专题02方程与不等式
专题02 方程与不等式-备战2019年中考数学一轮复习之试题小练(原卷版)
模块2方程与不等式1．一次方程（组）的基本概念、实际问题中列方程（组）常出现在填空题、选择题中，而解方程（组）一般以计算题的形式出现，列方程（组）解应用题一般以解答题的形式出现．近几年也经常与不等式、函数结合在一起考查方案设计等问题．2．一元二次方程是中考的必考内容，在中考中单独命题时往往直接考查解法，也与不等式、函数等知识结合在一起考查一元二次方程的判别式及根与系数的关系，这部分内容还可能与直角三角形的知识结合在一起考查．利用一元二次方程模型解决实际问题，是各地每年中考中的热点内容，特别是增长率问题更受命题者的青睐．3．分式方程及其应用在中考中多以选择题、填空题或解答题的形式考查以下几点：（１）将分式方程化为整式方程；（2）已知方程有增根，确定有关字母的值；（3）解分式方程；（4）列分式方程解决实际问题．4．不等式（组）在中考中以解不等式（组）、求不等式（组）的特殊解为主，而紧密联系日常生活实际的不等式（组）的应用，更是中考的热点内容，且难度大，综合性强．1．不等式3x+2≥5的解集是A．x≥1B．x≥73C．x≤1D．x≤–12．若关于x的分式方程31mx--=1的解为x=2，则m的值为A．5 B．4 C．3 D．23．已知不等式组2010xx-<⎧⎨+≥⎩，其解集在数轴上表示正确的是A．B．C ．D ．4．已知关于x的分式方程21mx-+=1的解是负数，则m的取值范围是A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m<3 D．m<3且m≠25．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是A．50005000(120%)1x x-=+B．50005000(120%)1x x+=+C．50005000(120%)1x x-=-D．50005000(120%)1x x+=-6．不等式组34012412xx+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩的所有整数解的积为__________．7．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2–10x+21=0的根，则三角形的周长为__________．8．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=a bab a b≥<⎪⎩，，例如4◆3，因为4>3．所以4◆．若x，y满足方程组48229x yx y-=⎧⎨+=⎩，则x◆y=__________．9．解方程：321x x--=0．10．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各做几个零件．11．已知关于x的一元二次方程（x–3）（x–2）=p（p+1）．（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22–x1x2=3p2+1，求p的值．12．如图，在数轴上，点A、B分别表示数1、–2x+3．（1）求x的取值范围；（2）数轴上表示数–x+2的点应落在__________．A．点A的左边B．线段AB上C．点B的右边13．“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？。
九年级数学中考复习专题——方程与不等式(附答案)
知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。
知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
知识必备02 方程与不等式(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备02方程与不等式（公式、定理、结论图表）考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间；(2)工程问题：工作量=工效×工时；(3)比率问题：部分=全体×比率；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，；(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点二、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.典例1：已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．【答案】（1）证明：∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得，整理，得．解这个方程，得x1＝4.8，x2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．典例3：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象、，设，，则方程组的解是( )A． B． C． D．【思路点拨】图象、的交点的坐标就是方程组的解.【答案】B；【解析】由图可知图象、的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组的解为【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集） （大大、小小找不到）（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a， 则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O a＞b；②a-b=O a=b；③a-b＜O a＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.典例4：解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．【答案与解析】解不等式①得：．解不等式②得：x≥-1．所以不等式组的解集为-1≤x＜．其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.典例5：为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得解得30≤x≤32．所以x的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．。
期末高一复习专题02 一元二次函数、不等式(教师版)
专题02 一元二次函数、方程和不等式考点一：不等式性质及应用1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B 答案 B解析 ∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2≥0， ∴A ≥B . 2．若110a b<<，则下列不等式成立的是( ) A ．a b ab -> B ．a b ab -<C ．b a ab ->D ．b a ab -<【解答】解：由110a b<<， 对于A 、B ，因为110a b <<，则0a <，0b <，a b >，从而0ab >，0a b ->，即0a b ab ->，则可取1a bab-=，即a b ab -=，故A 、B 错误，对于C 、D ，因为110a b <<，则0a <，0b <，从而0ab >．又110b a->，即0a bab->，则0a b ->，所以0b a ab -<<，故D 正确，C 错误． 故选：D ．3.对于任意实数a ，b ，c ，则下列四个命题：①若a b >，0c ≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >；④若a b >，则11a b<. 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】a b >时，若0c <，则ac bc <，①错误；若0c，则22ac bc =，②错误；若22ac bc >，则20c >，∴a b >，③正确；a b >，若0a b >>，仍然有11a b>，④错误． 正确的只有1个．故选：C ．4.已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是( ) A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，又11x y -≤+≤，…∴①13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤…②∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yxx y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．5.证明不等式22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭(,a b ∈R ). 【答案】证明见解析.【解析】证明：因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +≥++， 所以()()2222a ba b +≥+两边同除以4，即得22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，取等号. 考点二：利用基本不等式求最值 6.函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】D因为13x >，所以3x －1>0，所以()443311153131y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立，故函数413313y x x x ⎛⎫ ⎪⎝=>-⎭+的最小值为5． 故选：D ．7.设0a >，0b >，41a b +=，则11a b+的最小值为( )A ．7B ．9C D 3【解答】解：0a >，0b >，41a b +=，111144()(4)()552549b a b a b a b a b a b a ∴+=++=++++=， 当且仅当4b a a b =，即126a b ==时取等号，∴11a b +的最小值为9．故选：B ．8．已知a ，b R +∈，且23a b ab +=，则2a b +的最小值为( ) A ．3B ．4C ．6D ．9【解答】解：a ，b R +∈，且23a b ab +=，∴213a b+=，12152522(2)()()333333a b a b a b a b b a ∴+=++=+++⨯（当且仅当a b =时取“= “)，即2a b +的最小值为3．故选：A ．9．函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-1【答案】D2233(1)(1)111x x x x y x x ++++++==++1[(1)]1(1)x x =--+++-+11≤-=-， 当且仅当1111x x +==-+,即2x =-等号成立. 故选：D.10.已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（ ）A B C ．18D ．14【答案】C因为0x >，0y >，由基本不等式得：2x y +≥所以8xy ≥解得：18xy ≥，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，等号成立故选：C11.已知0x >，0y >且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是_________.【答案】(9,1)- 【详解】0,0x y >> ，且141x y+=，()144149y xx y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =,即36x y ==，时取等号.()min 9x y ∴+=，由28x y m m +>+ 恒成立，即()2min 89m m x y +<+=，解得：91m -<<， 故答案为：(9,1)-12.已知正数a ，b 满足21a b +=，则( ) A ．ab 有最大值18 B ．12a b +有最小值8 C ．1b b a +有最小值4 D ．22a b +有最小值15【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，22112()248a b a b ab+⋅=⇒，当且仅当12a =，14b =时取等号，则A 正确； 对于B ，121222(2)()5459b aa b a b a b a b +=++=+++=，当且仅当13a b ==时取等号，B 错误；对于C ，12224b a bb a b a+=+++=，当且仅当13a b ==时取等号，则C 正确；对于D ，222222211(12)5415()(0)552a b b b b b b b +=-+=-+=-+<<，故最小值为15，则D 正确；故选：ACD ．13.已知20a b >>，则4(2)a b a b +-的最小值为______________思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为()2b a b -，所以可将a 构造为()112222a ab b ⋅=⋅-+⎡⎤⎣⎦，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：4181(2)3(2)2(2)2a a b b b a b b a b ⎡⎤+=-++≥⋅=⎢⎥--⎣⎦ 思路二：观察到表达式中分式的分母()2b a b -，可想到作和可以消去b ，可得()()2222b a b b a b a +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，从而244(2)a a b a b a +≥+-，设()24f a a a =+，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：()24322a a f a a =++≥= 答案：314.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000v v 2＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时． 答案 (1)1 900 (2)100解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝1 900(辆/时)．当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时，等号成立．(2)当l ＝5时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002v ·100v ＋18＝2 000(辆/时)．当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时，等号成立．∴最大车流量为2 000(辆/时)． 2 000－1 900＝100(辆/时)．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加100(辆/时)． 考点三：含参数与不含参数的不等式解法15.已知集合{}2230A x x x =-+≥，302x B x x ⎧⎫-=∈≤⎨⎬+⎩⎭Z，则A B =（ ） A ．{}23x x -<≤ B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}2,1,1,2,3--D ．R【答案】B解不等式2230x x -+≥ ，()2223120,x x x x R -+=-+>∈ ，解不等式302x x -≤+ 得23x -<≤，}{1,0,1,2,3B =- ，}{1,0,1,2,3A B ∴⋂=- ； 故选：B.16.不等式()()()21350x x x ++->的解集为___________. 【答案】1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃【详解】不等式()()()()()()2135021350x x x x x x ++->⇔++-<，由数轴标根法画出图线，可得不等式的解集为1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.故答案为：1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.17.已知二次不等式220x bx c -++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，则关于x 的不等式220cx bx -->的解集为( )A ．{|23}x x <<B ．{|23}x x -<<C ．{|32}x x -<<D ．{|32}x x -<<-【解答】解：二次不等式220x bx c -++<的解集为1{|3x x <或1}2x >， 所以二次方程220x bx c -++=的解是13和12，由根与系数的关系知，1132211322bc ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩，解得53b =，13c =-；所以不等式220cx bx -->化为2152033x x --->， 即2560x x ++<，解得32x -<<-；所以所求不等式的解集为{|32}x x -<<-． 故选：D ．18．25．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<，则下列说法错误的是（ ） A ．0a < B ．不等式0ax c +>的解集为{}6x x <C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【详解】由已知可得－2，3是方程20ax bx c ++=的两根，则由根与系数的关系可得23,23,b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩且0a <，解得,6b a c a =-=-，所以A 正确；对于B ，0ax c +>化简为60x -<，解得6x <，B 正确；对于C ，660a b c a a a a ++=--=->，C 正确； 对于D ，20cx bx a -+<化简为：2610x x --<，解得1132x -<<，D 错误．故选：D.19.已知关于x 的不等式：()23130ax a x -++<．(1)当2a =-时，解此不等式； (2)当0a >时，解此不等式．【答案】(1)1{|2x x <-或}3x >(2)当13a =时，解集为∅；当103a <<时，解集为1{|3}x x a <<；当13a >时，解集为1{|3}x x a <<(1)当a ＝－2时，不等式－2x 2＋5x ＋3＜0整理得(2x ＋1)(x －3)＞0，解得x ＜－12或x ＞3， 当a ＝－2时，原不等式解集为{x |x ＜－12或x ＞3}．(2)当a ＞0时，不等式ax 2－(3a ＋1)x ＋3＜0整理得：(x －3)(x －1a )＜0， 当a ＝13时，1a ＝3，此时不等式无解；当0＜a ＜13时，1a ＞3，解得3＜x ＜1a ；当a ＞13时，1a ＜3，解得1a ＜x ＜3；综上：当a ＝13时，解集为∅；当0＜a ＜13时，解集为{x |3＜x ＜1a }；当a ＞13时，解集为{x |1a ＜x ＜3}.20．