2021年河南省中考数学模拟冲刺试卷(有答案)
2020-2021学年人教版九年级中考数学冲刺试卷(含答案)
2020-2021学年人教新版中考数学冲刺试卷一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．比赛用的乒乓球的质量有严格的规定，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差．以下检验记录（“+”表示超出标准质量，“﹣”表示不足标准质量）中，质量最接近标准质量乒乓球是（）编号1234偏差/g+0.01﹣0.02﹣0.03+0.04 A．1号B．2号C．3号D．4号2．如图的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．3．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态生活环境，某省2017年建设城镇污水配套管网3100000米，数字3100000科学记数法可以表示为（）A．3.1×105B．31×105C．0.31×107D．3.1×1064．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝0.5m，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．1.25m B．1 m C．0.75 m D．0.50 m5．如图，将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，则下列结论错误的是（）A．∠BDO＝60°B．∠BOC＝25°C．OC＝4D．BD＝46．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（）A．10.5，16B．8.5，16C．8.5，8D．9，87．一辆客车从酒泉出发开往兰州，设客车出发t小时后与兰州的距离为s千米，下列图象能大致反映s与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．8．若x＜y，则下列不等式中不成立的是（）A．x﹣1＜y﹣1B．3x＜3y C．＜D．﹣2x＜﹣2y 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），sin∠COA ＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（）A．10B．24C．48D．50二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）10．函数y＝的自变量x的取值范围是．11．若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是．12．从长度分别为3，4，6，9的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为．13．已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC一定是三角形．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为．15．一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n 为正整数）．16．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是．17．已知函数y＝kx2+2kx+1，当﹣3≤x≤2时，函数有最大值为4，则k ＝．三．解答题（共10小题，满分96分）18．（1）计算﹣（﹣1）0+12×3﹣1﹣|﹣5|（2）化简1﹣．19．解下列关于x的不等式组，并把解集表示在数轴上，写出其正整数解．20．如图，一艘轮船以每小时40海里的速度在海面上航行，当该轮船行驶到B处时，发现灯塔C在它的东北方向，轮船继续向北航行，30分钟后到达A处，此时发现灯塔C在它的北偏东75°方向上，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）21．某校组织全校1400名学生进行了“八礼四仪”掌握情况问卷测试．为了解成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数．满分为100分），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（不完整）．分组50.5≤x＜60.560.5≤x＜70.570.5≤x＜80.580.5≤x＜90.590.5≤x＜100.5合计频数2048a104148400根据所给信息，回答下列问题：（1）频数分布表中，a＝．（2）补全频数分布直方图；（3）学校将对分数x在90.5≤x＜100.5范围内的学生进行奖励，请你估算出全校获奖学生的人数．22．为了做好防控H1N1甲型流感工作，我县卫生局准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士指导某乡镇预防H1N1甲型流感工作．（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．（2）求恰好选中医生甲和护士A的概率．23．如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB＝AC，tan∠ABC＝．求BC的长．24．已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A 旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．（1）求证：△ABM∽△NDA；（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．25．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中（填“兔子”或“乌龟”）的路程与时间的关系，赛跑的全过程是米．（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？（3）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？（4）兔子醒来后，以400米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟．26．建立模型：（1）如图1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，顶点C在直线l上．操作：过点A 作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证△CAD≌△BCE．模型应用：（2）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝x+8与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．（3）如图3，在直角坐标系中，点B（10，8），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．27．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，直线CE交抛物线于点F（异于点C），直线CD交x轴交于点G．（1）如图1，求直线CE的解析式和顶点D的坐标；（2）如图1，点P为直线CF上方抛物线上一点，连接PC、PF，当△PCF的面积最大时，点M是过P垂直于x轴的直线l上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求FM+MN+NO 的最小值；（3）如图2，过点D作DI⊥DG交x轴于点I，将△GDI沿射线GB方向平移至△G′D′I′处，将△G′D′I′绕点D′逆时针旋转α（0＜α＜180°），当旋转到一定度数时，点G′会与点I重合，记旋转过程中的△G′D′I′为△G″D′I″，若在整个旋转过程中，直线G″I″分别交x轴和直线GD′于点K、L两点，是否存在这样的K、L，使△GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形？若存在，求此时GL的长．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．解：|+0.01|＝0.01，|﹣0.02|＝0.02，|﹣0.03|＝0.03，|+0.04|＝0.04，0.04＞0.03＞0.02＞0.01，绝对值越小越接近标准．所以最接近标准质量是1号乒乓球．故选：A．2．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D满足这两点，故选：D．3．解：3100000＝3.1×106，故选：D．4．解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，∴OD是△ABC的中位线，∴AC＝2OD＝2×0.5＝1（m）．故选：B．5．解：∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，∴∠AOC＝∠BOD＝60°，AO＝CO＝4、BO＝DO，故C选项正确；则△AOC、△BOD是等边三角形，∴∠BDO＝60°，故A选项正确；∵∠AOB＝35°，∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝60°﹣35°＝25°，故B选项正确；故选：D．6．解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；故选：D．7．解：根据出发时与终点这两个特殊点的意义，图象能大致反映s与t之间的函数关系的是应选A．故选：A．8．解：若x＜y，则x﹣1＜y﹣1，选项A成立；若x＜y，则3x＜3y，选项B成立；若x＜y，则＜，选项C成立；若x＜y，则﹣2x＞﹣2y，选项D不成立，故选：D．9．解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），∴OC＝OA＝10，∵sin∠COA＝＝．∴CE＝8，∴OE＝＝6∴点C坐标（6，8）∵若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，∴k＝6×8＝48故选：C．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）10．解：根据题意知3﹣2x≠0，解得：x≠，故答案为：x≠．11．解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，∴x1x2＝﹣3．故答案为﹣3．12．解：从长度分别为3，4，6，9的四条线段中任取三条的所有可能性是：（3，4，6）、（3，4，9）、（3，6，9）、（4，6，9），能组成三角形的可能性是：（3，4，6）、（4，6，9），∴能组成三角形的概率为：＝，故答案为．13．解：由a2﹣b2＝c（a﹣b），（a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b），（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵三角形两边之和大于第三边，即a+b＞c，∴a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，即△ABC一定是等腰三角形．故答案为：等腰．14．解：如图，连接AC交BD于点O∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2∴OC＝＝2∴BC＝＝215．解：∵＝（﹣1）2•，＝（﹣1）3•，＝（﹣1）4•，…∴第7个式子是，第n个式子为：．故答案是：，．16．解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝1，∴DE＝3，∴tan∠α＝．故答案为：．17．解：∵函数y＝kx2+2kx+1＝k（x+1）2﹣k+1，当﹣3≤x≤2时，函数有最大值为4，∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，当k＜0时，x＝﹣1时，函数取得最大值，即﹣k+1＝4，得k＝﹣3；当k＞0时，x＝2时，函数取得最大值，即9k﹣k+1＝4，解得，k＝，故答案为：﹣3或．三．解答题（共10小题，满分96分）18．解：（1）原式＝8﹣1+12×﹣5＝8﹣1+4﹣5＝6；（2）原式＝1﹣•＝1﹣＝＝﹣．19．解：解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣，故不等式组的解集为﹣≤＜3，将不等式解集表示在数轴上如下图所示：故正整数解为1，2．20．解：过点A作AD⊥BC于点D．由题意，AB＝×40＝20（海里）∵∠PAC＝∠B+∠C，∴∠C＝∠PAC﹣∠B＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ABD中，sin B＝，∴AD＝AB•sin B＝20×＝10（海里），在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AD＝20（海里），答：此时轮船与灯塔C的距离为20海里．21．解：（1）a＝400﹣（20+48+104+148）＝80，故答案为：80；（2）补全频数分布直方图如下：（3）1400×＝518（人），答：估计全校获奖学生的人数为518人．22．解：（1）用列表法表示所有可能结果如下：（2）共有6种等可能情形，恰好选中医生甲和护士A只有一种情形，P（恰好选中医生甲和护士A）＝，∴恰好选中医生甲和护士A的概率是．23．解：连接AO，交BC于点E，连接BO，∵AB＝AC，∴＝，又∵OA是半径，∴OA⊥BC，BC＝2BE，在Rt△ABE中，∵tan∠ABC＝，∴＝，设AE＝x，则BE＝3x，OE＝5﹣x，在Rt△EO中，BE2+OE2＝OB2，∴（3x）2+（5﹣x）2＝52，解得：x1＝0（舍去），x2＝1，∴BE＝3x＝3，∴BC＝2BE＝6．24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＝∠AND＝45°﹣∠DAN，∴△ABM∽△NDA；（2）解：当∠BAM＝22.5°时，四边形BMND为矩形；理由如下：∵∠BAM＝22.5°，∠EBM＝45°，∴∠AMB＝22.5°，∴∠BAM＝∠AMB，∴AB＝BM，同理AD＝DN，∵AB＝AD，∴BM＝DN，∵四边形ABCD是正方形∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠BDN＝∠DBM＝90°∴∠BDN+∠DBM＝180°，∴BM∥DN∴四边形BMND为平行四边形，∵∠BDN＝90°，∴四边形BMND为矩形．25．解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻，∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；由图象可知：赛跑的全过程为1500米；故答案为：兔子，1500；（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑700÷2＝350（米），乌龟每分钟爬1500÷50＝30（米）．（3）700÷30＝（分钟），所以乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子．（4）∵兔子跑了700米停下睡觉，用了2分钟，∴剩余800米，所用的时间为：800÷400＝2（分钟），∴兔子睡觉用了：50.5﹣2﹣2＝46.5（分钟）．所以兔子中间停下睡觉用了46.5分钟．26．解：（1）如图1，∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．在△ACD和△CBE中，∴△CAD≌△BCE（AAS）；（2）∵直线y＝x+8与y轴交于点A，与x轴交于点B，∴A（0，8）、B（﹣6，0），如图2，过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴，在△BDC和△AOB中，∴△BDC≌△AOB（AAS），∴CD＝BO＝6，BD＝AO＝8，∴OD＝OB+BD＝6+8＝14，∴C点坐标为（﹣14，6），设l2的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入，得，解得，∴l2的函数表达式为y＝x+8；（3）∵点Q（a，2a﹣6），∴点Q是直线y＝2x﹣6上一点，当点Q在AB下方时，如图3，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．在△AQE和△QPF中，∴△AQE≌△QPF（AAS），∴AE＝QF，即8﹣（2a﹣6）＝10﹣a，解得a＝4；当点Q在线段AB上方时，如图4，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，则AE＝2a﹣14，FQ＝10﹣a．在△AQE和△QPF中，∴△AQE≌△QPF（AAS），AE＝QF，即2a﹣14＝10﹣a，解得a＝8；综上可知，A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为4或8．27．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣与y轴交于点C，∴C（0，﹣），∵y＝﹣x2+2x﹣＝﹣（x﹣2）2+，∴顶点D（2，），对称轴x＝2，∴E（2，0），设CE解析式y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式：y＝x﹣；（2）∵直线CE交抛物线于点F（异于点C），∴x﹣＝﹣（x﹣2）2+，∴x1＝0，x2＝3，∴F（3，），过P作PH⊥x轴，交CE于H，如图1，设P（a，﹣a2+2a﹣）则H（a，a﹣），∴PH＝﹣a2+2a﹣﹣（a﹣），＝﹣a2+，＝PH×3＝﹣a2+，∵S△CFP∴当a＝时，S面积最大，△CFP如图2，作点M关于对称轴的对称点M'，过F点作FG∥MM'，FG＝1，即G（4，），∵M的横坐标为，且M与M'关于对称轴x＝2对称，∴M'的横坐标为，∴MM'＝1，∴MM'＝FG，且FG∥MM'，∴FGM'M是平行四边形，∴FM＝GM'，∴FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，根据两点之间线段最短可知：当O，N，M'，G四点共线时，GM'+NM'+ON的值最短，即FM+MN+ON的值最小，∴FM+MN+ON＝OG＝＝；（3）如图3，设CD解析式y＝mx+n，则，解得：，∴CD解析式y＝x﹣，∴当y＝0时，x＝1．即G（1，0），∴DG＝＝2，∵tan∠DGI＝＝，∴∠DGI＝60°，∵DI⊥DG，∴∠GDI＝90°，∠GID＝30°，∴GI＝2DG＝4∴I（5，0），∵将△GDI沿射线GB方向平移至△G′D′I′处，将△G′D′I′绕点D′逆时针旋转α（0＜α＜180°），当旋转到一定度数时，点G′会与点I重合，连接D'I，∴G'D'＝D'I＝DG＝2，∠D'G'I＝∠DGI＝60°，∴△G'D'I是等边三角形，∴G'I＝2，G'K＝2D'G'＝4，∴G'（3，0），如图4，当G''与I、K重合，△GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形，∠LGK＝∠GLK ＝30°，∴GL＝D'G+D'L＝4；如图5，L与G''重合，△GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形，∴GL＝GD'+D'L＝2+2综上，GL的长为4或2+2．。
河南省南阳市宛城区2021年中考一模数学试卷(含解析)
2021年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷一、选择题〔此题共10个小题，每题3分，共30分〕1．以下各实数中，最大的是〔〕A．|﹣2| B．20C．2﹣1D．2．2017年3月5日，李克强总理在十二届全国人大五次会议上作政府工作报告谈到，2021年我国国内生产总值到达74.4万亿元，增长6.7%，名列世界前茅．其中74.4万亿元用科学记数法表示为〔〕×1013×1012×1012×1014元3．以下运算正确的选项是〔〕A．〔x3〕2=x5B．﹣=C．〔x+1〕2=x2+1 D．x3•x2=x54．如下图，AB∥CD，∠CAB=116°，∠E=40°，那么∠D的度数是〔〕A．24° B．26° C．34° D．22°5．南阳市中心城区参加中招考试考生有25000名，为了解“一调〞数学考试情况从中随机抽取了1800名学生的成绩进展统计分析．下面表达正确的选项是〔〕A．25000名学生是总体，每名学生是总体的一个个体B．1800名学生的成绩是总体的一个样本C．样本容量是25000D．以上调查是全面调查6．假设关于x的一元二次方程x2+2〔k﹣1〕x+k2﹣1=0有实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k≥1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≤1且k≠07．以下几何体是由4个一样的小正方体搭成的，其中左视图和主视图不一样的是〔〕A．B．C．D．8．某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1、2、3，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，那么两人同坐2号车的概率为〔〕A．B．C．D．9．假设点A〔﹣5，y1〕，B〔﹣3，y2〕，C〔2，y3〕在反比例函数y=的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是〔〕A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y310．如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心在坐标原点O，点P从点B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动，那么第2021秒时，点P的坐标是〔〕A．〔1，〕B．〔﹣1，﹣〕C．〔1，﹣〕D．〔﹣1，〕二、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕11．计算：﹣〔﹣1〕2021= ．12．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，那么AF的长为．13．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为．14．如图，半径OA=2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，C为的中点，D为OB的中点，那么图中阴影局部的面积为cm2．15．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE 折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为．三、解答题〔本大题共8小题，共75分〕16．先化简，再求值：〔﹣〕÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．17．为创立国家文明城市，我市特在每个红绿灯处设置了文明监视岗，文明劝导员老牛某工作日在市中心的一个十字路口，对闯红灯的人数进展统计．根据上午7：00～12：00中各时间段闯红灯的人数制作了如下图的尚不完整的统计图，请根据统计图解答以下问题：〔1〕该工作日7：00～12：00共有人闯红灯？〔2〕补全条形统计图，并计算扇形统计图中10～11点所对应的圆心角的度数为〔3〕该工作日7：00～12：00，各时间段闯红灯的人数的方差是〔4〕请你根据统计图提供的信息向交通管理部门提出一条合理化建议．18．如图，在△OAB中，OA=OB，以点O为圆心的⊙O经过AB的中点C，直线AO与⊙O相交于点E、D，OB交⊙O于点F，P是的中点，连接CE、CF、BP．〔1〕求证：AB是⊙O的切线．〔2〕假设OA=4，那么①当长为时，四边形OECF 是菱形；②当长为时，四边形OCBP是正方形．19．如图，某河大堤上有一颗大树ED，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿坡度为1：2的斜坡AC攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，ED⊥CD，并且CD 与水平地面AB平行，求大树ED的高度．〔准确到1米〕〔参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01， =2.236〕20．现要把192吨物资从我市运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批物资．这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：甲地〔元/辆〕乙地〔元/辆〕运往地车型大货车720 800小货车500 650〔1〕求这两种货车各用多少辆？〔2〕如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式；〔3〕在〔2〕的条件下，假设运往甲地的物资部少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最少总运费．21．【阅读理解】我们知道，当a＞0且b＞0时，〔﹣〕2≥0，所以a﹣2+≥0，从而a+b≥2〔当a=b时取等号〕，【获得结论】设函数y=x+〔a＞0，x＞0〕，由上述结论可知：当x=即x=时，函数y有最小值为2【直接应用】〔1〕假设y1=x〔x＞0〕与y2=〔x＞0〕，那么当x= 时，y1+y2取得最小值为．【变形应用】〔2〕假设y1=x+1〔x＞﹣1〕与y2=〔x+1〕2+4〔x＞﹣1〕，那么的最小值是【探索应用】〔3〕在平面直角坐标系中，点A〔﹣3，0〕，点B〔0，﹣2〕，点P是函数y=在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式；②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．22．〔1〕问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC、CD 上的点，且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；〔2〕探索延伸：如图②，假设在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；〔3〕实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当∠EOF=70°时，两舰艇之间的距离是海里．〔4〕能力提高：如图④，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．假设BM=1，CN=3，那么MN的长为．23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+e与x轴交于点A〔﹣3，0〕、点B〔9，0〕，与y轴交于点C，顶点为D，连接AD、DB，点P为线段AD上一动点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图1，过点P作BD的平行线，交AB于点Q，连接DQ，设AQ=m，△PDQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，以及S的最大值；〔3〕如图2，抛物线对称轴与x轴交与点G，E为OG的中点，F为点C关于DG对称的对称点，过点P分别作直线EF、DG的垂线，垂足为M、N，连接MN，直接写出△PMN为等腰三角形时点P的坐标．