宏观量子态一般概念

L+D
N
N
N
∏ ∏ ∏ Ψ = φj (x j + d ) + φj (x j − d ) ≠ f (x j )
j =1
j =1
j =1
⎛1 0
⎞
ρ (1)
≈
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
⎜ . . .⎟
⎜ ⎝
0
1
⎟ ⎠
第一类宏观量子态的特性
•非对角长程序 • 对称性破缺
多粒子系统:平移不变性(I)
平移算子 T ( x) = exp[ipx], T + ( x) HT ( x) = H
宏观量子态：一般概念
孙昌璞
中国科学院理论物理研究所
演讲内容
一、两类宏观量子现象 二、非对角长程序与 对称性破缺 三、超流与波函数单值性 四、超导与约瑟夫森效应 五、 第二类宏观量子效应
第一类宏观量子态:玻色-爱因斯坦凝聚
在极端条件下存在宏观量子态: 超导.超流
−d 超流 d
超导 玻色-爱因斯坦凝聚
“证明” Bogoliubov近似
D(α) = exp(αa0+ −α*a0), D−1(α)a0D(α) = a0 +α HB = D−1(α)H0D(α) = (a0F+ +a+0F) +(αF+ +α*F), = H0 +αF+ +α*F,
[ p, H ] = 0
<
A
>=
Tr
⎛ ⎜⎝
1 z
e−βH
A⎞⎟⎠
< [ p, A] >≅ Tr(e−βH pA) − Tr(e−βH Ap)
= Tr( pe−βH A) − Tr(e−βH Ap)
=Tr(e−βH Ap) − Tr(e−βH Ap) = 0
多粒子系统:平移不变性(II)
对心相互作用
V = ... + V ( x1 − x2 ) + ...
∑ p = kak +ak
< ⎡⎣ p, ak +ak ⎤⎦ >= (k − q) ak +aq
0 = (k − q) ak+aq
< ak +aq >= δkqnk
粒子数守恒:整体U(1) 对称性
∑ N = ak+ak
⎡⎣ H
,
N
⎤ ⎦
=
0
λD
∼
a
=
3V
λ a High temperature (T>Tc): D a
λD
λ Low temperature (T<Tc): D ∼ a
相干重叠 形成整体: 宏观原子
λD
a
非对角长程序[ODLRO] (I)
一阶相干函数=单粒子约化密度矩阵
G(1) ( x, y) = ρ ( x, y) = ψ + ( x)ψ ( y)
(1 − e−iθ ) ak = 0 for any θ
具有平移不变性的粒子数守恒系统
< ak +aq >= δkqnk
ψ (x) = 0
玻色-爱因斯坦凝聚(I)
nq
=
1 e(εq −μ ) / kBT
−1
High temperature (T>Tc):
n → e e μ / kBT −εq / kBT q
Penrose-Onsager判据,１９５１
ρ ( x, y) → n0 = φ* ( x)φ ( y)
V
ψ + ( x)ψ ( y) → φ* ( x)φ ( y)
ψ + (x) =φ(x) ≠ 0
Bogoliubov 近似,１９４７
∑ ψ ( x) =
1 V
u0(x)a0 + [
k ≠0
]
a0 → N0
一阶相干函数=单粒子约化密度矩阵
∫ ρ ( x, y) = n0 +
V
nk eik(x− y)dk
→
n0 V
+
mkT 2 2r
exp[−
r] R
有玻色-爱因斯坦凝聚,
r= x−y →∞
有ODLRO,
ρ ( x, y) → n0
V
关联长度 R=
∼ 热波波长
2mkT
序参量 (order parameters)
H0 = ...a0F + + h.c + ...
i∂t |ϕ = H |ϕ , |ϕ(0) =|α (相干态）
i∂t |ψ = HB |ψ , |ψ (0) =|0 (真空态）
for very large α, HB → α F + + α*F + ...
a0 → N0
or ψ → φ =
1 V
u0 ( x )
ψ →φ =
1 V u0 ( x)
GP方程:历史上多次重新``发现”
一个经典场方程：
−1 ∇2φ(x) +V (x)φ(x) + ξ |φ(x) |2 φ(x) = Eφ(x)
2M
Bogoliubov,1947
Lee, Huang, Yang ,1956 Gross , Pttaevski (?) ,1963-1964
从赝势到GP方程
赝势, Fermi, 1943, Lee, Huang, Yang ,1956
பைடு நூலகம்
r
r
刚球模型
等效赝势
V
(r)
∝
as2
∂ ∂r
[rδ
(r)i]
GP方程
二次量子化
∫ Ψ+ (x)Ψ+ ( y)V (r)Ψ( x)Ψ( y)dxdy ∝ as2Ψ+Ψ+ΨΨ
Bogoliubov近似
BEC基态及其与外界的相互作用
(Off) Diagonal Long Range Order， Yang, 1962, RMP
∏ ∏ Ψ =
N
N
Φ(xj) ≡
j =1
j =1
1 2
[φ( x j
+
d)
+
φ(xj
−
d )]
⎛N 0
⎞
ρ (1)
≈
⎜ ⎜
0
0
0
⎟ ⎟
⎜ . . .⎟
⎜ ⎝
0
0
⎟ ⎠
第二类宏观量子态 :薛定锷猫和月亮
|e |g
ei Nθ He−i Nθ = H
定理: 对于粒子数守恒系统,场算子的期望值为零
∑ ψ ( x) =
1 N
eikx ak
k
ψ (x) = 0
证明
eiNθ ae−iNθ = e−iθ a
( ) ak ≅ Tr e−βH ak ( ) = Tr e−iNθ e−β H akeiNθ ( ) = Tr e−β H e−iNθ akeiNθ = ak e−iθ
∑ =
eik( x− y) nk
k
V
∫= nkeik(x− y)dk ⎯B⎯oso⎯n→ 0
r= x−y →∞
< ak +aq >= δkqnk
没有玻色-爱因斯坦凝聚, 无ODLRO
∫ f (z)eiqzdz ⎯q⎯→∞⎯→0
C. N. Yang, RMP, 1962
非对角长程序[ODLRO] (I)
Low temperature (T<Tc):
μ→0
∑ ∫ N =
q
nq
=
4πVg (2π
2m3 / 2 )3
∞ ε1/2dε
0 e(ε −μ) / kBT − 1
ρcλD3
=
⎜⎛ ⎝
N V
⎟⎞ ⎠c
λD3
=
2.612;
λD =
2π 2 mkBT
热波波长
玻色-爱因斯坦凝聚(II)
λD
a
=
3
2.612 , or