已知22()(3)3f x ax a x a =+--．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|1x x >或3}x <-，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式()0f x x a ++<的解集中恰有2个整数，求正整数a 的值． 【解答】解：22()(3)3(3)()f x ax a x a ax x a =+--=-+，（1）若不等式()0f x <的解集为(-∞，3)(1-⋃，)+∞，则0a <，且1a -=，33a=-，解得1a =-； （2）不等式()0f x x a ++<，即22(2)20ax a x a +--<有两整数解， 所以(2)()0ax x a -+<；又a 为正整数，所以2a x a-<<， 由解集中必含0，两整数解为1-，0或0，1；当2a >时，整数解为2-，1-，0，不符合； 所以1a =或2a =．考点四：恒成立、有解与根分布问题21．函数()()20.8log 23f x x ax =-+在()1,-+∞有意义，则a 的取值范围（ ）A ．(-B ．5,⎡-⎣C ．[]5,4--D ．(],4-∞-【答案】B 【详解】由题意可知2230x ax -+>对任意的1x >-恒成立，令223u x ax =-+， 二次函数223u x ax =-+的图象开口向上，对称轴为直线4ax =. ①当14a≤-时，即当4a ≤-时，此时函数223u x ax =-+在()1,-+∞上单调递增， 所以，230a ++≥，解得5a ≥-，此时54a -≤≤-；②当14a>-时，即当4a >-时，则有2240a ∆=-<，解得a -<4a -<<综上所述，实数a 的取值范围是5,⎡-⎣. 故选：B.22.已知函数y ＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，y ≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当a ∈[4,6]时，y ≥0恒成立，求x 的取值范围．解 (1)当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，则Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，故a 的取值范围为{a |－6≤a ≤2}．(2)将y ＝xa ＋x 2＋3看作关于a 的一次函数，当a ∈[4,6]时，y ≥0恒成立，只需在a ＝4和a ＝6时y ≥0即可，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0， 解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6，故x 的取值范围是{x |x ≤－3－6或x ≥－3＋6}． 23.已知a R ∈，“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是（ ） A ．10a -<< B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤【答案】B当0a =时，221=10ax ax +--<，对x R ∀∈恒成立；当0a ≠时，若2210ax ax +-<，对x R ∀∈恒成立，则必须有20(2)4(1)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩，解之得10a -<<， 综上，a 的取值范围为10a -<≤.故“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是10a -<≤，故选：B24.若命题“R x ∃∈，使得不等式22(3)0mx m x m +-+<”成立，则实数m 的取值集合是（ ） A ．(3,1)-- B ．(,1)(3,)-∞+∞C ．(,0]-∞D ．(3,1)(1,3)--【答案】B命题“R x ∃∈，使得不等式22(3)0mx m x m +-+<”成立， 当0m =时，不等式为30x -<，显然有解，成立；当0m <时，开口向下，必然R x ∃∈，使得不等式22(3)0mx m x m +-+<成立，； 当0m >，0∆>即222(3)40m m -->，解得29m >或21m <，所以01m <<或3m >． 综上可得1m <或3m >． 故选：B ．25.已知关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立，则有（ ） A ．4m ≤- B ．3m ≥- C ．30m -≤< D ．40m -≤<【答案】A因为关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立，所以2min (4)m x x ≤-， 令224(2)4y x x x =-=--，(]0,3x ∈，所以当2x =时，24y x x =-取得最小值4-， 所以4m ≤- 故选：A26.若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________． 【答案】（52，＋∞）【详解】设2()24f x x ax =-+，由题意2Δ4160(1)1240(2)4440a f a f a ⎧=->⎪=-+<⎨⎪=-+<⎩，解得52a >，故答案为：5(,)2+∞．27.2022年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了x ()0x >万元，且每万元创造的利润变为原来的()10.25x +倍.现将养羊少投资的x 万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为()0.150.875a x -万元，其中0a >. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x 的取值范围； （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a 的最大值. 【答案】（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为6.5． 【详解】解：（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯，整理得260x x -≤，解得06x ≤≤，又0x >，故06x <≤． （2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元，技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元，则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立，又010x <<，∴5101.58x a x≤++恒成立， 又51058x x +≥，当且仅当4x =时等号成立，∴0 6.5a <≤，即a 的最大值为6.5． 答：（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为6.5．对点练习一、单选题1．不等式21560x x +->的解集为（ ）A ．{1x x 或1}6x <- B ．116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．{1x x 或3}x <- D ．{}32x x -<<【答案】B【分析】解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘1-，再利用十字相乘法，可得答案， 【详解】法一：原不等式即为26510x x --<，即()()6110x x +-<，解得116x -<<，故原不等式的解集为116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．法二：当2x =时，不等式不成立，排除A ，C ；当1x =时，不等式不成立，排除D ．故选：B ．2．已知正数x y ，满足 4x y +=，则xy 的最大值（ ）A ． 2B ．4C ． 6D ．8【答案】B【分析】直接使用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正数x y ，满足 4x y +=，所以有424x y xy =+≥⇒≤，当且仅当2x y ==时取等号， 故选：B3．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集. 【详解】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有2<<1x -. 故选：A4．已知02x <<，则y =的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由基本不等式求解即可【详解】因为02x <<，所以可得240x ->，则()22422x x y +-==，当且仅当224xx =-，即x =y =的最大值为2．故选：A ．5．关于x 的不等式()210x a x a -++< 的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)1,02,3-B ．[)(]2,13,4--C ．[)(]2130,-⋃，D ．()()2134--⋃，， 【答案】C【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.【详解】由()210x a x a -++<得()()10x x a --< ，若1a =，则不等式无解．若1a >，则不等式的解为1x a <<，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为2x =，则23a <≤．若1a <，则不等式的解为1<<a x ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为0x =，则10a -≤<．综上，满足条件的a 的取值范围是[)(]2130,-⋃， 故选：C ．6．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．不等式20ax cx b ++>的解集为{|22x x <<C ．0a b c ++<D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【分析】根据解集形式确定选项A 错误；化不等式为2430,x x --<即可判断选项B 正确；设2()f x ax bx c =++，则(1)0f >，判断选项C 错误；解不等式可判断选项D 错误.【详解】解：因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以a<0，所以选项A 错误； 由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,22x x x --<∴<所以选项B 正确；设2()f x ax bx c =++，则(1)0f a b c =++>，所以选项C 错误；不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误.故选：B二、多选题7．(多选)给出下列命题，其中正确的命题是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >|b |⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．|a |>b ⇒a 2>b 2答案 BC解析 A 当c 2＝0时不成立；B 一定成立；C 当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立； D 当b <0时，不一定成立．如|2|>－3，但22<(－3)2.a b >，则222a b b >=，D 正确．故选：BD ．8．对任意两个实数,a b ，定义{},,min ,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若()22f x x =-，()2g x x =，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（ ）A ．函数()F x 是偶函数B ．方程()0F x =有三个解C ．函数()F x 在区间[1,1]-上单调递增D ．函数()F x 有4个单调区间【答案】ABD【分析】结合题意作出函数()()(){}min ,F x f x g x =的图象，进而数形结合求解即可.【详解】解：根据函数()22f x x =-与()2g x x =，，画出函数()()(){}min ,F x f x g x =的图象，如图．由图象可知，函数()()(){}min ,F x f x g x =关于y 轴对称，所以A 项正确；函数()F x 的图象与x 轴有三个交点，所以方程()0F x =有三个解，所以B 项正确；函数()F x 在(,1]-∞-上单调递增，在[1,0]-上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,)+∞上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD三、填空题9．函数()1311y x x x =+>-的最小值是_____【答案】3+【分析】利用基本不等式可求得原函数的最小值.【详解】因为1x >，则10x ->，所以()1313331y x x =-++≥=-，当且仅当()1311x x -=-，因为1x >，即当x =.所以函数()1311y x x x =+>-的最小值是3.故答案为：3+10．已知[]0,2a ∀∈时，不等式()231102ax a x a +++-<恒成立，则x 的取值范围为__________． 【答案】()2,1--【分析】由题意构造函数关于a 的函数()f a 2312x x a x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，则可得(0)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，从而可求出x 的取值范围.【详解】由题意，因为当[]0,2a ∈，不等式()231102ax a x a +++-<恒成立， 可转化为关于a 的函数()f a 2312x x a x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，则()0f a <对任意[]0,2a ∈恒成立， 则满足2(0)10(2)22310f x f x x x =+<⎧⎨=+-++<⎩，解得2<<1x --， 即x 的取值范围为()2,1--．故答案为：()2,1--四、解答题11．（1）已知一元二次不等式20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求不等式210qx px ++>的解集； （2）若不等式2(7)0x mx m -++>在实数集R 上恒成立，求m 的范围.【答案】（1）{|23}x x -<<；（2）22m -<+【分析】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出,p q 的值，然后就可以解不等式了；（2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式.【详解】（1）因为20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， 所以112x =-与213x =是方程20x px q ++=的两个实数根， 由根与系数的关系得11,3211,32p q ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩解得1,61.6p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不等式210qx px ++>， 即2111066x x -++>，整理得260x x --<，解得23x -<<.即不等式210qx px ++>的解集为{|23}x x -<<. （2）由题意可得，∆<0，即241(7)0-⨯⨯+<m m ，整理得24280m m --<，解得22m -<+12．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+平方米.【分析】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示400(26)(4)(26)(4)S x y x x=++=++，利用均值不等式，即得最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为400平方米，得400y x =. 因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以4009x x +，所以294000x x +-，解得2516x -. 又0x >，所以016x <.所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S 平方米，由题意可得400300(26)(4)(26)(4)8248()(824S x y x x x x=++=++=+++（平方米）当且仅当x =.所以整个绿化面积的最小值为(824+平方米.。
山东春考数学二轮复习专题2 方程与不等式
感谢聆听！
不负韶华·只争朝夕
扬帆起航
逐梦前行
数学二轮复习
专题二
方程与不等式
乘风破浪·砥砺前行
01 一 元 二 次 方 程
例1 把3 2 + 6 − 1写成a（ + )2 + 的形式，并
求方程3 2 + 6 − 1=0的解。
3 2 + 6 − 1 = 3 2 + 2 − 1
=3 2 + 2 + 1 − 1 − 1
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
x
Φ
}
O
没有实根
R
Φ
x 考 真 题
05 近 年 高 考 真 题
05 近 年 高 考 真 题
05 近 年 高 考 真 题
05 近 年 高 考 真 题
05 近 年 高 考 真 题
05 近 年 高 考 真 题
无解
1
=−
2
3
1 = − , 2 = 1
2
01 一 元 二 次 方 程
例2
已知关于x的一元二次方程： 2 + 2 + a + 2 = 0
有两个不相等的负根，求实数的取值范围。
根的情况
两个正根
满足条件
∆= 2 − 4≥0
1 2 =
两个负根
∆= 2
>0
− 4≥0
1 2 = >0
例3 若关于x的不等式 2 − 1 2 - − 1 − 1 < 0的解
集为R，求实数m的取值范围。
第二讲方程与不等式-PPT
解得:m≤2
所以 3－m≠0
3m-1 (m+3)
又 ∵方程 △＝ (1)2 4 (3 m)＝m1－2 4
当m=2 时 △＝0, ∴方程有两个相等得就是实数根;
当m<2时 △<0, ∴方程无实数根。
例5、 已知关于x得方程mx2 14x 7 0 有两个
x x 实数根 1与 2,关于y 得方程 y2 2(n 1) y n2 2n 0
3
2
这时原方程转换成关于k得一元一次方程, 解得:k＝1。故选 (B)
例2、方程 x2 4x 2 得正根为
()
Ａ、2 6 Ｂ、 2 6 Ｃ、2 6 Ｄ、 2 6
解析:利用配方法或公式法求解得正根 x= －2＋ 6、
故选(D)
例3、 (2008江苏省苏州市)解不等式组:
x 3 0， 2(x 1) 3≥3x.
