与圆有关的角的性质及应用
初中数学 什么是圆心角
初中数学什么是圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。
下面我将详细介绍什么是圆心角，并提供相关的定义、性质和应用：1. 圆心角的定义：圆心角是以圆心为顶点的角，它的两条边分别是从圆心出发的两条射线，这两条射线与圆上的两点相交。
圆心角通常用大写字母表示，如∠AOB。
2. 圆心角的性质：-圆心角的度数等于所对弧的度数：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
例如，如果圆上的弧AB的度数为x度，那么以圆心为顶点的圆心角∠AOB的度数也为x度。
-圆心角的度数范围：圆心角的度数范围是0度到360度（或0到2π弧度）。
-圆心角的度数与弧长的关系：圆心角的度数与所对弧的弧长有一定的比例关系。
具体关系是：圆心角的度数等于所对弧的弧长与圆的半径的比值乘以360度（或2π弧度）。
-圆心角的特殊情况：如果圆心角的度数为90度（或π/2弧度），那么这个圆心角称为直角；如果圆心角的度数为180度（或π弧度），那么这个圆心角称为半圆；如果圆心角的度数为360度（或2π弧度），那么这个圆心角称为整圆。
3. 圆心角的应用：圆心角在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如：-圆心角可用于计算弧长：通过圆心角的度数和所对弧的半径，可以计算出所对弧的弧长。
-圆心角可用于解决几何问题：通过圆心角的性质，可以解决与圆相关的角度、长度及面积等问题。
-圆心角可用于描述物理现象：在物理学中，圆心角可用于描述物体在圆周运动中所转过的角度。
需要注意的是，圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于所对弧的度数。
圆心角的度数范围是0度到360度，它与所对弧的弧长有一定的比例关系。
圆心角在几何学和物理学中有广泛的应用。
以上是关于圆心角的定义、性质和应用的介绍。
希望以上内容能够满足你对圆心角的了解。
直径所对圆周角为90度定理(3篇)
第1篇一、引言圆周角是圆中的重要概念之一，它是指圆周上任意两点所夹的角。
在圆中，许多性质和定理都与圆周角有关。
其中，直径所对圆周角为90度定理是圆周角性质中的重要定理之一。
本文将详细介绍该定理的定义、证明过程以及在实际问题中的应用。
二、定理内容直径所对圆周角为90度定理：设圆O中，AB为直径，P为圆上任意一点，连接AP、BP，则∠APB=90°。
三、证明过程证明一：圆内接四边形性质证明（1）作图：以O为圆心，AB为直径，作圆O。
在圆上取一点P，连接AP、BP。
（2）证明：根据圆内接四边形性质，圆内接四边形的对角互补，即∠APB+∠AOB=180°。
（3）因为AB为直径，所以∠AOB=90°。
代入上述等式得：∠APB+90°=180°。
（4）解得：∠APB=90°。
证明二：圆周角定理证明（1）作图：以O为圆心，AB为直径，作圆O。
在圆上取一点P，连接AP、BP。
（2）证明：根据圆周角定理，圆周角等于所对圆心角的一半。
（3）因为AB为直径，所以∠AOB=90°。
代入上述等式得：∠APB=∠AOB/2=90°/2=45°。
（4）又因为∠APB是圆周角，所以∠APB=∠AOB=90°。
四、定理应用1. 圆周角定理的应用在解决与圆周角有关的问题时，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理。
例如，在解决圆内接四边形问题时，我们可以通过圆周角定理和直径所对圆周角为90度定理来求解。
2. 构造圆周角在解决实际问题中，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理来构造圆周角。
例如，在求解直角三角形中，我们可以利用圆周角定理和直径所对圆周角为90度定理来构造圆周角，进而求解直角三角形的边长。
3. 判断圆心位置在解决一些几何问题时，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理来判断圆心的位置。
例如，在解决圆内接四边形问题时，我们可以通过判断圆周角是否为90度来确定圆心的位置。
圆周角的几何语言-解释说明
圆周角的几何语言-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆周角是几何学中一个重要的概念，它在解决图形和空间中的问题时发挥着重要作用。
本文将对圆周角的定义、性质和应用进行探讨，以便更好地理解和应用这一概念。
在我们的日常生活和工作中，圆周角也有着广泛的应用，比如在工程设计、建筑规划和地理测量等领域都可以看到圆周角的身影。
通过深入研究圆周角，我们可以更好地理解几何学的原理和规律，为我们的工作和生活带来更多的启发和帮助。
json"1.2 文章结构": {"本文主要分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将介绍文章的概述、结构以及研究目的。
正文部分将深入探讨圆周角的定义、性质和应用，通过具体的几何语言和公式来阐述其重要性和应用场景。
结论部分将总结圆周角在几何学中的重要性，并展望未来可能的研究方向和应用领域。
通过以上三个部分的分析和论述，将全面展现圆周角在几何学中的重要地位和应用前景。
"}1.3 目的部分内容:本文的目的是通过深入探讨圆周角的定义、性质和应用，以便读者更全面地理解和掌握圆周角在几何学中的重要性和应用价值。
通过对圆周角的研究，读者可以更好地理解几何学中的基本概念，并且能够应用这些知识解决实际问题。
此外，本文还旨在强调圆周角在数学教育中的重要性，帮助学生建立起对几何学知识的牢固基础，从而为他们未来的学习和职业生涯奠定良好的数学素养。
通过探讨圆周角的几何语言，希望读者能够加深对几何学的理解，提高数学解决问题的能力，并且在学术和职业生涯中取得更大的成功。
2.正文2.1 圆周角的定义圆周角是指以圆心为顶点的角，其两边分别是圆上的两条弧。
具体来说，如果角的两边正好是圆上的一条弧的起点和终点，那么这个角就是圆周角。