2021年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题〔此题共10个小题，每题3分，共30分〕1．以下各实数中，最大的是〔〕A．|﹣2| B．20C．2﹣1D．【考点】2A：实数大小比拟．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：|﹣2|=2，20=1，2﹣1=0.5，≈1.41，∵2＞＞1＞0.5，∴|﹣2|＞＞20＞2﹣1，∴各实数中，最大的是|﹣2|．应选：A．2．2017年3月5日，李克强总理在十二届全国人大五次会议上作政府工作报告谈到，2021年我国国内生产总值到达74.4万亿元，增长6.7%，名列世界前茅．其中74.4万亿元用科学记数法表示为〔〕×1013×1012×1012×1014元【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．×1013，应选：A．3．以下运算正确的选项是〔〕A．〔x3〕2=x5B．﹣=C．〔x+1〕2=x2+1 D．x3•x2=x5【考点】4I：整式的混合运算；78：二次根式的加减法．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=x6，不符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；C、原式=x2+2x+1，不符合题意；D、原式=x5，符合题意，应选D4．如下图，AB∥CD，∠CAB=116°，∠E=40°，那么∠D的度数是〔〕A．24° B．26° C．34° D．22°【考点】JA：平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质得到∠ACD=180°﹣∠CAB=64°，然后根据三角形外角性质得∠D=∠ACD﹣∠E=24°．【解答】解：∵AB∥CD，∠CAB=116°，∴∠ACD=180°﹣∠CAB=64°，∵∠E=40°，∴∠D=∠ACD﹣∠E=24°．应选：A．5．南阳市中心城区参加中招考试考生有25000名，为了解“一调〞数学考试情况从中随机抽取了1800名学生的成绩进展统计分析．下面表达正确的选项是〔〕A．25000名学生是总体，每名学生是总体的一个个体B．1800名学生的成绩是总体的一个样本C．样本容量是25000D．以上调查是全面调查【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V2：全面调查与抽样调查．【分析】依据总体、个体、样本以及全面调查和抽样调查的定义求解即可．【解答】解：A、总体是25000名学生的身高情况，应选项不符合题意；B、1800名学生的身高是总体的一个样本，应选项符合题意；C、样本容量是1800，应选项不符合题意；D、该调查是抽样调查，应选项不符合题意．应选B．6．假设关于x的一元二次方程x2+2〔k﹣1〕x+k2﹣1=0有实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k≥1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≤1且k≠0【考点】AA：根的判别式．【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2〔k﹣1〕x+k2﹣1=0有实数根，∴△=[2〔k﹣1〕]2﹣4〔k2﹣1〕=﹣8k+8≥0，解得：k≤1．应选C．7．以下几何体是由4个一样的小正方体搭成的，其中左视图和主视图不一样的是〔〕A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据，可得答案．【解答】解：A、主视图、左视图都是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故A不符合题意；B、的主视图第一层两个小正方形第二层右边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故B符合题意；C、主视图、左视图都是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C不符合题意；D、主视图、左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D不符合题意；应选：B．8．某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1、2、3，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，那么两人同坐2号车的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人同坐2号车的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1，所以两人同坐2号车的概率=．应选A．9．假设点A〔﹣5，y1〕，B〔﹣3，y2〕，C〔2，y3〕在反比例函数y=的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是〔〕A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．【解答】解：∵点A〔﹣5，y1〕，B〔﹣3，y2〕，C〔2，y3〕在反比例函数y=的图象上，∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，∴y3一定最大，y1＞y2，∴y2＜y1＜y3．应选：D．10．如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心在坐标原点O，点P从点B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动，那么第2021秒时，点P的坐标是〔〕A．〔1，〕B．〔﹣1，﹣〕C．〔1，﹣〕D．〔﹣1，〕【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】由于2021=6×336+1，那么可判断第2021秒时，点P运动到点C，作CH⊥x轴于H，如图，根据正六边形的性质得到OB=BC=1，∠BCD=120°，所以∠BCH=30°，再通过解直角三角形求出CH和BH，然后写出C点坐标即可．【解答】解：∵2021=6×336+1，∴第2021秒时，点P运动到点C，作CH⊥x轴于H，如图，∵六边形ABCDEF是半径为1的正六边形，∴OB=BC=2，∠BCD=120°，∴∠BCH=30°，在Rt△BCH中，BH=BC=1，CH=BH=，∴OH=OB﹣BH=1，∴C点坐标为〔1，﹣〕，∴第2021秒时，点P的坐标是〔1，﹣〕．应选C．二、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕11．计算：﹣〔﹣1〕2021= ﹣2 ．【考点】24：立方根；1E：有理数的乘方．【分析】原式利用立方根定义，以及乘方的意义计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣3﹣〔﹣1〕=﹣3+1=﹣2，故答案为：﹣212．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，那么AF的长为 2 ．【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】由平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，可证得△BCF是等腰三角形，继而利用AF=BF ﹣AB，求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=8，∴∠F=∠FCD，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠FCD，∴∠F=∠BCE，∴BF=BC=6，∴AF=BF﹣AB=8﹣6=2；故答案为：2．13．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为〔2，5〕．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，得出顶点横坐标为2，代入函数解析式得出纵坐标ax2+bx+c=5，由此求得顶点坐标即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，方程ax2+bx+c=5的一个根是2，∴当x=2时，y=ax2+bx+c=5，∴抛物线的顶点坐标是〔2，5〕．故答案为：〔2，5〕．14．如图，半径OA=2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，C为的中点，D为OB的中点，那么图中阴影局部的面积为〔π﹣〕cm2．【考点】MO：扇形面积的计算；T7：解直角三角形．【分析】连接CO，易得∠COB=45°．作CE⊥OB于点E，那么CE=CO×sin45°=．阴影局部面积为S扇形BOC﹣S△OCD，依面积公式计算即可．【解答】解：连接CO，易得∠COB=45°．作CE⊥OB于点E，那么CE=CO×sin45°=．阴影局部面积=S扇形BOC﹣S△OCD=﹣×1×=〔π﹣〕．15．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE 折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5 ．【考点】PB：翻折变换〔折叠问题〕；LB：矩形的性质．【分析】先利用折叠的性质得到DE=D′E，AD=AD′=10，再分类讨论：当∠DD′C=90°时，如图1，利用等腰三角形的性质证明ED′=EC，从而得到DE=EC=CD=4；当∠DCD′=90°时，那么点D′落在BC上，如图2，设DE=x，那么ED′=x，CE=8﹣x，先利用勾股定理计算出BD′=6，那么CD′=4，那么在Rt△CED′中利用勾股定理得到方程〔8﹣x〕2+42=x2，再解方程求出x，于是可判断当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．【解答】解：∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，∴DE=D′E，AD=AD′=10，当∠DD′C=90°时，如图1，∵DE=D′E，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠4，∴ED′=EC，∴DE=EC=CD=4；当∠DCD′=90°时，那么点D′落在BC上，如图2，设DE=x，那么ED′=x，CE=8﹣x，∵AD′=AD=10，∴在Rt△ABD′中，BD′==6，∴CD′=4，在Rt△CED′中，〔8﹣x〕2+42=x2，解得x=5，即DE的长为5，综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．故答案为4或5．三、解答题〔本大题共8小题，共75分〕16．先化简，再求值：〔﹣〕÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】首先化简〔﹣〕÷，然后根据x的值从不等式组的整数解中选取，求出x的值是多少，再把求出的x的值代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解：〔﹣〕÷=÷=解不等式组，可得：﹣2＜x≤2，∴x=﹣1，0，1，2，∵x=﹣1，0，1时，分式无意义，∴x=2，∴原式==﹣．17．为创立国家文明城市，我市特在每个红绿灯处设置了文明监视岗，文明劝导员老牛某工作日在市中心的一个十字路口，对闯红灯的人数进展统计．根据上午7：00～12：00中各时间段闯红灯的人数制作了如下图的尚不完整的统计图，请根据统计图解答以下问题：〔1〕该工作日7：00～12：00共有100 人闯红灯？〔2〕补全条形统计图，并计算扇形统计图中10～11点所对应的圆心角的度数为54°〔3〕该工作日7：00～12：00，各时间段闯红灯的人数的方差是110〔4〕请你根据统计图提供的信息向交通管理部门提出一条合理化建议．【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；W7：方差．【分析】〔1〕用11﹣12点的人数除以其所占百分比可得；〔2〕根据7﹣8点所占的百分比乘以总人数即可求出7﹣8点闯红灯的人数，同理求出8﹣9点及10﹣11点的人数，补全条形统计图即可；求出10﹣11点的百分比，乘以360度即可求出圆心角的度数；〔3〕根据平均数和方差的计算公式进展计算即可；〔4〕根据图中数据的大小进展合理分析即可．【解答】解：〔1〕根据题意得：40÷40%=100〔人〕，那么这一天上午7：00～12：00这一时间段共有100人闯红灯，故答案为：100；〔2〕根据题意得：7﹣8点的人数为100×20%=20〔人〕，8﹣9点的人数为100×15%=15〔人〕，9﹣10点所占的百分比是：×100%=10%，10﹣11点占1﹣〔20%+15%+10%+40%〕=15%，人数为100×15%=15〔人〕，补全图形，如下图：10～11点所对应的圆心角的度数为15%×360°=54°，故答案为：54°；〔3〕根据题意得：各时间段闯红灯的人数的平均数是〔20+15+10+15+40〕÷5=20〔人〕，那么方差为×[〔20﹣20〕2+〔15﹣20〕2+〔10﹣20〕2+〔15﹣20〕2+〔40﹣20〕2]=110，故答案为：110；〔4〕加强对11～12点时段的交通管理和交通平安教育．18．如图，在△OAB中，OA=OB，以点O为圆心的⊙O经过AB的中点C，直线AO与⊙O相交于点E、D，OB交⊙O于点F，P是的中点，连接CE、CF、BP．〔1〕求证：AB是⊙O的切线．〔2〕假设OA=4，那么①当长为时，四边形OECF是菱形；②当长为时，四边形OCBP是正方形．【考点】ME：切线的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；LA：菱形的判定与性质；LF：正方形的判定；MN：弧长的计算．【分析】〔1〕由等腰三角形三线合一的性质可知OC⊥AB，依据题意可知OC为⊙O的半径，故此可证明AB是⊙O的切线；〔2〕①由菱形的性质可知：OE=EC，∠EOC=∠COF，然后证明△OEC为等边三角形可得到∠EOC的度数，然后可求得∠DOP的度数，接下来，在△OAC中，利用特殊锐角三角函数值可求得OC的长，最后依据弧长公式求解即可；②依据正方形的性质可求得OC=，∠POF=45°，然后可得到∠DOP的度数，最后依据弧长公式求解即可．【解答】解：〔1〕∵在△ABO中，OA=OB，C是AB的中点，∴OC⊥AB．∵OC为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．〔2〕①∵OECF为菱形，∴OE=EC，∠EOC=∠COF．∴OE=EC=OC．∴∠EOC=∠COF=60°．∴∠DOF=60°．又∵P为弧DF的中点，∴∠DOP=30°．∵∠AOC=60°，∠OCA=90°，∴OC=OA=2．∴弧DP的长==．②∵四边形OCBP为正方形，∴∠COB=∠POB=45°．∴OC=OB=2．∵P为弧DF的中点，∴∠DOP=45°．∴弧DP的长==．故答案为：①；②．19．如图，某河大堤上有一颗大树ED，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿坡度为1：2的斜坡AC攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，ED⊥CD，并且CD 与水平地面AB平行，求大树ED的高度．〔准确到1米〕〔参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01， =2.236〕【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，先判断出四边形CDFG是矩形，再由锐角三角函数的定义求出AC的长，设CD=x米，那么ED=CD•tan76°，在Rt△EAF中，根据EF=AF，即ED+DF=AG+GF可得出x的值，进而可得出结论．【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，∵ED⊥CD，CD∥AB，∴D、E、F三点共线，∴四边形CDFG是矩形，∴CD=GF，DF=CG．在Rt△ACG中，∵坡度为1：2，∴CG：AG=1：2，∴AG：AC=2：．∵AC=20米，∴AG=8米，CG=4米．在Rt△CDE中，∠ECD=76°，设CD=x米，那么ED=CD•tan76°≈4.01x〔米〕．在Rt△EAF中，∵∠EAF=45°，∴EF=AF，即ED+DF=AG+GF，∴+4=8+x，∴x=2.99，∴×2.99=12〔米〕．答：大树ED的高约为12米．20．现要把192吨物资从我市运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批物资．这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：运往地甲地〔元/辆〕乙地〔元/辆〕车型大货车720 800小货车500 650〔1〕求这两种货车各用多少辆？〔2〕如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式；〔3〕在〔2〕的条件下，假设运往甲地的物资部少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最少总运费．【考点】FH：一次函数的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】〔1〕根据大、小两种货车共18辆，以及两种车所运的货物的和是192吨，据此即可列方程或方程组即可求解；〔2〕首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式；〔3〕根据运往甲地的物资不少于96吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据〔2〕中的函数关系，即可确定w的最小值，确定运输方案．【解答】解：〔1〕设大货车用x辆，那么小货车用〔18﹣x〕辆，根据题意得14x+8〔18﹣x〕=192，解得x=8，18﹣x=18﹣8=10．答：大货车用8辆，小货车用10辆．〔2〕设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是〔8﹣a〕，运往甲地的小货车是〔10﹣a〕，运往乙地的小货车是10﹣〔10﹣a〕，w=720a+800〔8﹣a〕+500〔10﹣a〕+650[10﹣〔10﹣a〕]，=70a+11400〔0≤a≤8且为整数〕；〔3〕16x+8〔10﹣a〕≥96，解得a≥，又∵0≤a≤8，∴3≤a≤8 且为整数．∵w=70a+11400，k=70＞0，w随a的增大而增大，∴当a=3时，W最小，最小值为：W=70×3+11400=11610〔元〕．答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．21．【阅读理解】我们知道，当a＞0且b＞0时，〔﹣〕2≥0，所以a﹣2+≥0，从而a+b≥2〔当a=b时取等号〕，【获得结论】设函数y=x+〔a＞0，x＞0〕，由上述结论可知：当x=即x=时，函数y 有最小值为2【直接应用】〔1〕假设y1=x〔x＞0〕与y2=〔x＞0〕，那么当x= 1 时，y1+y2取得最小值为 2 ．【变形应用】〔2〕假设y1=x+1〔x＞﹣1〕与y2=〔x+1〕2+4〔x＞﹣1〕，那么的最小值是4【探索应用】〔3〕在平面直角坐标系中，点A〔﹣3，0〕，点B〔0，﹣2〕，点P是函数y=在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式；②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】〔1〕直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；〔2〕可把x+1看成一个整体，再利用结论可求得答案；〔3〕①可设P〔x，〕，那么可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，那么可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．【解答】解：〔1〕∵x＞0，∴y1+y2=x+≥2=2，∴当x=时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；〔2〕∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴==〔x+1〕+≥2=4，∴当x+1=时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；〔3〕①设P〔x，〕，那么C〔x，0〕，D〔0，〕，∴AC=x+3，BD=+2，∴S=AC•BD=〔x+3〕〔+2〕=6+x+；②∵x＞0，∴x+≥2=6，∴当x=时，即x=3时，x+有最小值6，∴此时S=6+x+有最小值12，∵x=3，∴P〔3，2〕，C〔3，0〕，D〔0，2〕，∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形．22．〔1〕问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC、CD 上的点，且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF ；〔2〕探索延伸：如图②，假设在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；〔3〕实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当∠EOF=70°时，两舰艇之间的距离是280 海里．〔4〕能力提高：如图④，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．假设BM=1，CN=3，那么MN的长为．【考点】KY：三角形综合题．【分析】〔1〕延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；〔2〕延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；〔3〕连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与〔2〕同理可证．〔4〕先利用旋转构造出全等三角形，进而得出，AM=AD，CD=BM=1，∠MCD=90°，利用勾股定理求出DN，再判断出△MAN≌△DAN，即可得出结论．【解答】解：〔1〕EF=BE+DF，证明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG〔SAS〕，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF〔SAS〕，∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为 EF=BE+DF．〔2〕结论EF=BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图②，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG〔SAS〕，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF〔SAS〕，∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；〔3〕如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+〔90°﹣70°〕=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=〔90°﹣30°〕+〔70°+50°〕=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=2×〔60+80〕=280海里．答：此时两舰艇之间的距离是280海里；故答案为：280；〔4〕如图4，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACD，∴△ABM≌△ACD，∴∠AMB=∠ADC，∠BAM=∠CAM，AM=AD，BM=CD=1，∵∠AMB+∠AMC=90°，∴∠AMC+∠ADC=180°，∴∠MAD+∠MCD=180°，∵∠BAC=90°，∴∠MAD=∠MAC+∠CAD=∠MAC+∠BAM=90°，∴∠MCD=90°，在Rt△NCD中，CN=3，CD=1，根据勾股定理得，ND=，∵∠MAD=90°，∠MAN=45°，∴∠DAN=45°，∵AM=AD，AN=AN，∴△MAN≌△DAN，∴MN=DN=，故答案为．23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+e与x轴交于点A〔﹣3，0〕、点B〔9，0〕，与y轴交于点C，顶点为D，连接AD、DB，点P为线段AD上一动点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图1，过点P作BD的平行线，交AB于点Q，连接DQ，设AQ=m，△PDQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，以及S的最大值；〔3〕如图2，抛物线对称轴与x轴交与点G，E为OG的中点，F为点C关于DG对称的对称点，过点P分别作直线EF、DG的垂线，垂足为M、N，连接MN，直接写出△PMN为等腰三角形时点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】〔1〕可以假设抛物线解析式为y=﹣〔x+3〕〔x﹣9〕，展开化简即可．〔2〕作PH⊥AQ于H，那么AH=HQ=〔如图1中〕，根据S=S△ADQ﹣S△APQ构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．〔3〕分三种情形讨论①PM=PN，②NP=NM，③MN=MP，分别求出直线PM的解析式，利用方程组求出点M坐标即可解决问题．【解答】解：〔1〕∵a=﹣，抛物线与x轴交与点A〔﹣3，0〕，点B〔9，0〕，∴可以假设抛物线解析式为y=﹣〔x+3〕〔x﹣9〕=﹣x2+x+6，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+6，〔2〕∵y=﹣x2+x+6=﹣〔x﹣3〕2+8，∴顶点D坐标〔3，8〕，∵AD=DB=10，∴∠DAB=∠DBA，∵PQ∥BD，∴∠PQA=∠DBA，∴∠PAQ=∠PQA，∴PA=PQ，∴△PAQ为等腰三角形，作PH⊥AQ于H，那么AH=HQ=〔如图1中〕，∴tan∠DAB==，∴PH=m，∴S=S△ADQ﹣S△APQ=•m•8﹣•m•m=﹣m2+4m=﹣〔m﹣6〕2+12，∴当m=6时，S最大值=12．〔3〕∵E〔，0〕，F〔6，6〕，∴直线EF解析式为y=x﹣2，直线AD解析式为y=x+4，∴EF∥AD，作EL⊥AD于L，〔如图2中〕∵AE=，sin∠DAB=，∴LE=×==PM，①PM=PN=时，∴x P=3﹣=﹣，y P=﹣×+4=，∴P〔﹣，〕，∴直线PM解析式为y=﹣x+，由，解得，∴点M〔，〕∴EM==．②NP=NM时，设直线EF与对称轴交于点K，K〔3，2〕，此时点N在PM的垂直平分线上，DN=NK，∴N〔3，5〕，P〔，5〕，∴直线PM的解析式为y=﹣x+，由，解得，∴M〔，〕，∴EM==，③PM=MN时，cos∠MPN==，∴PN=，由此可得P〔﹣，〕，∴直线PM解析式为y=﹣x﹣，由解得，∴M〔，﹣〕，∴EM==．综上所述，EM=或或．。
2021年河南师大附中《中考数学模拟卷7》(答案及解析)
