光学作业习题及解答

光学作业习题及解答12-9. 在干涉实验中，两缝为0.6nm ，照亮狭缝S 的光源是汞弧灯加上绿色滤光片。

在2.5m 远处的屏幕上出现干涉条纹，测得相邻两明条纹中心距离为2.27mm 。

试计算入射光的波长。

如果所用仪器只能测量△x ≥5m m 的距离，则对此双缝的间距d 有何要求？解：根据双缝实验相邻条纹中心距离间距：dDx λ=∆，可知，入射光波长：545nm m 106.05.21027.233=⨯⨯⨯=∆=--d D x λ如果所用仪器只能测量△x ≥5mm 的距离，则对此双缝的间距d 应进一步减小，由d Dx λ=∆≥5mm ，可得：mm 2725.0m 105105455.239=⨯⨯⨯≤∆=---x D d λ12-11. 用很薄的云母片（n ＝1.58）覆盖在双缝实验中的一条缝上，这时屏幕上的零级明条纹移到原来的第七级条纹的位置上。

如果入射光波长为550nm ，试问此云母片的厚度为什么?（假设光通过云母片时不考虑折射引起的光线偏折。

）解：由于插入的云母片，使到屏幕上点的两光线的光程差发生变化，这附加产生的光程差使零级明条纹移到原来第七级条纹的位置。

如图，覆盖云母片前， O 点处是零级明纹位置， 有：012o =-=r r δ光线在其中的偏折，设其厚度为e ，覆盖云母片后，零级明条纹下移，O 点处成为第七级明条纹的位置，有：λδ7o =' 即： λ7)1()1()(])[(1212=-=-+-=-+-e n e n r r r ne e r 所以云母片厚度为：31064.617-⨯=-=n e λmm12-15. 白光垂直照射在空气中厚度为0.40um 的玻璃片上，玻璃的折射率为1.50，试问在可见光范围内（λ＝400—700nm ），哪些波长的光在反射中增强？哪些波长的光在透射中增强?12-11题 图解：由于玻璃的折射率大于空气的折射率，因此玻璃片上表面的反射光在反射时有π的相位突变，而在下表面的反射光没有。

所以，在反射光的光程差中应考虑附加的光程差λ/2。

设波长为λ的光波在玻璃片上、下表面的反射光加强，则有：),3,2,1(22 ==+k k ne λλ得： 124-=k neλ k =1时，nm 2400nm 1040.05.1441243=⨯⨯⨯==-=ne k neλ k =2时，nm 80034124==-=nek ne λ k =3时，nm 48054124==-=nek ne λ k =4时，nm 34074124==-=nek ne λ 由以上计算可知，只有取k =3时，光波长λ在可见光范围内，所以：在可见光范围内只有nm 480=λ的光在反射中增强。

由光量守恒可知，透射光的干涉现象与反射光的互补，在反射光中干涉减弱的光波，在透射光中干涉加强。

因而在玻璃片的上、下表面反射减弱（即透射加强）的光波满足条件： ),3,2,1,0(2)12(22 =+=+k k ne λλ即： kne2=λ k =1时， 12002==ne λnm ； k =2时， 60022==neλnm ； k =3时， 40032==ne λnm ； k =4时， 30042==neλnm ； 所以，在可见光范围内，λ=400nm 和600nm 的光波长在透射中增强。

12-23. （选作题）如图（a ）所示，G 1和G 2是两块块规（块规是两个端面经过磨平抛光，达到相互平行的钢质长方体)，G 1的长度是标准的，G 2是同规格待校准的复制品（两者的长度差在图中是夸大的）。

G 1和G 2放置在平台上，用一块样板平玻璃T 压住。

(1) 设垂直入射光的波长λ=589.3nm ，G 1与G 2相隔d =5cm ，T 与G 1以及T 与G 2间的干涉条纹的间隔都是0.5mm 。

试求G 1与G 2的长度差，(2) 如何判断G 1、G 2哪一块比较长一些？(3) 如果T 与G l 间的干涉条纹的间距是0.5mm ，而T 与G 2间的干涉条纹的间距是0.3mm ，则说明了什么问题？解：(1) T 与两块块规都出现干涉条纹，说明两块块规的长度不相等，与平板玻璃之间形成了空气劈尖，产生等厚干涉条纹；干涉条纹间隔相等，说明两空气劈尖的夹角α相同，两块块规的端面是平行平面。

设块规G 1的长度为h 1，G 2的长度为h 2，由图示几何关系，考虑到α角很小，有tan α≈sin α，可得两块规端面的长度差为：αsin 12d h h h =-=∆由于在空气劈尖的干涉条纹中，相邻两明纹或相邻两暗纹所对应的空气膜的厚度差△e ，等于空气中的半波长。

设相邻两明纹或相邻两暗纹的间距为l ，可有：2sin λα==∆l e所以，两块规端面的长度差为：392105.02103.5891052---⨯⨯⨯⨯⨯==∆l d h λm 51095.2-⨯=m (2) 在反射光中，空气劈的棱边处是暗条纹，当暗条纹出现在a 、c 处时，块规的G 2的长度h 2大于的长度h 1（即h 2> h 1）; 当暗条纹出现在b 、d 处时，块规的G 2的长度h 2小于G 1的长度h 1（即h 2< h 1）。

