西安电子科技大学《电磁场与电磁波基础》全套课件13

电磁场与电磁波基础
主讲：徐乐
2008年4月29日星期二
XI LE
D TY .E SI AN ER DI IV I N .X U IL N A IA M D @ XU
U
.C
N


矢量分析与场论
K  ˆ + A z ( t )z ˆ 矢性函数 A = A x ( t ) x + A y ( t ) y
运算
K K a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos θ K K K K K K K K K a ⋅ (b × c) = c ⋅ (a × b) = b ⋅ (c × a) a b c
XI
lexu@
D TY .E SI AN ER DI IV I N .X U IL N A IA M D @ XU
一些基本矢量运算
LE
K  ˆ ˆ L[A(t)] = L[A x (t)]x + L[A y (t)]y+L[A z (t)]z
L是算子符号，代表一种运算（极限、导数、积分）
ˆ x K K a × b= a x bx
ˆ y ay by
ˆ z az bz
K K K K K K K K K a × (b × c) = (a ⋅ c)b-(a ⋅ b)c
U
.C
N
2


矢量分析与场论
„
矢端曲线
K ˆ + Ay (t ) y ˆ + Az (t ) z ˆ r = Ax (t ) x
„
矢量线
dx dy dz = = Ax Ay Az
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U .C N
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矢量分析与场论
数量场
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等值面 梯度
LE
矢量场
采用矢量线 描述
散度 旋度
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矢量分析与场论
∇ × (∇ϕ ) = 0
„
K ▽算子： ∇ ⋅ (∇ × A) = 0
• 直角坐标系定义：∇ =
• 梯度： • 散度：
• 旋度：
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XI LE
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∂ ∂ ∂ ˆ+ ˆ+ z ˆ x y ∂y ∂z ∂x ∂u ∂u ∂u ˆ ˆ ˆ gradu = ∇u = x+ y+ z ∂x ∂y ∂z
矢量 标量
K K ∂Ax ∂Ay ∂Az divA = ∇ ⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z
ˆ y ∂ ∂y Ay ˆ z ∂ ∂z Az
ˆ x K K ∂ rotA = ∇ × A = ∂x Ax
矢量
U .C
N
5


矢量分析与场论
f ′(r ) K ˆ ∇f ( r ) = r = f ′(r )r r K ∇ × [ f (r )r ] = 0 K r ∇×( 3 ) = 0 r
K r ˆ ∇r = = r r K ∇⋅r = 3 K ∇×r = 0
XI
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K 1 r ∇ =− 3 r r
LE
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矢量分析与场论
„
场的基本概念；标量场的梯度；矢量场的散度、旋度； 亥姆霍兹定理；圆柱坐标系与球坐标系中的梯度、散度 和旋度。

• 1.基本要求 „ （1）熟练掌握场的基本概念，掌握标量场的梯 度、矢量场的 散度和旋度的定义、运算。

„ （2）了解圆柱坐标系与球坐标系中梯度、散度和 旋度运算。

• 2.重点、难点 „ 重点：场的基本概念；梯度、散度和旋度的定义、 运算和物理 意义 „ 难点：矢性微分算符、亥姆霍兹定理、矢量公式。

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静电场
„
库仑定律：
• 分布电荷对点电荷的作用力可以统一地表示为：
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G G Fq (r ) = q 4πε 0
LE
∫
region
G G r − r′ G G 3 dq ′ r − r′
G ⎧ ρ (r ′)dV ′ ⎪ G dq′ = ⎨ ρ s (r ′)ds ′ G ⎪ ρ (r ⎩ l ′)dl ′
体电荷 面电荷
线电荷
1 ε0 ≈ × 10−9 F / m 36π
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静电场
„
真空中静电场的基本解可归纳为
K ρ ∇⋅E =
• 静电场是一个无旋、有源(通量源)场 • 电荷就是静电场的源 • 电力线总是从正电荷出发到负电荷终止
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ε0
s
LE
G G Q ∫ E ⋅ ds =
ε0
K ∇× E = 0
v ∫
l
K K E ⋅ dl = 0
K E = −∇ϕ
ρ ∇ ϕ=− ε
2
U
ϕ (r) =
1 4πε 0
∫
ρ (r' )
r − r'
.C
V
dV '
9
N


静电场
„
介质中的场方程
K ⎧ ⎪ ∇⋅D = ρ K ⎨ ⎪ ⎩ ∇× E = 0
K K K K D = ε0E + P = ε E
„
边界条件：
K K K K n × E1 = n × E2
K K K n ⋅ ( D2 − D1 ) = ρ s
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ρp
K = −∇ ⋅ P
K K ⎧ D ⋅ dS = Q ∫S ⎪v ⎨ K K E ⋅ dl = 0 ⎪ ∫ v ⎩ l
ρS p
K K = P ⋅n
∂ϕ1 ∂ϕ 2 ε1 − ε2 = ρS ∂n ∂n
ϕ 2 − ϕ1 = 0
U
.C N
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静电场
„
电容的求法：
荷分布。