韩哥智慧之窗-精品文档《中考数学模拟卷7》（答案及解析）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列实数中，是有理数的是()A. π3B. cos45° C. √7 D. 2572.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是()A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图3.如图，直线l1//l2，将等边三角形如图放置若∠α=25°，则∠β等于()A. 35°B. 30°C. 25°D. 20°4.下列关于圆的说法，正确的是()A. 弦是直径，直径也是弦B. 半圆是圆中最长的弧C. 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴D. 过三点可以作一个圆5.关于x的方程(m−3)x2−4x−2=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值花围是()A. m≥1B. m>1C. m≥1且m≠3D. m>1且m≠36.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格线的格点上，将△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，则点P坐标为()A. (0,0)B. (0,1)C. (−1,1)D. (1,1)7.若关于x的不等式组{2(x−1)>2,a−x<0的解集是x>a，则a的取值范围是()A. a<2B. a≤2C. a>2D. a≥28.一个十二边形的内角和等于()A. 2160°B. 2080°C. 1980°D. 1800°9.如图所示，四边形OABC是矩形，△ADE是等腰直角三角形，∠ADE=90°，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y=kx(x>0)的图象上．△ADE的面积为92，且AB=53DE，则k值为()A. 18B. 452C. 526D. 1610.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为B(4,0)；直线AB的解析式为y2=mx+n(m≠0).下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=mx+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；⑤当1<x<4时，则y1>y2，其中正确的是()A. ①②B. ①③⑤C. ①④D. ①④⑤二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在上海合作组织银行联合体框架内，设立300亿元人民币等值专项贷款，将300亿元用科学记数法表示为______元．12.如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B=50°，则∠DAE=______．韩哥智慧之窗-精品文档13.如图，分别以正三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形成为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的面积为______cm2．14.如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，时点B落在点F处，连接FC，若∠DAF=18°，则∠DCF=______度．15.某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是______ 天．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.先化简，再求值：x2−4x+4x2−4÷x2−2xx+2，其中x=12．17.张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：组别步数分组频率A x<60000.1B6000≤x<70000.5C7000≤x<8000mD x≥8000n合计1根据信息解答下列问题：(1)填空：m=______，n=______，并补全条形统计图；(2)这20名朋友一天行走步数中位数落在______组；(填组别)(3)张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．18.小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图①).侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA=OB=24cm，BC⊥AC，∠OAC=30°．。
2021年中考数学模拟试卷六(附答案)
2021年初中毕业生学业（升学）模拟考试试题卷数学同学你好！答题前请认真阅读以下内容：1、本卷共三大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式闭卷。
2、一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效。
3、不能使用科学计算器。
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B 铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分.1.下列换算中，错误的是()A. 47.28°=47°16′48′′B. 83.5°=83°50′C. 16°5′24′′=16.09°D. 0.25°=900′′2.下列运算正确的是()A. a2+a3=a5B. (a2)3=a5C. a4−a3=aD. a4÷a3=a3.如图，能判断直线AB//CD的条件是()A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4C. ∠1+∠3=180∘D. ∠3+∠4=180∘4.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为()A. 15B. 18C. 21D. 245.如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.若设AB=x米，则可列方程()A. x(81−4x)=440B. x(78−2x)=440C. x(84−2x)=440D. x(84−4x)=4406.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC=30°，则AC⏜的长为()A. 5πB. 56C. 53πD. 537.如图，OA的方向是北偏东10°，OB的方向是西北方向，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是()A. 北偏东65°B. 北偏东35°C. 北偏东55°D. 北偏东25°8.如图，∠ACB=90∘，AC=BC，BE⊥CE于E点，AD⊥CE于D点，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE的长为()A. 0.8cmB. 1cmC. 1.5cmD. 4.2cm9.如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD//BC，BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4.E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为()A. 1B. 1.5C. 2D. 2.510.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于()A. 60°B. 50°C. 30°D. 20°二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC.若∠D=20°，则∠ABC的度数为．12.式子√x−2x =√x−2√x成立的条件是．13.已知1a +1b=4，则a−3ab+b2a+2b−7ab=．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为________cm．15.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则有下列结论：①abc>0；②9a+3b+c<0；③c>−1；④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为−1a．其中正确的结论个数有_______.(填序号)三、解答题（本大题共10小题，共100.0分）16.（8分）已知一个直四棱柱的底面是边长为5cm的正方形，侧棱长为8cm．(1)这个直四棱柱一共有几个顶点？几条棱？几个面？(2)这个直四棱柱的侧面展开图是什么形状？请求侧面展开图的面积．17.（8分）如图，已知在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AD=BE，CE⊥BD，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．18.（10分）阅读下面材料：我们知道一次函数y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C=0(A≠0,A、B、C是常数)的形式，点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d=o0√A2+B2计算．例如：求点P(3,4)到直线y=−2x+5的距离．解：∵y=−2x+5∴2x+y−5=0，其中A=2，B=1，C=−5∴点P(3,4)到直线y=−2x+5的距离为：d=|Ax o+By0+C|√A2+B2=|2×3+1×4−5|√22+12=5√5=√5根据以上材料解答下列问题：(1)求点Q(−2,2)到直线3x−y+7=0的距离；(2)如图，直线y=−x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．19.（10分）如图，将▱ABCD的对角线AC分别向两个方向延长至点E，F，且AE=CF，连接BE，DF.求证：BE=DF．20.（10分）阅读下面的材料，解决问题：解方程x4−5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2−5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1．当y=4时，x2=4，∴x=±2．∴原方程有四个根：x1=1，x2=−1，x3=2，x4=−2．请参照例题解方程(x2+x)2−4(x2+x)−12=0．21.（10分）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9<x≤15)时间x(分钟)01234567899～15人数y(人)0170320450560650720770800810810利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？22.（10分）有一个多项式a10−a9b+a8b2−a7b3+⋯，按这样的规律写下去，你知道第7项是什么吗？最后一项呢？这是一个几次几项式？有什么规律？23.（12分）(1)已知点P(2x+3,4x−7)的横坐标减纵坐标的差为6，求点P到x轴、y轴的距离;(2)已知点A(2x−3,6−x)到两坐标轴的距离相等，且在第二象限，求点A的坐标;(3)已知线段AB平行于y轴，点A的坐标为(−2,3)，且AB=4，求点B的坐标．24.（10分）在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE=CF，连接DE，BF，AF．(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)若AF平分∠DAB，AE=3，DE=4，BE=5，求AF的长．25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(−1,0)，且OA=OC=4OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．答案1.B2.D3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.C11.40°12.x≥213.114.2.415.①③④16.解：(1)这个直四棱柱一共有8个顶点，12条棱，6个面．(2)这个直四棱柱的侧面展开图是长方形，面积是4×5×8=160cm2．17.(1)证明：∵AD//BC，∴∠ADB=∠EBC．∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB，在△ABD和△ECB中，{∠ADB=∠EBC ∠A=∠CEBBE=AD，∴△ABD≌△ECB(AAS)；(2)∵△ABD≌△ECB，∴BC=BD，∵∠DBC=50°，∴∠EDC=12(180°−50°)=65°，又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°，∴∠DCE=90°−∠EDC=90°−65°=25°．18.解：(1)∵3x−y+7=0，∴A=3，B=−1，C=7．∵点Q(−2,2)，∴d=22=√10=√1010．∴点Q(−2,2)到到直线3x−y+7=0的距离为√1010；(2)直线y=−x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线为y=−x+2，在直线y=−x上任意取一点P，当x=0时，y=0．∴P(0,0)．∵直线y=−x+2，∴A=1，B=1，C=−2∴d=√12+12=√2，∴两平行线之间的距离为√2．19.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，∴∠BCA=∠DAC，∵AE=CF，∴CA+AE=AC+CF，∴CE=AF，在△BCE和△DAF中，{AD=BC∠BAC=∠DAC CE=AF，∴△BCE≌△DAF，∴BE=DF．20.解：设x2+x=y，原方程可变为y2−4y−12=0，解得y1=6，y2=−2．当y=6时，x2+x=6，得x1=−3，x2=2，当y =−2时，x 2+x =−2，得方程x 2+x +2=0，∵Δ=b 2−4ac =12−4×2=−7<0，此时方程无实根，∴原方程有两个根：x 1=−3，x 2=2．21.解：(1)由表格中数据的变化趋势可知，①当0≤x ≤9时，y 是x 的二次函数，∵当x =0时，y =0，∴二次函数的关系式可设为：y =ax 2+bx ，由题意可得：{170=a +b 450=9a +3b， 解得：{a =−10b =180， ∴二次函数关系式为：y =−10x 2+180x ，②当9<x ≤15时，y =810，∴y 与x 之间的函数关系式为：y ={−10x 2+180x(0≤x ≤9)810(9<x ≤15)； (2)设第x 分钟时的排队人数为w 人，由题意可得：w =y −40x ={−10x 2+140x(0≤x ≤9)810−40x(9<x ≤15)， ①当0≤x ≤9时，w =−10x 2+140x =−10(x −7)2+490，∴当x =7时，w 的最大值=490，②当9<x ≤15时，w =810−40x ，w 随x 的增大而减小，∴210≤w <450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810−40x =0，解得：x =20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(3)设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得：12×20(m +2)≥810， 解得m ≥118，∵m 是整数，∴m ≥118的最小整数是2，∴一开始就应该至少增加2个检测点．22.解：可以观察出，这个多项式从左到右的各项中a 的指数逐项减1，b 的指数逐项加1，符号分别为+，−，+，−，…，所以第7项是a4b6，最后一项是b10，这个多项式是关于a，b的十次十一项式，第n个单项式是(−1)n+1a11−n b n−1，这里n代表第n项．23.解：(1)根据题意，得(2x+3)−(4x−7)=6，解得x=2，∴2x+3=7，4x−7=1，∴P点的坐标为(7,1)，∴点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是7．(2)∵点A(2x−3,6−x)到两坐标轴的距离相等，∴|2x−3|=|6−x|，即2x−3=6−x或2x−3=−(6−x)，解得x=3或x=−3．当x=3时，点A的坐标为(3,3)，位于第一象限，不满足题意;当x=−3时，点A的坐标为(−9,9)，位于第二象限，满足题意，∴点A的坐标为(−9,9)．(3)∵线段AB平行于y轴，点A的坐标为(−2,3)，∴点B的横坐标是−2，又∵AB=4，∴当点B在点A上方时，点B的纵坐标是3+4=7，当点B在点A下方时，点B的纵坐标是3−4=−1，∴点B的坐标是(−2,7)或(−2,−1)．24.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=CB，在△DAE和△BCF中，{AD=CB ∠A=∠C AE=CF∴△DAE≌△BCF(SAS)，∴DE=BF，∵AB=CD，AE=CF，∴DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形；(2)解：∵AB//CD，∴∠DFA=∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF=BE=5，BF=DE=4，∴AD=5，∵AE=3，DE=4，∴AE2+DE2=AD2，∴∠AED=90°，∵DE//BF，∴∠ABF=∠AED=90°，∴AF=√AB2+BF2=√82+42=4√5．25.解：(1)如图，∵B的坐标为(−1,0)，∴OB=1，∴OA=OC=4OB=4，故点A、C的坐标分别为(4,0)、(0,−4)；(2)抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)，把C(0,−4)代入得：−4a=−4，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2−3x−4；(3)直线CA过点C，设其函数表达式为：y=kx−4，将点A坐标代入上式并解得：k=1，故直线CA的表达式为：y=x−4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA=OC=4，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵PH//y轴，∴∠PHD=∠OCA=45°，设点P(x,x2−3x−4)，则点H(x,x−4)，PD=HPsin∠PHD=√22(x−4−x2+3x+4)=−√22x2+2√2x，∵−√22<0，∴PD有最大值，当x=2时，其最大值为2√2，此时点P(2,−6)．。
河南省2021年中考数学真题试卷(word版+答案+解析)
河南省2021年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.实数-2的绝对值是（ ）A. -2B. 2C. 12D. −12 2.河南人民济困最“给力！”，据报道，2020年河南人民在济困方面捐款达到 2.94 亿元数据“ 2.94 亿”用科学记数法表示为（ ）A. 2.94×107B. 2.94×108C. 0.294×106D. 0.294×1093.如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）A. B. C. D.4.下列运算正确的是（ ）A. (−a)2=−a 2B. 2a 2−a 2=2C. a 2⋅a =a 3D. (a −1)2=a 2−15.如图， a //b ， ∠1=60° ，则 ∠2 的度数为（ ）A. 90°B. 100°C. 110°D. 120° 6.关于菱形的性质，以下说法不正确．．．的是（ ）A. 四条边相等B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 是轴对称图形7.若方程 x 2−2x +m =0 没有实数根，则 m 的值可以是（ ）A. -1B. 0C. 1D. √38.现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ）A. 16B. 18C. 110D. 1129.如图，▱OABC的顶点O(0,0)，A(1,2)，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（）A. (2√3,0)B. (2√5,0)C. (2√3+1,0)D. (2√5+1,0)10.如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA−PE=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（共5题；共5分）11.若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是________.12.请写出一个图象经过原点的函数的解析式________.13.某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近.质检员从两厂的产品中各随机抽取15盒进行检测，测得它们的平均质量均为200克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是________.（填“甲”或“乙”）14.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD⌢上，∠BAC=22.5°，则BC⌢的长为________.15.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B= 30°，AC=1.第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A′处，如图2，第二步，将纸片沿CA′折叠，点D落在D′处，如图3.当点D′恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为________.三、解答题（共8题；共83分）16.（1）计算：3−1−√19+(3−√3)0；（2）化简：(1−1x )÷2x−2x2.17. 2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时.某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行卷调查，并将调查结果用统计图描述如下.平均每天睡眠时间x（时）分为5组：① 5≤x<6；② 6≤x<7；③ 7≤x<8；④ 8≤x< 9；⑤ 9≤x<10.根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第________（填序号）组，达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为________；（2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议.18.如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B.数y=kx（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积.19.开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m.参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）20.在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.（1）求证：∠PAO=2∠PBO；，求BP的长.（2）若⊙O的半径为5，AP=20321.猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表：（1）第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？×100%）（注：利润率=利润成本22.如图，抛物线y=x2+mx与直线y=−x+b交于点A(2，0)和点B.（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx>−x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围.23.下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段.请仔细阅读，并完成相应的任务.小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.简述理由如下：由作图，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线.小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是大麻烦了，可以改进如下，如图2.（1）分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是________.（填序号）① SSS；② SAS；③ AAS；④ ASA；⑤ HL.（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由；（3）如图3，已知∠AOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=√3+1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30°时，直接写出线段OC的长.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】实数的绝对值【解析】【解答】解：实数-2的绝对值2.故答案为：B.【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可得答案.2.【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：因为1亿= 108，所以2.94亿=2.94× 108；故答案为：B.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.3.【答案】A【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层靠左边两个小正方形，第三层在左边一个小正方形，故答案为：A.【分析】根据主视图的概念可得：第一列有3个小正方形，第二列有2个小正方形，第三列有1个小正方形，据此判断.4.【答案】C【考点】同底数幂的乘法，完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】解：A、(−a)2=a2，原计算错误，不符合题意；B、2a2−a2=a2，原计算错误，不符合题意；C、a2⋅a=a3，正确，符合题意；D、(a−1)2=a2−2a+1，原计算错误，不符合题意；故答案为：C.【分析】根据幂的乘方法则判断A的正误；根据合并同类项法则判断B的正误；根据同底数幂的乘法法则判断C的正误；根据完全平方公式判断D的正误.5.【答案】D【考点】平行线的性质，邻补角【解析】【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠1=∠3=60°，∴∠2=180°-∠3=120°，故答案为：D.