上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

七宝中学高二期中数学试卷

2020.05

一. 填空题

1. 若直线a 、b 均平行于平面α，那么a 与b 位置关系是

2. 若1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=

3. 某学生在上学的路上要经过三个路过，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

13

，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为

4. 在120°的二面角内有一点P ，P 到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P 到该二面角棱的距离为

5. 若1223211333385n n n n n n n C C C C ---+++⋅⋅⋅++=，则n =

6. 7271除以100的余数是

7. 甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为

8. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：

① 若a b ⊥，a α⊥，则b ∥α ② 若a ∥α，αβ⊥，则a β⊥

③ 若a β⊥，αβ⊥，则a ∥α ④ 若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥ 其中正确的命题序号是

9. 若y =y 的取值范围是

10. 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队， 要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法（用数字作答）

11. 在5月6日返校体检中，学号为i （1,2,3,4,5i =）的五位同学的体重增加量()f i 是集合{1,1.5,2,2.5,3,3.5}kg kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ≤≤≤≤， 则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有 种

12. 设S 为一个非空有限集合，记||S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集A 、B 满足：||A B k =I 并且A B S =U ，则称子集{,}A B 为集合S 的一个“k —覆盖”（其中0||k S ≤≤），若||S n =，则S 的“k —覆盖”个数为

二. 选择题

13. 在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ）

A. 100

B. 85

C. 65

D. 55

14. 在正方体1111ABCD A B C D -中与1AD 成60°角的面对角线的条数是（ ）

A. 4条

B. 6条

C. 8条

D. 10条

15. 电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任 一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（ ） A. 1240 B. 1160 C. 71440 D. 1180

16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角

形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD

内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨

迹一定是（ ）

A. B. C. D.

三. 解答题

17. 若66()n x x

+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列. （1）求n 的值；

（2）此展开式中是否有常数项，为什么？

18. 已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.

（1）求证：EF ∥平面PAD ；

（2）若45PDA ∠=︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小.

19. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，AB a =，3AD a =，且 25arcsin ADC ∠=，又PA ⊥平面ABCD ，AP a =. 求：（1）二面角P CD A --的大小（用反三角函数表示）；

（2）点A 到平面PBC 的距离.

20. 是否存在等差数列{}n a ，使012112312n n n

n n n n a C a C a C a C n +-+++⋅⋅⋅+=⋅对任意n *∈N 都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由.

21. 规定(1)(1)!

m x x x x m C m -⋅⋅⋅-+=，其中x ∈R ，m 是正整数，且01x C =，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m n ≤）的一种推广.

（1）求412C -的值；

（2）设0x >，当x 为何值时，313()

x x C C 取得最小值？ （3）组合数的两个性质：

①m n m n n C C -=. ②11m m m n n n C C C -++= .

是否都能推广到m x C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出

证明；若不能，则说明理由.

参考答案

一. 填空题

1. 相交、平行、异面

2. 177147-

3.

427

4. 5. 4 6. 41 7. 2932

8. ④

9. 10. 1000 11. 252 12. 2k n k n

C -⋅

二. 选择题

13. D 14. C 15. B 16. A

三. 解答题

17.（1）7n =；（2）不存在.

18.（1）证明略；（2）45°.

19.（1

）arctan 6；（2

）2

. 20. 存在，44n a n =-.

21.（1）4

121365C -=；（2）当43x =时，313()x x C C 取得最小值，最小值为148

-；（3）性质①不能推广，例如412C -有意义，1612C --无意义；

性质②能推广，它的推广形式为11m m m x x x C C C -++=（x ∈R ，m 是正整数），证明如下：

当1m =时，1

0111x x x C C x C ++=+=；

当2m ≥时，1(1)(2)(1)(1)(2)(2)!(1)!

m m x x x x x x m x x x x m C C m m ---⋅⋅⋅-+--⋅⋅⋅-++=+- 1(1)(2)(2)1(1)(2)(2)(1)[1](1)!!

m x x x x x m x m x x x x m x C m m m +--⋅⋅⋅-+-+--⋅⋅⋅-++=

+==-.