• 1. 假设两导体上所带电荷q，并根据实际情况求出电
• 2. 由电荷分布求出电场强度，进而得出两导体电位差 K 2 K U = ∫ E ⋅ dl
1
• 3. 由电容定义求出电容。

q C= U
„
导体系统
XI
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[ϕ ] = [ p ][ q]
n j =1
LE
[q ] = [ β ][ϕ ]
Cii = ∑ β ij , Cij = − β ij
U
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静电场
„
分布电荷的储能为：
„
带电导体系统的能量
„
电容器储存的静电能： 2 1 1 q We = qU = CU 2 = 2 2 2C
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1 We = ∫ ϕ (r )dq V 2
We = ∑
i =1 n n
LE
1 K K we = E ⋅ D 2
1 pij qi q j ∑ j =1 2
n
n
We = ∑
i =1
1 β ijϕ iϕ j ∑ j =1 2
We = ∫ we dv
V
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静电场
„
电荷；电场强度；静电场的通量与散度；静电场的环量与 旋度；静电场的基本方程；电位；泊松方程和拉普拉斯方 程；电偶极子及其产生的场；介质中的场方程；静电场的 边界条件；静电场中的多导体系统、多导体系统的部分电 容；静电场的能量、能量密度。

• 基本要求 „ 熟练掌握静电场的基本概念、静电场的基本方程、 边界条件。

„ 掌握静电场的计算方法、电场能量，电容的求解。

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LE
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恒定电流场
„ „ „ „ „ „ „
电流密度
电荷守恒定律 欧姆定律 焦耳定律
恒定电流场的基本方程 恒定电场的边界条件 静电比拟法
XI
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U = RI
LE
K ΔI ˆ (r ) J ( r ) = lim n ΔS → 0 Δ S K K K dρ dρ J ⋅ ds = − ∫ dv ∇⋅ J + =0 v ∫ V dt dt S
K K K K J (r ) = σ E (r )
P = UI
⎧ ∫S ⎪v ⎨ ⎪ ∫l ⎩v
K K p = J ⋅E K K K J ⋅ dS = 0 ⎧∇ ⋅ J =0 ⎪ K K K ⎨ E ⋅ dl = 0 ⎪ ⎩∇ × E = 0
K K ˆ ⋅ ( J 2 − J1 ) = 0 n
K K ˆ × ( E2 − E1 ) = 0 n
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U
.C
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恒定电流场
U
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N
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恒定电流场
„
„
„
电流和电流密度；欧姆定律的微分形式、焦耳定律的微分 形式；电流连续性方程、恒定电场的散度；电动势、恒定 电场的旋度；恒定电场的基本方程；恒定电场的边界条 件；静场比拟法 基本要求 • 熟练掌握电流的分类、电流密度的定义。

• 掌握电荷守恒定律、欧姆定律微分形式、焦耳定律、 恒定电流场基本方程和边界条件。

重点、难点 • 重点：电荷守恒定律、欧姆定律的微分形式、焦耳定 律、恒定电流场的基本方程和边界条件的数学表达式 及其含意。

• 难点：恒定电流场与静电场的比拟、漏电阻计算
XI
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LE
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恒定电流场
„
安培定律
• 法国物理学家安培根据实验总结的基本规律： • 真空中载流I1的回路C1给载流I2的回路C2的作用力为：
C1
K I1dl1
K R
μ0 = 4π ×10−7 H / m
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K I 2 dl2
K r1 K r2
LE
C2
K K K K μ0 I 2 dl2 × ( I1dl1 × R) F12 = ∫ C2 v ∫C1 R3 4π v
U
.C N
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恒定电流场
„
真空中的恒定磁场场方程
K ∇ ⋅ B(r ) = 0
磁通连续性方程
K K ∇ × B ( r ) = μ0 J ( r )
K K v ∫ B ⋅ dS = 0
S
XI
矢量磁位
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v ∫
l
LE
K μ0 A= 4π
2
∫
V
K K ∇ A = − μ0 J
K J dV R
安培环路定律
K K B (r ) ⋅ dl = μ0 I
K K B = ∇× A
K ∇⋅ A = 0
U .C N
库伦规范
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恒定电流场
„
磁介质中恒定磁场的基本方程： K K ∇× H = J • 微分形式 K ∇⋅B = 0
• 积分形式
• 本构方程
• 恒定磁场的边界条件
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K K K K v ∫C H ⋅ dl =∫S J ⋅ dS K K ∫ B ⋅ dS = 0 v
S
LE
K H=
K B
μ0
K −M
K K B = μH
K K Jm = ∇ × M K K ˆ J mS = M × n
U
K K ˆ ⋅ ( B2 − B1 ) = 0 n
K K K ˆ × ( H 2 − H1 ) = J S n
.C
N
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恒定电流场
„
无电流源区域的磁标位 K H = −∇ϕ m
IΩ ϕm = − 4π
XI
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LE
∇ 2ϕ m = 0
K IΩ B ( r ) = μ 0 ∇ ( ) = − μ 0 ∇ϕ m 4π
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恒定电流场
XI
„
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ψ
1 K K wm = B ⋅ H 2
电感
• 自感： L =
I ψ 21 • 互感： M 21 = I2
„
• 诺埃曼(Neumann)公式
磁场能量
„
磁场能量密度
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LE
K K μ0 dl1 ⋅ dl2 M 12 = ∫ C2 v ∫ C1 R 4π v
K K 1 Wm = v J ⋅ AdV ∫ V 2
1 K K Wm = ∫ H ⋅ BdV 2 V
1 2 W = LI 2
U .C N
21