【分析】首先对图形进行角标注，由平行线的性质可得∠3的度数，然后根据邻补角的性质就可求得∠2的度数.6.【答案】B【考点】菱形的性质【解析】【解答】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意；B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；故答案为：B.【分析】菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，据此判断.7.【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：由题可知：“△＜0”，∴(−2)2−4m<0，∴m>1，故答案为：D.【分析】根据根的判别式可得：(-2)2-4m<0，求解即可.8.【答案】A【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种，∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为212=16.故答案为：A.【分析】把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，画出树状图，找出总的情况数以及所抽中的恰好是B和D的情况数，然后根据概率公式进行计算.9.【答案】B【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质【解析】【解答】如图，连接A′C，因为AD⊥y轴，△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，所以∠CD′O=90°，OD′=OD∵∠DOA+∠D′OC=∠D′CO+∠D′OC∴∠DOA=∠D′CO∴△ADO∽△OD′C∴ADAO=OD′OC ∵A(1,2)∴AD=1,OD=2∴AO=√12+22=√5，OD′=OD=2∴OC=2√5故答案为B.【分析】连接A′C，由旋转的性质可得∠CDO=90°，OD′=OD，然后证明△ADO∽△OD′C，接下来根据相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.10.【答案】C【考点】动点问题的函数图象【解析】【解答】解：由图2可知，当P点位于B点时，PA−PE=1，即AB−BE=1，当P点位于E点时，PA−PE=5，即AE−0=5，则AE=5，∵AB2+BE2=AE2，∴(BE+1)2+BE2=AE2，即BE2+BE−12=0，∵BE>0∴BE=3，∵点E为BC的中点，∴BC=6，故答案为：C.【分析】由图2可知，当P点位于B点时，AB-BE=1，当P点位于E点时，AE=5，由勾股定理可得BE的值，然后根据线段中点的概念进行求解.二、填空题11.【答案】x≠1【考点】分式有意义的条件【解析】【解答】解：依题意得：x-1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1.【分析】分式有意义时，分母不能为0，据此求得x的取值范围.12.【答案】y=x（答案不唯一）【考点】待定系数法求一次函数解析式【解析】【解答】解：因为直线y=x经过原点（0，0），故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图象经过原点即可）.【分析】设y=kx+b，将（0，0）代入可得b=0，则y=kx，任意的k就构成一个函数解析式.13.【答案】甲【考点】方差【解析】【解答】解：由题可知，它们的价格相同，品质也相近，测得它们的平均质量均为200 克，而由图形可知，甲厂的红枣每盒质量相对乙厂更加稳定，因此甲厂产品更符合规格要求.故答案为：甲.【分析】由题意可得：甲、乙两个厂家出口的红枣的平均质量均为200克，然后由折线统计图判断出哪个厂家的比较集中即可.14.【答案】5π4【考点】弧长的计算⌢的圆心O，【解析】【解答】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为AD⌢的半径为OB=5，从图中可得：AD连接OC，∵∠BAC=22.5°，∴∠BOC=2 ×22.5°=45°，BĈ的长为45×π×5180=5π4.故答案为：5π4.【分析】连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为AD⌢的圆心O，根据已知条件结合圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式计算即可.15.【答案】12或2−√3【考点】含30°角的直角三角形，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：当D′落在AB边上时，如图（1）：设DD′交AB于点E，由折叠知：∠EA′D=∠A=60°，AD=A′D=A′D′，DD′⊥A′E，A′C=AC∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1∴AB=2,BC=√3设AD=x，则在Rt△A′ED中，A′E=12x在Rt△ECB中，EC=12BC=√32∵A′C=AC∴12x+√32=1即x=2−√3.当D′落在BC边上时，如图（2）因为折叠， ∠ACD =∠A ′CD =∠A ′CD ′=30°,∴ A ′D ′=12A ′C =12A ′B,A ′C =A ′B =AC =1∴AD =A ′D ′=12 . 故答案为： 12 或 2−√3【分析】当D′落在AB 边上时，设DD′交AB 于点E ，由折叠的性质得∠EA′D=∠A=60°，AD=A′D=A′D′，A′C=AC ，然后在△ABC 中可得AB 、BC 的值，设AD=x ，在Rt △A′ED 中可得A′E ，在Rt △ECB 中，表示出EC ，然后根据A′C=AC 就可求得x ；当D′落在BC 上时，由折叠的性质得∠ACD=∠A′CD=∠A′CD′=30°，然后求出A′D′、A′C ，据此可得AD.三、解答题16.【答案】 （1）解： 3−1−√19+(3−√3)0 =13−13+1=1 .（2）解： (1−1x )÷2x−2x 2 =x−1x×x 22(x−1) =x 2 .【考点】实数的运算，分式的混合运算【解析】【分析】（1）根据0次幂、负整数指数幂以及算术平方根的概念可得：原式=13-13+1，据此计算； （2）根据异分母分式减法法则以及分式的除法法则化简即可.17.【答案】（1）③；17％（2）解：该校学生睡眠情况为：该校学生极少数达到《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中的初中生每天睡眠时间应达到9 小时的要求，大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时.建议：①减少校外学习任务时间，将其多出来的时间补充到学生睡眠中去；②减轻校内课业负担，提高学生的学习效率，规定每晚各科作业总时间不超过90分钟等（本题答案不唯一，回答合理即可）.【考点】扇形统计图，条形统计图【解析】【解答】解：（1）由于共有500人，因此中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，由平均每天睡眠时间统计图可知，应位于第③组；∵达到9小时睡眠的人数为85人，∴其所占百分比为：85=17％；500故答案为：③；17％.【分析】（1）根据中位数的概念以及条形统计图可得中位数落在第几组，利用达到9小时睡眠的人数除以总人数可得所占的百分比；（2）根据条形统计图可得：大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时，据此提出建议.18.【答案】（1）解：由题意，点A(1，2)在反比例函数y= k的图象上，x∴k=1×2=2，∴反比例函数的解析式为y=2；x（2）解：点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，设B(a，a)，则有k=a×a=2，∴a=√2，即B( √2，√2)，∴小正方形的边长为2√2，∴小正方形的面积为(2√2)2=8，大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为4，∴大正方形的面积为42=16，∴图中阴影部分的面积为16-8=8.【考点】待定系数法求反比例函数解析式【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中可得k的值，进而得到其解析式；（2）设B（a，a），则有k=a×a=2，据此可得点B的坐标，进而求出小正方形的边长与面积，根据点A 的坐标可得大正方形的边长，求出其面积，接下来根据面积间的和差关系进行求解.19.【答案】解：设佛像BD的高度为xm，∵∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=x，∵佛像头部BC为4m，∴CD=x-4，∵∠DAC=37.5°，∴tan∠DAC= CDAD = x−4x≈0.77，解得：x≈17.4，经检验，该方程有意义，且符合题意，因此x≈17.4是该方程的解，∴求佛像BD的高度约为17.4m.【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】设佛像BD的高度为xm，易得AD=BD=x，CD=x-4，然后根据∠DAC的正切函数可得x 的值，最后进行检验即可.20.【答案】（1）证明：连接OP，取y轴正半轴与⊙O交点于点Q，如下图：∵OP=ON,∴∠OPN=∠PBO，∵∠POQ为△PON的外角，∴∠POQ=∠OPN+∠PBO=2∠PBO，∵∠POQ+∠POA=∠POA+∠PAO=90°，∴∠PAO=∠POQ，∴∠PAO=2∠PBO.（2）解：过点Q作PO的垂线，交PO与点C，如下图：由题意：在Rt△APO中，tan∠PAO=OPAP =5203=34，由（1）知：∠QOC=∠OAP,∠APO=∠OCQ，Rt△APO∽Rt△OCQ，∴tan∠COQ=CQCO =34,OQ=5，∴CO=4,CQ=3，∴PC=PO−CO=5−4=1，∴PQ=√PC2+CQ2=√1+9=√10，由圆的性质，直径所对的角为直角；在Rt△QPB中，由勾股定理得：BP=√BQ2−PQ2=√102−10=3√10，即BP=3√10.【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）连接OP，取y轴正半轴与○O交点于点Q，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可推出∠POQ=2∠PBO，根据同角的余角相等可得∠PAO=∠POQ，据此证明；（2）过点Q 作PO的垂线，交PO与点C，根据三角函数的概念可得tan∠PAO的值，易证△APO∽△OCQ，根据相似三角形对应角相等可求出CO、CQ的值，进而求出PC、PQ的值，接下来在Rt△QPB中，利用勾股定理求解即可.21.【答案】（1）解：设A，B两款玩偶分别为x,y个，根据题意得：{x+y=3040x+30x=1100解得：{x=20y=10答：两款玩偶，A款购进20个，B款购进10个.（2）解：设购进A款玩偶a个，则购进B款(30−a)个，设利润为y元则y=(56−40)a+(45−30)(30−a)=16a+15(30−a)=450+a（元）∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半∴a≤12(30−a)∴a≤10，又a≥0,∴0≤a≤10,且a为整数，∵−1<0∴当a=10时，y有最大值∴y max=460.（元）∴A款10个，B款20个，最大利润是460元.（3）解：第一次利润20×(56−40)+10×(45−30)=470（元）∴第一次利润率为：4701100×100%=42.7%第二次利润率为：46010×40+20×30×100%=46%∵42.7%<46%∴第二次的利润率大，即第二次更划算.【考点】一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）设A，B两款玩偶分别为x、y个，根据题意得：{x+y=3040x+30x=1100，求解即可；（2）设购进A款玩偶a个，利润为y元，由题意可得：y=(56-40)a+(45-30)(30-a)=450+a，根据A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半可求出a的范围，然后结合一次函数的性质解答；（3）首先根据销售价以及进货价求出单个的利润，然后乘以个数求出总利润，接下来利用总利润除以1100就可求出第一次的利润率，同理求出第二次利润率，然后进行比较.22.【答案】（1）解：∵点A(2，0)同时在y=x2+mx与y=−x+b上，∴0=22+2m，0=−2+b，解得：m=−2，b=2；（2）解：由（1）得抛物线的解析式为y=x2−2x，直线的解析式为y=−x+2，解方程x2−2x=−x+2，得：x1=2，x2=−1.∴点B的横坐标为−1，纵坐标为y=−x+2=3，∴点B的坐标为(-1，3)，观察图形知，当x<−1或x>2时，抛物线在直线的上方，∴不等式x2+mx> −x+b的解集为x<−1或x>2；（3）解：如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，∵点A(2，0)，点B(-1，3)，∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，∴A A1=BB1=3，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，对于抛物线y=x2−2x=(x−1)2−1，∴顶点为(1，-1)，如图，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线 y =x 2−2x 只有一个公共点，此时 −1≤x M <2 ，当线段MN 经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN 与抛物线 y =x 2−2x 也只有一个公共点， 此时点M 1的纵坐标为-1，则 −1=−x M +2 ，解得 x M =3 ，综上，点M 的横坐标 x M 的取值范围是： −1≤x M <2 或 x M =3 ..【考点】平移的性质，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）分别将点A 的坐标代入抛物线以及直线解析式中就可得到m 、b 的值； （2） 由（1）可得抛物线与直线的解析式，联立求解可得点B 的坐标，据此可得不等式的解集； （3）设A 、B 向左移3个单位得到A 1、B 1， 根据平移的性质可得A 1、B 1的坐标，求出AA 1=BB 1=3，且AA 1∥BB 1 ， 然后求出抛物线的顶点坐标 ，接下来画出图象，根据图象就可得到x M 的范围.23.【答案】 （1）⑤（2）解：小军作图得到的射线 OP 是 ∠AOB 的平分线，理由为：在△EOD 和△FOC 中，{OD =OC∠EOD =∠FOC OE =OF∴△EOD ≌△FOC （SAS ），∴∠OED=∠OFC ，∵OC=OD ，OE=OF ，∴CE=DF ，在△CEP 和△DFP 中，{∠CEP =∠DFP∠EPC =∠FPD CE =DF，∴△CEP ≌△DFP （AAS ），∴PE=PF ，在△EOP 和△FOP ，{OE =OF PE =PF OP =OP，∴△EOP ≌△FOP （SSS ），∴∠EOP=∠FOP ，即射线 OP 是 ∠AOB 的平分线；（3）解：作射线OP ，由（2）可知OP 是∠AOB 的平分线，∴∠POE= 12∠AOB=30°，∵∠CPE=30°，∴∠FPE=150°∵△EOP≌△FOP，∴∠OPE=∠OPF= 12（360°﹣∠FPE）=105°，∴∠OEP=180°﹣∠POE﹣∠OPE=45°，过P作PH⊥OA于H，则HP=HE，OP=2HP=2HE，∴ PE= √2HE，OH= √OP2−HP2= √3HP= √3HE，∵OE=OH+HE=( √3+1)HE= √3+1，∴HE=1，∴PE= √2，∵∠POE=∠CPE=30°，∠OEP=∠PEC，∴△OEP∽△PEC，∴OEPE =PECE即√3+√2=√2CE，解得：CE=√31√3−1，∴OC=OE﹣CE=2.【考点】三角形全等的判定，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定【解析】【解答】解：（1）根据小明作图所阐述的理由，他用到是HL定理证明Rt△PGO≌Rt△PHO，故答案为：⑤.【分析】（1）直接根据全等三角形的判定定理解答；（2）易证△EOD≌△FOC，得到∠OED=∠OFC，然后证明△CEP≌△DFP，得到PE=PF，进而证明△EOP≌△FOP，得到∠EOP=∠FOP，据此证明；（3）作射线OP，由（2）可知OP是∠AOB的平分线，根据△EOP≌△FOP结合等腰三角形的性质可得∠OPE=∠OPF=105°，进而求出∠OEP的度数，过P作PH⊥OA于H，则HP=HE，OP=2HP=2HE，由勾股定理可得OH的值，进而求出OE、HE、PE的值，接下来证明△OEP∽△PEC，由相似三角形的性质解答即可.。
【中考冲刺】2021年河南省驻马店市中考数学模拟试卷(附答案) (1)
A． B． C． D．
9．定义运算： ．例如 ．则方程 的根的情况为（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
10．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1．将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2020次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2020的坐标为（）
销售该商品的总利润能否达到30000元？若能，请求出此时的单价；若不能，请说明理由．
21．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程 的两个根是 ，则方程 是“邻根方程”．
根据上述定义，判断方程 ______（填“是”或“不是”）“邻根方程”；
（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
23．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为
（1）求直线AB的函数表达式；
A．32B．8C．4D．16
2021年九年级中考数学 冲刺训练：一元二次方程及其应用(含答案)
2021中考数学 冲刺训练：一元二次方程及其应用一、选择题1. 用配方法解方程x 2－6x ＝4时，需要两边同时加上( ) A ．3 B ．4C ．6D ．92. 关于x的一元二次方程x 2＋4kx －1＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断3. 方程3x (2x ＋1)＝2(2x ＋1)的两个根为( )A ．x 1＝23，x 2＝0 B ．x 1＝23，x 2＝12 C ．x 1＝32，x 2＝－12 D ．x 1＝23，x 2＝－124. 当b ＋c ＝5时，关于x 的一元二次方程3x 2＋bx －c ＝0的根的情况为( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5. 随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元下降到现在的64元，求年平均下降率．设年平均下降率为x ，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是( )A ．年平均下降率为80%，符合题意B ．年平均下降率为18%，符合题意C ．年平均下降率为1.8%，不符合题意D．年平均下降率为180%，不符合题意6. 某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，那么每天可售出100 kg，若这种糖果每千克的售价每增加0.5元，则每天的销售量就会减少2 kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x 元/kg，依题意可列方程为()A．(20＋x)(100－2x)＝1800B．(20＋x)(100－2x0.5)＝1800C．x(100－x－200.5×2)＝1800D．x[100－2(x－20)]＝18007. 2018·绵阳在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，则参加酒会的人数为()A．9 B．10 C．11 D．128. 如果关于x的一元二次方程k2x2－(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()A．k＞－14B．k＞－14且k≠0C．k＜－14D．k≥－14且k≠0二、填空题9. 方程(3x－4)2－(3x－4)＝0的根是____________．10. 如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为.11. 一元二次方程4x 2＝3x 的解是______________．12. 配方法解一元二次方程x 2－2 2x ＋1＝0，所得结果是x 1＝________，x 2＝________．13. 已知关于x的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为________．14. 小明在解方程x 2－2x －1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x 2－2x ＝－1.(第一步) x 2－2x ＋1＝－1＋1.(第二步) (x －1)2＝0.(第三步) x 1＝x 2＝1.(第四步)(1)小明的解答过程是从第________步开始出现错误，其错误原因是________________；(2)请写出此题正确的解答过程．15. 已知关于x 的方程ax 2－bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个根是12，且b 2－4ac ＝0，则此方程的另一个根是________．16. 在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2 3，AC ＝b ，且关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，则AC 边上的中线长为________．三、解答题17. 解方程组：222,230.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩18. （2020·广东）已知关于x 、y 的方程组4ax x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩215x y x by -=⎧⎨+=⎩的解相同．（1）求a 、b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x 的方程20++=的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．x ax b19. 如图，有一矩形的硬纸板，长为30 cm，宽为20 cm，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为200 cm2?20. 已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.21. 已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．(1)求证：不论p为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)当p为何值时，方程有整数解？(直接写出三个，不需要说明理由)22. “早黑宝”是某省农科院研制的优质新品种，在该省被广泛种植．某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到225亩．(1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率；(2)市场调查发现，当“早黑宝”售价为20元/千克时，每天能售出200千克，每千克的售价每降低1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1800元，则每千克的售价应降低多少元？23. 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元/件销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，每件每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元/件，设第二个月每件降低x元．(1)填表：(不需化简)时间第一个月第二个月清仓时单价(元/件) 80 40销售量(件) 200(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少？24. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程x 2－5x ＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标； (4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P(m 1，n 1)．Q(m 2，n 2)就是符合要求的一对固定点？2021中考数学 冲刺训练：一元二次方程及其应用-答案一、选择题 1. 【答案】D2. 【答案】A [解析] 在方程x 2＋4kx －1＝0中，Δ＝b 2－4ac ＝(4k)2－4×1×(－1)＝16k 2＋4.∵16k 2＋4＞0， ∴方程x 2＋4kx －1＝0有两个不相等的实数根．故选A.3. 【答案】D[解析] 3x(2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0，(3x －2)(2x ＋1)＝0， 3x －2＝0或2x ＋1＝0， 所以x 1＝23，x 2＝－12.4. 【答案】A[解析] 因为b ＋c ＝5，所以c ＝5－b.因为Δ＝b 2－4×3×(－c)＝b 2－4×3×(b －5)＝(b －6)2＋24>0，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根．5. 【答案】D[解析] 设年平均下降率为x ，则可得100(1－x )2＝64，解之得x 1＝0.2＝20%，x 2＝1.8＝180%.由于0＜x ＜1，因此年平均下降率为180%不符合题意．6. 【答案】C7. 【答案】C[解析] 设参加酒会的人数为x ，根据题意，得12x (x －1)＝55， 整理，得x 2－x －110＝0，解得x 1＝11，x 2＝－10(不合题意，舍去)． 故参加酒会的人数为11.8. 【答案】B二、填空题9. 【答案】x 1＝43，x 2＝53[解析] 原方程左边分解因式得(3x －4)[(3x －4)－1]＝0，即(3x －4)(3x －5)＝0.于是3x －4＝0或3x －5＝0.所以x 1＝43，x 2＝53.10. 【答案】(12-x )(8-x )=7711. 【答案】x 1＝0，x 2＝34[解析] 4x 2＝3x ， 4x 2－3x ＝0， x(4x －3)＝0， x ＝0或4x －3＝0， 所以x 1＝0，x 2＝34.12. 【答案】2－1 2＋113. 【答案】0[解析] 由题意得Δ＝b 2－4ac ＝4－4(k －1)>0，∴k<2.又∵k －1≠0，即k≠1，∴k<2且k≠1，∴k 的最大整数值为0.14. 【答案】解：(1)一移项时没有变号(2)x 2－2x ＝1. x 2－2x ＋1＝1＋1. (x －1)2＝2.x －1＝±2.所以x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.15. 