函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

函数对称性、周期性和奇偶性规律
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、 周期性：对于函数
)(x f y =，如果存在一个不为零的常数
T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周
期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义（略），请用图形来理解。

3、 对称性：
我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式
)()(x f x f =-
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式
0)()(=-+x f x f
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+
)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-
简证：设点),(11y x 在
)(x f y =上，
通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-
也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2
2)()(b
a x
b x a x +=
-++=
对称 （2）函数
)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++
b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-
简证：设点),(11y x 在
)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，
b x f x a f 2)()2(11=+-，所以
1
112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点
)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

得
证。

若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2
,2(
c
b a + 对称
（3）函数
)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个
y
值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。

但在曲线c(x,y)=0，则
有可能会出现关于
b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x
c 它会关于y=0对称。

4、 周期性： （1）函数
)(x f y =满足如下关系系，则T
x f 2)(的周期为
A 、
)()(x f T x f -=+ B 、)
(1
)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=
+或
C 、
)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+
或)
(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形 （2）函数
)
(x f y =满足
)
()(x a f x a f -=+且
)
()(x b f x b f -=+，则可推出
)]
(2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可
以得到
)(x f y =的周期为2(b-a)，
即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足
)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是
2T ，且可以推出对称轴为
kT T
x 22
+=
)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T
）
如果偶函数满足
)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是
2T ，且可以推出对称中心为
)0,22
(
kT T
+)(z k ∈，
根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）
（4）如果奇函数
)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周
期的周期性函数。

如果偶函数
)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)
(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

定理3：若函数
()x f 在
R 上满足
()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中
b a ≠）
，则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理4：若函数
()x f 在
R 上满足
()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中
b a ≠）
，则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），
则函数
()x f y =以()b a -4为周期.
二、 两个函数的图象对称性
1、
)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。

换种说法：
)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

2、
)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

换种说法：
)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

3、
)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。

4、
)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：
)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。

5、
)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。

换种说法：
)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。

6、
)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2
b
a x +=
对称。

7、 函数的轴对称：
定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2
b a x +=对
称.
推论1：如果函数
()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：如果函数
()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.
特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.
8、 函数的点对称：
定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对
称.
推论3：如果函数
()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.
推论4：如果函数
()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，
推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.
三、总规律：定义在Ｒ上的函数()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条
一定存在。