2
所以m= 4 2 (6) (4)2 =－8, 42
∵当n=0时,m=－6; 当n＝4时,m＝10、 ∴m得取值范围就是－8≤m<10、
例6、 (2007江苏扬州课改)为了加强公民得节水意识,合理利 用水资源,某市采用价格调控手段达到节水得目得、该市自 来水收费价格见价目表、
若某户居民月份用水 8m3,
第二讲方程与不等式
在求解方程时应灵活选用,值得注意得就是分式方程求解,验 根。
对于一元一次不等式(组)得求解,要熟练地掌握不等 式得基本性质,它就是不等式求解得基础,在解不等式(组) 时,若不等式两边同时乘以或除以同一个负数时不等号方向 要改变。而不等式组得解就是每个不等式解得公共部分,它常 通过数轴这一步骤来得到不等式解得。
价目表
则应收水费:
2 6 4 (8 6) 2元0、
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式典型例题(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式典型例题单选题1、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=2，b=6取到最小值8.故选：B.2、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．3、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}C．{x|x>3或x<−6}D．{x|−6<x<3}答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可.−x2+3x+18<0可化为x2−3x−18>0，即(x−6)(x+3)>0，即x>6或x<−3．所以不等式的解集为{x|x>6或x<−3}.故选：A4、已知正实数a、b满足1a +1b=m，若(a+1b)(b+1a)的最小值为4，则实数m的取值范围是（）A．{2}B．[2,+∞)C．(0,2]D．(0,+∞)答案：B分析：由题意可得(a+1b )(b+1a)=ab+1ab+2≥2√ab1ab+2=4，当ab=1ab，即ab=1时等号成立，所以有b=1a ，将1a+1b=m化为a+1a=m，再利用基本不等式可求得m的范围.解：因为a,b为正实数，(a+1b )(b+1a)=ab+1ab+2≥2√ab1ab+2=4，当ab=1ab，即ab=1时等号成立，此时有b=1a，又因为1a +1b=m，所以a+1a=m，由基本不等式可知a+1a≥2（a=1时等号成立），所以m ≥2. 故选：B.5、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8] 答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果. 设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2，解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ，因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1，所以2≤4a +2b ≤10. 故选：C.6、关于x 的不等式(x −a )(x −3)>0成立的一个充分不必要条件是−1<x <1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤−1B ．a <0C ．a ≥2D ．a ≥1 答案：D分析：由题意可知，(−1,1)是不等式(x −a )(x −3)>0解集的一个真子集，然后对a 与3的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数a 的取值范围. 由题可知(−1,1)是不等式(x −a )(x −3)>0的解集的一个真子集.当a =3时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为{x |x ≠3}，此时(−1,1){x |x ≠3}； 当时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为(−∞,3)∪(a,+∞)， ∵(−1,1)(−∞,3)，合乎题意；当a <3时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为(−∞,a )∪(3,+∞)， 由题意可得(−1,1)(−∞,a )，此时1≤a <3. 综上所述，a ≥1. 故选：D.3a小提示：本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.7、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（ ）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6， 则2+6=−2b a，2×6=−ca，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0， 整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0， 解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞).故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解. 8、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 若要使ab+bc a 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b+2b≤2√a 2+c 2b×2b=(22)=12√a 2+2ac+c 22(a 2+c 2)=12√12+ac a 2+c 2≤12√12+2√a 2×c2=12， 当且仅当a 2+c 2b=2b ，且a =c 取等，即取等号，即则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为12， 故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 多选题9、下列函数中最大值为12的是（ ） A ．y =x 2+116x 2B ．y =x ⋅√1−x 2,x ∈[0,1]C ．y =x 2x 4+1D ．y =x +4x+2,x >−2 答案：BC解析：利用基本不等式逐项判断即可. 解：对A ，y =x 2+116x2≥2√x 2⋅116x 2=12，当且仅当x 2=116x2，即x =±12时取等号，故A 错误；对B ，y =x ⋅√1−x 2=√x 2⋅(1−x 2)≤x 2+1−x 22=12，当且仅当x 2=1−x 2，又∵x ∈[0,1]，即x =√22时取等号，故B 正确；对C ，y =x 2x 4+1=1x 2+1x2≤12，a b c ==当且仅当x2=1x2，即x=±1时等号成立，故C正确；对D，y=x+4x+2=x+2+4x+2−2≥2√(x+2)⋅4x+2−2=2，当且仅当x+2=4x+2，又∵x>−2，∴x=0时取等号，故D错误.故选：BC.10、设正实数m、n满足m+n=2，则下列说法中正确的是（）A．2m−n>14B．mn的最大值为1C．√m+√n的最小值为2D．m2+n2的最小值为2答案：ABD分析：利用不等式的性质以及指数函数的性质可判断A选项的正误，利用基本不等式可判断BCD选项的正误. 对于A选项，因为正实数m、n满足m+n=2，则0<m<2，m−n=m−(2−m)=2−2m∈(−2,2)，故2m−n>2−2=14，A对；对于B选项，由基本不等式可得mn≤(m+n2)2=1，当且仅当m=n=1时，等号成立，B对；对于C选项，由基本不等式可得(√m+√n)2=m+n+2√mn≤2(m+n)=4，因为√m+√n>0，故√m+√n≤2，当且仅当m=n=1时，等号成立，C错；对于D选项，∵2(m2+n2)=(m2+n2)+(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2=4，可得m2+n2≥2，当且仅当m=n=1时，等号成立，D对.故选：ABD.11、已知a，b，c∈R+，则下列不等式正确的是（）A．1a +1b≥4a+bB．a+b≤√a2+b2C．b2a +a2b≥a+b D．a2+b22≥a+b−1答案：ACD分析：对AC，利用基本不等式可求解；对B，根据(a+b)2=a2+b2+2ab>a2+b2可判断；对D，利用(a−1)2+(b−1)2≥0可判断.对A ，因为(1a +1b )(a +b )=b a +a b +2≥2√b a ⋅a b +2=4，当且仅当b a =a b 时等号成立，所以1a +1b ≥4a+b ，故A正确；对B ，(a +b )2=a 2+b 2+2ab >a 2+b 2，所以a +b >√a 2+b 2，故B 错误； 对C ，b 2a+a +a 2b+b ≥2√b 2a⋅a +2√a 2b⋅b =2a +2b ，当且仅当a =b 等号成立，所以b 2a+a 2b≥a +b ，故C正确；对D ，因为(a −1)2+(b −1)2≥0，所以a 2+b 2−2a −2b +2≥0，所以a 2+b 22≥a +b −1，当且仅当a =b =1等号成立，故D 正确. 故选：ACD.12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD[0,1]13、已知a >0,b >0，且a +2b =1，则（ ） A ．ab 的最大值为19B ．1a +2b 的最小值为9C ．a 2+b 2的最小值为15D ．(a +1)(b +1)的最大值为2答案：BC分析：对A ，直接运用均值不等式2√2ab ≤a +2b 即可判断； 对B ，1a +2b =(1a +2b)⋅(a +2b )=5+2b a+2a b，运用均值不等式即可判断；对C ，a 2+b 2=(1−2b )2+b 2，讨论二次函数最值即可；对D ，(a +1)(b +1)=2(a +b )(a +3b )=2[(a +2b )2−b 2]=2(1−b 2)，讨论最值即可. a >0,b >0，2√2ab ≤a +2b =1⇒ab ≤18，当a =2b 时，即a =12,b =14时，可取等号，A 错；1a+2b =(1a +2b )⋅(a +2b )=5+2b a+2a b≥5+2√2b a ⋅2a b=9，当2b a =2ab时，即a =b =13时，可取等号，B 对； a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15≥15，当a =15,b =25时，可取等号，C 对；(a +1)(b +1)=2(a +b )(a +3b )=2(a 2+4ab +3b 2)=2[(a +2b )2−b 2]=2(1−b 2)<2，D 错. 故选：BC 填空题14、若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p =12(a +b +c )，则该三角形的面积S =√p (p −a )(p −b )(p −c )，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC 的周长为8，AB =2，则该三角形面积的最大值为___________. 答案：2√2分析：计算得到p =4，c =2，a +b =6，根据均值不等式得到ab ≤9，代入计算得到答案. p =12(a +b +c )=4，c =2，a +b =6，a +b =6≥2√ab ，ab ≤9，当a =b =3时等号成立.S =√p (p −a )(p −b )(p −c )=√8(4−a )(4−b )=√128−32(a +b )+8ab ≤2√2. 所以答案是：2√2.15、若关于x 的二次方程x 2+mx +4m 2−3=0的两个根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值为______ 答案：分析：先求出方程有两根时m 的范围，再由根与系数关系将x 1,x 2用m 表示，建立关于m 的方程，求解即可. 关于x 的二次方程x 2+mx +4m 2−3=0有两个根， 则Δ=m 2−4(4m 2−3)=−3(5m 2−4)≥0， ∴−2√55≤m ≤2√55,x 1+x 2=−m,x 1⋅x 2=4m 2−3，又∵x 1+x 2=x 1x 2,∴−m =4m 2−3，即4m 2+m −3=0， 解得m =34或m =−1（舍去），∴m 的值为.小提示：本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.16、若关于x 的不等式x 2−(m +2)x +2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为___________． 答案：(5，6]分析：不等式化为(x −m)(x −2)<0，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m 的范围. x 2−(m +2)x +2m <0可化为(x −m)(x −2)<0， 该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2<x <m}，且5<m ⩽6； 所以答案是：(5，6]． 解答题343417、求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2+2(m −1) x +2m +6=0. (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根α ， β，且满足0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根. 答案：(1)m <−1 (2)−75<m <−54(3)m ≤−1分析：设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定. （1）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有f (2)<0，即4+4(m −1)+2m +6<0，得m <−1． （2）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有{f (0)=2m +6>0f (1)=4m +5<0f (4)=10m +14>0，解得−75<m <−54．（3）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6． 方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得{Δ≥0f (0)>02(m−1)−2>0，即{m ≤−1或m ≥5m >−3m <1.∴−3<m ≤−1． ②有一个正根，一个负根，此时可得f (0)<0，得m <−3． ③有一个正根，另一根为0，此时可得{6+2m =02(m −1)<0，∴m =−3．综上所述，得m ≤−1．18、阅读材料：我们研究了函数的单调性､奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数y=x2和y=√x，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数y=x2的图象是向下凸的，在上任意取两个点M1,M2，函数y=x2的图象总是在线段M1M2的下方，此时函数y=x2称为下凸函数；函数y=√x的图象是向上凸的，在上任意取两个点M1,M2，函数y=√x的图象总是在线段M1M2的上方，则函数y=√x称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的下方.定义2：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数y=x3在(−∞,0]为上凸函数，在[0,+∞)上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度､全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：(1)请尝试列举一个下凸函数：___________；(2)求证：二次函数f(x)=−x2+bx+c是上凸函数；(3)已知函数f(x)=x|x−a|，若对任意x1,x2∈[2,3]，恒有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，尝试数形结合探究实数a的取值范围.答案：(1)y=1x，x∈(0,+∞)；(2)证明见解析；(3)a≥3.[0,1][0,1][0,1]分析：（1）根据下凸函数的定义举例即可；（2）利用上凸函数定义证明即可；（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.（1）y =1x ，x ∈(0,+∞)； （2）对于二次函数f(x)=−x 2+bx +c ，∀x 1,x 2∈R ，满足f (x 1+x 22)−f (x 1)+f (x 2)2=−(x 1+x 22)2+b ⋅x 1+x 22+c −−x 12+bx 1+c −x 22+bx 2+c 2=−x 12+x 22+2x 1x 24+x 12+x 222=(x 1−x 2)24≥0， 即f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，满足上凸函数定义，二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数.（3）由（2）知二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数，同理易得二次函数f(x)=x 2+bx +c 为下凸函数，对于函数f(x)=x |x −a |={x 2−ax,x >a −x 2+ax,x ≤a，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，若对任意x 1,x 2∈[2,3]，恒有f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，则函数f(x)=x|x −a|满足上凸函数定义，即[2,3]⊆(−∞,a]，即a ≥3.。
专题2：方程和不等式(组)常见题型和解题方法(终稿)
