二次函数小结复习.doc
九年级数学下册第1章二次函数小结与复习课件(新版)湘教版
和开口方向.【教材P37页】
y
3
1 y 1 x2
3
2
y 1 x 22
4
1
2 y 1 x 22
4
–4 –3 –2 –1 –1
x
1 23 4 5
–2
–3
y 1 x2
–4
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
y
和开口方向.【教材P37页】
5
3 y2x32 2
4
小结与复习
知识结构
二次函数
二次函数的概念 二次函数的图象与性质 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的应用
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
沿 x 轴翻折
y = -ax2（a>0）的图象与性质
x O
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
当h < 0时， 向左平移 |h| 个单位
3
3
y
x
7 2
2
2
4
y
x
7 2
2
2
2 1
–1 –1
–2
x
123456
y 2 x 32 2
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
和开口方向.【教材P37页】
y
3
y x2 10x 21
5yx27x11 2
1
6yx210x21
x
1 23 4 5 6 78
3
yax2x1
2
将点（0，-1）代入，得 a 1 2
y 1x2x1
2
顶点坐标
第26章小结二次函数的复习课件
2、抛物线 y = 3x 2 + 2 的开口向
坐标为
.
， 顶点
3、抛物线 y =2（ x +1）2 - 4 的顶点坐标为
对称轴为
.
4、当a 为最高点.
时，抛物线 y =（a +2）x 2 的顶点
5、抛物线 y = （ x - 2） 2 + 3 的开口向 ，对称
轴为
，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而
2
1
A
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
-1
D B
2 3 4 56 7
8x
1、本课主要复习了哪些内容？ 2、通过复习，你有什么体会或收获呢？
二次函数 y x2 2x 3
1）用配方法求其顶点D的坐标； 2）求其与y轴的交点C的坐标、与x轴交点A、B （且点A在点B的左边）的坐标。
y x2 2x 1
y
9
8 y=x2-2x+3
7
6
y x2 4x 3
5
4
3
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8x
-1
知识点回顾四：
二次函数一般式与顶点式的转化
一般式
y ax2 bx c
配方
顶点式
y ax m2 k
y ax2 bx c
（
大 a ＞0 致 图 象 a＜0
函 数
a ＞0
变 化 a＜0
在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小. 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大. 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大. 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小.
由a、b、c
二次函数重点知识小结
＜１＞ ＜２＞ ＜３＞
（１）当一丢ｅ［ｍ，一Ｍ
大值是，（ｍ）、，（Ｈ）中的较大者。
ｆｉｘ）的卧值是小期＝Ｔ４ａｃ－ｂ２，删的最
４∈Ⅳ’，由＜１＞×＜２＞得口２‘（１一毛）】ｒ『２０－－Ｘ２）≥Ｉ
而ｊ。（１一＾）≤『兰二譬二卅２：ｉ１（当且仅当而：ｉ１时取等号）， ｘ：（１一屯）≤［兰二鼍爿２＝丢（当且仅当而：ｊ１时取等号），通过＜３＞可得
例２：试说明函数Ｙ＝ｘ２＾＋５，无论Ｘ取何值，ｙ＞０。
分析：第一种方法：用配方法将其化成ｙ＝（ｘ一２）２＋ｌ的形式 来说明。（但如果系数取值不好．该方法就比较麻烦） 第二种方法：用△来说明．因为△＝－４＜Ｏ．所以函数与ｘ轴无交点， 又因为该函数的二次项系数ａ＝Ｉ＞０．所以图象开１３向上。于是，图 象在ｘ轴上方．因此无论ｘ取何值，ｖ＞ｏ。 例３：求证：不论ｍ取什么实数．方程ｘ２－（ｍ２＋ｍ）ｘ＋ｍ一２－－０必 有两个不相等的实数根。 分析：这道题如果用常规做法．就是证明一元二次方程的Ａ＞ Ｏ的问题．然ｆ『ｉｉ本题的判别式△是一个关于ｍ的一元四次多项 式．符号不易判断。这就给证明带来了麻烦。若用函数思想分析题 意。设ｆ（ｘ）－－－＇ｘ２－（ｍ：＋ｍ）ｘ＋ｍ一２，由于它的开口向上，所以只要找到 一个实数ｘＯ。使得ｆ（ｘ０）＜ｏ。就说明这个二次函数的图象与ｘ轴有 两个交点，问题就得到了解决。
对应二次方程的根． 图１ 例２．已知２工２＜３ｘ，求函数，Ｏ）＝Ｊ２＋ｘ＋１的最值。
（２）不等式ａｘ２＋ｂｘ＋Ｃ＞０（或＜ｏ）的解集为对应的二次函数图 像在ｘ轴上方ｆ或下方）的点的横坐标的取值集合．
例：
若不等式舣２＋ｂｘ－Ｉ－４＞０的解集为ｆ
ｘ
Ｉ一２＜ｘ＜ｌ｝。则二
次函数Ｙ＝ｂｘ２＋４ ｘ＋ａ在区ｆｓ３［０，３
二次函数复习(2)
练 习
y ax 2 bx c 1、已知二次函数
的 图象经过点（1，0），（0，-2），（2， 3）。求解析式。 2、二次函数当x=3时，y有最大值-1，且图 象过（0，-3）点，求此二次函数解析式。 3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴 是直线x=2，图象与x轴的两个交点间的距离 等于2，且图象经过点（4，3）。求这个二次 函数解析式。