恒定电流场
„
„
磁感应强度；磁通的连续性原理、磁场的散度；安培环路 定律、磁场的旋度；恒定磁场的基本方程；矢量磁位；矢 量泊松方程；磁偶极子及其产生的场；磁介质中的场方 程；磁场的边界条件；标量磁位；互感和自感；恒定磁场 的能量、能量密度。

基本要求 • 熟练掌握磁通的连续性原理、安培环路定律、恒定磁 场的基本方程、矢量磁位和磁场的边界条件。

• 掌握电流分布已知时磁感应强度和磁场强度的计算， 矢量泊松方程和磁偶极子及其产生的场，标量磁位、 互感和自感、磁场能量、能量密度的概念和求解
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XI LE
„
平面镜像法
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静态场的解
U
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静态场的解
„
球面镜像法
q d
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q
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a q a q d
LE
d
q’ a b
a q' = − q d
a2 b= d
d
q’ q” b
q″=-q′
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静态场的解
„
柱面镜像法
XI LE
-4 -3 -2 2 1 0 y -1 -2 -5 -1 0 x 1
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2 3 4 5
d
ρl
x
( x + d )2 + y 2 2 m ,m ≥ 0 = 2 2 (x − d ) + y
2md m2 + 1 R0 = 2 , x0 = 2 d , y0 = 0 m −1 m −1
U
ϕ=
ρl 1nm 2πε 0
26
.C
N
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静态场的解
ε 2 − ε1 ⎫ q' = q⎪ ε 2 + ε1 ⎪
⎬ 2ε1 ⎪ q' ' = q⎪ ε 2 + ε1 ⎭
„
介质平面镜像法
y r2
Region1
∂ϕ1 ∂ϕ 2 ε1 = ε2 ∂n ∂n
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XI LE
ε1
q” x d Region2
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y
y r1 q’ d Region1 r2 q x d Region2
ε2
ε1 ε2
d
q
x
ϕ 2 − ϕ1 = 0
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U .C
N


静态场的解
„
分离变量法的大致步骤：
• Step1：将偏微分方程的定解问题通过分离变量法转化为 常微分方程的定解问题； • Step2：确定特征值，利用部分边界条件确定特征函数； • Step3：与其它常微方程的解相乘得到包含有任意常数的 一般解形式：φn(x,y) • Step4：叠加所有的φn(x,y)形成级数形式，利用剩余的 边界条件把已知函数展开成特征函数项级数，从 而确定一系列未知常数，进而得到通解形式.
XI
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LE
U
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静态场的解
„
边值问题的分类；唯一性定理；导体平面、导体球面、导 体柱面镜像法；直角坐标系中的分离变量法。

基本要求 • 熟练掌握边值问题的分类、唯一性定理、镜像法、分 离变量法、有限差分法。

XI LE
„ „
lexu@
重点、难点
• 重点：镜像法、分离变量法
• 难点：直角坐标系中的分离变量法
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U
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I D I A N N I V E S I T Y L E
X U M A I X I D I N .D U
.C
I D I A N U N I V E R S I T Y L E
X U @M A I L X I D I N .D U
.C
X I D I A N U N I V E R S I T Y L E
X U @M A I L .X I D I A N .E D U
.C
例2.1 均匀带电导体球的半径为a ，电量为q ，求球内、外电场及电位分布
解：用高斯定理计算。