2017—2018学年度第二学期初三数学中考复习专题2：方程和不等式（组）常见题型和解题方法一、热点再练：1. 方程36x =的解为 .2. 关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有一个根为1，则a +b +c = . 3．方程0532=++px x 的一个根为5，另一个根为______、p =_______.4．如果关于x 的方程(m –2)x 2–2x +1=0有解，则m 的取值范围是_______.5．已知关于x 的方程a (1–x 2)+2bx +c (1+x 2)=0有两个相等的实数根且a 、b 、c 均为正数，以a 、b 、c 为边围成一个三角形，则该三角形是________三角形.6．方程)2()2(2-=-x x 的根是________.方程组⎩⎨⎧=+=-1435y x y x 的解为________. 7．若关于x 的一元一次不等式组0122x a x x ->⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是________. 8．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【 】A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩， C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩， D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， 9．下列方程中，两实数根之和是2的是【 】A ．x 2–2x +5=0B ．x 2+2x –5=0C ．x 2+2x +5=0D ．x 2–2x –5=010．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且10x <，2130x x -<，则 【 】A ．1,2m n >⎧⎨>⎩B ．1,2m n >⎧⎨<⎩C ．1,2m n <⎧⎨>⎩D ．1,2m n <⎧⎨<⎩11．已知直线y =2x －b 经过点（－2，0），则关于x 的不等式2x －b ≥0的解集为__________．12．设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m (m >0)的两根分别为α、β，且a <β，则a ，β满足 【 】A ．1<a <β<2B ．1<a <2<βC ．a <1<β<2D ．a <1且β>2（第9题）13．关于x 、y 的二元一次方程组5323x y x y p +=⎧⎨+=⎩的解是正整数，则整数p 的值为__________． 14．解分式方程225103x x x x-=+-．二、规律剖析例1. 解不等式组：331213(1)8x x x x-⎧+>+⎪⎨⎪---⎩，≤并在数轴上把解集表示出来．例2.已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，求k 的取值范围．例3. 已知关于x 的一元二次方程mx 2－（3m ＋1）x ＋2m ＋2＝0的两实根为x 1，x 2．（1）请用含m 的代数式表示x 1，x 2；（2）且n ＝x 2－x 1－1，求在直角坐标系xOy 中动点P （m ，n ）所形成的曲线解析式．三、变式训练1. 若关于x 的不等式组10,233544(1)3x x x a x a+⎧+>⎪⎨⎪++>++⎩恰有三个整数解，求实数a 的取值范围．2. 若关于x 的分式方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是 ．3．已知关于x 的一元二次方程2(41)330mx m x m -+++=的两个实数根分别为1x ，2x ，212n x x =--，设点A （1，a ），B （b ，2）两点在动点P （m ，n ）所形成的曲线上，求直线AB 的解析式．四、分层作业1．一元二次方程(2x －1)2＝(3－x )2的解是 ．2． 关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是【 】A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜23． 甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 张．4． 设α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝ ． 5. 下列关于x 的方程有实数根的是【 】A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝06．若关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0有两个相等的实数根，则m = ．7．下列一元二次方程两实数根和为－4的是【 】A ．x 2＋2x －4=0B ．x 2－4x ＋4=0C ．x 2＋4x ＋10=0D ．x 2＋4x －5=08．已知关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】A ．－2B ．0C ．1D ．29．若关于x 的一元一次不等式组10,0x x a -<⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1C ．a ≤－1D ．a ＜－1 10．关于x 的不等式x －b ＞0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ）A ．―3＜b ＜―2B ．―3＜b ≤―2C ．―3≤b ≤―2D ．―3≤b ＜―211．求不等式组364,213(1)x x x x --⎧⎨+>-⎩≥的解集，并写出它的整数解．12.已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．13. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？14. 关于x的一元二次方程ax2－3x＋1＝0的两个不相等的实数根都在0和1之间（不包括0和1），求a的取值范围．★15.已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，求整数a的值．★16.已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．。
专题(二) 方程、不等式的解法
(2)当 k＝1 时，原方程为 x2＋3x＋1＝0. ∵x1，x2 是该方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知 x1＋x2＝－3，x1x2＝1. ∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×1＝7.
3．解不等式：2x－1＞3x2－1，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得 4x－2＞3x－1. 解得 x＞1. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：
4．解不等式组：25xx－≥－1>9－3（x，x＋1），并把它的解集在数轴上表示出来． 解：解不等式 2x≥－9－x，得 x≥－3. 解不等式 5x－1＞3(x＋1)，得 x＞2. 则不等式组的解集为 x＞2. 将解集表示在数轴上如下：
8．已知关于 x 的方程(x－3)(x－2)－p2＝0. (1)求证：无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根分别为 x1，x2，且满足 x21＋x22＝3x1x2，求实数 p 的值．解：(1)证明：∵(x－3)(x－2)－p2＝0，
∴x2－5x＋6－p2＝0. ∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2. ∵无论 p 取何值时，总有 4p2≥0， ∴1＋4p2＞0. ∴无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
2x＋y＝4，① (3)x－y＝－1；② 解：①＋②，得 2x＋y＋x－y＝4－1.解得 x＝1. 把 x＝1 代入①，得 2＋y＝4.解得 y＝2. ∴原方程组的解是xy＝ ＝12，.
2020年中考数学真题分类汇编(四川省)专题：方程与不等式(学生版)
专题02 方程与不等式一、选择题1．（2019四川南充）关于x 的一元一次方程2x a ﹣2+m ＝4的解为x ＝1，则a +m 的值为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．42．（2019四川巴中）已知关于x 、y 的二元一次方程组434ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是22x y =⎧⎨=-⎩，则a +b的值是（ ） A ．1B ．2C ．﹣1D ．03．（2019四川成都）分式方程5211x x x-+=-的解为（ ） A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝﹣24．（2019四川遂宁）已知关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +a 2﹣1＝0有一个根为x ＝ 0，则a 的值为（ ） A ．0B ．±1C ．1D ．﹣15．（2019四川宜宾）一元二次方程x 2﹣2x +b ＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2为（ ） A ．﹣2B ．bC ．2D ．﹣b6．（2019四川自贡）关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0无实数根，则实数m 的取值范围 是（ ） A ．m ＜1B ．m ≥1C ．m ≤1D ．m ＞17．（2019四川广安）若m ＞n ，下列不等式不一定成立的是（ ） A ．m +3＞n +3B ．﹣3m ＜﹣3nC ．33m n> D ．m 2＞n 28.（2019四川乐山）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--+<-04152362x x x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D. 9．（2019四川凉山州）不等式1﹣x ≥x ﹣1的解集是（ ） A ．x ≥1B ．x ≥﹣1C ．x ≤1D ．x ≤﹣110．（2019四川南充）关于x 的不等式2x +a ≤1只有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ） A ．﹣5＜a ＜﹣3B ．﹣5≤a ＜﹣3C ．﹣5＜a ≤﹣3D ．﹣5≤a ≤﹣311.（2019四川绵阳）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ） A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种12．（2019四川达州）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x ．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A ．2500（1+x ）2＝9100B ．2500（1+x %）2＝9100C ．2500（1+x ）+2500（1+x ）2＝9100D ．2500+2500（1+x ）+2500（1+x ）2＝910013.（2019四川乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。
专题02 方程、不等式中的含参问题-玩转压轴题,争取满分之备战中考数学选填题高端精品(解析版)
专题二方程、不等式中的含参问题【考法综述】1.一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.2.一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.3．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．4.不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围.已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.学+科网【典例剖析】考点一、一次方程组的含参问题例1方程组的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞C．m＞D．m＞【答案】﹣．【解析】试题分析：解此题时可以运用代入消元法，解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后根据x＞y解出m的取值范围．试题解析：由①得x=，代入②得，8×﹣3y=m，y=．∵x＞y，即＞，解得m＞．故选D．【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，先解出x，y关于m的式子，再根据x＞y，求出m 的范围即可．&变式训练&变式1.1已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=．【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．变式1.2已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为．【解析】试题分析：解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．试题解析：由题意可得，解得a=﹣3，b=7﹣，c=，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣．﹣．所以m最小值=故本题答案为：﹣．变式1.3已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）=8x+10对一切实数x都成立，则A=，B=．【答案】，﹣．【解析】【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于A、B的二元一次方程组；体现了转化思想的应用．学科+网考点二、一元二次方程的含参问题例2关于x的方程x2+mx﹣9=0和x2﹣3x+m2+6m=0有公共根，则m的值为．【答案】﹣3，0，﹣4.5．【解析】试题分析：设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α．再根据两根之积的表达式，可知α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，然后对两式整理，用α表示m，再代入其中一个方程消掉α，求解即可得到m的值．试题解析：设这个公共根为α．则方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α，由根与系数的关系有：α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，整理得，α2+mα=9①，α2﹣3α+m2+6m=0②，②﹣①得，m2+6m﹣3α﹣mα=﹣9，即（m+3）2﹣α（m+3）=0，（m+3）（m+3﹣α）=0，所以m+3=0或m+3﹣α=0，解得m=﹣3或α=m+3，把α=m+3代入①得，（m+3）2+m（m+3）=9，m2+6m+9+m2+3m=9，m（2m+9）=0，所以m=0或2m+9=0，解得m=0或m=﹣4.5，综上所述，m的值为﹣3，0，﹣4.5．故答案为：﹣3，0，﹣4.5．【点评】本题主要考查了公共根的定义，一元二次方程根与系数的关系及由两个二元二次方程组成的方程组的解法．高次方程组的解法在初中教材中不要求掌握，属于竞赛题型，本题有一定难度．&变式训练&变式2.1已知a是一元二次方程x2﹣2008x+1=0的一个根，则代数式的值是．【答案】2007【解析】试题分析：将一个根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，故有a2﹣2007a=a﹣1，和a2+1=2008a；代入要求的代数式，整理化简即可．试题解析：由题意，把根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，∴a2﹣2007a﹣a+1=0，a2+1=2008a；∴a2﹣2007a=a﹣1，∴=a﹣1+=a+﹣1=﹣1=﹣1=2008﹣1，=2007．【点评】本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断；将代数式与已知条件联系起来，从两头朝中间寻找关系．变式2.2已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（2k﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为．【答案】k＜且k≠±1【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．变式2.3已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1B．2C．22D．30【答案】D【解析】试题分析：根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．试题解析：方法一：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，α3+8β+6，=（1+）3+8（1﹣）+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②当α=1﹣，β=1+时，α3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．方法二：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，∴α2=2α+4∴α3+8β+6=α•α2+8β+6=α•（2α+4）+8β+6=2α2+4α+8β+6=2（2α+4）+4α+8β+6=8α+8β+14=8（α+β）+14=30，故选D．变式2.4对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若b=2，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2﹣4ac=（2ax0+b）2，其中正确的（）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④【答案】B【解析】试题分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．试题解析：①若b=2，方程两边平方得b2=4ac，即b2﹣4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac=0中根的判别式也是b2﹣4ac=0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，当c≠0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x0=，把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac=（2ax0+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选B【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2﹣4ac=（2ax0+b）2．考点三、分式方程的含参问题例3．已知方程的两根分别为a，，则方程=a+的根是（）A．a，B．，a﹣1C．，a﹣1D．a，【答案】D【解析】试题分析：首先观察已知方程的特点，然后把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．【点评】观察出已知方程的特点是解答本题的前提，把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式是解答本题的关键．&变式训练&变式3.1若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是．【答案】b≤3且b≠2【解析】试题分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．试题解析：去分母得，2x﹣b=3x﹣3∴x=3﹣b∵x≥0∴3﹣b≥0解得，b≤3又∵x﹣1≠0∴x≠1即3﹣b≠1，b≠2则b的取值范围是b≤3且b≠2．【点评】由于我们的目的是求b的取值范围，根据方程的解列出关于b的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视．变式3.2观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程（n为正整数）的根，你的答案是：．【答案】x=n+3或x=n+4．【解析】试题分析：首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，然后将x+=2n+4化为（x﹣3）+=n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．试题解析：∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，由②得，方程的根为：x=2或x=3，由③得，方程的根为：x=3或x=4，∴方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，∴x+=2n+4可化为（x﹣3）+=n+（n+1），∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1，即x=n+3或x=n+4．故答案为：x=n+3或x=n+4．【点评】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b是解此题的关键．变式3.3已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为．【答案】﹣2，0或4【解析】试题分析：首先解此分式方程，即可求得x==﹣2﹣，由方程只有整数解，可得1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验．