练习1 某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时， 客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元， 则减少10张床位租出；若每床每晚收费再 提高2元，则再减少10张床位租出．以每次 提高2元的这种方法变化下去．为了投资少 而获利大，每床每晚应提高 （ ） A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元
练习2
课后训练： 7、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原 点，A点坐标为(－8, 0)，B点坐标为(2, 0)，以 AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的 负半轴交于点C. (1)求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析 式； (2)设M点为(1)中抛物线的顶点，求出顶点M的 坐标和直线MC的解析式； y (3)判定(2)中的直线MC与⊙P的 位置关系，并说明理由.
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元。为了扩大销售，商场 决定采取适当的降价措施。经调查发现，如 果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多 售出2件。问每件衬衫降价多少元时，商场平 均每天盈利最多？最大盈利为多少？
例3、有一个抛物线形的拱形桥，建立如图所示的直 角坐标系后，抛物线的解析式为 y＝－ 1 x2－1。
y
x
归纳小结：
1、用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤： （1）根据条件设出合理的表达式； （2）将已知条件转化为方程或方程组，求出待定系数 的值； （3）写出函数解析式。 2、二次函数的三种表达式： Y=ax2+bx+c(a≠0) （1）一般式： Y=a(x-h)2+k (a≠0) （2）顶点式： （3）交点式： Y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) ； ； 。
14--二次函数(小结与复习)
会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题。
情感价值
会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
教学重点
能画出二次函数的图象，用二次函数的知识分析解决有关抛物问题的实际问题，建立二次函数的数学模型并运用它解决实际问题。
教学难点
将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
（1）求出S与x之间的函数关系式；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用．
问题5：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，进价是每件80元，售价是每件120元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件，但每件最低价不得低于108元．
二、练习，巩固所学二次函数内容
大有镇中心学校教研组集体备课（初备）
备课组长签字：日期：教研组长签字：日期：
主备人：
马海燕
备课组员
米存
年（班）级
九年级（1）
日期
星期
累计课时
课型
新授
电教课累计
远教课
第课时
授课课通过对实际问题情景的分析确定二次函数表达式，并体会二次函数的意义。
2、会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。
（1）若每件衬衫降低x元（x取整数），商场平均每天盈利y元，试写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）盈利最多？
三、小结（1）我们是如何研究二次函数的？
（2）二次函数在实际问题应用中需要注意什么？
板书设计
二次函数（小结与复习）
一、复习知识，回顾方法三、小结
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数的定义、性质和图像；（2）掌握二次函数的求解方法，包括配方法、公式法、图像法；（3）能够运用二次函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（2）培养学生运用二次函数解决实际问题的能力；（3）培养学生合作学习、讨论交流的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其自信心；（2）培养学生勇于探究、积极思考的精神；（3）培养学生团队协作、分享的品质。
二、教学内容1. 复习二次函数的定义：函数式y = ax^2 + bx + c（a ≠0）；2. 复习二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等；3. 复习二次函数的图像：开口向上/向下的抛物线，顶点式、对称轴式等；4. 复习二次函数的求解方法：配方法、公式法、图像法；5. 运用二次函数解决实际问题：长度、面积、最大值、最小值等问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数的定义、性质和图像；（2）二次函数的求解方法；（3）运用二次函数解决实际问题。