【答案】12[解析] 由b 2－4ac ＝0知原方程根的判别式为0，因此原方程有两个相等的实数根．故原方程的另一个根也是12.16. 【答案】2[解析] 因为关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(－4)2－4b ＝16－4b ＝0，得AC ＝b ＝4. 因为BC ＝2，AB ＝2 3， 所以BC 2＋AB 2＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形，AC 为斜边，则AC 边上的中线长为斜边的一半，为2.三、解答题17. 【答案】解：⎩⎨⎧x －y ＝2， ①x 2－2xy －3y 2＝0， ②方程①变形为y ＝x －2. ③把③代入②，得x 2－2x (x －2)－3(x －2)2＝0. 整理，得x 2－4x ＋3＝0.解这个方程，得x 1＝1，x 2＝3.将x 1＝1，x 2＝3代入③，分别求得y 1＝－1，y 2＝1.所以原方程组的解为⎩⎨⎧ x 1＝1，y 1＝－1或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝1.18. 【答案】解：（1）由题意得24x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得，31x y =⎧⎨=⎩.将31x y =⎧⎨=⎩代入ax +=-15x by +=，解得a =-12b =. （2）该三角形是等腰直角三角形，理由如下：由（1）得2120x -+=，配方得，(20x -=.解得，12x x ==∴ 该三角形的形状是等腰三角形.∵(224=，(212=，∴(((222=+∴ 该三角形的形状是等腰直角三角形19. 【答案】解:设剪去的小正方形的边长为x cm ， 根据题意有:(30-2x )(20-2x )=200， 解得x 1=5，x 2=20，当x=20时，30-2x<0，20-2x<0，所以x=5.答:当剪去的小正方形的边长为5 cm 时，长方体盒子的底面积为200 cm 2.20. 【答案】解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4×1×(m 2－1)＝4m ＋5＞0，解得m ＞－54.(2)答案不唯一，如取m ＝1，此时原方程为x 2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3.21. 【答案】解：(1)证明：原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0. ∵Δ＝b 2－4ac ＝(－5)2－4(4－p 2)＝4p 2＋9＞0， ∴不论p 为何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0. 由求根公式得方程的根为x ＝5±4p 2＋92.∵方程有整数解，∴找到p 的值，使5±4p 2＋92为整数即可，∴p 可取0，2，－2，10，－10等，此时方程有整数解(答案不唯一，写出三个即可)．22. 【答案】解：(1)设该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率为x ， 根据题意，得100(1＋x )2＝225，解得x 1＝0.5＝50%，x 2＝－2.5(不合题意，舍去)．答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率为50%.(2)设每千克的售价降低y元，则每天可售出(200＋50y)千克，根据题意，得(20－12－y)(200＋50y)＝1800，整理，得y2－4y＋4＝0，解得y1＝y2＝2.答：每千克的售价应降低2元．23. 【答案】解：(1)填表如下：(2)根据题意，得200×(80－50)＋(200＋10x)(80－x－50)＋[800－200－(200＋10x)](40－50)＝9000，整理，得10x2－200x＋1000＝0，解得x1＝x2＝10.当x＝10时，80－x＝70＞50.答：第二个月的单价应是70元/件．24. 【答案】【思路分析】(1)因为点C是x轴上的一动点，且∠ACB＝90°保持不变，所以由圆周角的性质得，点C必在以AB为直径的圆上，所以以AB为直径画圆，与x 轴相交于两点，除点C的另一点就是所求；(2)因为∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，所以过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则构造了一个“K”字型的基本图形，再由相似三角的性质得出比例式，化简后得m2－5m＋2＝0，问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，一个二次项系数为1的一元二次方程，一次项系数是点A的横坐标与点B的横坐标的和的相反数；常数项是点A的纵坐标与点B的纵坐标的积，先把方程ax2＋bx＋c＝0，化为x2＋ba x＋ca＝0，再根据上述关系写出一对固定点的坐标；(4)由(2)的证明中知，本题的关键点在“K”字型的构造，所以本小题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型，只要P、Q两点分别在AD、BD上，过P、Q分别作x轴垂线，垂足为M、N，这样就构造出满足条件的基本图形，再应用相似三角形的性质，可得相应的关系式．图① 图②(1)解：如解图①，先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，12AB 为半径画圆．x 轴上另外一个交点即为D 点；(4分)(2)证明：如解图①，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠BDE ＝90°，∵∠OAD ＋∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝∠BDE ，∵∠AOD ＝∠DEB ＝90°，∴△AOD ∽△DEB ，(6分)∴AO DE ＝OD EB ，即15－m＝m 2， ∴m 2－5m ＋2＝0，∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实根；(8分)(3)解：(0，1)，(－b a ，c a )或(0，1a )，(－b a ，c )；(10分)(4)解：在解图②中，P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别作x 轴的垂线交x 轴于M ，N.由(2)知△PMD ∽△DNQ ，∴n 1m 2－x ＝x －m 1n 2，(12分) ∴x 2－(m 1＋m 2)x ＋m 1m 2＋n 1n 2＝0与ax 2＋bx ＋c ＝0同解，∴－b a ＝m 1＋m 2；c a ＝m 1m 2＋n 1n 2.(14分)【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题．本题解题的突破口要抓住∠ACB ＝90°保持不变的特征，构造相似三角形中的基本图形，通过数形结合的方法，以相似三角形的比例式为桥梁，以此获得关于m 的等量关系，从而使问题得以解决．。
2021年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷(含解析)
2021年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．﹣的相反数是（）A．﹣B．﹣C．D．2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．B．C．D．3．2020年6月3日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002s，则0.00000002用科学记数法表示为（）A．0.2×10﹣6B．0.2×10﹣7C．2×10﹣7D．2×10﹣84．下列运算正确的是（）A．3a+2a＝5a2B．﹣8a2÷4a＝2aC．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．4a3•3a2＝12a65．如图，a∥b，一块含有45°角的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．15°B．25°C．35°D．45°6．郑州市某区为了解参加2021年中考的8900名学生的体重情况，随机抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（）A．8900名学生是总体B．每名学生是总体的一个个体C．1500名学生的体重是总体的一个样本D．以上调查是普查7．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1 8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BD，BE，使BD＝BE；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点F；作射线BF交AC于点H．若HA＝2，P为BC上一动点，则HP的最小值是（）A．2B．C．1D．无法确定9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）＝B．＝3C．3x﹣1＝D．＝310．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ 的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：﹣（﹣2021）0＝．12．不等式组的解集是．13．小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则是：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，如果两个人的手势相同，那么小凡获胜；如果两个人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．这个游戏中小凡获胜的概率是．14．如图，在矩形ABCD中，CB＝，CD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至AB'C'D'的位置，此时边BC的对应边B'C'恰好经过点D，连接AC，AC'，S扇形CAC′＝．15．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点P是线段DC上的动点，将△ADP沿直线AP翻折，得到△AEP，点H是BC上一点，且BH＝3，连接AH，HE，当DP的长为时，△AHE是直角三角形．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．17．为落实校园生活垃圾分类工作，2021年3月韩寺镇中学举办了“绿色校园你我共建”活动；紫薇路中学进行了“美丽河南我是行动者”环保专题讲座．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，我县某初中在4月份进行了“垃圾分类人人有责”的知识测试，李明从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分）进行整理、分析，得到下面的条形统计图和表格．年级平均数众数中位数8分及以上所占百分比七年级7.5a7c八年级7.58b50%根据以上信息，解答下列问题：（1）上述表中的a＝，b＝，c＝；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）．（3）该校七、八年级共有1500名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生人数是多少？18．如图，AO是⊙O的半径，DA⊥AO且DA＝AO，B是半圆O上一点，连接AB，作▱ABCD，过点C作半圆O的切线CE，交AO的延长线于点P，切点为E，连接BE．（1）当BE∥AP时，求证：CE＝OP；（2）当∠BAP＝度时，ABCD为菱形．19．2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．已知所需费用y（元）与购买洗手液的数量x（瓶）之间的函数图象如图所示．（1）根据图象可知，洗手液的单价为元/瓶，请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）请求出a的值；（3）如果该高校共有m名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．20．如图①是某社区进行合村并点改造后的居民住宅，如图②是其中一部分的示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高PC所在的直线，郑州市某初中九（1）班数学活动小组，为测量房屋的高度，他们在地面上A点测得屋顶P的仰角是28°，此时地面上A 点、屋檐上E点、屋顶上P点三点恰好共线；继续向房屋方向走10m到达点B，又测得屋檐E点的仰角是60°．已知房屋的顶层横梁DE＝4.8m，DE∥CA，PC交DE于点F （点C，B，A在同一水平直线上）．（参考数据：sin28°≈0.3，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5，≈1.7）（1）求屋顶到横梁的距离PF；（2）求房屋的高度PC（结果精确到0.1m）．21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（﹣1，0），C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB，点P为抛物线上一点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标；（3）M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，当m﹣≤x1≤m+，x2≥2时，总有y1≥y2，请直接写出m的取值范围．22．如图①，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长CA至点D，过点C作CE∥AB交DB的延长线于点E，设AD＝x，CE＝y．数学思考：（1）用含x的代数式表示CD的长是；与△DAB相似的三角形是；y与x之间的函数关系式是；数学探究：王芳同学根据学习函数的经验，对y与x之间的函数关系的图象与性质进行了探究．下面是王芳的探究过程，请补充完整：（2）下表列出了y与x的几组对应值，其中m＝，n＝；x…1234…y…6m4n3…（3）在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表中各组对应值对应的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数图象解决下列问题：①写出该函数的一条性质；②当该函数图象与直线y＝﹣x+b只有一个交点时，图①中线段CE的长是．23．如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，P为边AB上一动点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥BC于点D，连接PC，取PC的中点E，连接AE，DE．（1）填空：AE与DE的数量关系为，∠AED的度数为；（2）将△PDB绕点B逆时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜360°），请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将△PDB绕点B在平面内自由旋转，且BA＝6，BP＝2，请直接写出线段AE的最大值．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．﹣的相反数是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．解：﹣的相反数是，故选：C．2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．B．C．D．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：C．3．2020年6月3日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002s，则0.00000002用科学记数法表示为（）A．0.2×10﹣6B．0.2×10﹣7C．2×10﹣7D．2×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是整数负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.00000002＝2×10﹣8．故选：D．4．下列运算正确的是（）A．3a+2a＝5a2B．﹣8a2÷4a＝2aC．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．4a3•3a2＝12a6【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方和积的乘方运算法则、整式的乘除运算法则分别计算得出答案．解：A、3a+2a＝5a，故此选项错误；B、﹣8a2÷4a＝﹣2a，故此选项错误；C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，正确；D、4a3•3a2＝12a5，故此选项错误；故选：C．5．如图，a∥b，一块含有45°角的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】过直角顶点作直线c∥a，则a∥b∥c，根据平行线的性质得到∠1＝∠3，∠2＝∠4，结合∠3+∠4＝90°，∠1＝65°即可求出∠2．解：过直角顶点作直线c∥a，如图：则∠3＝∠1，∵∠1＝65°，∴∠3＝65°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝90°﹣∠3＝25°，∵a∥b，∴b∥c，∴∠2＝∠4＝25°，故选：B．6．郑州市某区为了解参加2021年中考的8900名学生的体重情况，随机抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（）A．8900名学生是总体B．每名学生是总体的一个个体C．1500名学生的体重是总体的一个样本D．以上调查是普查【分析】根据总体，个体、样本、普查、抽查的意义进行判断即可．解：“8900名学生的体重情况”是考查的总体，因此选项A不符合题意；“每一名学生的体重情况”是总体的一个个体，因此选项B不符合题意；“1500名学生的体重情况”是总体的一个样本，因此选项C符合题意；以上调查是抽样调查，不是普查，因此选项D不符合题意；故选：C．7．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，∴，解得：m≤2且m≠1．故选：D．8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BD，BE，使BD＝BE；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点F；作射线BF交AC于点H．若HA＝2，P为BC上一动点，则HP的最小值是（）A．2B．C．1D．无法确定【分析】根据作图过程可得BH平分∠ABC，当HP⊥BC时，HP最小，根据角平分线的性质即可得HP的最小值．解：根据作图过程可知：BH平分∠ABC，当HP⊥BC时，HP最小，∴HP＝HA＝2．故选：A．9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）＝B．＝3C．3x﹣1＝D．＝3【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．解：依题意，得：3（x﹣1）＝．故选：A．10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（）A．B．C．D．【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤x≤4时，根据四边形PBDQ的面积＝△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；②4≤x≤8时，根据四边形PBDQ的面积＝△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．解：①0≤x≤4时，∵正方形的边长为4cm，∴y＝S△ABD﹣S△APQ，＝×4×4﹣•x•x，＝﹣x2+8，②4≤x≤8时，y＝S△BCD﹣S△CPQ，＝×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x），＝﹣（8﹣x）2+8，所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：﹣（﹣2021）0＝2．【分析】直接利用零指数幂的性质以及算术平方根分别化简得出答案．解：原式＝3﹣1＝2．故答案为：2．12．不等式组的解集是≤x＜6．【分析】先求每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．解：，解不等式①得：x≥，解不等式②得：x＜6，∴不等式组的解集是≤x＜6，故答案为：≤x＜6．13．小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则是：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，如果两个人的手势相同，那么小凡获胜；如果两个人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．这个游戏中小凡获胜的概率是．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小颖两人手势相同的情况，再由概率公式求出小凡获胜的概率即可．解：列表如下：石头剪刀布石头（石头，石头）（剪刀，石头）（布，石头）剪刀（石头，剪刀）（剪刀，剪刀）（布，剪刀）布（石头，布）（剪刀，布）（布，布）所有等可能的情况有9种，其中小明、小颖两人的手势相同的情况有3种，则P（小凡获胜）＝＝，故答案为：．14．如图，在矩形ABCD中，CB＝，CD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至AB'C'D'的位置，此时边BC的对应边B'C'恰好经过点D，连接AC，AC'，S扇形CAC′＝．【分析】首先证明△ADB′是等腰直角三角形，求出∠B′AD＝∠B′DA＝45°，进而求得∴∠ACA′＝∠B′AB＝45°，AC＝，利用扇形面积公式求解即可．解：在Rt△ADB′中，∠B′＝90°，AD＝CB＝，AB′＝AB＝CD＝1，∴BD′＝＝＝1，∴BD′＝AB′＝1，∴∠B′AD＝∠B′DA＝45°，∴∠ACA′＝∠B′AB＝45°，AC＝＝＝，∴S扇形ACA′＝＝故答案为：．15．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点P是线段DC上的动点，将△ADP沿直线AP翻折，得到△AEP，点H是BC上一点，且BH＝3，连接AH，HE，当DP的长为8或时，△AHE是直角三角形．【分析】分两种情况讨论：①点E在AH的右边时，可得∠AEH＝90°，点H、E、P三点共线．由折叠可证Rt△ABH≌Rt△AEH，设DP＝x，则PE＝x，PC＝8﹣x，HC＝8﹣3＝5，在Rt△PCH中，根据勾股定理建立方程（3+x）2＝（8﹣x）2+52，即可得解；②点E在AH的左边时，点E、B重合，点P、C重合，故DP＝8．解：①点E在AH的右边时，且∠AEH＝90°，∵∠AEP＝∠ADP＝90°，∴点H、E、P三点共线．由折叠性质可知，在Rt△ABH和Rt△AEH中，，Rt△ABH≌Rt△AEH（HL）．∴HE＝BH＝3，设DP＝x，则PE＝x，PC＝8﹣x，HC＝8﹣3＝5，在Rt△PCH中，由勾股定理得：PH2＝HC2+PC2，即（3+x）2＝（8﹣x）2+52，解得：x＝．故DP＝．②点E在AH的左边时，且∠AEH＝90°时，点E、B重合，此时P、C重合，故DP＝8．故答案为：8或．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．解：（﹣）÷＝[+]＝（）＝＝＝＝，当x＝时，原式＝＝＝1+2．17．为落实校园生活垃圾分类工作，2021年3月韩寺镇中学举办了“绿色校园你我共建”活动；紫薇路中学进行了“美丽河南我是行动者”环保专题讲座．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，我县某初中在4月份进行了“垃圾分类人人有责”的知识测试，李明从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分）进行整理、分析，得到下面的条形统计图和表格．年级平均数众数中位数8分及以上所占百分比七年级7.5a7c八年级7.58b50%根据以上信息，解答下列问题：（1）上述表中的a＝7，b＝7.5，c＝45%；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）．（3）该校七、八年级共有1500名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生人数是多少？【分析】（1）根据条形统计图中的数据，可以计算出a、b、c的值；（2）先判断哪个年级掌握的好，然后根据判断说明理由即可；（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生人数是多少．解：（1）由条形统计图可得，a＝7，b＝（7+8）÷2＝7.5，c＝×100%＝45%，故答案为：7，7.5，45%；（2）八年级掌握垃圾分类知识比较好，理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好；（3）1500×＝1350（人），答：估计参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生有1350人．18．如图，AO是⊙O的半径，DA⊥AO且DA＝AO，B是半圆O上一点，连接AB，作▱ABCD，过点C作半圆O的切线CE，交AO的延长线于点P，切点为E，连接BE．（1）当BE∥AP时，求证：CE＝OP；（2）当∠BAP＝60度时，ABCD为菱形．【分析】（1）证明△CBE≌△OEP（AAS），即可求解；（2）▱ABCD为菱形，则DA＝AB＝AO＝OE，即△BAO为等边三角形，即可求解．【解答】（1）证明：延长CB交AP于点F，连接OB、OE，∵AD⊥AO，AD∥BC，∴CF⊥AP，∵BE∥AP，CF⊥AP，∴CB⊥BE，即∠CBE＝90°，∵CE是圆的切线，则∠OEP＝90°＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝AO＝OE，∵BE∥AP，∴∠P＝∠CEB，在△CBE和△OEP中，，∴△CBE≌△OEP（AAS），∴CE＝OP；（2）解：∵▱ABCD为菱形，∴DA＝AB＝AO＝OB，∴△BAO为等边三角形，∴∠BAP等于60度时，▱ABCD为菱形，故答案为：60．19．2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．已知所需费用y（元）与购买洗手液的数量x（瓶）之间的函数图象如图所示．（1）根据图象可知，洗手液的单价为14元/瓶，请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）请求出a的值；（3）如果该高校共有m名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．