试题解析：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），得：2（x+2）﹣（a+1）（x﹣1）=3a，解得：x==﹣2﹣，∵方程只有整数解，∴1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，当1﹣a=3，即a=﹣2时，x=﹣2﹣1=﹣3，检验，将x=﹣3代入（x﹣1）（x+2）=4≠0，故x=﹣3是原分式方程的解；当1﹣a=1，即a=0时，x=﹣2﹣3=﹣5，检验，将x=﹣5代入（x﹣1）（x+2）=18≠0，故x=﹣7是原分式方程的解；当1﹣a=﹣3，即a=4时，x=﹣2+1=﹣1，检验，将x=﹣1代入（x﹣1）（x+2）=﹣2≠0，故x=﹣1是原分式方程的解；当1﹣a=﹣1，即a=2时，x=1，检验，将x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，故x=1不是原分式方程的解；∴整数a的值为：﹣2，0或4．学*科网故答案为：﹣2，0或4．【点评】此题考查了分式方程的解知识．此题难度较大，注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．考点四、不等式（组）的含参问题例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]=3，[2]=2，[﹣2.1]=﹣3．则下列结论：①[﹣x]=﹣[x]；②若[x]=n，则x的取值范围是n≤x＜n+1；③当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2；④x=﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5=0的唯一一个解．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．【答案】②③．【解析】试题分析：①举出反例即可求解；②根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；③分两种情况：﹣1＜x＜0；x=0；0＜x＜1；进行讨论即可求解；④首先确定x﹣[x]的范围为0～1，依此可得﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，再找到满足条件的x值即为所求．④x﹣[x]的范围为0～1，4x﹣2[x]+5=0，﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，x=﹣2.75或x=﹣3.25都是方程4x﹣2[x]+5=0，故原来的说法错误．故答案为：②③．【点评】本题考查了不等式的应用，正确理解[x]表示不超过x的最大整数是关键．&变式训练&变式4.1如果关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，那么关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是．【答案】x≥﹣．【解析】试题分析：先根据关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，得出b=﹣3a以及a的取值范围，进而得到b﹣a=﹣4a＜0，再根据b=﹣3a，即可得到关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集．试题解析：∵关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，∴x＜，∴=，且a+b＜0，即b=﹣3a，a+b＜0，∴a﹣3a＜0，即a＞0，∴b﹣a=﹣4a＜0，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥，∵==﹣，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥﹣，故答案为：x≥﹣．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式的应用，解题时注意：根据不等式的基本性质，在去分母和化系数为1时可能需要改变不等号方向．变式4.2若不等式组无解，则m的取值范围是．【答案】m＜【解析】试题分析：先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找不到的情况，由此即可求出答案．试题解析：解不等式组可得，因为不等式组无解，所以m＜．【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解．变式4.3按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是．【答案】131或26或5或【解析】试题分析：利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【点评】此题考查了方程与不等式的应用．注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．变式4.4若关于x的不等式组解集为x＜2，则a的取值范围是．【答案】a≥2【解析】试题分析：求出不等式组的解集，与已知解集x＜2比较，可以求出a的取值范围．试题解析：由＞+1，得2x+8＞3x+6，解得x＜2，由x﹣a＜0，得x＜a，又因关于x的不等式组解集为x＜2，所以a≥2．【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．【实战演练】1.（2017重庆A 卷第12题）若数a 使关于x 的分式方程2411y a x x++=--的解为正数，且使关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B.【解析】试题解析：分式方程2411y a x x ++=--的解为x=6-4a ，∵关于x 的分式方程+=4的解为正数，∴6-4a ＞0，∴a＜6．y 123)02(2①y ②y a ⎧+>≤--⎪⎨⎪⎩，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6．∵a 为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5=12．故选B．学*科网考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式组.2.（2017甘肃兰州第6题）如果一元二次方程2230x x m ++=有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值A.98m >B.89m >C.98m =D.89m =【答案】98m =考点：根的判别式．3.（2017山东烟台第10题）若21,x x 是方程01222=--+-m m mx x 的两个根，且21211x x x x -=+，则m 的值为（）A．1-或2B．1或2- C.2-D．1【答案】D．【解析】试题解析：∵x 1，x 2是方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=2m，x 1•x 2=m 2﹣m﹣1．∵x 1+x 2=1﹣x 1x 2，∴2m=1﹣（m 2﹣m﹣1），即m 2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，解得：m 1=﹣2，m 2=1．∵方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m 2﹣m﹣1）=4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m=1．故选D．考点：根与系数的关系．4.(2017江苏宿迁第5题)已知45m <<，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有A ．1个B．2个 C.3个D．4个5.(2017浙江金华第9题)若关于x 的一元一次不等式组()2132,x x x m->-⎧⎪⎨<⎪⎩的解是5x <，则m 的取值范围是（）A．5m ≥B．5m > C.5m ≤D．5m <【答案】A.【解析】试题分析：解第一个不等式得：x ＜5；解第二个不等式得：x ＜m ；因为不等式组的解是x ＜5，根据不等式组解集的判定方法即可得m ≥5，故选A.6.（2017甘肃庆阳第15题）若关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是【答案】k≤5且k≠1.考点：根的判别式．7.（2017山东烟台第15题）运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否18<”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是.【答案】x＜8．【解析】试题解析：依题意得：3x﹣6＜18，解得x＜8．考点：一元一次不等式的应用．考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式9.（2017四川宜宾第13题）若关于x、y的二元一次方程组2m133x yx y⎧-=+⎨+=⎩的解满足x+y＞0，则m的取值范围是．【答案】m＞﹣2．考点：1.解一元一次不等式；2.二元一次方程组的解.10.(2017四川泸州第15题)关于x的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数，则实数m的取值范围是．【答案】m<6且m≠2.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2可得，x+m-2m=3（x-2），解得x=62m--，因方程的解为正实数，且x-2≠0，所以62m-->0且m≠2，即m<6且m≠2.11.(2017江苏宿迁第14题)若关于x的分式方程1322m xx x-=---有增根，则实数m的值是．【答案】1.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2，可得m=x-1-3（x-2），解得m=-2x+5，因分式方程1322m xx x-=---有增根，可得x=2，所以m=1.12.(2017山东菏泽第10题)关于的一元二次方程的一个根式，则的值是_______.【答案】0.【解析】试题分析：把x=0代入，得，解得k=1(舍去)，或k=0;。
中考数学复习：第二章：方程与不等式专题复习
分式方程及其应用
•中考预知 •1、分式方程的解法； •2、分式方程实际的应用。
考点1：分式方程的解法
• 1．分式方程:分母中含有字母的方程叫分式方程. • 2．解分式方程的一般步骤： • （1）去分母，在方程的两边都乘以分母的最小公倍数，约去分母，
化成整式方程；
• （2）解这个整式方程； • （3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使
一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
典例精讲
• 1、下列方程是一元二次方程的是（ ）
• A．ax2 bx c 0
• B．x2 2x x2 1
• C．x 1x 3 0
• D． 1 x 2 x2
• 2、分别用下列方法解方程
• （1）(2x 1) 2 9（直接开平方法）
（2）4x2–8x+1=0（配方法）
2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0，不可能都有两个相等的实数根．
• 七、判定三角形的形状 • 例7 设a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程c（x2＋n）＋b（x2－n）
－2ax＝0(n>0)有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
• 八、讨论方程有理根的问题 • 例8 m为有理数，讨论后为何值时，方程x2＋4(1－m)x＋3m2－2m＋4k＝0
典例精讲
• 1、已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的 是（ ）
• A．a＋c＞b＋c
B．c－a＜c－b
• C．
D．a2＞ab＞b2
• 2、若a＞b，则下列不等关系一定成立的是（ ）
• A. ac bc
B. a b cc
C. c a c b D. a c b c
知识点梳理 专题02 一元二次函数
专题02 一元二次函数、方程与不等式知识1 等式性质与不等式性质 1、作差法比较大小0a b a b >⇔->；0a b a b <⇔-<；0a b a b =⇔-=. 2、不等式的基本性质 （1）（对称性）a b b a >⇔> （2）（传递性）,a b b c a c >>⇒> （3）（可加性）a b a c b c >⇔+>+（4）（可乘性）,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒< （5）（同向可加性）,a b c d a c b d >>⇒+>+ （6）（正数同向可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （7）（正数乘方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 知识点2 基本不等式1、重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式： ()2222()()a b a b a b R +≥+∈， 2、基本不等式：2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式：a b +≥； 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要满足条件:“一正.二定.三相等”. 知识点3 二次函数与一元二次方程.不等式1、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.有两个相等的实2、解一元二次不等式的步骤第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集. 3、含参数的一元二次不等式讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知a,b 为正实数且a +b =2，则ba +2b 的最小值为（ ） A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2， 所以b =2−a ， 所以，ba +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立； 所以ba +2b =2−a a+2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D2、已知正数x ，y 满足2x+3y+13x+y=1，则x +y 的最小值（ ）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解. 令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1， 即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )， ∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34， 当且仅当m4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立， 故选：A.3、已知关于x 的不等式(2a +3m )x 2−(b −3m )x −1>0(a >0,b >0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（）A．2a+b=1B．ab的最大值为18C．1a +2b的最小值为4D．1a+1b的最小值为3+2√2答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)，可得2a+3m>0，且方程(2a+3m)x2−(b−3m)x−1=0的两根为−1和12，所以{−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥2√2ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a +2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba⋅4ab=4+4=8，当且仅当ba =4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a +1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+√2，当且仅当ba =2ab时，即b=√2a时，等号成立，所以1a +1b的最小值为3+2√2，所以D正确．故选：C．4、已知a=√2，b=√7−√3，c=√6−√2，则a，b，c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a答案：B分析：通过作差法，a−b=√2+√3−√7，确定符号，排除D选项；通过作差法，a−c=2√2−√6，确定符号，排除C选项；通过作差法，b−c=(√7+√2)−(√6+√3)，确定符号，排除A选项；由a−b=√2+√3−√7，且(√2+√3)2=5+2√6>7，故a>b；由a−c=2√2−√6且(2√2)2=8>6，故a>c；b−c=(√7+√2)−(√6+√3)且(√6+√3)2=9+2√18>9+2√14=(√7+√2)2，故c>b.所以a>c>b，故选：B.5、要使关于x的方程x2+(a2−1)x+a−2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是（）A．{a|−1<a<2}B．{a|−2<a<1}C．{a|a<−2}D．{a|a>1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围.由题意可得1+(a2−1)+a−2=a2+a−2<0，解得−2<a<1.故选：B.6、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.7、若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是（）A．ba >b+1a+1B．a+1a>b+1bC．a+1b>b+1aD．2a+ba+2b>ab答案：C分析：根据不等式的性质，对选项逐一判断对于A，ba −b+1a+1=b−aa(a+1)，因为a>b>0，故ba−b+1a+1=b−aa(a+1)<0，即ba<b+1a+1，故A错；对于B，a+1a −(b+1b)=(a−b)(1−1ab)不确定符号，取a=1,b=12则a+1a<b+1b，故B错误；对于C，a+1b −(b+1a)=(a−b)(1+1ab)，因为a>b>0，故a+1b −(b+1a)=(a−b)(1+1ab)>0，即a+1b>b+1a，故C正确；对于D，2a+ba+2b −ab=(b+a)(b−a)(a+2b)b，因为a>b>0，故2a+ba+2b −ab=(b+a)(b−a)(a+2b)b<0，即2a+ba+2b<ab，故D错误．故选：C8、设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（）A．2a >2bB．ac<bc C．|a|>－b D．√−a>√−b答案：B分析：利用不等式的性质对四个选项一一验证：对于A，利用不等式的可乘性进行证明；对于B，利用不等式的可乘性进行判断；对于C，直接证明；对于D，由开方性质进行证明.对于A，因为a<b<0，所以2ab >0，对a<b同乘以2ab，则有2a>2b，故A成立；对于B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；对于D，由－a>－b>0，可得√−a>√−b，则选项D成立.故选：B多选题9、若a>1，b<2，则（）A．a−b>−1B．(a−1)(b−2)<0C ．a +1a−1的最小值为2D ．12−b≥b答案：ABD分析：利用不等式的性质可判断ABD 选项；利用基本不等式可判断C 选项. 因为b <2，所以−b >−2，又a >1，所以a −b >−1，A 正确；因为a >1，b <2，则a −1>0，b −2<0，所以(a −1)(b −2)<0，B 正确； 因为a >1，所以a −1>0，所以a +1a−1=a −1+1a−1+1≥2√(a −1)⋅1a−1+1=3， 当且仅当a =2时，等号成立，C 不正确；因为b <2，则b (b −2)+1=(b −1)2≥0，所以，b (2−b )≤1， 因为2−b >0，所以12−b≥b ，D 正确.故选：ABD.10、已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <2}，则下列结论正确的是（ ） A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a +b +c >0 答案：BCD分析：对A ，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B ，C ，利用韦达定理即可判断；对D ，根据韦达定理以及b >0，即可求解.