2. 教学难点：（1）二次函数的图像分析；（2）运用二次函数解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾二次函数的相关知识，激发学生的学习兴趣；2. 讲解：根据教材，系统讲解二次函数的定义、性质、图像和求解方法，让学生清晰地理解二次函数的基本概念；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决问题，培养学生运用知识的能力；4. 练习：布置课堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导；五、课后作业1. 复习二次函数的定义、性质、图像和求解方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 选择一个实际问题，运用二次函数解决，并将解题过程和答案写在作业本上。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估其对二次函数知识的掌握程度；3. 练习题：分析学生完成的练习题，了解其在二次函数求解方法和实际问题解决方面的能力；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解其合作学习、交流分享的能力。
第二十二章 二次函数总复习--
（2）在自变量的取值范围内，运用公式
法或通过配方求出二次函数的最大值或最 小值。（若顶点的横坐标不在x的取值
范围内，则用增减性判断最值）
利润=售价－进价
总利润=每件利润×销售数量
1 25 2 二次函数y=x -x-6的图象顶点坐标是__________
1 对称轴是_________ 。 x 2 增减性: 1 1 y x 当 x 时,y随x的增大而减小 2 2
二次函数知识要点
1、二次函数的定义： 形如“ y= ax2+bx+c （a、b、c为常数，a ≠0 ）”的函数叫二次函数。即， 自变量x的最高次数为 2 次。
2、常见的二次函数的解析式有三种形式： ⑴一般式为 y＝ax2＋bx＋； c (a≠0）
2＋k y ＝ a ( x h ) ⑵顶点式为
(a≠0） 。
y
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 2 ⑤ 4a+2a+c > 0 ⑥ b - 4ac > 0
-1 0 1 2
x
a+b+c的值由当x=1时的点的纵坐标决定;
a-b+c的值由当x= －1时的点纵坐标决定；
4a+2a+c的值由x=2的点纵坐标决定； 4a-2a+c的值由x= －2的点的纵坐标决定
3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如 图所示，试求出a,b,c的值。 y
3 0
2 x
例1 已知函数 y (m 2) x 3是关于x的二次函数. ( 1 )求满足条件的 m的值, 并写出解析式 ; ( 2 )抛物线有最高点和最低 点? 二次函数有最大值还是 最小值? 最值是多少? ( 3 )当x为何值时, y随x的增大而减小 ? m 2 m 2 0 解得 m 3 1由题意得 2 解： m 2或m 3 m 5m 8 2
二次函数基础知识规律小结
1中考复习专题之二次函数基础知识规律小结一、二次函数概念及图像特征⒈二次函数概念：形如y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的函数，那么， y 叫x 的二次函数。
⒉图像特征：y=ax 2+bx+c=a （x+2ba ）2+244acb a-它是一条以直线x=-2b a为对称轴， 以（-2b a，244ac b a-）为顶点的抛物线。
二、抛物线y=ax 2+bx+c 与系数a 、b 、c 的关系： ⒈系数a⑴、a 决定抛物线开口方向，a ＞0时，抛物线开口向上；a ＜0时，抛物线开口向下。
⑵、｜a ︱决定抛物线开口大小，｜a ︱相同，抛物线开口大小相同； ｜a ︱越大，抛物线开口越小。
⒉ a 、b 决定抛物线对称轴的位置 a 、b同号⇒x=-2ba ＜0⇒对称轴在y 轴的左侧a 、b 异号⇒x=-2ba ＞0⇒对称轴在y 轴的右侧 总结四字口诀：对称轴同左异右。
b=0⇒x=-2ba =0⇒对称轴是y 轴。
⒊c 决定抛物线与y 轴的交点位置c ＞0，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上。
交点坐标（0，c ）。
c =0，抛物线过原点，（0,0）。
c ＜0，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上。
交点坐标（0，c ）。
三、b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数b 2-4ac ＞0时，ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数解，抛物线与x 有两个交点。
b 2-4ac =0时，ax 2+bx+c=0有两个相等的实数解，抛物线与x 轴只有一个交点。
b 2-4ac ＜0时，ax 2+bx+c=0无实数解，抛物线244ac b a-=0，与x 轴无两个交点。
四、抛物线的特殊位置与系数a 、b 、c 的关系⒈顶点在x 轴，有两种理解：第一种，顶点纵坐标为0，既顶点坐标(-2ba ,O),对应解析式: y=a （x-h ）2第二种，抛物线与x 轴只有一个交点，则b 2-4ac =0。
第26章 《二次函数》小结与复习(3)doc
