八年级数学 利用轴对称解几何动点最值问题分类总结(将军饮马)

利用轴对称解几何动点最值问题分类总结（将军饮马）轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。

利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；

（2）三角形两边之和大于第三边；

（3）垂线段最短。

初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。

（1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点）

问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。

核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。

方法：1.定点过动点所在直线做对称。

2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。

变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。

1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

（2）一点两线的最值问题:（两个动点+一个定点）

问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。

核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。

变异类型：

1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。

2.如图，点A是∠MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最

小。

（3）两点两线的最值问题:（两个动点+两个定点）

问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。

核心思路：用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。

变异类型：

1.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。

2.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB

的值最小时，点P 的坐标为( )

3.

（4） 两点两线的最值问题: （两个动点+两个定点）

问题特征：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。

核心思路：利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。

变异类型：演变为多边形周长、折线段等最值问题。

1. 如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小。

二、常见题目

Part1、三角形

1．如图，在等边△ABC 中，AB=6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE=2，求EM+EC 的最小值。

2．如图，在锐角△ABC 中，AB=42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____。

3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值。

Part2、正方形

1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。

2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ）

A ．32

B ．62

C ．3

D ．6

3．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）。

4．如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边

的中点，

P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；

Part3、矩形

1．如图，若四边形ABCD是矩形，AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；

Part4、菱形

1．如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE

的最小值；

Part5、直角梯形

1．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上秱动，则当PA+PD 取最小值时，△APD 中边 AP 上的高为（）

Part6、一次函数

一次函数 b kx y +=的图象与y x , 轴分别交于点).4,0(),0,2(B A

（1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设AB OA ,的中点分别为D C ,,P 为OB 上一动点，求 PD PC +的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．