在几何学中，圆周角通常用符号“∠”来表示，例如∠ABC。
圆周角的大小可以用其对应的弧长来度量，根据圆周角对应的圆弧的长度可以得出圆周角的度数。
一般来说，一周的圆周角为360度，因此圆周角的度数范围是0到360度之间。
圆心角和圆周角的综合应用
圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补习题库 一．同弧（等弧）所对的圆周角相等； 同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。
(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有 个.2. 如图，ABC △内接于圆O ，50A =∠，60ABC =∠，BD 是圆O 的直径， BD 交AC于点E ，连结DC ，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是C A上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是 ．(2)等弧与圆周角 1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（ ） A.25º B.29º C.30º D.32°3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）。
圆心角的性质
圆心角的表示方法
圆心角通常用希腊字母θ(theta)表示，也可以用大写字母K 表示。
表示圆心角的时候，需要标明它所在圆的半径和弧长或者 弧度。
圆心角与弧的关系
圆心角和弧是有密切关系的， 可以用公式表示：弧长=弧度×
半径。
一段弧的长度和它的圆心角的 大小是成正比的，也就是说， 圆心角越大，弧的长度也就越
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圆心角的应用实例
圆心角在机械制图中的应用
机械制图是工程和技术领域中非常重要的一个方面，而圆心角的应用在其中扮演 了重要角色。
利用圆心角可以准确地标注和计算角度，例如在绘制齿轮、蜗轮、涡轮等复杂的 三维模型时就需要使用圆心角进行精确计算。
圆心角在机械制图中的应用还表现在对一些精密零件的设计和制造上，例如钟表 和精密机床等，这些都需要准确地计算和标注圆心角。
圆心角在作图中还被用于确定圆弧的起止点，如已知圆弧的起点、圆心和终点三 个点，可以通过圆心角的大小计算出圆弧的长度，从而进行绘制。
圆心角在解析几何中的应用
圆心角在解析几何中常被用于求解二次方程的实数根，如将 二次方程的曲线表达式转化为圆的标准式，然后通过求解圆 心角所对应的三角函数值，进而求解出二次方程的实数根。
圆心角在建筑设计中的应用
建筑设计是一项复杂的工作，需要考虑各种因素，而圆心角的应用在其中起到了关键作用 。
利用圆心角可以精确地计算和设计建筑物的角度和形状，例如在建造圆形建筑、半圆形建 筑或多边形建筑时就需要考虑圆心角的影响。
圆心角在建筑设计中的应用还表现在对建筑物内部结构的设计和规划上，例如在考虑采光 、通风、视野等因素时就需要考虑圆心角的影响。
圆心角在解析几何中还被用于计算曲线上的点到原点的距离 ，如已知一个圆的圆心和半径，可以通过计算圆心角的大小 来求解曲线上的点到原点的距离。
圆周角定理与圆的切线
第2讲 圆周角定理与圆的切线【2013年高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用． 【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础梳理1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角． (2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半． (3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d 与圆的半径r 的关系 相交 两个 d ＜r 相切 一个 d ＝r 相离无d ＞r(2)切线的性质及判定①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．双基自测1．如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________．解析 连接CP .由推论2知∠CP A ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4. 答案 6.42．如图所示，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D是优弧BC 上的点，已知∠BAC ＝80°， 那么∠BDC ＝________. 解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析 连接OC ，OB ，依题意得，∠COB ＝2∠CAB ＝2∠BCD ＝60°，又OB ＝OC ， 因此△BOC 是等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝1，即圆O 的半径为1， 所以圆O 的面积为π×12＝π. 答案 π4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为________．解析 连接BD ，则有∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝4，AD ＝2，所以∠A ＝60°；在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，于是有∠C ＝30°. 答案 30°5．(2011·汕头调研)如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与圆O 上过点P 的切线P A 相交于点A ，若∠M ＝30°，AP ＝23，则圆O 的直径为________．