD =
⨯=⨯⨯=； 故选C ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．
2．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=（ ）
A ．110°
B ．115°
C ．120°
D ．130°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【详解】 ∵矩形ABCD 沿EF 对折后两部分重合，150∠=，
∴∠3=∠2=
180-502
︒︒=65°， ∵矩形对边AD ∥BC ， ∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．
3．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（ ）
A ．23
B ．22
C ．4
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】 由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.
【详解】
解，如图，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，
∵2BD =，
∴BO=1，
在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，
∴BC=2，
∴22213CO =-=；
∴23AC =；
故选：A.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.
4．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且8BC =，则AB 的长为（ ）
A ．4
B ．3
C ．52
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】 利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB 即可得出答案．
【详解】
∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，
∴∠ECD=∠ECB ，
∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，
∴∠DEC=∠ECB ，
∠DEC=∠DCE ，
∴DE=DC ，
∵AD=2AB ，
∴AD=2CD ，
∴AE=DE=AB ．
∵8AD BC ==，2=AD AB
∴AB=4，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE 是解题关键．
5．如图1，点F 从菱形ABCD 的项点A 出发，沿A －D －B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ．图2是点F 运动时，△FBC 的面积y (m 2)随时间x (s)变化的关系图象，则a 的值为( )
A ．5
B ．2
C ．52
D ．5【答案】C
【解析】
【分析】 过点D 作DE BC ⊥于点E 由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．求出DE=2，再由图像得5BD =BE=1，再在DEC Rt △根据勾股定理构造方程，即可求解．
【详解】
解：过点D 作DE BC ⊥于点E
由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．
AD BC a ∴==
∴1
2
DE AD a = 2DE ∴=
由图像得，当点F 从D 到B 时，用5s
5BD ∴=Rt DBE 中，
2222(5)21BE BD DE --=
∵四边形ABCD 是菱形，
1EC a ∴=-，DC a =
DEC Rt △中，
2222(1)a a =+-
解得52
a =
故选：C ．
【点睛】
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，要注意函数图象变化与动点位置之间的关系，解答此题关键根据图像关键点确定菱形的相关数据．
6．如图，11,,33
AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（ ）
A ．60︒
B ．80︒
C ．90︒
D ．100︒
【答案】B
【解析】
【分析】 延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得
60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．
【详解】
延长BC 、EF 交于点G
∵//AB EF
∴180ABG BGE +=︒∠∠
∵60FCD ∠=︒
∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠ ∵11,33
ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠
2236012033
ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033
ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠ 223604012033
ABG BGE =︒--︒--︒∠∠
(
)
2 200
3ABG BGE
=︒-+
∠∠
2
200180
3
=︒-⨯︒
80
=︒
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于
点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=4
3
，⑤S△DOC=S四边形
EOFB中，正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．
详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．
∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．
在△EBC和△FCD中，
BC CD
B DCF
BE CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．
∵DF ⊥EC ，∴CD =DE ．
∵CD =AD ＜DE （矛盾），故②错误；
∵∠OCD +∠CDF =90°，∠CDF +∠DFC =90°，∴∠OCD =∠DFC ，∴tan ∠OCD =tan ∠
DFC =DC FC =43
，故④正确； ∵△EBC ≌△FCD ，∴S △EBC =S △FCD ，∴S △EBC ﹣S △FOC =S △FCD ﹣S △FOC ，即S △ODC =S 四边形BEOF ．故⑤正确；
故正确的有：①③④⑤．
故选D ．
点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
8．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）
A ．183π-
B ．183π
C ．32316π
D ．1839π-
【答案】C
【解析】
【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF 是菱形的高，
∴DF ⊥AB ，
∴DF=AD•sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积
=2
120(43)84332316360
ππ⨯⨯-=-． 故选：C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
9．已知，如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，求证：12
BC AB =
．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A ．延长BC 至点D ，使CD BC =，连接AD
B ．在ACB ∠中作BCE B ∠=∠，CE 交AB 于点E
C ．取AB 的中点P ，连接CP
D ．作ACB ∠的平分线CM ，交AB 于点M
【答案】D
【解析】
【分析】
分别根据各选项的要求进行证明，推出正确结论，则问题可解.