解：对A ，∵不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <2}， 故相应的二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下， 即a <0，故A 错误；对B ，C ，由题意知： 2和−12是关于x 的方程ax 2+bx +c =0的两个根， 则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba =2+(−12)=32>0， 又∵a <0，故b >0,c >0，故B ，C 正确； 对D ，∵c a =−1， ∴a +c =0， 又∵b >0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.11、《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB上取一点C，使得AC=a,BC=b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径，O为圆心的半圆周于点D，连接.下面不能由OD≥CD直接证明的不等式为（）A．√ab≤a+b2(a>0，b>0)B．√ab≥2aba+b(a>0，b>0)C．a2+b2≥2ab(a>0，b>0)D．a+b2≤a2+b22(a>0，b>0)答案：BCD解析：由AC=a,BC=b，得到OD=12(a+b)，然后利用射影定理得到CD2=ab判断. 因为AC=a,BC=b，所以OD=12(a+b),因为∠ADB=90∘，所以由射影定理得CD2=ab，因为OD≥CD，所以√ab≤a+b2，当且仅当a=b时取等号，故选：BCD12、若1≤x≤3≤y≤5，则（）A．4≤x+y≤8B．x+y+1x +16y的最小值为10C．−2≤x−y≤0D．(x+1y )(y+4x)的最小值为9OD答案：AB分析：根据不等式的基本性质和基本不等式进行求解判断即可.因为1≤x ≤3≤y ≤5，所以4≤x +y ≤8，−4≤x −y ≤0，故A 正确，C 错误； 因为x +y +1x +16y=x +1x +y +16y≥2√x ⋅1x +2√y ⋅16y=10，当且仅当x =1，y =4时，等号成立，所以x +y +1x +16y的最小值为10，因此B 正确；因为(x +1y )(y +4x )=xy +4xy +5≥2√4+5=9，当且仅当xy =2时，等号成立，但1≤x ≤3≤y ≤5，xy 取不到2，所以(x +1y )(y +4x )的最小值不是9，因此D 不正确， 故选：AB13、若a <b <0，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a−b <1a B ．1|a |>1|b |C ．(a +1b )2>(b +1a )2D ．(a +1a )2>(b +1b )2答案：AC分析：根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可. 对于A 选项, 由于a <b <0,故a −b <0,所以1a−b −1a =a−(a−b )a (a−b )=b a (a−b )<0, 即1a−b <1a ,故A 选项正确; 对于B 选项, 由于a <b <0,故a −b <0, 1|a|−1|b|=|b |−|a ||a ||b |=a−b |a ||b |<0,故1|a|<1|b |,故B 选项错误;对于C 选项, 因为a <b <0,故0>1a >1b ,所以0>b +1a >a +1b ,所以(a +1b )2>(b +1a )2,故C 选项正确; 对于D 选项,令a =−2,b =−12,则a +1a =b +1b =−52,所以(a +1a )2>(b +1b )2不成立,故D 选项错误;故选:AC小提示：本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断. 填空题14、不等式ax 2+x +1>0的解集为(m,1)，则m =__________． 答案：−12##−0.5分析：利用一元二次方程根与系数的关系可求得m 的值.由已知，关于x 的二次方程ax 2+x +1=0的两根分别为m 、1，且a <0， 所以，{a +2=01⋅m =1a，解得{a =−2m =−12.所以答案是：−12.15、函数y =2√x 2+1的最小值是___________.答案：4分析：根据基本不等式可求出结果. 令t =√x 2+1≥1，则y =2√x 2+1=t +4t≥4，当且仅当t =2，即x =±√3时，y min =4.所以函数y =2√x 2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16、已知a >0,b >0，且ab =1，则12a+12b+8a+b的最小值为_________．答案：4分析：根据已知条件，将所求的式子化为a+b 2+8a+b ，利用基本不等式即可求解. ∵a >0,b >0,∴a +b >0，ab =1,∴12a+12b +8a+b=ab 2a+ab 2b+8a+b=a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4，当且仅当a +b =4时取等号，结合ab =1,解得a =2−√3,b =2+√3，或a =2+√3,b =2−√3时，等号成立. 所以答案是：4小提示：本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 解答题17、如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为20m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 答案：(1)长为92m ，宽为185m(2)长为5m ，宽为4m分析：（1）设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则每间老虎笼的面积为S =xy ，可得出4x +5y =36，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则xy =20，利用基本不等式可求得钢筋网总长4x +5y 的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论. （1）解：设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则每间老虎笼的面积为S =xy ， 由已知可得4x +5y =36，由基本不等式可得S =xy =120⋅4x ⋅5y ≤120×(4x+5y 2)2=815(m 2)，当且仅当{4x =5y4x +5y =36，即当{x =92y =185时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为92m ，宽为185m 时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则xy =20， 钢筋网总长为4x +5y ≥2√20xy =40(m )，当且仅当{4x =5y xy =20，即当{x =5y =4时，等号成立，因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 18、实数a 、b 满足−3≤a +b ≤2，−1≤a −b ≤4. (1)求实数a 、b 的取值范围； (2)求3a −2b 的取值范围． 答案：(1)a ∈[−2,3]，b ∈[−72,32](2)[−4,11]分析：（1）由a =12[(a +b )+(a −b )]，b =12[(a +b )−(a −b )]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a −2b =12(a +b)+52(a −b)，再利用不等式的性质得解. （1）解：由−3≤a +b ≤2，−1≤a −b ≤4，则a =12[(a +b )+(a −b )]，所以−4≤(a +b )+(a −b )≤6，所以−2≤12[(a +b )+(a −b )]≤3，即−2≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[−2,3]． 因为b =12[(a +b )−(a −b )]， 由−1≤a −b ≤4，所以−4≤b −a ≤1，所以−7≤(a +b )−(a −b )≤3， 所以−72≤12[(a +b )−(a −b )]≤32， ∴−72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[−72,32]．（2）解：设3a −2b =m (a +b )+n (a −b )=(m +n )a +(m −n )b ， 则{m +n =3m −n =−2，解得{m =12n =52，∴3a−2b=12(a+b)+52(a−b)，∵−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4．∴−32≤12(a+b)≤1，−52≤52(a−b)≤10，∴−4≤3a−2b≤11，即3a−2b的取值范围为[−4,11]．。
2023年上海市16区数学中考二模专题汇编2 方程与不等式(39题)含详解
专题02方程与不等式（39题）一．选择题（共4小题）1．（2023•浦东新区二模）一元二次方程的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根2．（2023•静安区二模）某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为x元，那么下列方程正确的是（）A．B．C．D．．3．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣bx+1＝0（b为常数）D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）4．（2023•松江区二模）下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+1＝0C．+1＝0D．二．填空题（共22小题）5．（2023•徐汇区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．6．（2023•静安区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，那么c的取值范围为．7．（2023•金山区二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于．8．（2023•崇明区二模）不等式组的解集是．9．（2023•金山区二模）不等式组的解集是．10．（2023•闵行区二模）已知关于x的方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为．11．（2023•嘉定区二模）如果方程，那么x＝．12．（2023•松江区二模）不等式组的解集是．13．（2023•黄浦区二模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0无实数根，那么k的取值范围是．14．（2023•金山区二模）方程的解是．15．（2023•闵行区二模）方程＝x的根是．16．（2023•杨浦区二模）方程的解是．17．（2023•静安区二模）方程＝x的解是．18．（2023•浦东新区二模）方程的根是x＝．19．（2023•崇明区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是．20．（2023•徐汇区二模）方程组的解是．21．（2023•宝山区二模）如果关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，那么k＝．22．（2023•浦东新区二模）不等式组的解集是．23．（2023•虹口区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是．24．（2023•静安区二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有人．25．（2023•虹口区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．26．（2023•闵行区二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为．三．解答题（共13小题）27．（2023•嘉定区二模）解方程组：．28．（2023•闵行区二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．29．（2023•松江区二模）解方程组：．30．（2023•浦东新区二模）解方程：﹣＝131．（2023•金山区二模）解方程组：．32．（2023•徐汇区二模）求不等式组的整数解．33．（2023•宝山区二模）解方程组：．34．（2023•黄浦区二模）解方程组：．35．（2023•杨浦区二模）解不等式组并求出它的正整数解．36．（2023•崇明区二模）解方程组：．37．（2023•虹口区二模）某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图中线段AB所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？38．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？39．（2023•嘉定区二模）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；（2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．专题02方程与不等式（39题）一．选择题（共4小题）1．（2023•浦东新区二模）一元二次方程的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】先计算Δ＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（﹣1），得到Δ＞0，然后根据△的意义进行判断即可．【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（﹣1）＝12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．2．（2023•静安区二模）某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为x元，那么下列方程正确的是（）A．B．C．D．．【分析】根据每行驶1千米纯燃油费用与纯用电费用间的关系，可得出每行驶1千米纯燃油的费用为（x+0.6）元，利用行驶路程＝总费用÷每行驶1千米所需费用，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元，且每行驶1千米纯用电的费用为x元，∴每行驶1千米纯燃油的费用为（x+0.6）元．根据题意得：＝．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣bx+1＝0（b为常数）D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）【分析】先计算4个方程的根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况，从而可对各选项进行判断．【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以A选项不符合题意；B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，当b＝0时，Δ＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0时，则方程有两个不相等的实数解，所以CD项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．（2023•松江区二模）下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+1＝0C．+1＝0D．【分析】利用根的判别式判断A、B，利用二次根式的性质判断C，利用解分式方程判断D．【解答】解：方程x2+2x+1＝0的根的判别式Δ＝3＞0，故选项A中方程有实数根；方程x2+x+1＝0的根的判别式Δ＝﹣3＜0，故选项B中方程无实数根；∵≥0，∴选项C中方程无实数根；方程＝无解，故选项D中方程无实数根；故选：A．【点评】本题主要考查了无理方程、分式方程、一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、无理方程及分式方程的解法是解决本题的关键．二．填空题（共22小题）5．（2023•徐汇区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＞﹣1．【分析】根据“关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．【解答】解：根据题意得：Δ＝4+4m＞0，解得：m＞﹣1，故答案为：m＞﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．6．（2023•静安区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，那么c的取值范围为c ＜．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4c＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4c＞0，解得c＜，即c的取值范围为c＜．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．7．（2023•金山区二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于．【分析】根据根的判别式的意义得到32﹣4m＝0，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4m＝0，解得m＝．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（2023•崇明区二模）不等式组的解集是1≤x＜3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由x﹣1≥0得：x≥1，由2x﹣3＜x得：x＜3，则不等式组的解集为1≤x＜3，故答案为：1≤x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（2023•金山区二模）不等式组的解集是﹣2≤x＜1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由3x﹣2＜x得：x＜1，由≤x+1得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，故答案为：﹣2≤x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．（2023•闵行区二模）已知关于x的方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为4．【分析】由题意得，Δ＝42﹣4m＝0，计算求解即可．【解答】解：由题意得，Δ＝42﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0．11．（2023•嘉定区二模）如果方程，那么x＝2．【分析】先移项得到＝1+x，再把方程两边平方得到x+7＝（1+x）2，接着解一元二次方程，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：﹣x＝1，移项，得＝1+x，两边平方，得x+7＝（1+x）2，整理得x2+x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝﹣3，检验：当x＝2时，方程左边＝﹣2＝1＝右边，则x＝2为原方程的解；当x＝﹣3时，方程左边＝﹣（﹣3）＝5≠右边，则x＝﹣3不是原方程的解；所以原方程的解为x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，应注意验根．12．（2023•松江区二模）不等式组的解集是﹣3＜x＜2．