介质波导色散

������������1 − ������������������������ ������������������������ − 1
（3.17） （3.18）
3.4 对称面1 2������
∙
1 ������������1 − ������������������������ ������������ + arctan ������������1 ∙
域的有效介电常数εeffi ，εeffo ，用下图所示的单层介质光波导去等效。习惯上用用������������������������ 表示 纵向传播常数:
������������������������ = (������������������������ )2
（4.1）
另 z 为纵向
kyi 2 = ������02εri − ������������ 2

2
jZ
2 1
tgk
z1l

0
Z0 Z1 1 tg 2k z1l jtgk z1l Z02 Z12 0
1 tg 2k z1l

jtgk
z1l

Z Z
0 1

Z1 Z0


0
Y0 jY1 tan k z1l Z0 jZ1 tan k z1l 0
两者的曲线，程序如下：
clear er1=12; eff=1:0.01:er1-0.01 l1=0.5/pi./sqrt(er1-eff).*atan(sqrt((er1-1)./(er1-eff))); l2=0.5/pi./sqrt(er1-eff).*(pi-atan(sqrt((er1-eff)./(er1-1)))); l3=0.5/pi./sqrt(er1-eff).*(pi-atan(1/er1*sqrt((er1-eff)./(er1-1)))); l4=0.5/pi./sqrt(er1-eff).*atan(er1*sqrt((er1-eff)./(er1-1))); plot(l1,eff); hold on plot(l2,eff,'r'); hold on plot(l3,eff,'g'); hold on plot(l4,eff,'k');
（4.5） （4.6） （4.7）
������g
������a ������g
+ +
j������g tan(kyg j������a tan(kyg
������g ) ������g )
+
������f
������s ������a
+ +
j������ftan(kyf ������f) j������stan(kyf ������f)
kzi k02ri kx2
（3.3） （3.4）
带入得到横向谐振条件：
Y0 jY1 tan kz1l 0
（3.5）
对于单层平板介质光波导，波限制在薄层中传播，kz1 是实数，kz0 是虚数，k1、k0 和 kx 满足 如下关系 ：
此时对于 z >l 的区域 : 由 TE 模： 带入色散方程，得到： 引入有效介电常数定义： 上式成为：
4.2.3 最后利用 x 方向谐振：
这里应满足：
������o
+
������i
������o ������f
+ +
j������itan(kzo ω) j������itan(kzo ω)
=
0
（4.18）
4.2.4
k������i2 = ������02εeffi − ������������ 2
图1
二、平板介质波导的横向谐振原理
图2
横向谐振原理是分析介质波导的有效方法，以上图所以的非对称介质单层介质波导为例 证明，横向谐振包含限制在导模层中传播必要而充分的条件。
根据波导的传输线理论，z 方向波的传播可以用上图中的电路等效。在 z=0 处看进去输入阻 抗或输入导纳为 0，即：
Z0
Z1
Z0 Z1
（3.6） （3.7） （3.8） （3.9） （3.10） （3.11）
（3.12）
由： 带入上式得：
1
������0������ =
������������ + arctan ������������1 − ������������������������
������������������������ − 1 ������������1 − ������������������������
三、单层介质光波导色散特性曲线
3.1 以推导对称面开路为例： 由横向谐振条件：
Y Y 0
从 z=l 向右和向左看去的输入导纳为：
Y Y0 Y jY1 tan(kz1l)
（3.1）
（3.3） （3.2）
式中：
kzi Yi r0i0
kzi
TE模 TM模
（4.10） （4.11） （4.13）
4.2.2 外部区域有效介电常数������������������������������的计算
同样由 y 方向的横向谐振得到：
������s
+
������f
������a ������f
+ j������ftan(k������f������f) + j������a tan(kyf ������f)
带入方程得到：
������↑
=
������g
������a ������g
+ +
j������g tan j������a tan
kyg ������g kyg ������g
������↓
=
������f
������s ������a
+ +
j������f tan j������s tan
kyf ������f kyf ������f
对条形介质光波导的严格分析比平板介质光波导要苦难得多，业已发展了多种近似方法用于 条形介质光波导的分析。有效介电常数（EDC 法）就是比较成功的一种方法，不仅适用于介 质光波导，也适用于毫米波集成波导的分析。
4.2 EDC 法理论推导：
图5
用 EDC 法计算条形介质光波导的纵向波数时，先求条形介质光波导内部区域和外部区
=
0
同样需要满足：
定义： 各介质参量满足：
kyf > kxo > kz������、kz������ ε������������������������ = (k������x0o )2
kyi 2 = ������02εri − ������������������ 2
（4.14） （4.15） （4.16） （4.17）
3.3 对称面开路（TM 模）
������������������������ − 1 ������������1 − ������������������������
������′
=
1 2������
∙
1
1
������������1 − ������������������������ ������������ − arctan ������������1 ∙
=
0
（4.8）
由于波需要限制在薄层介质中传播，所以kzg 、kzf 为实数，而kz������ 、kz������应为虚数，要求满足
如下关系：
kyf = ������0 εrf > kxi > kz������ = ������0 εrs
（4.9）
定义： 此时，各参量应满足：
kyg = ������0 εrg > kxi > kz������ = ������0 εra ε������������������������ = (k������x0i )2 kyi 2 = ������02εri − ������������������ 2
������������������������ − 1 ������������1 − ������������������������
（3.19）
3.5 色散曲线仿真绘制 利用 MATLAB 绘制色散曲线时，我们可以从不同的������������������������ 得到不同的������′ 值，然后转而会出
最后得到：
Y0 jY1 tan kz1l 0
（2.2）
Z0 jZ1 tan kz1l 0
（2.3）
于是得到如下两种分布可能。一种是偶对称，对于电压来说，对称面（z=0）为波腹，相当 于开路；另一种是奇对称，对称面对于电压来说是波节，相当于短路。因此光沿对称结构的 单层平板介质波导的传播可以分为四种情况，即：对称面开路（TE 模），对称面开路（TM 模），对称面短路（TE 模），对称面短路（TM 模）。
得到图形如下：
图3 这样得到的额曲线有一个问题,因为有些 ������′ 的值超出了。所以我们对超过1的������′ 值舍去。最后 得到的色散曲线如下：
图4
四、条形介质光波导色散特性
4.1 综述：
对于平板介质光波导，光波限制在整个导模层中传播，而对下图所示的条形介质光波导， 光波主要限制在条形介质中传播，对光能的利用率大大提高。对于 x=0，a 侧面的不连续性

jZ1 2tgk z1l jZ 0 2tgk z1l

0
Z0 Z1 1 tg 2k z1l jZ0 2tgk z1l Z1 Z0 1 tg 2k z1l jZ1 2tgk z1l 0