由对称性可以知道，在距球心为r 的球面上，电场强度的大小相等，方向沿半径方向。

对球外，取半径为r 的球面作为高斯面，利用高斯定理计算：
202
4, r r q D d S E r q E επ===
i
2
22222
2'sin ( cos )2 cos 'sin d d r r a z a z az a dS a θθθθθφ
−=+−=−+=
将其代入电位表达式，并先对φ积分，有
2
π
04q a
πε。

例2.2 总量为q 的电荷均匀分布在半径为a ，介电常数为ε的球体内，球外为空气，求静电能量。

解：用高斯定理可以计算出球内、外的电场为
12320, 344r r
r r qr q E a a E a a r ρεπεπε===
静电能量为
22
1022
2
2
2
032
022011122211442424408e a a W D EdV E dV E dV
qr q r dr r dr r q q a a
εεεπεππεαπεπεπε∞
==+⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠
⎝⎠
=+
∫∫∫∫
∫ i 静电能量度也可以用电位能公式1
2e W dV ϕρ=
∫计算。

由电场强度的线积分可得出球
内、外的电位为
()2
21123
0220844a r
r
a
r
r
q
q
Edr E dr E dr a
r a a
a
Edr E dr r
ϕπεπεϕπε∞
∞
∞
∞
==+=
−+
===
∫∫∫∫∫
()13
2222
33
0022
0340
113422844408a q a q q q W dV a r r dr a a a q q a a
ρπρϕρππεπεππεπε=
=⎡⎤==−+⎢⎥⎣
⎦=+
∫∫ 例3.1平行板电容器的极板面积为S，其间填充厚度分别为1d 和2d 的漏电媒质，电导率分
别为1σ和2σ，如图3-1所示。

当极板间加电压0U 时，求各个区域的电场强度，并求漏电
电阻。

X I
D I A N U N I V
E R S I T Y L E
X U
@M A I L .X I D I A N .E D
U
.C N
解：不考虑边缘效应，设极板间的漏电电流为I 。

由于是稳恒电流分布，两个媒质中的电流密度相同，即12I
J J J S
===
，电场强度在每一区域分别为常数，即1
2
121
2
,J J E E σσ=
=
，故电压为
并对半径为a 的均匀磁化介质球分别用上式的左边和右边计算其磁矩。

证明：已知ˆ,m sm M M n
ρρ=−∇⋅=⋅
()ˆsm S
S
r ds r M n
ds ρ=⋅∫
∫
()()()
ˆˆˆx y z S
S
S
xM ds a
yM ds a
zM ds a
=
⋅+⋅+⋅∫
∫
∫
ˆˆˆ()()()x y z
V V V xM dv a yM dv a zM dv a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=∇⋅+∇⋅+∇⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦∫∫∫
由哈密顿算子性质可知：()x xM x M x M M x M ∇⋅=∇⋅+∇⋅=+∇⋅
同理可得： (),()y z yM M y M zM M z M ∇⋅=+∇⋅∇⋅=+∇⋅
由此可得：
sm m S
V
V
V
V
r ds Mdv r Mdv Mdv r dv ρρ=+∇⋅=−∫
∫∫∫∫
即可证：
m sm V
V
S
Mdv r dv r ds ρρ=+∫
∫∫
例3.4判断矢量函数 x y y x B A a A a =−+ 是否可能是某区域的磁感应强度。

如果是，求相应
的电流分布。

解：由恒定磁场的基本方程0B ∇=
i 可知，给定的矢量函数可以是磁感应强度。

由公
式0B J μ∇×=
，得与其相应的电流分布为
000 112 0
y z z y a
a a A J B a y z
A A χχμμχμ∂∂∂=∇×==∂∂∂−
例4.1 空气中有一半径为5㎝的金属球，其上带有1C μ的点电荷，在距离球心15㎝处另有一电量也为1C μ的点电荷，求球心处的电位及球外点电荷受到的作用力。

解：由球面镜像法可以知道，球外任意点的电位等于三部分的叠加。

一是由球外电荷q
产生，二是由q 的镜像电荷'q 产生，三是由导体球面上的电荷 'Q q −产生（球面上的电荷必须均匀分布在导体球面上）。

0211''4Q q q q r r r ϕπε⎛⎞
−=
++⎜
⎟⎝⎠
其中，r 是从球心到场点距离，1r 是q 到场点的距离，2r 是'q 到场点的距离。

导体球是一个等位体，其电位值为
001'44aq Q Q q d a a
ϕπεπε+
−== X I
D I A N U N I V
E R S I T Y L E
X U
@M A I L .X I D I A N .E D U .C N
球外点电荷受到的作用力等于球面上电荷与镜像电荷对其的作用力，即
()220''4q Q q q F d d b πε⎡⎤
−=+⎢⎥−⎢⎥⎣⎦
代入数值
其余系数均为零。

从而，得到电位 sin
U x
y
sh
a
a
sh
a
ππϕπ=。