弹性碰撞模型及应用

碰撞模型及应用

辽宁省建平县第二高级中学张爱民

碰撞问题在是中学物理中常见问题，在高中物理教学中有非常重要作用。纵观近几年高考物理3-5试题，其中“碰撞”模型一直是近几年高考的热点。碰撞模型能与很多知识点综合，联系广泛，题目背景易推陈出新，掌握这一模型，举一反三，可轻松解决这一类问题，切实提高学生推理能力和分析解决问题能力。所以我们有必要很好研究这一模型。

(一) 弹性碰撞模型

在理想情况下，物体碰撞后，形变能够恢复，不发热、发声，没有动能损失，这种碰撞称为弹性碰撞，又称完全弹性碰撞。真正的弹性碰撞只在分子、原子以及更小的微粒之间才会出现。生活中，硬质木球或钢球发生碰撞时，动能的损失很小，可以忽略不计，通常也将它们的碰撞看成弹性碰撞。

碰撞时动量守恒。当两物体质量相同时，互换速

动能守恒：

动量守恒：

解得两个物件碰撞后速度：

和

性质

•：一个物件相对另一个物件的速度，在碰撞后逆转了

•物件在碰撞前后的平均动量相同

•质心的速度不变

若大而两个碰撞物的质量相近,两者将交换速度。若碰击一个质量小的物件，速度改变不大；碰上一个质量大的物件，越快的物件便回弹得越快。

因此，中子缓和剂有许多质量小的原子核的原子（另一个好处是它们不易吸收中子），因为质量最小的原子核和中子的质量十分接近。

弹性碰撞是碰撞过程无机械能损失的碰撞，遵循的规律是动量守恒和系统机械能守恒。确切的说是碰撞前后动量守恒，动能不变。在题目中常见的弹性球、光滑的钢球及分子、原子等微观粒子的碰撞都是弹性碰撞。

已知A、B两个钢性小球质量分别是m1、m2，小球B静止在光滑水平面上，A以初速度v0与小球B发生弹性碰撞，求碰撞后小球A的速度v1，

物体B的速度v2大小和方向

解析：取小球A初速度v0的方向为正方向，因发

m2v2

m1v1

B m1v0

B

A

图1

A

生的是弹性碰撞，碰撞前后动量守恒、动能不变有：

m 1v 0= m 1v 1+ m 2v 2 ①

2222112012

12121v m v m v m += ② 由①②两式得：210211)(m m v m m v +-= ， 2

10122m m v m v += 结论：（1）当m 1=m 2时，v 1=0，v 2=v 0，显然碰撞后A 静止，B 以A 的初速度运动，两球速度交换，并且A 的动能完全传递给B ，因此m 1=m 2也是动能传递最大的条件；

（2）当m 1＞m 2时，v 1＞0，即A 、B 同方向运动，因2121)(m m m m +- ＜2

112m m m +，所以速度大小v 1＜v 2，即两球不会发生第二次碰撞；

若m 1>>m 2时，v 1= v 0，v 2=2v 0 即当质量很大的物体A 碰撞质量很小的物体B 时，物体A 的速度几乎不变，物体B 以2倍于物体A 的速度向前运动。

（3）当m 1＜m 2时，则v 1＜0，即物体A 反向运动。

当m 1<

以上弹性碰撞以动撞静的情景可以简单概括为：（质量）等大小，（速度和动能）交换了；小撞大，被弹回；大撞小，同向跑。

（二）应用举例

[例1]在光滑的水平面上有三个完全相同的小球，它们成一条直线，2、3小球静止，并靠在一起，1球以速度v 0射向它们，如图2

所示，设碰撞中不损失机械能，则磁后三个小球的速度可能是

（ ） A ．v 1= v 2= v 3=31

v 0 B ． v 1=0， v 2= v 3=21

v 0

C ．v 1=0， v 2= v 3=2

1 v 0 D ．v 1= v 2=0， v 3= v 0 解析：由题设条件知，三个小球在碰撞过程中总动量和总动能守恒，若各球质量均为m ，则碰撞前系统总动量为mv 0，总动能为

2021mv 选项A 碰撞后总动量为03mv ，违反动量守恒定律，故不可能；

选项B 碰撞后总动量为02mv ，违反动量守恒定律，故不可能；

选项C 碰撞后总动量为0mv ，但总动能为

204

1mv 违反机械能守恒定律，故不可能； 选项D 碰撞后总动量为0mv ，但总动能为2021mv ，动量守恒、机械能守恒，故选顶D 正确。

练习：如图所示，B 、C 、D 、E4个小球并排放置在光滑的水平面上，B 、C 、D3个小球质量相等，而E 球质量小于B 球质量，A 球质量等于E 球质量。A 球以速度向B 球运动，所图2

发生的碰撞均为弹性碰撞，则碰撞之后（ ）

A ．4个小球静止，1个小球运动

B ．3个小球静止，2个小球运动

C ．2个小球静止，3个小球运动

D ．5个小球都运动

[例3] 质量为 M 的小车静止于光滑的水平面上，小车的上表面和41圆弧的轨道均光滑，如图3如图所示，一个质量为m 的小球以速度v 0水平冲

向小车，当小球返回左端脱离小车时，下列说法正确的是：

A ．小球一定沿水平方向向左做平作抛运动

B ．小球可能沿水平方向向左作平抛运动

C ．小球可能沿水平方向向右作平抛运动

D ．小球可能做自由落体运动

[解析]：小球水平冲上小车，又返回左端，到离开小

车的整个过程中，系统动量守恒、机械能守恒，相当于小球与小车发生弹性碰撞的过程，如果m ＜M ，小球离开小车向左平抛运动，m=M ，小球离开小车做自由落体运动，如果m ＞M ，小球离开小车向右做平抛运动，所以答案应选B ，C ，D

[例3]在光滑水平面上有相隔一定距离的A 、B 两球，质量相等，假定它们之间存在恒定的斥力作用，原来两球被按住，处在静止状态。现突然松开两球，同时给A 球以速度v 0，使之沿两球连线射向B 球，B 球初速度为零；若两球间的距离从最小值（两球未接触）到刚恢复到原始值所经历的时间为t 0，求：B 球在斥力作用下的加速度

[解析]：A 球射向B 球过程中，A 球一直作匀减速直线运动，B 球由静止开始一直作匀加速直线运动，当两球速度相等时相距最近，当恢复到原始值时相当于发生了一次弹性碰撞，，由于A 、B 质量相等，A 、B 发生了速度交换，系统动量守恒、机械能守恒。

设A 、B 速度相等时速度为v ，恢复到原始值时A 、B 的速度分别为v 1、v 2，

mv 0= 2mv ①

2mv=mv 1+ mv 2 ②

2221202

12121mv mv mv += ③ 由①式得v=2

0v ，由②③解得v 1=0，v 2= v 0 （另一组解v 1= v 0，v 2= 0舍去） 则B 的加速度a=000022t v v t v v -=-=0

02t v [例4] 如图4所示,光滑水平地面上静止放置两由弹簧相连木块A 和B,一质量为m 子弹,以速度v 0,水平击中木块A,并留在其中,A 的质量为3m,B 的质量为4m.

(1)求弹簧第一次最短时的弹性势能

(2)何时B 的速度最大，最大速度是多少？

[解析](1)从子弹击中木块A 到弹簧第一次达到最短的过程可分为两个小过程一是子弹与木块A 的碰撞过程，动量守恒，有机械能损失；二是子弹与木块A 组成的整体与木块B 通过弹簧相互作用的过程，动量守恒，系统机械能守恒，

子弹打入: mv 0=4mv 1 ①

mv o

B

A

图4