（或向上平移块规T ，条纹左移时长度h 2大于G 1的长度h 1，即G 2高，如题图a12-23题图(a )与解图(b )（a ） （b ）所示; 条纹右移时G 2的长度h 2小于G 1的长度h 1，即G 1高，图中未画出）。

(3) 设T 与G 1间的干涉条纹间距为l 1，空气劈尖的夹角为α1，T 与G 2间的干涉条纹间距为l 2，空气劈尖的夹角为α2，应有：2s i n s i n 2211λαα===∆l l e若G 2的上表面（下表面亦是）与G 1同样平整，则必有l 1= l 2；G 1为标准块规，l 1≠ l 2，说明G 2的上（下）表面相比G 1而言不够平整。

当l 1=0.5mm ，l 2=0.3mm 时，即l 1> l 2，则有α1<α2 ，说明G 2的cd 端面与底面不平行，d 端低于c 端。

12-27. 有一单缝，宽a =0.10mm ，在缝后放一焦距为50cm 的会聚透镜，用平行绿光（λ＝546.0nm ）垂直照射单缝，试求位于透镜焦面处的屏幕上的中央明条纹及第二级明纹宽度。

解：设光屏上第k 级暗条纹的位置为x k ，单缝夫琅禾费衍射暗纹条件为： λθk a k ±=s i n 因为θk 很小，有fx k k k =≈θθtan sin ，即：a fk f x k k λθ±==tank =1时，可得中央明条纹的宽度为：nm 46.52110==-=∆-afx x x λ第二级明条纹的宽度为：nm 73.2232==-=∆afx x x λ12-29. 在复色光照射下的单缝衍射图样中，其中某一波长的第3级明纹位置恰与波长λ＝600nm 的单色光的第2级明纹位置重合，求这光波的波长。

解：单缝衍射图样中，明条纹位置满足：),3,2,1(2)12(sin =+±=k k a k λθ设未知波长λ' 的第3级明纹与波长λ＝600nm 的单色光的第2级明纹位置重合，即在θ方向重合，则有：2)122(2)132(sin λλθ+⨯='+⨯=a ，可得： nm 6.428nm 7600575=⨯=='λλ12-34. 波长λ=600nm 的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明条纹出现在sin θ=0.20处，第四级缺级，试问：(1) 光栅上相邻两缝的间距(a +b )有多大？ (2) 光栅上狭缝可能的最小宽度a 有多大？(3) 按上述选定的a 、b 值，试问在光屏上可能观察到的全部明条纹级数是多少？解：(1) 由光栅方程：(a +b )sin θk =k λ，可知，光栅常数：kk b a θλsin =+ 由题知，k =2，sin θ2=0.20，可得：m 6m 106m 20.0106002sin 2692u b a =⨯=⨯⨯==+--θλ(2) 根据缺级条件：(a +b )sin θ=k λ和a sin θ=m λ同时成立，可得缺级级数为：),3,2,1( =+=m m aba k ， 则光栅上狭缝宽度a 为：),3,2,1( =+=m m k b a a ，则)1(min =+=m kba a因第四级缺级，则有：m 1.5m 105.1m 4106466u b a a =⨯=⨯=+=-- (3) 由光栅方程：(a +b )sin θk =k λ，可知：k b a k θλsin )(+=，令2πθ=k ，则有极值：10)(=+=λb a k ，显然，k =±10对应衍射角θ=±π/2，实际不可见。

因而，在光屏上可能观察到的最高级次为：k max =±9. 计入缺级：),3,2,1(4min±±±==+=m m m a ba k ， 可见，在光屏上可能观察到的全部明条纹级数是：k =0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9，共计15条主极大谱线。

12-46. 使自然光通过两个偏振化方向成60°角的偏振片，透射光强为I 1。

今在这两个偏振片之间再插入另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30°角，则透射光强为多少？解：设自然光的光强为I ， 插入偏振片P 3前，如解12-46图（1）所示，由已知：α=60°, I I 210=由马吕斯定律知：II I I 8160cos cos 20201=︒==α则：18I I =插入一偏振片P 3后，如解12-46图（2）所示，由已知：α1=α2=30°，101421I I I ==由马吕斯定律知：120112012330cos cos I I I I =︒==α 则最后的透射光强为： 1122222325.24930cos cos I I I I I ==︒==α12-48. 自然光和线偏振光的混合光束，通过一偏振片时，随着偏振片以光的传播方向为轴转动，透射光的强度也跟着改变，如最强和最弱的光强之比为6:1，那么入射光中自然光和线偏振光的强度之比为多大？解：设入射自然光的光强为I 0， 线偏振光的光强为I P 。

如图所示，则：t I I I P ω201c o s 21+=则透射光的光强最大值为：P I I I +=0max 21， 透射光的的光强最小值为：0min 21I I =P解12-48 图图2 (b )P 1P 2P 3α1α2P图2 (a )P 2P 1α图1 (a )图1 (b )解12-46图由已知： 16m i n m a x =I I ， 即： 16212100=+I I I P，可得，入射光中自然光和线偏振光的强度之比为： 520=P I I12-51. 如图所示，一块折射率n 1＝1.50的平面玻璃浸在水中，已知一束光入射到水面上时反射光是完全偏振光。