四、试题
1．已知定义为R 的函数
()x f 满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f 在区间()+∞,2上单调递增.如果
212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（A ）.
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负.
分析：
()()4+-=-x f x f 形似周期函数()()4+=x f x f ，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通
过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用
2-x 代替x ，使()()4+-=-x f x f 变形为
()()22+-=-x f x f .它的特征就是推论3.因此图象关于点()0,2对称.()x f 在区间()+∞,2上单调递增，在
区间
()2,∞-上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.
1242x x -<< ，且函数在()+∞,2上单调递增，所以 ()()124x f x f -<，又由()()4+-=-x f x f ，
有
()[]()()1111444)4(x f x f x f x f -=+-=--=-，
∴()()<+21x f x f ()()114x f x f -+()()011=-=x f x f .选A.
当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.
2：在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( B )
A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]
上是增函数
分析：由
()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，即推论1
的应用.又因为
()f x 为偶函数图象关于0x =对称，
可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上是减函数，可得如右()
f x 草图.故选B
3.定义在R 上的函数
)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间
][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ D ）
A.0
B.1
C.3
D.5
分析：
()()0f T f T =-=，()()()()2222
T T T T
f f f T f -=-=-+=，
∴()()022
T T
f f -==，则n 可能为5，选D.
4．已知函数()x f 的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f 的
值.
分析：由推论1可知，()x f 的图象关于直线2=x 对称，即()()x f x f -=+22，
同样，
()x f 满足()()x f x f -=+44，现由上述的定理3知()x f 是以4为周期的函数.
()()5.3445.19+⨯=∴f f ()5.3f =()[]()5.05.04-=-+=f f ，同时还知()x f 是偶函数，所以()()5.05.05.0==-f f .
5．
()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-，则()0f ，()1f ，()2f ，…，()999f 中
最多有（ B ）个不同的值.
A.165
B.177
C.183
D.199
分析：由已知
()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()1056f x =+
()()()1760704352f x f x f x =+=+=+.
又有
()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()1056f x =+
()21581056f x =-+⎡⎤⎣⎦()()()11021102105646f x f x f x =-=--=-，
于是
)(x f 有周期352，于是()()(){}0,1,
,999f f f 能在()()(){}0,1,,351f f f 中找到.
又
)(x f 的图像关于直线23x =对称，故这些值可以在()()(){}23,24,,351f f f 中找到.又)(x f 的
图像关于直线199x =对称，故这些值可以在
()()(){}23,24,,199f f f 中找到.共有177个.选B.
6：已知
()113x
f x x
+=
-，()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦，()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦，…，()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦，则
()20042f -=（ A ）.
A.17
-
B.
1
7
C. 35
-
D.3
分析：由
()113x f x x +=
-，知()1131x f x x -=+，()2131x f x f x x -⎛⎫
== ⎪+⎝⎭
，()()3f x f x =.
)(x f 为迭代周期函数，故()()3n f x f x =，()()2004f x f x =，()()20041
227
f f -=-=-
. 选A.
7：函数
)(x f 在
R 上有定义，且满足
)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则
()2005f 的值为 .
解：()()()()
11g x f x g x f x -=--=-=--，()()
11f x f x --=--，令1
y x =+，则
()()2f y f y -=--，即有()()20f x f x +-=，令()n a f x =，则20n n a a -+=，其中02005a =，
10a =，()20052n n n a i i ⎡⎤=
+-⎣⎦，()20052005f a ==()2005
200520052i i ⎡⎤+-⎣
⎦
0=. 或有()()2f x f x =--，得()()()()2005200320011999f f f f =-==-=
()10f ==.
8．设函数
))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2
1
)1(f x f x f f +=+=
则=)5(f （ c ） A ．0
B ．1
C ．
2
5 D ．5
分析：答案为B 。

先令f （1）= f （--1+2）=f （--1）+f （2）=1/2，根据奇函数的定义可求得f （--1）=--1/2，所以， f （2）=1，f （5）=f （3）+f （2）=f （1）+f （2）+f （2）=5/2，所以，答案为c 。

9． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ B ）
(A)
()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<；
(C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)
()()()3.5 6.5 1.5f f f <<
分析：答案为B 。

做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将f （x ）设成正弦或余弦函数，具体到本题，可将f （x ）设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在（0,3）内单调递减，根据图像，即可求出，答案为B 。