【分析】（1）根据图象可得洗手液的单价，根据题意，可以分别写出两种优惠活动y与x的函数关系式；（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；（3）由（2）求得的值并结合图象解答即可．解：（1）由图象可得，100瓶洗手液的价格是1400元，∴洗手液的单价为1400÷100＝14（元/瓶），∴活动一：y与x的函数关系式为y1＝0.9×14x＝12.6x；活动二：当0＜x≤100时，y2＝14x（0＜x≤100），当x＞100时，y2＝1400+（x﹣100）×14×0.8＝11.2x+280（x＞100），∴y1＝12.6x，y2＝，故答案为：14；（2）由题意得：12.6x＝11.2x+280，解得x＝200，∴a＝12.6×200＝2520；（3）结合图象可知，当0＜x≤200时，y2＞y1，按活动一购买最省钱．当x＝200时，y2＝y1，按活动一，活动二购买价格一样．当x＞200时，y2＜y1，按活动二购买最省钱．∵计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．∴当0＜m≤100时，y2＞y1，按活动一购买最省钱．当m＝100时，y2＝y1，按活动一，活动二购买价格一样．当m＞100时，y2＜y1，按活动二购买最省钱．20．如图①是某社区进行合村并点改造后的居民住宅，如图②是其中一部分的示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高PC所在的直线，郑州市某初中九（1）班数学活动小组，为测量房屋的高度，他们在地面上A点测得屋顶P的仰角是28°，此时地面上A 点、屋檐上E点、屋顶上P点三点恰好共线；继续向房屋方向走10m到达点B，又测得屋檐E点的仰角是60°．已知房屋的顶层横梁DE＝4.8m，DE∥CA，PC交DE于点F （点C，B，A在同一水平直线上）．（参考数据：sin28°≈0.3，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5，≈1.7）（1）求屋顶到横梁的距离PF；（2）求房屋的高度PC（结果精确到0.1m）．【分析】（1）根据题意得到PC⊥DE，EF＝DE＝2.4，∠PEF＝∠EAH＝28°，解直角三角形即可得到结论；（2）过E作EH⊥AB于H，设EH＝PC＝x，解直角三角形即可得到结论．解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高PC所在的直线，DE∥AC，∴PC⊥DE，EF＝DE＝2.4，∠PEF＝∠EAH＝28°，在Rt△PEF中，∠PFE＝90°，∠PEF＝28°，∵tan∠PEF＝tan28°＝，EF＝2.4，∴PF≈2.4×0.5＝1.2（米）；答：屋顶到横梁的距离AG约为1.2米；（2）过E作EH⊥AB于H，设EH＝PC＝x，在Rt△EBH中，∠EHB＝90°，∠EBH＝60°，∵tan∠EBH＝，∴BH＝，在Rt△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝28°，∵tan∠EAH＝，∴AH＝，∵AH﹣BH＝AB＝10，∴﹣＝10，解得：x≈3.86，∴PC＝PF+FC＝5.06≈5.1（米），答：房屋的高PC约为5.1米．21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（﹣1，0），C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB，点P为抛物线上一点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标；（3）M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，当m﹣≤x1≤m+，x2≥2时，总有y1≥y2，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）将点A（0，3）、B（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中即可求得b、c 的值，进而得到解析式；（2）过点A作AM⊥BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”证明△ABO≌△MAN．继而得到点M坐标，求出直线BM解析式，联立BM解析式与抛物线解析式即可得交点P的坐标；（3）结合抛物线图象，可直观看到当x2≥2时，y2≤3．要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，得0≤x1≤2，从而，解不等式即可．解：（1）将点A（0，3）、B（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：．∴该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）过点A作AM⊥BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N．又∠ABP＝45°，则△ABM为等腰直角三角形，AM＝AB，∵∠BAO+∠PAO＝∠BAM＝90°，∠PAO+∠APN＝90°，∴∠BAO＝∠APN．在△ABO和△MAN中，，∴△ABO≌△MAN（AAS）．∴AN＝BO＝1，ON＝OA﹣AN＝3﹣1＝2，MN＝AO＝3，∴点M坐标为（3，2）．设直线BM解析式为y＝kx+b，代入点B（﹣1，0）、M（3，2）得：，解得：．故直线BM解析式为y＝．把BM解析式与抛物线解析式联立：，解得，故点P坐标为（，）．（3）由图可知，当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3，当x2≥2时，y2≤3．要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，即﹣x2+2x+3≥3，解得：0≤x≤2，即0≤x1≤2，∴，解不等式得到：．22．如图①，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长CA至点D，过点C作CE∥AB交DB的延长线于点E，设AD＝x，CE＝y．数学思考：（1）用含x的代数式表示CD的长是x+2；与△DAB相似的三角形是△DCE；y与x之间的函数关系式是y＝+2；数学探究：王芳同学根据学习函数的经验，对y与x之间的函数关系的图象与性质进行了探究．下面是王芳的探究过程，请补充完整：（2）下表列出了y与x的几组对应值，其中m＝，n＝；x…1234…y…6m4n3…（3）在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表中各组对应值对应的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数图象解决下列问题：①写出该函数的一条性质y随x的增大而减小；②当该函数图象与直线y＝﹣x+b只有一个交点时，图①中线段CE的长是4．【分析】（1）CD＝AD+AC；两条平行线截两条相交直线所得的两个三角形相似即△DAB ∽△DCE．根据相似比得y与x之间的函数关系式．（2）将x＝和3分别代入解析式可求得．（3）根据表格描点即可；（4）由图象可知y随x的增大而减小．y＝+2和直线y＝﹣x+b联立，得一元二次方程只有两个相等根即可求得．解：（1）∵AD＝x，AC＝2，∴CD＝AD+AC＝x+2，∵AB∥CE，∴△DAB∽△DCE（两条平行线截两条相交直线所得的两个三角形相似），∴＝⇒＝，∴y＝＝+2；（2）将x＝代入解析式y＝+2得y＝m＝，将x＝3，代入y＝+2，得y＝n＝；（3）如图，（4）由图象可知y随x的增大而减小，且x＞0，由题可列方程+2＝﹣x+b，∴x2﹣4x+4＝0，解得b1＝6，b2＝﹣2（舍去），x＝2，∴y＝+2＝4，即CE＝4．23．如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，P为边AB上一动点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥BC于点D，连接PC，取PC的中点E，连接AE，DE．（1）填空：AE与DE的数量关系为AE＝DE，∠AED的度数为60°；（2）将△PDB绕点B逆时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜360°），请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将△PDB绕点B在平面内自由旋转，且BA＝6，BP＝2，请直接写出线段AE的最大值．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．（2）结论成立．取BC的中点R，连接AR，ER，AD．利用全等三角形的性质，证明△ADE是等边三角形即可．（3）求出ER，AR，根据AE≤AR﹣ER，可得结论．解：（1）如图①中，∵PD⊥BC，∴∠PDC＝∠CAP＝90°∵PE＝EC，∴AE＝PC，DE＝PC，∴AE＝DE，∵EA＝EC＝ED，∴∠EAC＝∠ECA，∠EDC＝∠ECD，∴∠AED＝∠AEP+∠PED＝∠EAC+∠ECA+∠EDC+∠ECD＝2（∠ECA+∠ECD）＝60°，故答案为：AE＝DE，60°．（2）解：结论成立．理由：如图②中，取BC的中点R，连接AR，ER，AD．∵BR＝CR，PE＝EC，∴ER∥PB，ER＝PB，∵∠BAC＝90°，BR＝RC，∴AR＝BR，∵∠ACB＝30°，∴∠ABR＝60°，∴△ABR是等边三角形，∴AB＝AR，∠ARB＝∠BAR＝60°，∵∠PDB＝90°，∠PBD＝60°，∴∠BPD＝30°，∴BD＝PB，∴BD＝RE，∵∠PBD＝∠ABR＝60°，∴∠ABD+∠PBR＝120°，∵RE∥PB，∴∠PBR＝∠CRE，∵∠ARE+∠CRE＝120°，∴∠ABD＝∠ARE，∴△ABD≌△ARE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠RAE，∴∠DAE＝∠BAR＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴EA＝ED，∠AED＝60°．（3）解：如图②中，由（2）可知，ER＝PB＝1，AB＝AR＝6，∴AE≤AR﹣ER，∴AE≤5，∴AE的最大值为5．。
2021年中考数学模拟试题含答案(精选5套解析版)(1)(1)
中考数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题满分36分，每小题3分. ） 1. 2 sin 60°的值等于（ ） A. 1B.23C. 2D. 32. 下列的几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个3. 据2017年1月24日《桂林日报》报道，临桂县2016年财政收入突破18亿元，在广西各县中排名第二. 将18亿用科学记数法表示为（ ）A. 1.8×10B. 1.8×108C. 1.8×109D. 1.8×10104. 估计8-1的值在（ ）A. 0到1之间B. 1到2之间C. 2到3之间D. 3至4之间 5. 将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 6. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）7. 为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图. 根据统计图提供的 信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ） A. 1200名 B. 450名C. 400名D. 300名8. 用配方法解一元二次方程x 2+ 4x – 5 = 0，此方程可变形为（ ） A. （x + 2）2= 9 B. （x - 2）2 = 9C. （x + 2）2 = 1D. （x - 2）2=19. 如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC =（ ） A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶3D. 2∶310. 下列各因式分解正确的是（ ）A. x 2 + 2x-1=（x - 1）2B. - x 2+（-2）2=（x - 2）（x + 2） C. x 3- 4x = x （x + 2）（x - 2）D. （x + 1）2= x 2 + 2x + 111. 如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB = 4，∠BED = 120°， 则图中阴影部分的面积之和为（ ）A. 3B. 23C.23D. 112. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，M 是AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动到终点C ，动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动到终点B. 已知P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接MP ，MQ ，PQ . 在整个运动过程中，△MPQ 的面积大小变化情况是 A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减小二、填空题（本大题满分18分，每小题3分，） 13. 计算：│-31│= . 14. 已知一次函数y = kx + 3的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是 .（第9题图）（第11题图） （第12题图）（第7题图）15. 在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 .16. 在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度. 若设原计划每天修路x m ，则根据题意可得方程 .17. 在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x 轴翻折，再向右平移2个单 位称为1次变换. 如图，已知等边三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别是 （-1，-1），（-3，-1），把△ABC 经过连续9次这样的变换得到△A ′B ′C ′， 则点A 的对应点A ′ 的坐标是 .18. 如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角 边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三 个等腰Rt △ADE ……依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等 腰直角三角形所构成的图形的面积为 . 三、解答题（本大题8题，共66分，） 19. （本小题满分8分，每题4分）（1）计算：4 cos45°-8+(π-3) +(-1)3； （2）化简：（1 -n m n+）÷22nm m -. 20. （本小题满分6分）21. （本小题满分6分）如图，在△ABC 中，AB = AC ，∠ABC = 72°. （1）用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC 的平分线BD 后，求∠BDC 的度数.22. （本小题满分8分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如下： （1）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；（2）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动.23. （本小题满分8分）如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°. 小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF = 1米，从E处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度. （参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）24. （本小题满分8分）如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，点M 在PB 上，且OM ∥AP ， MN ⊥AP ，垂足为N. （1）求证：OM = AN ；（2）若⊙O 的半径R = 3，PA = 9，求OM 的长.25. （本小题满分10分）某中学计划购买A 型和B 型课桌凳共200套. 经招标，购买一套A 型课桌凳比购买一套B 型课桌凳少用40元，且购买4套A 型和5套B 型课桌凳共需1820元.（1）求购买一套A 型课桌凳和一套B 型课桌凳各需多少元？（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A 型课桌凳的数量不能超过B 型课桌凳数量的32，求该校本次购买A 型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方（第17题图）（第18题图） （第21题图）（第23题图）（第24题图）°案的总费用最低？26. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1，0）. 如图所示，B 点在抛物线y =21x 2 -21x – 2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为-3.（1）求证：△BDC ≌ △COA ；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D ACBCBDABCAC题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BD AA BC BB B D题号 11121314 1516答案360°-m ²3()()x y x y +-3509 132A ．B ． ﹣3C ．﹣D ． 3考点： 相反数．分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数解答． 解答： 解：﹣3相反数是3．故选D ．点评： 本题主要考查了互为相反数的定义，熟记定义是解题的关键． A ．B ． （m 2）3=m 5C ． a 2•a 3=a 5D ． （x+y ）2=x 2+y 2 考点： 完全平方公式；算术平方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 专题： 计算题．分析： A 、利用平方根定义化简得到结果，即可做出判断；B 、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C 、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；D 、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．解答： 解：A 、=3，本选项错误；B 、（m 2）3=m 6，本选项错误；C 、a 2•a 3=a 5，本选项正确；D 、（x+y ）2=x 2+y 2+2xy ，本选项错误， 故选C点评： 此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．A ． 矩形B ． 菱形C ． 正五边形D ． 正八边形 考点： 中心对称图形．捐款 人数 0~20元 21~40元 41~60元 61~80元 6 81元以上 4（第26题图）分析：根据中心对称图形的概念和各图形的特点即可解答．解答：解：只有正五边形是奇数边形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．故选C．点评：本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，正奇边形一定不是中心对称图形．A．6B．7C．8D．10考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解．解答：解：∵正n边形的一个内角为135°，∴正n边形的一个外角为180°﹣135°=45°，n=360°÷45°=8．故选C．点评：本题考查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键．A．某种彩票中奖的概率是，买1000张该种彩票一定会中奖B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查C．若甲组数据的标准差S=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定甲D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件考点：概率公式；全面调查与抽样调查；标准差；随机事件；可能性的大小．专题：压轴题．分析：根据抽样调查适用的条件、方差的定义及意义和可能性的大小找到正确答案即可．解答：解：A、某种彩票中奖的概率是，只是一种可能性，买1000张该种彩票不一定会中奖，故错误；B、调查电视机的使用寿命要毁坏电视机，有破坏性，适合用抽样调查，故正确；C、标准差反映了一组数据的波动情况，标准差越小，数据越稳定，故正确；D、袋中没有黑球，摸出黑球是不可能事件，故正确．故选A．点评：用到的知识点为：破坏性较强的调查应采用抽样调查的方式；随机事件可能发生，也可能不发生；标准差越小，数据越稳定；一定不会发生的事件是不可能事件．A．﹣1 B．0C．1D．2考点：反比例函数的性质．专题：压轴题．分析：对于函数来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．解答：解：反比例函数的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，所以1﹣k＜0，解得k＞1．故选D．点评：本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式中k的意义不理解，直接认为k＜0，错选A．A．10πB．15πC．20πD．30π考点： 圆锥的计算；由三视图判断几何体． 分析： 根据三视图可以判定此几何体为圆锥，根据三视图的尺寸可以知圆锥的底面半径为3，圆锥的母线长为5，代入公式求得即可．解答： 解：由三视图可知此几何体为圆锥，∴圆锥的底面半径为3，母线长为5，∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2πr=2π×3=6π，∴圆锥的侧面积==×6π×5=15π，故选B ．点评： 本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的面积．A ．B ．C ．D ．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题；探究型． 分析：首先设出点A 和点B 的坐标分别为：（x 1，）、（x 2，﹣），设线段OA 所在的直线的解析式为：y=k 1x ，线段OB 所在的直线的解析式为：y=k 2x ，然后根据OA ⊥OB ，得到k 1k 2=•（﹣）=﹣1，然后利用正切的定义进行化简求值即可．解答：解：设点A 的坐标为（x 1，），点B 的坐标为（x 2，﹣），设线段OA 所在的直线的解析式为：y=k 1x ，线段OB 所在的直线的解析式为：y=k 2x ， 则k 1=，k 2=﹣，∵OA ⊥OB ， ∴k 1k 2=•（﹣）=﹣1整理得：（x 1x 2）2=16，∴tanB=======．故选B ．点评： 本题考查的是反比例函数综合题，解题的关键是设出A 、B 两点的坐标，然后利用互相垂直的两条直线的比例系数互为负倒数求解．考点： 科学记数法—表示较小的数．分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.0000025=2.5×10﹣6，故答案为：2.5×10﹣6．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据二次根式的意义，有x﹣1≥0，解不等式即可．解答：解：根据二次根式的意义，有x﹣1≥0，解可x≥1，故自变量x的取值范围是x≥1．点评：本题考查了二次根式的意义，只需保证被开方数大于等于0即可．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：m3﹣4m2+4m=m（m2﹣4m+4）=m（m﹣2）2．故答案为：m（m﹣2）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．考点：圆与圆的位置关系．分析：两圆相交，圆心距是7，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得另一圆的半径的取值范围，继而求得答案．解答：解：∵⊙O1与⊙O2相交，圆心距是7，又∵7﹣2=5，7+2=9，∴半径m的取值范围为：5＜m＜9．故答案为：5＜m＜9．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：先把点（a，b）代入一次函数y=2x﹣3求出2a﹣b的值，再代入代数式进行计算即可．解答：解：∵点（a，b）在一次函数y=2x﹣3上，∴b=2a﹣3，即2a﹣b=3，∴原式=﹣3（2a﹣b）+1=（﹣3）×3+1=﹣8．故答案为：﹣8．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为x（x﹣3），去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．解答：解：方程两边同乘x（x﹣3），得2x=3（x﹣3），解得x=9．经检验x=9是原方程的解．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．考点：圆周角定理；垂径定理．分析：由⊙O的直径CD⊥EF，由垂径定理可得=，又由∠OEG=30°，∠EOG的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解答：解：∵⊙O的直径CD⊥EF，∴=，∵∠OEG=30°，∴∠EOG=90°﹣∠OEG=60°，∴∠DCF=∠EOG=30°．故答案为：30°．点评：此题考查了圆周角定理与垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．考点：二次函数与不等式（组）．分析：根据图象可以直接回答，使得y1≥y2的自变量x的取值范围就是直线y1=kx+m落在二次函数y2=ax2+bx+c的图象上方的部分对应的自变量x的取值范围．解答：解：根据图象可得出：当y1≥y2时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．故答案为：﹣1≤x≤2．点评：本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设正方形ABCD的边长为x，根据翻折变换的知识可知BE=EG=2，DF=GF=3，则EC=x﹣2，FC=x﹣3，在Rt△EFC中，根据勾股定理列出式子即可求得边长x的长度．解答：解：设正方形ABCD的边长为x，根据折叠的性质可知：BE=EG=2，DF=GF=3，则EC=x﹣2，FC=x﹣3，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=（2+3）2，解得：x1=6，x2=﹣1（舍去），故正方形纸片ABCD的边长为6．故答案为：6．点评：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边相等，另外要求同学们熟练掌握勾股定理的应用．