【详解】
解：选项A ： 如图，
由辅助线可知，ABC ADC ≅，
则有AB=AD ，再由90ACB ∠=︒，
由30BAC ∠=︒，则60B ∠=︒，
∴ABD △是等边三角形
∴1122
BC DB AB =
= 故选项A 正确；
选项B:如图，
由辅助线可知，EBD △是等边三角形
则60BEC EAC ECA ∠=∠+∠=︒,BE=EC ∵30A ∠=︒
∴30ECA A ∠=∠=︒
∴AE=EC
∴12
BC AB =
故选项B 正确
选项C 如图，
有辅助线可知，CP 为直角三角形斜边上的中线
∴AP=CP=BP
∵30A ∠=︒
∴60B ∠=︒
∴PBC 是等边三角形
∴12
BC BP AB ==
综上可知选项D 错误
故应选D
【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质的综合应用，根据条件选择正确的证明方法是解题的关键．
10．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A ．7
B ．7或8
C ．8或9
D ．7或8或9
【答案】D
【解析】
试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得：n=8． 则原多边形的边数为7或8或9．故选D ．
考点：多边形内角与外角．
11．下列命题中是真命题的是（ ）
A ．多边形的内角和为180°
B ．矩形的对角线平分每一组对角
C ．全等三角形的对应边相等
D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式可对A 进行判定；根据矩形的性质可对B 进行判定；根据全等三角形的性质可对C 进行判定；根据平行线的性质可对D 进行判定．
【详解】
A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，
B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，
C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，
D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．
12．如图，在ABC 中，D E ，是AB AC ，中点，连接DE 并延长至F ，使EF DE =，连接AF CD ，，CF ．添加下列条件，可使四边形ADCF 为菱形的是( )
A ．A
B A
C =
B ．A
C BC = C ．C
D AB ⊥ D ．AC BC ⊥
【答案】D
【解析】
【分析】 根据AE ＝CE ，EF ＝DE 可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用中位线定理可得DE ∥BC 结合AC ⊥BC 可证得AC ⊥DF ，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．
【详解】
解：∵点E是AC中点，
∴AE＝CE，
∵AE＝CE，EF＝DE，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵点D、E是AB、AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴AC⊥DF，
∴平行四边形ADCF为菱形
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．
13．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（）
A．100°B．160°C．80°D．60°
【答案】D
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠B=180°，求得∠A的度数，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，如图，
∴∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝240°，
∴∠A＝120°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝60°．
故选D．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互
补的知识．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠ABC 的平分线交AD 于点F ，若BF=12，AB=10，则AE 的长为（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16 【答案】D
【解析】
【分析】
先证明四边形ABEF 是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF 是菱形，得出AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=
12BF=6，由勾股定理求出OA ，即可得出AE 的长． 【详解】
如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAE=∠AEB ，
∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，
∴∠DAE=∠BAE ，
∴∠BAE=∠BEA ，
∴AB=BE ，同理可得AB=AF ，
∴AF=BE ，
∴四边形ABEF 是平行四边形，
∵AB=AF ，
∴四边形ABEF 是菱形，
∴AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=
12BF=6， ∴2222=106AB OB --=8，
∴AE=2OA=16.
故选D ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等
知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．
15．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）
A．∠BCA＝45°B．AC＝BD
C．BD的长度变小D．AC⊥BD
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质即可判断；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
故选B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF 垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．
【详解】
解：∵矩形ABCD中，O为AC中点
∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF，故①正确
∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，故②正确；
∵△BOC为等边三角形，FO=FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；
连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O 为AC 中点，
∴BD 也过O 点，且BO=DO
由①可知△AOE ≌△COF ，∴OE=OF
∴四边形EBFD 是平行四边形
由②可知，OB=CB ，OF=FC
又∵BF=BF
∴△OBF ≌△OCF
∴BD ⊥EF
∴平行四边形EBFD 是菱形，故④正确
所以其中正确结论的个数为3个；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．
17．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，将边长为4的菱形OBCD 的边OB 固定在x 轴上，开始时30DOB ∠=︒，现把菱形向左推，使点D 落在y 轴正半轴上的点D 处，则下列说法中错误的是（ ）
A ．点C '的坐标为()4,4
B ．60CB
C '∠=︒ C ．点
D 移动的路径长度为4个单位长度
D ．CD 垂直平分BC '
【答案】C
【解析】
【分析】 先证明四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，即可判断A ；由平行线的性质得∠OBC 的度数，进而得到60CBC '∠=︒，即可判断B ；根据弧长公式，求出点D 移动的路径长度，即可判断C ；证明CD ⊥BC′，BC′=BC=2BE ，即可判断D ．
【详解】
∵四边形OBCD 是菱形，
∴OB=BC=CD=OD ，
∴OB=BC′=C′D′=OD′，
∵∠BOD′=90°，
∴四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，
∴点C '的坐标为()4,4，故A 不符合题意．
∵30DOB ∠=︒，OD ∥BC ，
∴∠OBC=180°-30°=150°，
∵∠OBC′=90°，
∴60CBC '∠=︒，故B 不符合题意．
∵点D 移动的路径是以OD 长为半径，圆心角为∠DOD′=90°-30°=60°的弧长，
∴点D 移动的路径长度=
604180π⨯=43
π，故C 符合题意. 设CD 与BC′交于点E ，
∵在菱形OBCD 中，∠C=30DOB ∠=︒，
∵60CBC '∠=︒，
∴∠BEC=180°-60°-30°=90°，即CD ⊥BC′，
∴BC′=BC=2BE ，
∴CD 垂直平分BC '，故D 不符合题意．
故先C ．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，正方形的判定和性质以及点的坐标，熟练掌握菱形的性质和正方形性质，含30°角的直角三角形的性质，是解题的关键．
18．下列说法正确的是（ ）
A ．对角线相等的四边形一定是矩形
B ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
C ．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
D ．“用长分别为5cm 、12cm 、6cm 的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.
【详解】
A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；
C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；
D. “用长分别为5cm 、12cm 、6cm 的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，
故选：D.
【点睛】
此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.
19．如图，ABC 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）
A ．2
B ．
C ．3
D 5【答案】B
【解析】
【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．
【详解】
解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠， ∴AE ⊥BC ，
又∵点D 为AB 的中点，
∴1 2.52
DE AB ，
故选：B ．
【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．
20．如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =OC 的长为（ ）
A ．3
B ．3
C 21
D ．6
【答案】C
【解析】
【分析】 先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==
【详解】
解：∵AD BD ⊥
∴90ADB ∠=︒
∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，23AD =∴243AB AD == ∴226BD AB AD =-=
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴132
OB OD BD ===，12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中，23AD =3OD = ∴2221OA AD OD += ∴21OC OA ==
故选：C
【点睛】 本题考查了含30角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
~。