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＜2，则不等式组的解集为：﹣3＜x＜2．故答案为：﹣3＜x＜2．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．13．（2023•黄浦区二模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0无实数根，那么k的取值范围是k＞．【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k＝0无实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＜0，即（﹣3）2﹣4×1×k＜0，解得k＞．故答案为：k＞．【点评】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程根与判别式Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．14．（2023•金山区二模）方程的解是﹣1．【分析】先把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入公分母进行检验即可．【解答】解：原方程可化为：﹣＝0，去分母得，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当x＝1时，x﹣1＝0，故x＝1是原分式方程的增根，当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2，故x＝﹣1是原分式方程的根．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是解分式方程，解答此类题目时要先把分式方程化为整式方程，在解得未知数的值时一定要验根．15．（2023•闵行区二模）方程＝x的根是x＝2．【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．【解答】解：方程两边平方得，x+2＝x2，解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x2＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝2．故答案为：x＝2．【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．16．（2023•杨浦区二模）方程的解是x＝0．【分析】把方程两边平方去根号后求解．【解答】解：两边平方得：x＝x2，解方程的：x1＝0，x2＝1，检验：当x1＝0时，方程的左边＝右边＝0，∴x＝0为原方程的根当x2＝1时，原方程不成立，故舍去．故答案为：x＝0．【点评】本题主要考查解无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．注意，最后把解得的x的值代入原方程进行检验．17．（2023•静安区二模）方程＝x的解是x＝1．【分析】本题要先平方化简后才能求出x的值．【解答】解：＝x，两边都平方得x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，∴x＝1．【点评】本题要先平方化简后，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．才能求出x的值．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．18．（2023•浦东新区二模）方程的根是x＝11．【分析】先把方程两边平方得到一元一次方程，再解一元一次方程，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：＝3，两边平方，得x﹣2＝9，解得x＝11，检验：当x＝11时，左边＝＝3＝右边，则x＝11是原方程的解，所以原方程的解为x＝11．故答案为：11．【点评】本题考查了无理方程：解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，应注意验根．19．（2023•崇明区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是m≥﹣1．【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）≥0，解得m≥﹣1，即m的取值范围是m≥﹣1．故答案为：m≥﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．20．（2023•徐汇区二模）方程组的解是，．【分析】由①得出（x﹣y）（x﹣2y）＝0，求出x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，由③和②组成两个二元一次方程组，求出两方程组的解即可．【解答】解：，由①得：（x﹣y）（x﹣2y）＝0，x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，由③和②组成两个二元一次方程组：，，解得：，，所以原方程组的解是，．故答案为：，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．21．（2023•宝山区二模）如果关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，那么k＝﹣1．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣k）＝0，解得：k＝﹣1，∴k的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．22．（2023•浦东新区二模）不等式组的解集是x＞4．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x＞6，得：x＞3，解不等式x﹣2＞2，得：x＞4，则不等式组的解集为x＞4，故答案为：x＞4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．23．（2023•虹口区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤4．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：Δ＝16﹣4k≥0，解得：k≤4．故答案为：k≤4．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．24．（2023•静安区二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有25人．【分析】设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意得：，解得：，即大和尚有25人，故答案为：25．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．25．（2023•虹口区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．【分析】根据题意可知：x株需要6210文，（x﹣1）株的运费＝一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．【解答】解：设这批椽的数量为x株，由题意可得：，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．26．（2023•闵行区二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为．【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，根据“拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设清酒x斗，醑酒y斗，依题意得：，故答案为：．【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组、数字常识等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．三．解答题（共13小题）27．（2023•嘉定区二模）解方程组：．【分析】先用完全平方公式把方程②左边因式分解，得（x﹣y）2＝4，从而推得x﹣y＝±2，再分类讨论，即可求解．【解答】解：由②得（x﹣y）2＝4，∴x﹣y＝±2，当x﹣y＝2时，得x＝2+y④，把④代入①得2+y﹣3y＝5，∴﹣2y＝3，∴y＝﹣，把y＝﹣代入④得x＝2﹣＝，∴是原方程组的一个解，当x﹣y＝﹣2时．得x＝y﹣2⑤，把⑤代入①得（y﹣2）﹣3y＝5，∴﹣2y＝7，∴y＝，把y＝代入⑤得x＝﹣2＝∴是原方程组的一个解，所以原方程组的解为：，．【点评】本题考查了二次二元方程组，关键是将二元二次方程组转化为二元一次方程组．28．（2023•闵行区二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别解两个不等式得到x≥﹣3和x＜1，则利用大小小大中间找确定不等式组的解集为﹣3≤x＜1，然后利用数轴表示其解集．【解答】解：，解①得x≥﹣3，解②得x＜1，所以不等式组的解集为﹣3≤x＜1，用数轴表示为：【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．29．（2023•松江区二模）解方程组：．【分析】先变形②得出x+y＝2，x+y＝﹣2，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由方程②得：（x+y）2＝4，x+y＝2，x+y＝﹣2，即组成方程组或，解这两个方程组得：或，即原方程组的解为：或．【点评】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．30．（2023•浦东新区二模）解方程：﹣＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．31．（2023•金山区二模）解方程组：．【分析】由②得出（x﹣y）2＝4，求出x﹣y＝±2③，由③和①组成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：，由②，得（x﹣y）2＝4，x﹣y＝±2③，由③和①组成两个二元一次方程组：，，解得：，，所以方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．32．（2023•徐汇区二模）求不等式组的整数解．【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：，解不等式①得：x＜8，解不等式②得x≥，∴不等式组的解集为≤x＜8，则不等式组整数解有2、3、4、5、6、6、7．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．33．（2023•宝山区二模）解方程组：．【分析】由②得出y＝2x﹣5③，把③代入①得出4x2﹣（2x﹣5）2＝15，求出x，再把x＝2代入③求出y即可．【解答】解：，由②得：y＝2x﹣5③，把③代入①，得4x2﹣（2x﹣5）2＝15，解得：x＝2，把x＝2代入③，得y＝﹣1，所以方程组的解是．【点评】本题考查了解高次方程组，能把方程组转化成4x2﹣（2x﹣5）2＝15是解此题的关键．34．（2023•黄浦区二模）解方程组：．【分析】变形方程组中的②，用含y的代数式表示x，代入①得关于y的一元二次方程，先解一元二次方程求出y，再代入③求出x．【解答】解：由②，得x＝y+1③，把③代入①，得（y+1）2﹣2y2﹣y＝﹣1，整理，得y2﹣y﹣2＝0，解这个方程，得y1＝2，y2＝﹣1．把y1＝2，y2＝﹣1代入③，得x1＝3，x2＝0．∴原方程组的解为，．【点评】本题考查了解方程组，掌握一元二次方程和方程组的解法是解决本题的关键．35．（2023•杨浦区二模）解不等式组并求出它的正整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．【解答】解：解不等式①得：x≤，解不等式②得：x＞，所以不等式组的解集为＜x≤，则不等式组的正整数解为1，2，3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．36．（2023•崇明区二模）解方程组：．【分析】由②得出（x+2y）（x﹣y）＝0，求出x+2y＝0或x﹣y＝0③，由③和①组成两个二元一次方程组，，求出方程组的解即可．【解答】解：，由②，得（x+2y）（x﹣y）＝0，x+2y＝0或x﹣y＝0③，由③和①组成方程组，，解得：，，所以原方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把解高次方程组转化成解二元一次方程组是解此题的关键．37．（2023•虹口区二模）某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图中线段AB所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出y与x的函数表达式；（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将（20，60），（80，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x的函数表达式为为y＝﹣x+80．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣x+80）＝800，整理得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60．答：销售单价应定为每千克40元或60元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．38．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？【分析】（1）根据购买衣服及鞋子的原价，结合商场给出的两种促销活动，可分别求出选择两种促销活动需支付的费用，比较后可得出结论；（2）当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二，设裤子的价格为x元，则选择优惠活动一需支付（600+0.5x）元，选择优惠活动二需支付0.8（600+x）元，根据选择优惠活动二更省钱，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）选择优惠活动一需支付费用为600+500×0.5＝850（元）；选择优惠活动二需支付费用为（600+500）×0.8＝880（元）．∵850＜880，∴她选择优惠活动一会更划算；（2）当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二，理由如下：设裤子的价格为x元，则选择优惠活动一需支付（600+0.5x）元，选择优惠活动二需支付0.8（600+x）元，根据题意得：600+0.5x＞0.8（600+x），解得：x＜400，∴当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．39．（2023•嘉定区二模）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；（2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．【分析】（1）根据列车提速前所用的时间﹣提速后所用的时间可得到t的值；。
2021年中考真题必刷题《第二专题：方程与不等式》
2021年中考真题必刷题《第二专题：方程与不等式》一、选择题1. (2020年安徽)下列方程中，有两个相等实数根的是A. X 2+1=2XB. X 2+1=0 C ・ X 2-2X =3 D ・ X 2-2X =02. (2020年南充)某工程队承接了 80万平方米的荒山绿化任务，为 了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 35%, 结果提前40天完成了这一任务。
设实际工作时每天绿化的而积为X 万平方米，则下而所列方程中正确的是()° 80 80 “ 小 8° 80(1 + 35%)B. — ------------------- = 40 D. — ----------------- --- ---------- =40 X (1 + 35%)X X X3. (2020年河南省)国家统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加。
2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元。
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为X,则可列 方程为()A. 5000(l+2x) =7500B. 5000x2(l+x)=7500C. 5000(1+X )2=7500A. 80(1 + 35%) X 80 — = 40 XB. 80 80 - -- —=40 (1 + 35%)X X -D. 5000+5000(1+X )+5000(1+X )2=75004. （2020年浙江）不等式组卩3-4的解集在数轴上表示正确的 3x > 2x -1 是（）5. （2020年遵义）如图，把一块长为40cm,宽为30cm 的矩形硬纸 板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并 用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。
若该无盖纸盒的底而积为 600cm 2,设剪去小正方形的边长为xcm,则可列方程为A. (30-2x) (40-x) =600B. (30-x)(40-x)=600C. (30-x)(40-2x)=600C.(30-2x)(40-2x)=6006. （2020年随州市）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何”。
专题02 一元二次函数、方程与不等式(解析版)备考2025高考数学一轮知识清单
专题02一元二次函数、方程与不等式（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1等式性质与不等式性质1、等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a =⇔=可逆2传递性,a b b c a c ==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向2、不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点2一元二次不等式的解集1、重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式：()2222()()ab a b a b R +≥+∈，22a b +≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>（2）等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号．（3）算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为2a b +，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3、利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)重难点01利用基本不等式求最值的方法法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系【典例1】（2024·重庆·模拟预测）若实数a ，b 满足2ab =，则222a b +的最小值为（）A ．2B ．22C ．4D ．42【答案】D【解析】2222222222242a b a b +≥=⨯=当且仅当222a b =时，等号成立.故选：D.【典例2】（2024·四川成都·三模）若正实数,a b 满足22a b m +=，则a b +的最大值为（）A 2mB 2mC ．2mD ．2m【答案】A【解析】因为22a b m +=，0,0a b >>，所以2222a b a b ++≤，即2222a b a b m +⋅+当且仅当2ma b ==时等号成立，所以a b +2m 故选：A.法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