考点：剪纸问题；一元二次方程的应用；正方形的性质．专题：几何图形问题；压轴题．分析：根据题中信息可得图2、图3面积相等；图2可分割为一个正方形和四个小三角形；设原八角形边长为a，则图2正方形边长为2a+a、面积为（2a+a）2，四个小三角形面积和为2a2，解得a=1．AB就知道等于多少了．解答：解：设原八角形边长为a，则图2正方形边长为2a+a、面积为（2a+a）2，四个小三角形面积和为2a2，列式得（2a+a）2+2a2=8+4，解得a=1，则AB=1+．点评：解此题的关键是抓住图3中的AB在图2中是哪两条线段组成的，再列出方程求出即可．考点：分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=+×+5﹣1，再进行二次根式的乘法运算，然后进行有理数的加减运算；（2）先把括号内通分和把除法化为乘法，然后把分子分解后约分即可．解答：（1）解：原式=+×+5﹣1=++5﹣1=6；（2）原式=•=x．点评：本题考查了分式的混合运算：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集即可．解答：解：∵由①得，x＜2，由②得，x≥﹣1，∴不等式组的解集是：﹣1≤x＜2，在数轴上表示不等式组的解集为．点评：本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．考点：折线统计图；条形统计图；算术平均数；中位数．分析：（1）从（1）可看出3℃的有3天．（2）中位数是数据从小到大排列在中间位置的数．（3）求加权平均数数，8天的温度和÷8就为所求．解答：解：（1）如图所示．（2）∵这8天的气温从高到低排列为：4，3，3，3，2，2，1，1∴中位数应该是第4个数和第5个数的平均数：（2+3）÷2=2.5．（3）（1×2+2×2+3×3+4×1）÷8=2.375℃．8天气温的平均数是2.375．点评：本题考查了折线统计图，条形统计图的特点，以及中位数的概念和加权平均数的知识点．考点：列表法与树状图法；等腰三角形的判定；平行四边形的判定．分析：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；（2）利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．解答：解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，故P（所画三角形是等腰三角形）=；（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，∴所画的四边形是平行四边形的概率P==．故答案为：（1），（2）．点评：此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键．考点：解直角三角形．分析：过点B作BM⊥FD于点M，解直角三角形求出BC，在△BMC值解直角三角形求出CM，BM，推出BM=DM，即可求出答案．解答：解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC tan60°=10，∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°．∴BM=BC•sin30°=10×=5，CM=BC•cos30°=10×=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM﹣MD=15﹣5．点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是能通过解直角三角形求出线段CM、MD的长．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）设E（x1，），F（x2，），x1＞0，x2＞0，根据三角形的面积公式得到S1=S2=k，利用S1+S2=2即可求出k；（2）设，，利用S四边形OAEF=S矩形OABC﹣S△BEF﹣S△OCF=﹣+5，根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时，四边形OAEF的面积有最大值，S四边形OAEF=5，此时AE=2．解答：解：（1）∵点E、F在函数y=（x＞0）的图象上，∴设E（x1，），F（x2，），x1＞0，x2＞0，∴S1=，S2=，∵S1+S2=2，∴=2，∴k=2；（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，设，，∴BE=4﹣，BF=2﹣，∴S△BEF=﹣k+4，∵S△OCF=，S矩形OABC=2×4=8，∴S四边形OAEF=S矩形OABC﹣S△BEF﹣S△OCF=+4，=﹣+5，∴当k=4时，S四边形OAEF=5，∴AE=2．当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5．点评：本题考查了反比例函数k的几何含义和点在双曲线上，点的横纵坐标满足反比例的解析式．也考查了二次的顶点式及其最值问题．考点：切线的性质；垂径定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：（1）过O作OH垂直于AC，利用垂径定理得到H为AC中点，求出AH的长为4，根据同弧所对的圆周角相等得到tanA=tan∠BDC，求出OH的长，利用勾股定理即可求出圆的半径OA的长；（2）由AB垂直于CD得到E为CD的中点，得到EC=ED，在直角三角形AEC中，由AC 的长以及tanA的值求出CE与AE的长，由FB为圆的切线得到AB垂直于BF，得到CE与FB平行，由平行得比例列出关系式求出AF的长，根据AF﹣AC即可求出CF的长．解答：解：（1）作OH⊥AC于H，则AH=AC=4，在Rt△AOH中，AH=4，tanA=tan∠BDC=，∴OH=3，∴半径OA==5；（2）∵AB⊥CD，∴E为CD的中点，即CE=DE，在Rt△AEC中，AC=8，tanA=，设CE=3k，则AE=4k，根据勾股定理得：AC2=CE2+AE2，即9k2+16k2=64，解得：k=，则CE=DE=，AE=，∵BF为圆O的切线，∴FB⊥AB，又∵AE⊥CD，∴CE∥FB，∴=，即=，解得：AF=，则CF=AF﹣AC=．点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．考点：一次函数的应用．分析：（1）设客车的速度为a km/h，则货车的速度为km/h，根据题意列出有关v的一元一次方程解得即可；（2）根据货车两小时到达C站，可以设x小时到达C站，列出关系式即可；（3）两函数的图象相交，说明两辆车相遇，即客车追上了货车．解答：解：（1）设客车的速度为a km/h，则货车的速度为km/h，由题意列方程得：9a+×2=630，解之，a=60，∴=45，答：客车的速度为60 km/h，货车的速度为45km/h（2）方法一：由（1）可知P（14，540），∵D （2，0），∴y2=45x﹣90；方法二：由（1）知，货车的速度为45km/h，两小时后货车的行驶时间为（x﹣2），∴y2=45（x﹣2）=45x﹣90，（3）方法一：∵F（9，0）M（0，540），∴y1=﹣60x+540，由，解之，∴E （6，180）点E的实际意义：行驶6小时时，两车相遇，此时距离C站180km；方法二：点E表示两车离C站路程相同，结合题意，两车相遇，可列方程：45x+60x=630，x=6，∴540﹣60x=180，∴E （6，180），点评：本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．考点：相似形综合题．分析：（1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可；（2）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；（3）利用菱形的性质得到．解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．∴由勾股定理得：AB=10cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，∴BP=2tcm，∴AP=AB﹣BP=10﹣2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE==5﹣t；（2）当▱AQPD是矩形时，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC∴即解之t=∴当t=时，▱AQPD是矩形；（3）当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则COS∠BAC==即解之t=∴当t=时，□AQPD是菱形．点评：本题考查了相似形的综合知识，正确的利用平行四边形、矩形、菱形的性质得到正方形是解决本题的关键．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题；动点型．分析：（1）由直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，分别令x=0和y=0求出B与C的坐标，又抛物线经过B，C两点，把求出的B与C的坐标代入到二次函数的表达式里得到关于b，c的方程，联立解出b和c即可求出二次函数的解析式．又因A点是二次函数与x轴的另一交点令y=0即可求出点A的坐标．（2）连接OM，PM与⊙O′相切作为题中的已知条件来做．由直径所对的圆周角为直角可得∠OMC=90°从而得∠OMB=90°．又因为O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP得到OP为⊙O′的切线，然后根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等可得OP=PM，根据等边对等角得∠POM=∠PMO，然后根据等角的余角相等可得∠PMB=∠OBM，再根据等角对等边得PM=PB，然后等量代换即可求出OP的长，加上OA的长即为点P运动过的路程AP，最后根据时间等于路程除以速度即可求出时间t的值．（3）①由路程等于速度乘以时间可知点P走过的路程AP=3t，则BP=15﹣3t，点Q走过的路程为BQ=3t，然后过点Q作QD⊥OB于点D，证△BQD∽△BCO，由相似得比列即可表示出QD的长，然后根据三角形的面积公式即可得到S关于t的二次函数关系式，然后利用t=﹣时对应的S的值即可求出此时的最大值．②要使△NCQ为直角三角形，必须满足三角形中有一个直角，由BA=BC可知∠BCA=∠BAC，所以角NCQ不可能为直角，所以分两种情况来讨论：第一种，当角NQC为直角时，利用两组对应角的相等可证△NCQ∽△CAO，由相似得比例即可求出t的值；第二种当∠QNC=90°时，也是证三角形的相似，由相似得比例求出t的值．解答：解：（1）在y=﹣x+9中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12．∴C（0，9），B（12，0）．又抛物线经过B，C两点，∴，解得∴y=﹣x2+x+9．于是令y=0，得﹣x2+x+9=0，解得x1=﹣3，x2=12．∴A（﹣3，0）．（2）当t=3秒时，PM与⊙O′相切．连接OM．∵OC是⊙O′的直径，∴∠OMC=90°．∴∠OMB=90°．∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切线．而PM是⊙O′的切线，∴PM=PO．∴∠POM=∠PMO．又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM．∴PM=PB．∴PO=PB=OB=6．∴PA=OA+PO=3+6=9．此时t=3（秒）．∴当t=3秒，PM与⊙O′相切．（3）①过点Q作QD⊥OB于点D．∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴=．又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=t．∴S△BPQ=BP•QD=．即S=．S=．故当时，S最大，最大值为．②存在△NCQ为直角三角形的情形．∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO．∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况．当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO，∴△NCQ∽△CAO．∴=．∴=，解得t=．当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO，∴△QCN∽△CAO．∴=．∴=，解得．综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为和．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法，以及圆的切线的有关性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．A．点P B．点Q C．点M D．点N考点：数轴；相反数．分析：根据数轴得出N、M、Q、P表示的数，求出﹣2的相反数，根据以上结论即可得出答案．解答：解：从数轴可以看出N表示的数是﹣2，M表示的数是﹣0.5，Q表示的数是0.5，P表示的数是2，∵﹣2的相反数是2，∴数轴上表示数﹣2的相反数是点P，故选A．点评：本题考查了数轴和相反数的应用，主要培养学生的观察图形的能力和理解能力，题型较好，难度不大．A．40°B．50°C．60°D． 70°考点：平行线的性质．分析：由AB∥CD，∠B=20°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠BOD的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠B=20°，∴∠C=∠B=20°，∵∠D=40°，∴∠BOD=∠C+∠D=60°．故选C．点评：此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．A．x＜1 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜1 D． x＞1考点：解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集．解答：解：，由①得﹣x＞﹣1，即x＜1；由②得x＞﹣4；由以上可得﹣4＜x＜1．故选C．点评：主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．A．王老师去时所用的时间少于回家的时间B．王老师在公园锻炼了40分钟C．王老师去时走上坡路，回家时走下坡路。
人教版中考模拟考试数学试卷及答案(共七套)
19.（1） ；
（2）如下表：
小辰
A
A
A
B
B
B
C
C
C
小安
A
B
C
A
B
C
A
B
C
同一型号
√
√ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√
由表知：他们选择同一型号的概率为 。
20.（1）由两张图知：A有32人，占40%，所以样本容量是80人；
（2）求出B的人数是16人，补全条形图如图；
（3）D等占10%，扇形圆心角是36°；
（4）在被抽到的80人中，C等级24人，占30%，
以此估计全校2000人中评为C的可能有
2000×30%=600，即可能有600人。
21. 解：设增加了 行，则共有（ ）行，（ ）列，
根据题意： ， ，
∵ ，∴ ，
答：增加了3列。
22. 提示（1）AB是直径，∠ACB=90°，∠B+∠2=90°；
DC=AC，那么∠D=∠1，而∠D=∠B，
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是________；
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一型号免洗洗手液的概率。
20.（本题8分）
学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行。在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图：
则D（8，6），CD=5，
而A（5，0），OA=5，∴CD=OA，
∵CD∥OA，且CD=OA，∴四边形OADC是平行四边形；
（3）点C纵坐标为6，则CD与OA之间的距离为 ，
2021年中考三轮 临考冲刺数学训练：二次函数的实际应用(含答案)
2021中考数学临考冲刺训练：二次函数的实际应用一、选择题1. 某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为()A．130元/个B．120元/个C．110元/个D．100元/个2. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A.18 m2B.18m2C.24m2D.m23. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m4. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD的总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A．18 m2B．18 3 m2 C．24 3 m2 D.45 32m25. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后，速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.其中正确的是()A.①④B.①②C.②③④D.②③6. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是()A．①④B．①②C．②③④D．②③7. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是()A.当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距O点水平距离为3 mB.小球距O点水平距离超过4 m时呈下降趋势C.小球落地点距O点水平距离为7 mD.斜坡的坡度为1∶28. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画，下列结论错误的是()A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 mB．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势C．小球落地点距点O的水平距离为7 mD．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同二、填空题9. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.10. 如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形ABCD的面积最大．11. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．12. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=.13. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．14. 在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=-x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米.15. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.16. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．三、解答题17. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25 m，喷出水流的运动路线是抛物线的一部分．水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1 m ，且到地面的距离为3 m ．求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离．18. 如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案，按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx (a ≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34 m ，到墙边OA 的距离分别为12 m ，32 m.(1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？19. 已知某商品的进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，每件每涨价1元，每星期可少卖出10件．(1)要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为多少元？ (2)每星期能否获利7000元？试说明理由．(3)该商品每件的价格定为多少元时，每星期获利最大，最大利润是多少？20. 某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元，240元)浮动时，每天入住的房间数y (间)与每间标准房的价格x (元)的数据如下表:x (元) … 190 200 210 220 … y (间) … 65 60 55 50 …(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象. (2)求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围.(3)设客房的日营业额为w (元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大?最大为多少元?21. 凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18－10)＝0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低售价买？(2)写出该文具店一次销售x (x ＞10)只时，所获利润y (元)与x (只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x ≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？22. 宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：y ＝⎩⎨⎧7.5x （0≤x ≤4），5x ＋10（4＜x ≤14）.(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 之间的函数图象如图.工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 之间的函数解析式，并求出第几天时，工人甲所创造的利润最大，最大利润是多少.23. 2018·荆州为响应荆州市“创建全国文明城市”的号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m，另外三边由36 m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x m，面积为y m2(如图)．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160 m2，求x的值；(3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．则丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.24. 有一块形状如图所示的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B ＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．2021中考数学临考冲刺训练：二次函数的实际应用-答案一、选择题1. 【答案】B[解析] 设利润为y元，涨价x元，则有y＝(100＋x－90)(500－10x)＝－10(x－20)2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．2. 【答案】C[解析]如图，过点C作CE⊥AB于E，设CD=x，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x.在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，∴BE=BC=6-x，∴AD=CE=BE=6x，AB=AE+BE=x+6-x=x+6，∴梯形ABCD的面积=(CD+AB)·CE=x+x+6·6x=-x2+3x+18=-(x-4)2+24，=24，即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大，∴当x=4时，S最大最大面积为24m2，故选C.3. 【答案】C[解析] 以2 m长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．4. 【答案】C[解析] 如图，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD－∠DCE＝30°.设CD ＝AE ＝x m ，则BC ＝(12－x)m.在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝12BC ＝(6－12x)m ， ∴AD ＝CE ＝BC 2－BE 2＝(6 3－32x)m ，AB ＝AE ＋BE ＝x ＋6－12x ＝(12x ＋6)m ，∴梯形ABCD 的面积＝12(CD ＋AB)·CE ＝12(x ＋12x ＋6)·(6 3－32x) ＝－3 38x 2＋3 3x ＋18 3 ＝－3 38(x －4)2＋24 3.∴当x ＝4时，S 最大＝24 3.即CD 的长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大为24 3 m 2.故选C.5. 【答案】D[解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，故①错误;②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确; ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确; ④设函数解析式为:h=a (t -3)2+40，把O (0，0)代入得0=a (0-3)2+40，解得a=-， ∴函数解析式为h=-(t -3)2+40.把h=30代入解析式得，30=-(t -3)2+40，解得t=4.5或t=1.5， ∴小球的高度h=30 m 时，t=1.5 s 或4.5 s ，故④错误，故选D .6. 【答案】D [解析] ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；③∵小球抛出3秒时达到最高点，∴速度为0，故③正确；④设函数解析式为h ＝a(t －3)2＋40， 把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40.