第26章《二次函数》小结与复习（3）教学目标：1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。
重点难点：重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
教学过程：一、例题精析，引导学法，指导建模1．何时获得最大利润问题。
例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=－150(x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=－4950(50－x)2＋1945(50－x)＋308万元。
(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。
学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。
教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。
教师精析：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－150(x－30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1＝10×10=100万元。
(2)若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是：P＝－150(25－30)2＋10=9.5(万元)则前5年的最大利润为M2=9.5×5=47.5万元设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。
第22章《二次函数》小结与复习课件
(2)∵∠F =∠A = 45°，∠CBF =∠ABC = 90°，
∴∠BGF =∠F = 45°，1BG = BF1 = 2x -130. 1
所= 以 32Sx△2D+EF60-xS-△4G5BF0.= 2DE2 - 2BF2 = 2 x2 - 2 (2x - 30)2
若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且
x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 ( B )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≤y2 D．y1＞y2
x
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1， 当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大．∵x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.
解：W = (x-60)•(-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900，
∵抛物线的开口向下， ∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大. 而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87. ∴当 x = 87 时，W 有最大值，
此时 W = -(87- 90)2 + 900 = 891.
售量 y (件)与销售单价 x (元)符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65
时，y＝55；x＝75 时，y＝45.
(1) 求一次函数的解析式；
解：根据题意，得
65k 75k
b b
55，解得
45.
k
=
-1，b
=
120.
故所求一次函数的解析式为 y = -x + 120.
二次函数知识点小结
向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=ax 2+ky=ax 2二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2abx 2-=(ab ac ab 4422--，)三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0∆> 抛物线与x 轴有两个交点 一元二次方程有两个不相等实根 0∆= 抛物线与x 轴只有一个交点一元二次方程有两个相等的实数根 0∆<抛物线与x 轴无交点一元二次方程无实数根.。
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》知识小结与复习
解:(1)∵抛物线过点(3,8)，(-1,0)，(0,5)，
8 则 0
9a 3b c， a b c，
解得
a b
1， 4，
5 c.
c 5.
∴该二次函数关系式为y=-x2+4x+5
(2)顶点M的坐标为(2，9)， 对称轴为直线x=2,则B点坐标为(5，0)， 过M作MN⊥AB于N，则
S四边形ABMD =S△AOD+S梯形DONM +S△MNB
教学反思
本课时是对本章知识点的全面总结，教学 时，教师注重引导学生回忆知识点并构建知识 结构框图，同时辅以典型例题，复习和巩固所 学知识点，最后教师详细讲解解题思路和分析 过程.
4.已知抛物线y
1 2
x
2
3
x
5 2
.
(1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
解:(1)
y
1 2
x
2
3
x
5 2
.
1 2
(
x
3)2
7.
开口:向上，
对称轴:x=3,
顶点坐标:(3，-7).