2021学年初中数学五年河北经典中考题02 方程与不等式(含答案解析)
专题02 方程与不等式（五年河北）1 . 语句“的与的和不超过”可以表示为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】x的即x，不超过5是小于或等于5的数，由此列出式子即可．【详解】“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．故选A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．2 .小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根【答案】A【解析】【分析】直接把已知数据代入，进而得出的值，再解方程求出答案．【详解】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是x＝﹣1，∴（﹣1）2﹣3+c＝0，解得：c＝2，故原方程中c＝4，则b2﹣4ac＝9﹣4×1×4＝﹣7＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程解的意义，根的判别式，正确得出的值是解题关键．3 .有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．【详解】设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，假设A正确，则，x=1.5y，此时B，C，D选项中都是x=2y，故A选项错误，符合题意，故选A．【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．4 .a，b，c为常数，且，则关于x的方程根的情况是A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0【答案】B【解析】试题解析：∵，∴ac＜0．在方程中，△=≥﹣4ac＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．5 . 若m＞n，则下列不等式正确的是（）C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n A．m﹣2＜n﹣2B．【答案】B【解析】【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．【详解】A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；B、将m＞n两边都除以4得：，此选项正确；C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误，故选B．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6 . 关于的方程有实数根，则满足（）A．B．且C．且D．【答案】A【解析】【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围．【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-；当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．7 .关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A．B．C．且D．且【答案】D【解析】分析：根据一元二次方程根的判别式进行计算即可.详解：根据一元二次方程一元二次方程有两个实数根，解得：，根据二次项系数可得：故选D.点睛：考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.8 .某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100 【答案】A【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即： 80（1+x）2=100，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．9 . 已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（）A．−2B．2 C．−4D．4【答案】B【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2．故选B．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10 . 已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1 B．2 C．22 D．30【答案】D【解析】∵α方程x2-2x-4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8（α+β）+1 4,∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,∴α+β=2,∴原式=8×2+14=30,故选D.11 . 关于的一元二次方程的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.【详解】，△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．12 . 已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（）A．±2 B．C．2 D．4【答案】C【解析】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．【分析】∵是二元一次方程组的解，∴，解得．∴．即的算术平方根为2．故选C．13 .我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）C．D．A．B．【答案】A【解析】【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．【详解】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：．故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14 . 已知a，b满足方程组则a+b的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【答案】B【解析】试题解析：，①+②：4a+4b=16则a+b=4，故选B．考点：解二元一次方程组．15 . 若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（）A．-13 B．12 C．14 D．15【答案】B【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-，α·β=，因此可得2α2=5α+1，代入2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1=5×+3×（-）+1=12.故选B.点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的关系x1+x2=-，x1·x2=，然后变形代入即可.16 . 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝_____；（2）当y＝﹣2时，n的值为_____．【答案】3x； 1【解析】【分析】（1）根据上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，直接写出m即可；（2）先转换成加法形式，表示出m，n，y，再把y=-2代入解出x，即可求出n. 【详解】（1）根据上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，则m=x+2x=3x；（2）由题知m=3x，n=2x+3，y=m+n，则y=3x+2x+3=5x+3，把y=-2代入，-2=5x+3，解得x=-1，则n=2×（-1）+3=1.【点睛】本题是对新定义的考查，熟练理解题上新定义内容和一元一次方程是解决本题的关键.17 . 已知两个有理数：－9和5．（1）计算：；（2）若再添一个负整数，且－9，5与这三个数的平均数仍小于，求的值．【答案】（1）－2；（2）．【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可求解；（2）根据平均数的定义列出不等式即可求出m的取值，故可求解．【详解】（1）=；（2）依题意得＜m解得m＞-2∴负整数=-1．【点睛】此题主要考查有理数、不等式及平均数，解题的关键是熟知有理数、不等式的运算法则．18 .用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．（1）求与的函数关系式．（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．①求与的函数关系式；②为何值时，是的3倍？（注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围）【答案】（1）；（2）①；②．【解析】【分析】（1）设W=kx2，利用待定系数法即可求解；（2）①根据题意列出函数，化简即可；②根据题意列出方程故可求解．【详解】（1）设W=kx2,∵时，∴3=9k∴k=∴与的函数关系式为；（2）①∵薄板的厚度为xcm，木板的厚度为6cm∴厚板的厚度为（6-x）cm，∴Q=∴与的函数关系式为；②∵是的3倍∴-4x+12=3×解得x1=2,x2=-6(不符题意，舍去)经检验，x=2是原方程的解，∴x=2时，是的3倍．【点睛】此题主要考查函数与方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数或方程求解．19 . 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 【答案】（1）甲对，乙不对,理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据多边形的内角和公式判定即可；（2）根据题意列方程，解方程即可.试题解析：（1）甲对，乙不对.∵θ=360°，∴（n-2）×180°=360°，解得n=4.∵θ=630°，∴（n-2）×180°=630°，解得n=.∵n为整数，∴θ不能取630°.（2）由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，解得x=2.考点：多边形的内角和.20 .某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．21 .某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多3 0元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【答案】(1) B型商品的进价为120元， A型商品的进价为150元;(2) 5500元.【解析】【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；（2）根据题意中的不等关系求出A商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可.【详解】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．由题意：解得x=120，经检验x=120是分式方程的解，答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．m≤100﹣m，m≤50，由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，∴m=50时，w有最小值=5500（元）【点睛】此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解方式方程时要检验.22 .某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.(1)第一批饮料进货单价多少元？(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元.(2) 销售单价至少为11元.【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得.【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则：解得：经检验：是分式方程的解答：第一批饮料进货单价为8元.（2）设销售单价为元，则：，化简得：，解得：，答：销售单价至少为11元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键.23 .一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】分析：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．详解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，∴x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．24 .某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．（1）求该店有客房多少间？房客多少人？（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？【答案】（1）该店有客房8间，房客63人；（2）诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．【解析】（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可；（2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论．解：（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：，解得：．答：该店有客房8间，房客63人；（2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8=288千＜320钱；答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．“点睛”本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．25 .为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．（1）求足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？【答案】（1）一个足球的单价103元、一个篮球的单价56元；（2）学校最多可以买9个足球．【解析】试题分析：（1）设一个足球的单价x元、一个篮球的单价为y元，根据：①1个足球费用+1个篮球费用=159元，②足球单价是篮球单价的2倍少9元，据此列方程组求解即可；（2）设买足球m个，则买蓝球（20﹣m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过1550元建立不等式求出其解即可．试题解析：（1）设一个足球的单价x元、一个篮球的单价为y元，根据题意得：，解得：．答：一个足球的单价103元，一个篮球的单价56元；（2）设可买足球m个，则买蓝球（20﹣m）个，根据题意得：103m+56（20﹣m）≤1550，解得：m≤，∵m为整数，∴m最大取9答：学校最多可以买9个足球．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；最值问题．26 .如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【答案】10，8．【解析】试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程求出边长的值．试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得化简，得，解得：当时，（舍去），当时，，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．考点：一元二次方程的应用题．。
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专题02 方程与不等式
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．不等式211
20
x x -≥⎧⎨
-<⎩的解集在数轴上表示为
A ．
B ．
C ．
D ．
2．一元二次方程4x 2
+1=4x 的根的情况是 A ．只有一个实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．没有实数根
3．已知关于x 、y 的方程组+2=529x y m
x y m ⎧⎨-=⎩
的解满足3x +2y =19，则m 的值为
A ．1
B ．
3
2
C ．5
D ．7
4．已知不等式组1
x a
x >⎧⎨≥⎩的解集是1x ≥，则a 的取值范围是
A ．1a <
B ．1a ≤
C ．1a ≥
D ．1a >
5．轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A 港和B 港相距多少千米．设A 港和B 港相距x 千米，根据题意，可列出的方程是
A ．32824x x
=- B ．3
2626x x += C ．328
24
x x
=+
D ．330
22
x x
=- 6．在求3x 的倒数的值时，小明同学将3x 看成了8x ，他求得的答案比正确答案小5，依上述情形，所列关系式成立的是
A ．
11538x x =- B ．
11538x x =+ C ．1853x x
=-
D ．1853x x
=+
7．对于不等式组1
31722523(1)
x x
x x ⎧-≤-⎪⎨⎪+>-⎩，下列说法正确的是
A ．此不等式组无解
B ．此不等式组有7个整数解
C ．此不等式组的负整数解是-3，-2，-1
D ．此不等式组的解集是5
22
x -
<≤ 8．已知关于x 的分式方程1
m
x -=1的解是非负数，则m 的取值范围是 A ．m ≥1
B ．m ≤1
C ．m ≥-1且m ≠0
D ．m ≥-1
二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分） 9．分式方程
31x +=2
x
的解是__________． 10．方程组22
24x y x y +=⎧⎨+=⎩
的解是__________．
11．某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率
为x ，根据题意可列方程为__________．
122111
2362
x x -
≥+成立的最大的整数解是__________．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．求不等式组372
231x x -<⎧⎨+≥⎩
的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．
14．某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作2 h，乙机器人工作4 h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作3 h，乙机器人工作2 h，一共可以分拣650件包裹．
（1）求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；
（2）“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，要让甲、乙两机器人每天分拣包裹的总数量不低于2250件，它们每天至少要一起工作多少小时？
15．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中足球的单价比篮球的单价少20元，用900元购进的足球个数和1200元购进的篮球个数相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用800元购买篮球和足球，且两种球都必须购买，请问恰好用完800元的购买方案有哪几种？。