解得a ＝－409，∴函数解析式为h ＝－409(t －3)2＋40.把h ＝30代入解析式，得30＝－409(t －3)2＋40，解得t ＝4.5或t ＝1.5，∴小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s 或4.5 s ，故④错误．故选D.7. 【答案】A[解析]根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7.5 m 时，二次函数y=4x -x 2的函数值为7.5，即4x -x 2=7.5，解得x 1=3，x 2=5，故当抛出的高度为7.5 m 时，小球距离O 点的水平距离为3 m 或5 m ，A 结论错误;由y=4x -x 2，得y=-(x -4)2+8，则抛物线的对称轴为直线x=4，当x>4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确;联立方程y=4x -x 2与y=x ，解得或则抛物线与直线的交点坐标为(0，0)或7，，C 结论正确;由点7，知坡度为∶7=1∶2也可以根据y=x 中系数的意义判断坡度为1∶2，D 结论正确.故选A .8. 【答案】A [解析] 令y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A错误．由y ＝4x －12x 2得y ＝－12(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．联立y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．由对称性可知选项D 正确．综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.二、填空题9. 【答案】144 【解析】∵围墙的总长为50 m ，设3间饲养室合计长x m ，则饲养室的宽＝48－x 4 m ，∴总占地面积为y ＝x·48－x 4＝－14x 2＋12x(0＜x ＜48)，由y＝－14x 2＋12x ＝－14(x －24)2＋144，∵x ＝24在0＜x ＜48范围内，a ＝－14<0，∴在0＜x≤24范围内，y 随x 的增大而增大，∴x ＝24时，y 取得最大值，y 最大＝144 m 2.10. 【答案】150 [解析] 设AB ＝x m ，则AB ＝EF ＝CD ＝x m ，所以AD ＝BC ＝12(900－3x)m.设矩形ABCD 的面积为y m 2，则y ＝x·12(900－3x)＝－32x 2＋450x(0＜x ＜300)．由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，且当x ＝－b2a ＝－4502×（－32）＝150时，函数y 取得最大值．故当AB ＝150 m 矩形ABCD 的面积最大．11. 【答案】25[解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －20)(30－x)＝－(x －25)2＋25.∵20≤x≤30，∴当x ＝25时，二次函数有最大值25.12. 【答案】1.6[解析]设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h ，则第一个小球的离地高度y=a (t -1.1)2+h (a ≠0)， 由题意a (t -1.1)2+h=a (t -1-1.1)2+h ， 解得t=1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.13. 【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋414. 【答案】10[解析]当y=0时，-x2+x+=0，解得，x=-2(舍去)或x=10.故答案为10.15. 【答案】0.5[解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y＝ax2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a＝2，h＝0.5.16. 【答案】1.6 秒【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒，所以此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．三、解答题17. 【答案】解：如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．根据题意，得抛物线的顶点P的坐标为(1，3)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3.把A(0，2.25)代入，得2.25＝a(0－1)2＋3，解得a＝－0.75，∴y＝－0.75(x－1)2＋3.令y＝0，得－0.75(x－1)2＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1(舍去)，∴BC＝3 m.答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为3 m.18. 【答案】解：(1)由题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)经过点B(12，34)，C(32，34)， 则⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＝3494a ＋32b ＝34，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2，∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋2x.(3分) 根据对称性知，抛物线的对称轴是x ＝－b2a ＝1， 当x ＝1时，y ＝1， ∴顶点坐标是(1，1)．答：图案最高点到地面的距离是1 m ．(5分) (2)∵抛物线的对称轴是x ＝1，∴一个图案与地面两交点间的距离是2 m ，10÷2＝5. 答：最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案．(8分)19. 【答案】解：设该商品每件涨价x 元时，每星期获得的总利润为y 元． (1)由题意，得(60＋x －40)(300－10x)＝6090， 整理得x 2－10x ＋9＝0， 解得x 1＝1，x 2＝9.60＋1＝61(元)，60＋9＝69(元)．答：要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为61元或69元． (2)不能．理由：列方程，得(60＋x －40)(300－10x)＝7000， 整理得x 2－10x ＋100＝0. ∵Δ＝(－10)2－4×1×100＜0， ∴此方程无实数解，∴销售该商品每星期不能获利7000元．(3)y ＝(60＋x －40)(300－10x)＝－10x 2＋100x ＋6000＝－10(x －5)2＋6250， ∴当x ＝5时，y 最大＝6250，60＋x ＝65.答：该商品每件的价格定为65元时，每星期获利最大，最大利润为6250元．20. 【答案】解:(1)如图所示.(2)设y=kx +b (k ≠0)，把(200，60)和(220，50)代入， 得解得∴y=-x +160(170≤x ≤240). (3)w=x ·y=x ·-x +160=-x 2+160x.∴函数w=-x 2+160x 图象的对称轴为直线x=-=160，∵-<0，∴在170≤x ≤240范围内，w 随x 的增大而减小. 故当x=170时，w 有最大值，最大值为12750元.21. 【答案】解：(1)设一次至少买x 只计算器，才能以最低售价购买，则每只降价为：0.1(x －10)元，由题意得， 20－0.1(x －10)＝16， 解得x ＝50.答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买．(2分) 【一题多解】设一次购买x 只计算器，才能以最低售价购买，则每只降低为：0.1(x －10)元，由题意得，20－0.1(x －10)≤16，解得x ≤50， ∴最大整数x ＝50.答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买． (2)由题意得，当10＜x ≤50时，y ＝[20－12－0.1(x －10)]x ， 即y ＝－0.1x 2＋9x(3分)当x ＞50时，则每只计算器都按16元销售． ∴y ＝16x －12x ＝4x ，综上可得y ＝⎩⎨⎧－0.1x 2＋9x （10＜x ≤50）4x （x ＞50）.(5分)(3)由y ＝－0.1x 2＋9x 得，其图象的对称轴为x ＝－b2a ＝－92×（－0.1）＝45，∵a ＝－0.1＜0，当x ＞45时，y 随x 的增大而减小，(6分)又∵50＞46＞45，∴当x ＝46时的函数值大于x ＝50时的函数值， 即卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多．(8分)由二次函数的性质知，当x ＝45时，y 最大值＝－0.1×452＋9×45＝202.5， 这时售价为20－0.1×(45－10)＝16.5(元)．答：店家一次应卖45只，这时的售价是16.5元．(10分)22. 【答案】解：(1)令7.5x ＝70，则x ＝283＞4，不符合题意， ∴5x ＋10＝70，解得x ＝12.答：工人甲第12天生产的产品数量为70件． (2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P ＝40； 当4＜x≤14时，设P ＝kx ＋b.将(4，40)，(14，50)代入，得⎩⎨⎧4k ＋b ＝40，14k ＋b ＝50，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝36.∴P ＝x ＋36.①当0≤x≤4时，W ＝(60－40)·7.5x ＝150x ， ∵W 随x 的增大而增大， ∴当x ＝4时，W 最大＝600；②当4＜x≤14时，W ＝(60－x －36)(5x ＋10)＝－5x 2＋110x ＋240＝－5(x －11)2＋845，∴当x ＝11时，W 最大＝845. ∵845＞600，∴当x ＝11时，W 取得最大值，最大值为845. 综上，W 与x 之间的函数解析式为 W ＝⎩⎨⎧150x （0≤x≤4），－5x 2＋110x ＋240（4＜x≤14）；第11天时，工人甲所创造的利润最大，最大利润是845元．23. 【答案】解：(1)y ＝－2x 2＋36x (9≤x ＜18)． (2)由题意得－2x 2＋36x ＝160，解得x1＝10，x2＝8(不符合题意，舍去)．∴x的值为10.(3)∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，∴x＝9时，y有最大值162.设购买乙种绿色植物a棵，购买丙种绿色植物b棵，由题意得14(400－a－b)＋16a＋28b＝8600，∴a＋7b＝1500，∴b的最大值为214，即丙种植物最多可以购买214棵，此时a＝2，需要种植的面积＝0.4×(400－214－2)＋1×2＋0.4×214＝161.2(m2)＜162 m2，∴这批植物可以全部栽种到这块空地上．24. 【答案】解：(1)①若所截矩形材料的一条边是BC，如图①所示：过点C作CF⊥AE于点F，则S1＝AB·BC＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE，如图②所示：过点E作EF∥AB交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG 于点H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH，∠BCH＝90°.∵∠BCD＝135°，∴∠FCH＝45°，∴△CHF为等腰直角三角形，∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝6－5＝1，∴AG＝AB－BG＝6－1＝5，∴S2＝AE·AG＝6×5＝30.(2)能．如图③，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C 作CG⊥FM于点G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∴MG＝BC＝5，BM＝CG，∠BCG＝90°.∵∠BCD＝135°，∴∠FCG＝45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴FG＝CG.设AM＝x，矩形AMFN的面积为S，则BM＝6－x，∴FM＝GM＋FG＝GM＋CG＝BC＋BM＝11－x，∴S＝AM·FM＝x(11－x)＝－x2＋11x＝－(x－5.5)2＋30.25，∴当x＝5.5时，S取得最大值，最大值为30.25.故这些矩形材料面积的最大值为30.25.。
【中考冲刺】2021年河南省中考数学模拟试卷(附答案)
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B＝70°．则∠BCE的度数为（ ）
A．55°B．50°C．40°D．35°
12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= (x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A．84株B．88株C．92株D．121株
9．如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：（1）在点 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；（2）量得测角仪的高度 ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 ．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）
A． B． C． D．
10．若数 使关于 的分式方程 有正数解，且使关于 的不等式组 有解，则所有符合条件的整数 的个数为（）
根据以上信息回答问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．
据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：
市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；
∵ 切⊙ 于点 ，∴ ∴ ∴ ;又 ∴ ;∵ ,∴ ;∵ ∴ .故应选B.
5．D
【分析】
把所求代数式 变形为 ，然后把条件整体代入求值即可．
【详解】
∵ ，
∴
=
=4×1-3
=1．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式 变形为 ．
【中考冲刺】2021年河南省郑州市中考数学模拟试卷(附答案)
18．图1是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字2，3，4，5．图2是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子在桌面掷出后，看骰子落在桌面上（即底面）的数字是几，就从图中的 点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续……
10．C
【分析】
设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】
解：设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，观察，发现规律： ， ， ， ， ，…，∴ ， ， ， ，∵2021＝4×505＋1，∴ 为 ．
故选:C．
【点睛】
【详解】
解：设：A、B点的坐标分别是A（ ，m）、B（ ，m），
则：△ABC的面积＝ •AB•yA＝ •（ ﹣ ）•m＝6，
则k1﹣k2＝12．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设 、 两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
C、从装有5个红球的袋子里摸出一个白球是不可能事件，故本选项不符合题意；
D、在地面向上抛出一个篮球还会下落是必然事件，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【点睛】
此题主要考查了随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义，正确理解随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义是解题关键．
2．A
【分析】
先移项得到x2－x＝0，再把方程左边分解得到x（x－1）＝0，原方程转化为x＝0或x－1＝0，然后解一次方程即可．
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故选： C．
【点评】 本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘
及合并同类项法则．
5．（3 分）河南省旅游资源丰富， 2013～ 2017 年旅游收入不断增长，同比增速分别为： 15.3%，
12.7%，15.3%， 14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（
故选： C． 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
n
a×10 的形式，其中 1≤
|a| ＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
3．（3 分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，
与“国”字所在面相对的面上的汉字是（
）
A．中位数是 12.7% B．众数是 15.3%
C．平均数是 15.98% D．方差是 0
【分析】 直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案．
【解答】 解： A、按大小顺序排序为： 12.7%，14.5%，15.3%，15.3%， 17.1%，
故中位数是： 15.3%，故此选项错误； B、众数是 15.3%，正确；
组为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3 分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（
）
2
2
2
2
A． x +6x+9=0 B． x =x C． x +3=2x D．（x﹣1） +1=0
8．（3 分）现有 4 张卡片，其中 3 张卡片正面上的图案是“
”， 1 张卡片正面上的图案是
“ ”，它们除此之外完全相同．把这 4 张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两
A． B．2 C． D． 2
二、细心填一填（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，请把答案填在答題卷相应题号
的横线上）
11．（3 分）计算： | ﹣5| ﹣ =
．
12．（3 分）如图，直线 AB，CD相交于点 O，EO⊥AB于点 O，∠ EOD=5°0 ，则∠ BOC的度数为
．
13．（3 分）不等式组
的最小整数解是
．
14．（ 3 分）如图，在△ ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，2 将△ ABC绕 AC的中点 D 逆时针旋转 90°
得到△ A'B′C' ，其中点 B 的运动路径为
，则图中阴影部分的面积为
．
15．（ 3 分）如图，∠MAN=9°0 ，点 C 在边 AM上，AC=4，点 B 为边 AN上一动点， 连接 BC，△A′
②连接 AC，当直线 AM与直线 BC的夹角等于∠ ACB的 2 倍时，请直接写出点 M的坐标．
2021 年河南省中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共
1．（3 分）﹣ 的相反数是（
）
10 小题，每题 3 分，共 30 分）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】 直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】 解：﹣ 的相反数是： ．
19．（9 分）如图， AB是⊙ O的直径， DO⊥AB于点 O，连接 DA交⊙ O于点 C，过点 C 作⊙ O的切
线交 DO于点 E，连接 BC交 DO于点 F．
（1）求证： CE=EF；
（2）连接 AF并延长，交⊙ O于点 G．填空：
①当∠ D 的度数为
时，四边形 ECFG为菱形；
②当∠ D 的度数为
4．（3 分）下列运算正确的是（
）
A．（﹣ x2）3=﹣x5 B．x2+x3=x5 C ．x3? x4=x7
D．2x3﹣x3=1
【分析】分别根据幂的乘方、 同类项概念、 同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断． 【解答】 解： A、（﹣ x2） 3=﹣x6，此选项错误； B、 x2、x3 不是同类项，不能合并，此选项错误； C、 x3? x4=x7，此选项正确； D、 2x3﹣ x3=x3，此选项错误；
2021 年河南省中考数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共
1．（3 分）﹣ 的相反数是（
）
10 小题，每题 3 分，共 30 分）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3 分）今年一季度， 河南省对“一带一路” 沿线国家进出口总额达 214.7 亿元，数据“ 214.7
亿”用科学记数法表示为（
）
A．（﹣ x2）3=﹣x5 B．x2+x3=x5 C ．x3? x4=x7
D．2x3﹣x3=1
5．（3 分）河南省旅游资源丰富， 2013～ 2017 年旅游收入不断增长，同比增速分别为： 15.3%，
12.7%，15.3%， 14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（
）
A．中位数是 12.7% B．众数是 15.3%
18．（9 分）如图，反比例函数 y= （x＞0）的图象过格点（网格线的交点） P．
（1）求反比例函数的解析式； （2）在图中用直尺和 2B 铅笔画出两个矩形（不写画法） ，要求每个矩形均需满足下列两个条 件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O，点 P； ②矩形的面积等于 k 的值．
B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有
人；
（2）扇形统计图中，扇形 E 的圆心角度数是
；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该市约有 90 万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出 x 的取值范围）及 m的值；
（2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是
元，当销售单价 x=
元时，日销售利润 w 最大，最大值是
元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售
单价仍存在（ 1）中的关系．若想实现销售单价为 90 元时，日销售利润不低于 3750 元的销售
C．平均数是 15.98% D．方差是 0
6．（3 分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、
羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还
差 3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，羊价为 y 线，根据题意，可列方程
时，四边形 ECOG为正方形．
20．（9 分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若 干支架组成， 运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣 小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答． 如图所示，底座上 A，B 两点间的距离为 90cm．低杠上点 C 到直线 AB的距离 CE的长为 155cm， 高杠上点 D 到直线 AB的距离 DF的长为 234cm，已知低杠的支架 AC与直线 AB的夹角∠ CAE为 82.4 °，高杠的支架 BD与直线 AB的夹角∠ DBF为 80.3 °．求高、低杠间的水平距离 CH的长．（ 结 果精确到 1cm，参考数据 sin82.4 °≈ 0.991 ，cos82.4 °≈ 0.132 ，tan82.4 °≈ 7.500 ，sin80.3 ° ≈0.983 ， cos80.3 °≈ 0.168 ，tan80.3 °≈ 5.850 ）
目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
22．（10 分）（1）问题发现
如图 1，在△ OAB和△ OCD中， OA=O，B OC=O，D∠ AOB∠= COD=4°0 ，连接 AC， BD交于点 M．填
空：
① 的值为
；
②∠ AMB的度数为
．
（2）类比探究
如图 2，在△ OAB和△ OCD中，∠ AOB∠= COD=9°0 ，∠ OAB=∠OCD=3°0 ，连接 AC交 BD的延长
21．（10 分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 y（个）与销售单价
x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：
销售单价 x（元）
85
95
105
115
日销售量 y（个）
175
125
75
m
日销售利润 w（元）
875
1875
1875
875
（注：日销售利润 =日销售量×（销售单价﹣成本单价） ）
故选： B． 【点评】 此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3 分）今年一季度， 河南省对“一带一路” 沿线国家进出口总额达 214.7 亿元，数据“ 214.7
亿”用科学记数法表示为（
）
A． 2.147 ×102 B． 0.2147 ×103 C．2.147 × 1010 D．0.2147 ×1011
）
A． 2.147 ×102 B． 0.2147 ×103 C．2.147 × 1010 D．0.2147 ×1011
3．（3 分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，
与“国”字所在面相对的面上的汉字是（
）
A．厉 B．害 C．了 D．我
4．（3 分）下列运算正确的是（
17．（9 分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨 絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况， 某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示） ，并根据调查结果绘制了如下尚不完 整的统计图． 治理杨絮一一您选哪一项？（单选） A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量