(2)
0
1 2
(x轴的交点：
(3 14，0)，(3 14，0).
ab<0；②b2-4ac>0；③9a-3b+c<0；④b-4a=0；
⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0, x2=-4. y 其中正确的结论有（ B ）
A.①③④ B.②④⑤
-4 -2 O
x
C.①②⑤ D.②③⑤
专题训练四 二次函数与一元二次方程的关系
（黑龙江牡丹江中考）已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴
第27章 《二次函数》小结与复习(2)(第16课时)
第27章《二次函数》小结与复习（2）(第16课时) 一、例题精析，强化练习，剖析知识点1．知识点串联，综合应用。
例：1如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。
(1)求直线和抛物线的解析式；(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。
例：2如图，抛物线y＝ax2＋b x＋c过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、C。
(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。
学生活动：学生先自主分析，然后小组讨论交流。
三、课堂小结对于二次函数与其他知识的综合应用，关键要掌握解题思路，把握题型，能利用数形结合思想进行分析，从而把握解题的突破口。
四、作业：一、填空。
1. 如果一条抛物线的形状与y ＝－13x 2＋2的形状相同，且顶点坐标是(4，－2)，则它的解析式是_____。
2．开口向上的抛物线y ＝a(x ＋2)(x －8)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若∠ACB ＝90°，则a ＝_____。
3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且过(3，0)，则a ＋b ＋c ＝______。
二、选择。
1．如图(1)，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞0，b c ＞0 B. a ＜0，bc ＜0 C. a ＞O ，b c ＜O D. a ＜0，b c ＞02．已知二次函数y ＝ax 2＋b x ＋c 图象如图(2)所示，那么函数解析式为( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋3 B. y ＝x 2－2x －3C ．y ＝－x 2－2x ＋3 D. y ＝－x 2－2x －33．若二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )A ．a ＋c B. a －c C ．－c D. c4．已知二次函数y ＝ax 2＋b x ＋c 图象如图(3)所示，下列结论中： ①abc ＞0，②b ＝2a ；③a ＋b ＋c ＜0，④a －b ＋c ＞0，正确的个数是( )A ．4个B ．3个 C. 2个 D ．1个三、解答题。
二次函数性质(复习)
二次函数性质（复习）
润州区教研室 徐义明
一、教学目标
1、使学生进一步理解二次函数性质及系数c b a 、、及△与函数c bx ax y ++=2图象之间的关系。
2、会求二次函数图象与坐标轴交点，理解二次函数与二次方程、二次不等式之间关系。
4、让学生感受数形结合的思想，初步掌握数形结合解决问题的方法。
5、通过自主探究、合作交流活动，激发学生主动学习热情以及与同伴合作的欲望。
二、教学重点：二次函数性质的应用；难点：对数形结合数学思想的感受。
图所示，
问题2. 已知：抛物线y=x
2在同一坐标系中的图像大致
b
+
四)、课堂小结：．二次函数的性质
在同一坐标系中的图象，
3、已知，点),(11y x ，),(22y x ),33y 均在抛物线422++-=x x y 上，且
1321<<<x x x 则321,,y y y 的大小关。
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第二十二章小结与复习
一、内容和内容解析
1. 内容
二次函数的图象、性质和应用.
2. 内容解析
二次函数与很多的数学知识联系都很紧密，同时也是锻炼学生数形结合思想、应用意识的很好的素材，对于一些重点知识的掌握有助于学生解决具体数学问题和应用问题.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：夏习二次函数的重点知识.
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题.
(2) 通过提问，夏习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想.
2. 目标解析
达成目标(1)的标志是：学生能够利用二次函数的定义解决问题，能够求出二次函数的图象的顶点、对称轴等，能够利用二次函数的知识解决简单的实际问题.
达成目标(2)的标志是：学生能够准确掌握二次函数的基础知识，并将函数知识应用到问题解决中.并在解决函数问题的过程中，体会转化、类比的数学思想.
三、教学问题诊断分析
学生对于函数知识的应用有时还不是非常熟练，需要教师及时总结，帮助学生形成知识系统，同时•在教学过程中要多提醒学生利用函数的观点看问题.
