2011数学建模A题全国一等奖论文(城市重金属污染及地质演变)

Hg 1.41 2 4.197 5 0.226 1 3.672 4 1.645 2
Ni 0.58 1 0.69 1 0.33 1 0.52 1 0.28 1
Pb 1.156 2 1.585 2 0.237 1 1.032 2 0.957 1
Zn 1.78 2 2.01 3 0.087 1 1.812 2 1.081 2
2
套评价指标，也就是各因素所占权重（权重的变化可以看出演化的过程）及综合评价指 标。 “纵向对比”只需要对比不同时间同一区域的地质环境状况即可。
三、 模型假设
①重金属污染物浓度在空间的分布连续； ②重金属污染物在地层中的扩散系数为常数； ③该城区的重金属污染物分布在短时间内不随时间变化，是稳定状态。
关键词：地污染指数；主成分分析；菲克定律；层次分析
1
一、 问题重述
为了对某城市城区土壤地质环境进行调查， 研究人类活动影响下城市地质环境的演 变模式，现将城区按功能划分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等， 分别记为 1 类区、2 类区、„„、5 类区，进行研究，不同的区域环境受人类活动影响 的程度不同。 将所考察的城区划分为间距 1 公里左右的网格子区域， 按照每平方公里 1 个采样点 对表层土进行取样、编号，并用 GPS 记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得 了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照 2 公里的间距在那些远离 人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 这样便得到了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区；8 种主要重金属元素在采 样点处的浓度；8 种主要重金属元素的背景值。 依据以上信息，通过数学建模解决以下问题： （1）给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重 金属的污染程度。 （2）通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 （3）分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 （4）分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收 集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？
表 3：各区域内各种重金属元素的地积累指数值
As 生活区
Cd 1.157 2 1.596 2 0.228 1 1.465 2 1.01 2 1
Cr 1.154 2 0.784 1 0.32 1 0.9 1 0.46 1
Cu 1.904 2 3.272 4 0.391 1 2.23 3 1.186 2
I geo log2 Cn KBn
（1）
式中：Cn 是实测元素 n 在地层中的含量；Bn 为元素 n 在地层中的背景值；K 是考虑 【1】 了各地岩石差异可能会引起的变动而取得变动系数（一般情况下取值为 1.5） 。 得到的地积累指数可分为不同的等级，分级情况与污染程度的对应关系见下表：
4
表 1：重金属污染级别、地积累指数（ I geo ）和分级比较
图 1：As 元素在各区域的分布 3
从图 1 中可以直观地看出 As 元素主要分布在工业区、生活区与绿地周围，而在交 通区分布较少。在山区大部分地区分布较少，少部分地方有分布。
图 2：Cd 元素在各区域的分布
对于图 2， 可以直观地看出 Cd 元素主要分布在工业区与交通区周围， 次之分布在生 活区与绿地，在山区分布较少。 另外，由其它 6 种重金属元素的分布图（见附件—图像—第 1 问）可以看出 Cr 元 素主要分布在生活区与交通区，在工业区、绿地与山区分布较少。 对于 Cu 元素，发现工业区与交通区分布较多，其它地方分布较少。 对于 Hg 元素，发现只有少部分生活区与交通区分布较多，其它部分基本上没有受 到 Hg 元素的污染。 对于 Ni 元素， 发现在山区、 生活区与工业区分布较多， 在交通区与绿地分布较少。 对于 Pb 元素，发现在交通区分布最多，在部分生活区与部分工业区也有所分布， 而在其它区域都分布较少。 对于 Zn 元素，发现在生活区与工业区分布较多，其它区域分布较少。 4.1.2 地累积指数法评价不同区域重金属污染程度 地累积指数法是一种常用的研究沉积物中重金属污染的定量指标，其计算公式为：
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
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城市重金属污染及地质环境演变分析
摘要
在问题 1 中，我们首先根据离散的 300 余个样本的坐标及其相应的重金属浓度，用 matlab 分别拟合绘制 8 种重金属元素浓度随坐标位置变化的浓度分布渐变图， 用不同颜 色代表不同的污染程度，定性直观地看出 8 种重金属元素在该城区的空间分布。同时， 我们引入污染指数 I ，利用地累积指数法对 8 种元素在 5 块区域的污染程度进行定量计 算，并且对污染程度进行分级，不仅定量分析了不同区域的重金属污染情况，而且对第 一部分的拟合图做了检验，两部分吻合很好。 在问题 2 中，我们建立主成分分析模型，运用主成分分析法，用较少的新变量（主 成分）代替原来较多的旧变量（8 种重金属元素） ，既减少了变量个数，又保证了新变量 能够覆盖大部分信息。 这样便可以比较容易地通过主成分挖掘出各污染元素与区域功能 之间的关系，进而确定重金属污染物的来源。 在问题 3 中，我们分析了重金属污染物在地层中的扩散属于“分子扩散”而无“对 流扩散” ，符合菲克扩散定律的传播特征。