10．设函数
()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且
1
()()1
f x
g x x -=
-，则()f x 等于（C ）
A.1
1
2
-x B.1222-x x
C .
1
2
2
-x D.
1
22
-x x
分析：答案为C. 本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为C 11：已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (
1
2
)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy
y
x ++1),试证明: (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.
证明: (1)由f (x )+f (y )=f (
xy
y
x ++1)可令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2
1x x x --)=f (0)=0. ∴f (x )=－f (－x ). ∴f (x )为奇函数.
(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减. 令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (
211
21x x x x --) ∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴1
21
21x x x x -->0,
又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0，∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<2
11
21x x x x --<1,由题意知f (
21121x x x x --)<0， 即 f (x 2)<f (x 1). ∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数.
12. 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知y ＝f (x )在[0,1]
上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值5-. ①证明：(1)(4)0f f +=；②求
(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式.
解：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，∴(1)(4)0f f +=
②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->， 由(1)(4)0f f +=得2
2(12)
5(42)50a a --+--=，∴2a =，
∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤
③∵
()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，
又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-， ∴3k
=-，∴当01x ≤≤时，f (x )=-3x ，
从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，f (x )= -3x ，.
∴当46x ≤
≤时，有151x -≤-≤，∴0.
当69x <≤时，154x <-≤，∴
22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--
∴
2
315,46()2(7)5,69
x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩ 13．设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称
对任意ｘ１，ｘ２∈［０
2
1］，都有ｆ（ｘ１
＋ｘ
２
）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０．
(Ⅰ)求ｆ)4
1(),21(
f ； (Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记n a ＝ｆ（２ｎ＋n 21
），求n a ． (Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，2
1
］，都有ｆ（ｘ
１
＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）,
所以
2
2)]4
1([)41()41()4141()21()]2
1
([)21()21()2121()1(]
1,0[,0)2()2()22()(f f f f f f f f f f x x
f x f x x f x f =⋅=+==⋅=+=∈≥⋅=+=
ｆ（１）＝ａ＞0，
∴
41
21)4
1
(,)21(a f a f == (Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R
又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ，
将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ
这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵
]21)1(21[)21()21(n n n f n n f f ⋅-+=⋅= n
n f n f n f n f n
n f n f )]21([)21()21()21( ]21
)1[()21(
=⋅⋅⋅==⋅-⋅=
21
)2
1
(a f = ∴
n a n
f 21
)21
(=
∵ｆ（ｘ）的一个周期是2
∴ｆ（２ｎ＋n 21）=ｆ（n
21
）,因此a n =n a 21
函数对称性与周期性几个重要结论赏析
湖南 周友良 黄爱民
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对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决
抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论
（一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数 满足
（T
为常数）的充要条件是 的图象关于直
线
对称。

2、函数 满足 （T 为常数）的充要条件是 的图象关于直
线
对称。

3、函数
满足
的充要条件是
图象关于直线
对称。

4、如果函数 满足 且 ，（ 和 是不相
等的常数），则 是以为 为周期的周期函数。

5、如果奇函数
满足 （ ），则函数 是以4T 为周
期的周期性函数。

6、如果偶函数满足（），则函数是以2T为周
期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、曲线与关于X轴对称。

2、曲线与关于Y轴对称。

3、曲线与关于直线对称。

4、曲线关于直线对称曲线为。

5、曲线关于直线对称曲线为。

6、曲线关于直线对称曲线为。

7、曲线关于点对称曲线为。

二、试试看，练练笔
1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,,则________。

2、已知函数满足，则图象关于__________对称。

3、函数与函数的图象关于关于__________对称。

4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。

5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。

图象关于__________对称。

6、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。

7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，
则这5个实根之和为（）
A、5
B、10
C、15
D、18
8、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则
图象关于y轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。

9、函数定义域为R，且恒满足和，当
时，，求解析式。

10、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在
上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根．
附参考答案：
：：：：y轴即：①y轴②
：①②：C ：②④
：
：方程的根为共9个根
抽象函数的对称性与周期性
一、抽象函数的对称性。

性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)。

（2）f(2a－x)＝f(x)。

（3）f(2a＋x)＝f(－x)。

性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。

（2）f(2a－x)＝－f(x)。

（3）f(2a＋x)＝－f(－x)。

注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。

y＝f(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。

二、复合函数的奇偶性。

性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。

复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。

性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；
复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。

性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。

复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。

三、函数的周期性。

性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a)，
②f(x＋a)＝－f(x)，
③f(x＋a)＝1/f(x)，
④f(x＋a)＝－1/f(x)。

四、函数的对称性与周期性。

性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。

性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。

性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。

五、复合函数的对称性。

性质1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b-x)关于直线x＝(b-a)/2轴对称。

性质2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中心对称。

推论1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称。

推论2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称。

六、巩固练习
1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝
f(6－x)的图象（）。

A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称
C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称
2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，
f(x)＝x，则f(7.5)=（）。

A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5
3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，
f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（）。

A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。

参考答案：D，B，C，T＝2。

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。