解析 连接OP ，因为∠M ＝30°，所以∠AOP ＝60°，因为P A 切圆O 于P ，所以OP ⊥AP ，在Rt △ADO 中，OP ＝AP tan ∠AOP ＝23tan 60°＝2，故圆O 的直径为4.答案 4考向一 圆周角的计算与证明【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，若AB＝3，CD ＝1，则sin ∠APB ＝________.[审题视点] 连结AD ，BC ，结合正弦定理求解． 解析 连接AD ，BC .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝90°.又∠ACD ＝∠ABD ，所以在△ACD 中，由正弦定理得：CD sin ∠DAC ＝AD sin ∠ACD ＝AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ABD ＝AB ＝3，又CD ＝1，所以sin ∠DAC ＝sin ∠DAP ＝13，所以cos ∠DAP ＝23 2.又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝23 2.答案23 2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．【训练1】如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．解析连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案16π考向二弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线段之间的比例关系，从而求解．解析∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴BEAC＝ABBC.又AE∥BC，∴EFAF＝BEAC，∴ABBC＝EFAF.又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴CDBC＝EFAF，∴58＝EF6，∴EF＝308＝154.答案15 4(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE×CD.高考中几何证明选讲问题(二)从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB 延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．。
平面几何中的圆与圆心角
平面几何中的圆与圆心角在平面几何中，圆是一种特殊的几何图形，它有着独特的性质和特征。
圆心角是圆与圆心的夹角，在许多几何问题中起着重要的作用。
本文将详细介绍平面几何中的圆与圆心角的相关概念、性质及应用。
一、概述圆是由平面上所有到圆心距离相等的点组成的图形。
在圆上可以定义各种角，其中圆心角是指由两条半径所夹的角。
通常用希腊字母θ（theta）来表示圆心角。
二、圆心角的性质1. 圆心角的定义在一个圆上，以圆心为顶点的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于所对圆弧的度数。
2. 圆心角的度数圆心角的度数范围从0°到360°。
当圆心角为0°时，即为顶点与圆上两点重合，此时两条半径相等；当圆心角为360°时，即为整个圆。
3. 圆心角与弧度的关系圆心角的弧度数等于所对圆弧的弧度数除以半径。
弧度是衡量角度大小的另一种单位，常用符号r表示。
三、圆心角的应用1. 圆心角的测量通过测量圆心角的度数或弧度，可以计算出相应的圆弧长度和扇形面积。
具体计算公式如下：- 圆心角度数和弧长的关系：弧长 = （圆周长 ×圆心角度数）/ 360°- 圆心角弧度和弧长的关系：弧长 = 半径 ×圆心角弧度2. 圆心角在几何证明中的应用圆心角在几何证明中常常用于推导和证明等。
例如，基于圆心角的性质，可以证明两条互相垂直的弦所夹的圆心角相等，也可以通过圆心角的夹角定理证明两条平行弦所夹的圆心角相等。
3. 圆心角在实际生活中的应用圆心角的概念在实际生活中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，根据圆心角的测量可以确定建筑物的曲线形状和角度大小。
在航空航天领域，圆心角被广泛应用于飞行轨迹计算和飞机导航。
四、总结圆心角是平面几何中研究圆与圆心夹角的重要概念。
通过测量圆心角的度数或弧度，我们可以计算出相应的圆弧长度和扇形面积，也可以应用于几何证明和实际生活中的各种问题。
熟练掌握圆心角的相关概念和性质对于理解和应用平面几何学的原理和方法非常重要。
圆周角几何语言
圆周角几何语言圆周角是几何学中的一个重要概念，它是指圆心所对的圆弧所对应的角。
在本文中，我们将从不同的角度来探讨圆周角的性质和应用。
一、圆周角的定义与性质在平面几何中，圆周角是指圆心所对的圆弧所对应的角。
圆周角的大小可以用弧度或度数来表示。
弧度是一个无量纲的量，以弧长与半径的比值来衡量角的大小。
度数是一个量纲为角度的量，以圆周的360等分来衡量角的大小。
圆周角的性质有以下几点：1. 圆周角的度数和弧度数相等。
例如，一个圆周角的度数为60°，则它的弧度数也为60。
2. 圆周角的大小与所对应的圆弧的长度成正比。
即圆周角越大，所对应的圆弧也越长。
3. 对于同一个圆，圆周角相等的两个弧所对应的圆心角也相等。
二、圆周角的应用圆周角在几何学中有许多应用，下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 弧长的计算：已知圆的半径和圆周角的弧度数，可以通过圆周角的弧度数与半径的乘积来计算弧长。
2. 扇形面积的计算：已知圆的半径和圆周角的弧度数，可以通过圆周角的弧度数与半径的平方的乘积的一半来计算扇形的面积。
3. 圆心角的计算：已知圆周角所对应的圆弧长度和圆的半径，可以通过圆周角的弧长与半径的比值来计算圆心角的弧度数。