另外本节课内容较多，最好先让学生总结，培养学生的总结能力并达到恒I顾基础知识的
目的.
基于以上分析，本节课的教学难点是：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题.
四、教学过程设计
1. 对二次函数的概念、图象、性质等知识进行回顾
问题(1)二次函数的定义：.
(2)二次函数的图象：
①开口方向、对称轴、顶点坐标
名称表达式开口方向对称轴顶点坐标
一般式
顶点式
%1与坐标轴的公共点
与尤轴的公共点坐标,与)，轴的公共点坐标.
(3) 二次函数的性质
%1若。
＞0,当,〉随尤的增大而增大；当, y随x的增大而减小；若oVO,当,)，随x的增大而增大；当, ＞随工的增大而减小.
%1二次函数的最值：
若。
＞0，当时，，有最值，是:
若«＜0,当时，y有最值，是.
%1二次函数的平移.
%1二次函数中的系数s /?, c•的作用.
师生活动：学生复习二次函数的基础知识.
设计意图：复习二次函数的基本知识，加深对二次函数的理解.
2. 练习，巩固所学二次函数内容
练习1用配方法求出函数y=~2x2~4x+6的图象的对称轴、顶点坐标，画出函数图象，并说明图象是由抛物线y=—2/经过怎样的平移得到的.
师生活动：学生独立思考，并画图，教师巡场，及时纠错.
设计意图：复习配方法求顶点式，抛物线的画法以及平移的规律.
练习2根据下列条件，求出二次函数的解析式.
(1) 图象经过(一1, 1), (1, 3), (0, 1)三点；
(2) 图象的顶点为(一1, -8),且过点(0, -6)；
(3) 图象过(3, 0), (2, 一3)两点，并且以x=\为对称轴；
(4) 图象经过一次函数y=~x+3的图象与坐标轴的两个交点，并且经过点(1,1).
师生活动：学生独立思考，小组内互评，并在全班进行展示、纠错.师生共同归纳确定二次函数解析式的方法.
设计意图：通过讨论，归纳确定解析式的儿种方法.
练习3某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 000 元，设矩形的边长为尤m,面积为S n?.
(1) 求出S与工之间的函数关系式；
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用.
师生活动：学生独立思考，小组内互评，并在全班进行展示、纠错.师生共同归纳实际问题的解题方法和注意事项.
设计意图：通过思考，使学生建立恰当的数学模型，并借助二次函数的知识解决问题, 培养学生的信心.
练习4某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，进价是每件80元，售价是每件120元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件，但每件最低价不得低于108 元.
(1) 若每件衬衫降低工元(x取整数)，商场平均每天盈利y元，试写出)，与工之间的函数
关系式，并写出自变量尤的取值范围.
(2) 每件衬衫降低多少元时，商场每天(平均)盈利最多？
师生活动：每个学生在练习本上完成，教师巡视，指导.然后小组交流，并评价.
设计意图：进-步巩固学生对二次函数的应用意识.
3. 小结
教师与学生一起回顾本章所学主要内容，并请学生回答以下问题：
(1) 我们是如何研究二次函数的？
(2) 二次函数在实际问题应用中需要注意什么？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——二次函数的重点知识，并体会函数的研究方法，提高应用二次函数解决实际问题的能力.
4. 布置作业
教科书复习题22第1〜5题.
五、目标检测设计
1. 已知二次函数y=-?-8x+6,当］时"，y随尤的增大而增大；当工=
时，y有值，是.
设计意图：考查学生对二次函数图象及性质的掌握.
2. 一个二次函数的最小值为一4,当x<2时，函数值y随尤的增大而减小，当x>2
时，函数值），随的增大而增大，且图象过点（4, 1）.求这个二次函数的解析式.
设计意图：考查学生对用待定系数法确定二次函数解析式的掌握.
3.如图，在△ABC中，4=90°,A8=12mm, BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，8同时出发，那么的面积S随出发时间，如何变化？写出函数关系式及/的取值范围.
（第3题）
设计意图：考查学生对二次函数实际应用的掌握.。