概率论中几种常用的重要的分布

伯努利试验、泊松过程、独立同分布生成

的重要分布

敖登

（内蒙古大学数学科学学院2010级数理基地，01008104）

摘要

本文是一篇读书报告。主要研究了伯努利试验与二项分布的关系，泊松过程生成泊松分布的过程和在泊松条件下的埃尔朗分布，正态分布的生成用到的独立同分布以及均匀分布生成任意分布的重要性质。

关键词：伯努利试验泊松分布独立同分布均匀分布的生成性

Important in theory of probability

distribution of exploration

Author：Ao Deng

Tutor: Luo Cheng (School of Mathematical sciences ,Huhhot Inner Mongolia 01008104 )

Abstract

This article mainly discusses the theory of several common distribution (0-1) distribution, binomial distribution, poisson distribution and uniform distribution, exponential distribution, normal distribution and normal distribution out three kinds of important distribution, distribution, distribution and the distribution of the source and the relationship among them and their application in actual.

Key words: random variable; The discrete distribution ;Continuous distribution

目录

第一章伯努利试验生成二项分布 (4)

第二章泊松过程生成泊松分布 (6)

第三章独立同分布生成正态分布 (13)

第四章均匀分布的生成性 (17)

第五章几种重要分布的比较及应用 (19)

小结 (22)

致谢………………………………………………………………………………23. 参考文献…………………………………………………………………………24.

第一章 伯努利试验生成二项分布

考虑n 重伯努利实验中成功次数ξ.易见ξ的可能值为0,1,2,...,k n =.注意

{}k ξ=当且仅当这n 次实验中恰有k 个成功A 与n k -个失败A .先考虑前k 次试

验全成功而后n k -次试验全失败这一特殊情形.可得出现这种结果的概率

{......}()...()()...()k n k k n k k n k p A A A A P A P A P A P A p q ---==个

个

个

个

注意所得结果仅与A 的个数k 有关，与A 出现在哪k 个位置上无关.再者，在这n

次试验中选择k 次成功共有n k ⎛⎫

⎪⎝⎭种方式，且各种方式两两不相容，故由可加性立

得ξ的密度

{}k n k n p k p q k ξ-⎛⎫

== ⎪⎝⎭

， 0,1,2,...,k n =

一般地，任给定自然数n 及正数p ，(1)q p q +=，令

0(;,)n

k n k k n b k n p p q k -=⎛⎫

= ⎪⎝⎭

∑

则(;,)0b k n p 且

0(;,)n

k n k k n b k n p p q k -=⎛⎫

= ⎪⎝⎭

∑()1n p q =+=

称以{(;,)}b k n p 为密度的离散型分布为二项分布，记作(,)B n p .当1n =时的特例

又称作伯努利分布.这是一个两点分布，其密度称阵为01 q p ⎛⎫

⎪⎝⎭

.

上述推导表明，n 重伯努利试验的成功次数ξ服从参数为,n p 的二项分布

(,)B n p .

下面讨论二项分布的性质，对，考虑比值

(;,)(1)(1)1(1;,)b k n p n k n p k

b k n p kq kq

-++-==+-

易见，当(1)k

n p +时，(;,)

(1;,b k n p b k n p -：而当(1)k

n p +时，

(;,)

(1;,b k n p b k n p -.这说明，对任何固定的参数n 与p ，(;,)b k n p 的值先随k

的变大而上升，再随k 的变大而下降，于是必有最大值.如果(1)m n p =+是整数，则(;,)(1;,)b m n p b m n p =-同为(;,)b k n p 的最大值.如果(1)n p +不是整数，则

(;,)b k n p 在[(1)]m n p =+处取到最大值（这里[]a 表示不超过a 的整数）.我们称

使(;,)b k n p 取到最大值的m 为二项分布随机变量的最可能值，或称为n 重伯努利试验的最可能成功次数。

由二项分布的导出可知，该种分布用于描述n 重伯努利试验中发生的概率为

p .在研究某事件A 发生的概率时，我们对事件A 所在的试验进行独立重复观察，

统计出事件A 发生的次数n μ。这里n μ是一个随机变量，它就服从二项分布。另外，一批种子能发芽的个数，一定人群中患某种疾病的人数，某时刻一个城市开着的灯的盏数都可以认为是服从二项分布的。