4. 弧度与角度的转换：可以通过将角度除以180再乘以π来将角度转换为弧度，或者通过将弧度除以π再乘以180来将弧度转换为角度。
5. 弧度的性质应用：弧度是无量纲的，因此在计算中更为方便。
许多几何问题可以通过使用弧度来简化计算。
三、圆周角的相关定理在几何学中，还有一些与圆周角相关的重要定理。
下面我们将介绍其中的一些定理。
1. 圆周角的和定理：如果两个圆周角的顶点和一个边相同，那么这两个圆周角的和等于另一个圆周角。
2. 切线与弦的定理：如果一条切线与一条弦相交，那么所对的圆周角等于这条弦所对的圆心角。
3. 弧与弦的定理：如果一条弧与一条弦相交，那么所对的圆周角等于这条弦所对的圆心角的一半。
四、圆周角的应用举例下面我们通过一些实际问题来应用圆周角的知识。
新人教版九年级数学(上)——与圆有关的角(圆周角、圆心角)
OA BE FCD课前回顾1、垂径定理的概念及其推论：2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。
知识点一、圆心角1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。
例题讲练例题一、概念理解1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的nm，则∠AOB =____________．与圆有关的角——圆心角、圆周角3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。
例题二、基础应用6．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．7．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．例题三：综合应用9．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定10．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．11．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．CAB1、圆周角的定义：顶点在圆上，两条边与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角与弧度知识点
圆周角与弧度知识点圆周角和弧度是圆的重要性质，在数学和物理中有广泛的应用。
本文将介绍圆周角和弧度的定义、性质以及它们在几何学和三角学中的应用。
一、圆周角的定义和性质圆周角是指以圆心为端点的两条射线之间的夹角。
它通常用字母“θ”表示。
圆周角的度数与它对应的弧长长度有直接的关系。
一个圆的周角度数为360°，对应于一个完整的圆周长。
圆周角的性质包括以下几个方面：1. 同位角：同位角是指位于同一圆上的两个角，它们的度数相等。
例如，圆周角度数为60°和圆周角度数为300°的两个角是互为同位角。
2. 互补角：互补角是指两个角的度数之和为90°的一对角。
圆周角没有互补角，因为它的度数总是大于90°。
3. 补角：补角是指两个角的度数之和为180°的一对角。
两个互为补角的圆周角，它们的度数加起来为360°。
4. 倍角：倍角是指一个角的度数乘以2得到的角。
圆周角的倍角是一个完整的圆周角。
二、弧度的定义和性质弧度是表示角度的另一种单位，用符号“rad”表示。
弧度的定义是，单位圆上所对应的弧长等于半径长度时的角度。
一个完整的圆周长对应的角度为2π弧度。
弧度的性质包括以下几个方面：1. 同位弧度：同位弧度是指位于单位圆上的两个弧度，它们的弧长相等。
例如，弧度为π/6和弧度为11π/6的两个角是互为同位弧度。
2. 弧度与角度的互换：角度和弧度之间存在一个简单的换算关系，即1弧度等于180°/π度。
因此，可以通过乘以π/180或乘以180/π来将角度转换为弧度，或将弧度转换为角度。
3. 弧度的加法：弧度可以进行加法运算。
当两个角的弧度分别为α和β时，它们的和为α+β。
4. 弧度的倍数：倍数是指一个角的弧度乘以n得到的角。
例如，一个圆周角的弧度是2π，那么它的2倍为4π。
三、圆周角和弧度的应用圆周角的概念在几何学和三角学中有广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用场景：1. 扇形面积：扇形是以圆心为顶点的一个扇形区域。
圆周角—知识讲解(基础)
圆周角--知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1．理解圆周角的概念．了解圆周角和圆心角的关系；2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径；4．掌握圆内接四边形的对角互补.5．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）要点二、圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )A．45° B．60° C．30° D．55°【答案】A.∵ AB＝BC＝CD＝DA，∴»»»»90 AB BC CD DA====°，∴∠BEC＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．类型三、圆内接四边形4.如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC=120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是（）A．130° B．120° C．110° D．100°【思路点拨】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠ADE=180°，然后根据同角的补角相等得出∠ADE=∠B=120°．【答案】B；【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B．∵∠B=120°，∴∠ADE=120°．