常微分方程期末复习提要

常微分方程期末复习提要

中央电大 顾静相

常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．

一、复习要求和重点 第一章 初等积分法

1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．

常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。

2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x

y = ；

当0≠g 时，通过积分⎰

⎰

+=C x x f y g y d )()

(d 求出通解。

（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰

⎰+=

C x x M

x M y y N y N d )

()

(d )

()(2

112求出通解。

3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．

第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(

d d x

y g x

y = ；

令x

y u =

，代入方程得x

u

u g x

u -=

)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得

⎰=-u

u g u

x C )(d 1e

，即)

(e

u C x ϕ=，用x

y u =

回代，得通解)

(

e x y C x ϕ=.

4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为：

0)(d d =+y x p x

y

通解为：⎰=-x

x p C y d )(e 。

（2）一阶线性非齐次微分方程为：

)()(d d x f y x p x

y =+；

用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：⎰

⎰

+

⎰=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x

x p x

x p 。

（3）伯努利方程为：

)1,0()()(d d ≠=+n y

x f y x p x

y n

，

两端除以n y ，得 )()(d d 1x f y

x p x

y y n

n

=+--；令n

y

z -=1，代入后得到以z 为未知

函数的线性方程

)

()(d d 11

x f z x p x

z

n =+-，在求通解。

5．了解全微分方程的类型及积分因子概念，熟练掌握全微分方程解法及简单积分因子的求法．

（1）全微分方程（或恰当方程）为：0d ),(d ),(=+y y x N x y x M ；

若二元函数),(y x U 满足：y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d +=，则上式的原函数为：

),(y x U .

（2）如果存在连续可微函数0),(≠y x μ，使方程+x y x M y x d ),(),(μ 0d ),(),(=y y x N y x μ成为全微分方程，则称),(y x μ积分因子.

6．了解一阶隐式微分方程的可积类型，掌握隐式方程类型I 、II 的参数解法． 隐式方程0),,(='y y x F ，若能把y '解出，得一个或几个显式方程 ),,2,1()

,(n i y x f y i =='

如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到原方程的解。

如果不能解出y '时，则用“参数法”求解：

类型Ⅰ )0),((,

0),(='='y y F y x F

若参数形式⎩⎨⎧='=)()(t y t x ψϕ，则参数形式通解为：⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰C t t t y t x d )()()

(ϕψϕ ；

或参数形式⎩⎨⎧='=)()(t y t y ψϕ，则参数形式通解为：⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=⎰)

(d )()(t y C t t t x ϕψϕ

类型Ⅱ )),((),,(y y f x y x f y '='=

若参数形式⎪⎩⎪

⎨⎧=='=)

,(p x f y p y x

x ，则参数形式解为：⎩⎨⎧==),(0),,(p x f y C p x G

或参数形式⎪⎩

⎪

⎨⎧=='=),(p y f x p

y y y ，则参数形式解为：⎩⎨

⎧==Φ)

,(0),,(p y f x C p y

7．了解可降阶的高阶方程的可积类型，掌握高阶方程的三种降阶法．

第一种可降阶的高阶方程 )1(.0),,,,()

()

1()

(>=+k y

y

y

x F n k k ；

第二种可降阶的高阶方程 0),,,(='n

y y y F ；

假如方程0),,,,()

(='n y y y x F 的左端恰为某一函数),,,,()

1(-'Φn y y y x 对x 的导

数，则称该方程为恰当导数方程.

8．学会对应用问题建立常微分方程的一般步骤．

本章重点：五种基本初等积分法——变量分离方程解法，常数变易法，全微分方程解法，参数法，降阶法。

第二章 基本定理

1．知道线素与线素场的概念，理解解的存在与唯一性定理的条件、结论，理解其证明方法．