我们根据空间中任一体积元内金属污染物的 物料守恒，结合反映金属元素传播特征的菲克扩散定律，建立金属元素在地层中的扩散 模型，得到浓度关于坐标的拉普拉斯方程。我们采用有限差分法进行数值求解，在问题 一浓度分布图的基础上，利用直观浓度最大点附近的若干已知样本数据作为边界条件， 借助 Excel 进行迭代运算，使所得到的数值解与真实情况最大误差为 0.001。再用 matlab 筛选出浓度最大点的坐标即为要求的污染源位置。由此分别求得 8 种重金属的污染源。 在问题 4 中，我们首先分析了研究地质环境转换的具体内容，也就是既要研究不同 区域地质环境状况的“横向对比” ，又要研究不同时间地质环境状况的“纵向对比” ，对 前三问建立的模型进行了优缺点分析。并且提出要从物质组成、地质结构、动力作用三 个方面补充收集 14 类信息，建立层次分析模型，得到了一套地质环境状况评价指标， 也就是各因素所占权重（权重的变化可以看出演化的过程）及综合评价指标。再将不同 时期的评价体系进行对比，即可得出城市地质环境在的演变模式。
Hg 93.04 642.3 40.95 446.1 109.4
Ni 18.34 19.81 15.45 17.59 14.88
Pb 69.10 93.04 36.55 63.39 60.19
Zn 237.0 277.9 73.2 242.3 145.9
把 Bn , C n 代入到式 （1 ） 后， 得到 5 块区域内各种重金属元素的地积累指数值 （ I geo ） ， 如下表：
项目 清洁 轻度污染 0-1 0 1 偏中度污染 1-2 2
污染程度分类 中度污染 2-3 3 偏重污染 3-4 4 重污染 4-5 5 严重污染 >5 6 <=0
I geo
级别
对于本题， Bn 是题目中所给的各种元素的背景值。 Cn 是通过题目所给的数据统计 得到的各区域中各种重金属元素的平均含量，如下表：
表 2：各区域中各种重金属元素的平均含量
元素平 均含量 生活区 工业区 山区 交通区 绿地区
As 6.270 7.251 4.044 5.703 6.104
Cd 289.9 393.1 152.3 359.0 263.1
Cr 69.01 53.40 38.9 58.02 42.83
Cu 49.40 127.5 17.31 62.02 30.04
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、 模型建立与求解
4.1 重金属元素分布与不同区域污染程度（问题 1） 4.1.1 各重金属元素在不同区域的分布图 要分析 8 种重金属元素在该城区的空间分布， 我们想到了根据给出的样本测量数据， 把 8 种元素分开讨论，剔除样本中的特异点后，对于每一种元素都用 matlab 软件的 “griddata” 语句绘制出该种元素在 5 个区域内的连续分布 （在不同区域内的浓度大小） 的网格图，进而直观地看出不同区域每一种重金属污染的程度。如下图，是通过 matlab 绘制的各种重金属元素的污染分布图（绘图源代码见 附录—Matlab 程序—第 1 问） 。 由于图片所占页面空间太大，这里只贴出 As、Cd 元素的分布图作为代表，剩下 6 种元素的分布图见附件。 对于 8 种重金属元素的分布图来说，红色表示浓度最大，紫色表示浓度最小。颜色 由暖色至冷色表示浓度递减。
二、 问题分析
对于问题 1，分析题目要求可以看出它有两部分构成：重金属元素在各区域的空间 分布分析， 以及不同区域重金属污染程度评价。 要分析重金属元素在各区域的空间分布， 结合题目所给出的离散的样品点， 我们想到用 matlab 拟合出每种重金属元素的分布图， 可以直观地看出重金属的分布特征。对于第二部分，要想对不同区域重金属的污染程度 进行评价，只要引入一个污染评价指标便可以定量评价每个区域的污染程度。 对于问题 2，要分析重金属污染的原因，也就是各种金属的来源，需要找出区域的 功能与不同污染元素之间的关系。但由于污染元素一共有 8 种，变量因子过多，且原始 数据纷杂，不利于找出内在联系，于是想到用较少的新变量代替原来较多的旧变量，而 且保证新变量尽可能多的保留原来变量所反映的信息。 这样就可以通过分析少量新变量 之间的关系，挖掘出内在联系。主成分分析法便可以实现这一目的。 对于问题 3，要得到污染源，必须要得到地层中重金属元素的浓度分布，以求浓度 最大点。首先我们要明确重金属元素在地层中的扩散规律，然后根据这一规律建立扩散 模型。通过查阅大量文献，我们总结出重金属元素在地层中的扩散只有“分子扩散” ， 而无“对流扩散” ，满足菲克定律。这样我们根据特定地层区域内重金属“物料守恒” 建立了扩散模型，求得了地层中的浓度分布，进而得到浓度最大点也就是污染源。 对于问题 4，要研究地质环境演变时，既要研究不同区域地质环境状况的“横向对 比” ，又要研究不同时间地质环境状况的“纵向对比” ，并且要明确地质环境这一概念所 包含的因素（重金属污染只是其中一种） 。明确了以上两点也就明确了我们研究地质环 境演变规律所需要的信息。而在“横向对比”过程中，我们必须要对地质环境状况有一
I geo
污染级别
0.8
工业区
I geo
污染级别
1.01 2 0.167 1 0.663 1 0.761 1
山区
I geo
污染级别
交通区
I geo
污染级别
绿地区
I geo
污染级别
通过上表各区域的污染级别可以看出： 对于生活区，Cd、Cr、Cu、Hg、Pb、Zn 这几种重金属元素属于偏中度污染；As、Ni 两种重金属元素属于轻度污染。 对于工业区，Hg 是重污染；Cu 是偏重污染；Zn 是中度污染；As、Cd、Pb 属于偏中 度污染；Cr、Ni 属于轻度污染。 对于山区，所有的重金属元素都是轻度污染。 对于交通区，Hg 是偏重污染；Cu 是中度污染；Cd、Pb、Zn 均属于偏中度污染；As、 Ni 属于轻度污染。 对于绿地区，Cd、Cu、Hg、Zn 属于偏中度污染；As、Cr、Ni、Pb 均属于轻度污染。 另外，为了对比各区域的总污染程度，我们对各个区域内的所有重金属元素的地积