【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（）A．52°B．54°C．56°D．60°【答案】B．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，∴∠DCE=∠BAD=108°．∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠DCE=54°．5.如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD=130°，则∠DCE=°．【思路点拨】由圆周角定理，可求得∠A的度数，又由圆的内接四边形的性质，可得∠DCE=∠A．【答案】65；解：∵∠BOD=130°，∴∠A=∠BOD=65°，∵∠A+∠BCD=180°，∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=65°．【总结升华】此题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，点C是AB上一点，O是圆心，且∠AOB=120°，则∠ACB=度．【答案】120；解：设点E是优弧AB上的一点，∵∠AOB=120°，∴∠AEB=60°，∴∠ACB=180°﹣∠AEB=120°．。
初三数学圆知识点总结完整版
初三数学圆知识点总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】初三数学圆知识点总结一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．圆和圆的位置关系：设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律．解：连结OP，P点为中点．小结：此题运用垂径定理进行推断．例2 下列命题正确的是( )A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．解：A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．故选B．例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．解：．小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．又∵AB＝16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结．∵垂直平分AB，∴．又∵AB＝16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．三、相关定理：1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
圆周角的概念和圆周角定理
24.1圆的有关性质（第四课时）一、内容和内容解析1.内容圆周角概念，圆周角定理及其推论.2.内容解析与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角.顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来.圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等，弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，即是圆心角、弦、弧之间关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带.圆周角定理得证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：圆周角定理.二、目标和目标解析1.目标（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论.（2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法.2.目标解析达成目标（1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理和推论解决简单问题.达成目标（2）的标志是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理.三、教学问题诊断分析圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部.所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法,分情况证明.学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏.因此，教学的关键是:①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面，让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系,为后面证明中的分类讨论做好铺垫.②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想他们之间的数量关系，然后教师在利用计算机软件来验证，让学生进一步明确他们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.③从特殊的位置关系——圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形.基于以上分析，本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理.四、教学过程设计1.了解圆周角的概念问题1 如图1，∠ACB 的顶点和边有哪些特点？