人教版八年级上册整式的乘法及因式分解单元总结与归纳(供参考)

整式的乘法

同底数幂的乘积 注意点：（1）必须清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 （2）前提必须是同底数，指数才可以相加

（3）底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式， （4）指数都是正整数

（5）三个或三个以上的同底数幂相乘，即为正整数）p n m a

a a a p

n m p

n

m

,,(++=••

（6）不要与整式加法相混淆。

（7）这个公式是可逆的为正整数）n m a a a

n m n

m ,(•=+

类型一：x 3

·x 4

= x n

·x 4

= ________3

=⋅a a

________3

2=⋅⋅a a a ； 3x 2·x n ·x 4=

=⨯⨯252222 =•+12n n

y y ；

类型二：(1) 已知x

m-n

·x

2n+1

=x 11,且y

m-1

·y

4-n

=y 5,求mn 2

的值。

(2)若22m

·8=2n

,则n= 类型三：(1)、 (-

)(-

)

2

(-

)3 (2)、 -a 4·(-a)4·(-a)

5

(3)、 (x-y)3

(y-x)(y-x)6

（4）、 2012

2011

2-)

-2(）（+

类型四：已知2a =3, 2b =6, 2c =12，试探究a 、b 、c 之间的关系； 1. 幂的乘方

注意点：（1）幂的底数a 可以是具体的数也可以是多项式。 （2）不要和同底数幂的乘法法则相混淆 （3）公式的可逆性：

为正整数）n m a a n m n m ,()(=+；为正整数）n m a

a a mn

m n n m ,()()(=

（4）公式的扩展:

类型一：(a 3)5

= ; =-3

)(3m x ; =•n

a a 3

2)( ; [(a+b )2]3= ; [(a 2)5]3

= ; 类型二：【例1】若3y 2x 5,35,25

+==求y x

【例2】若,510

,410==m

n

求,101032m n +的值；

【例3】已知33

44

55

5,4b ,3a ===c ，试比较a,b,c 的大小; 2. 积的乘方 注意点：（1）注意与前二个法则的区别：

（2）积的乘方推广到3个以上因式的积的乘方()为正整数）n a a a a a a a n

m n

n

m (a 321n

321 =••

（3）每个因式可以是单项式，多项式，或者其他代数式 （4）每个因式都要乘方，然后将所得的幂相乘

（5）公式的可逆性：()为正整数）n b a n

n (ab n

=

(6) 幂的乘方,积的乘方的可逆性： a mn =(a m )n =(a n )m

类型一：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；

________)5(2

23=-b a 类型二：【例1】当ab=

，m=5, n=3, 求(a m b m )n

的值。

【例2】若a 3b 2=15，求-5a 6b 4的值。 【例3】如果3m+2n=6，求8m

·4n

的值。 【例4】 （1）解方程3-2x 1

x 1

x 623

=•++ （2）解方程116

7

431

-x =+

⎪

⎭

⎫

⎝⎛ 【例5】已知a x

=5，a x+y

=25，求a x

+a y

的值． 【例6】已知：2x =4y+1，27y =3x-1

，求x ﹣y 的值

类型三：【例】计算： 4.单项式乘法法则： 【例】

5.单项式与多项式相乘的乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 【例】

6.多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 【例1】 【例2】：解方程与不等式

18)1)(9()2)(3(-++=--a a a a （4+3y)(4-3y)>9(y-2)(y+3) 【例3】确定参数a 的值. 题型一：确定参数的值

【例】若(

)(

)

n x x mx +-++38x 2

2

展开式中不含3x 项和2

x 项，求m,n 的值，并写出展开式中的最后结果 练习：

题型二：整式乘法的实际应用 【例1】：小明将现金x 元存入银行，年利率为a ，到期后他又连本带利存入该银行，形式还是1年期，蛋年利率调整为b ，那么一年后，小明能获得的本息总和是多少（扣除5%的利息税）

练习：一种商品进价是p 元，他的价格提高10k%，再打k 折，则售价是 元 【例2】：．观察下列各式： ……

观察等式左边各项幂的底数与右边幂的底数的关系，猜一猜可以得出什么规律，并把这规律用等式写出来： .

题型三：整式的乘法能力提升训练；

例1. 已知1582

=+x x ，求2

)12()1(4)2)(2(++---+x x x x x 的值.

变式： 已知012=--x x ，求)5()3()2)(2(2---+-+x x x x x 的值． 变式： 已知

)1()3)(3(1,0932

2---+++=-+x x x x x x x ）求（的值. 例2. 已知012=-+x x ，求代数式

3223++x x 的值。 变式： 已知0332=-+x x ，求代数式10352

3-++x x x 的值。

变式： 已知0132=+-x x ，求代数式20097322

3+--x x x 的值。

平方差和完全平方

一、复习:

(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2

② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2