师生活动：学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：∠ACB 的顶点在O Θ上，角的两边分别交O Θ于点A,B 两点.教师进而指出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角与圆心角都是圆有关的角.设计意图：结合图形，获得圆周角定义，理解圆周角的概念.练习 教科书第88页练习第一题.师生活动：学生思考并回答问题.设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解.2.探索圆周角定理问题2 在图2中，∠ACB 是圆周角，作出弧AB所对的圆心角∠AOB.分别测量∠ACB 和∠AOB 的度数.他们之间有什么关系？师生活动：学生画图，连接OA,OB 得到圆心角∠AOB.跳时指出∠ACB 和∠AOB 都对着弧AB 提出以下问题.教师追问1：图2中，∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？师生活动：学生通过观察，度量，猜想AOB ACB ∠=∠21.即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师追问2：在O Θ上任取一条弧，做出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？师生活动：除学生动手画图度量，并验证猜想外，教师也可以利用《几何画板》软件的动态功能和度量功能进行演示，从更广泛的角度验证猜想：①拖动圆周角的顶点在优弧AB 上运动；②改变弧的大小；③改变圆的大小后分别进行①和②的掩演示.引导学生发现，在演示过程中，∠ACB 和∠AOB 度数的比值保持不变.设计意图：引导学生经历观察猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师使用《几何画板》做进一步演示与验证，在动态环境中研究圆周角与圆心角的关系，即在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系.3.证明圆周角定理问题 3 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？教师追问1：在圆上任取弧BC ，画出圆心角∠BAC 和圆周角∠BOC,圆心与圆周角有几种位置关系？师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系（图3）：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.同时进一步明确证明的必要性和证明的方法.教师追问2：第①种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到第①种情况属于特殊情况，另外两种情况比第①种情况复杂.研究数学问题一般从特殊情况开始，再考虑其他情况能否转化成特殊情况.师生结合图3（1），分析第①种情况，得到BOC A C A BOC C A OC OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21教师指出：符号”B A “⇒表示由条件A 推出B ，可以用”“⇒方式给出推理过程.设计意图：从特殊情况入手，证明猜想G 便于学生的学习又为其他两种情况的证明提供了转化的方向.教师追问3: 在第②③种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生思考，尝试解决.如果学生有困难，教师可提示学生：将第②③种情况转化成第①种情况.根据学生的情况，师生共同研究完成第②种情况的证明.证明：如图4，连接AO 并延长交ΘO 于点D.BOD BAD B BAD BOD B BAD OB OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21. 同理,COD CAD ∠=∠21. BOC COD BOD CAD BAD BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠∴212121. 学生独立完成第③种情况的证明.从而得到定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.设计意图：将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想.学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升.4.探究特殊情况，获得推论问题4 我们知道，一条弧，可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？师生活动：学生画出弧BC 所对的几个圆周角和圆心角（图5），先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等.再思考同弧或等弧的情况.如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论.设计意图：让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系.问题5 半圆或直径所对的圆周角有什么特殊性？师生活动：学生画出弧AB 所对的几个圆周角和圆心角（图6），通过观察、猜想，根据定理得到结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.教师进一步引导学生得出：90°的圆周角所对的弦是直径.设计意图：由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论.5.应用圆周角定理与推论例如图7，OΘ的直径AB的长为10cm.弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交OΘ于点D, 求BC,AD,BD的长.师生活动：师生共同分析已知条件、所求和解题思路.如图8，欲求BC的长，由BC所在的△ABC中AB为OΘ的直径，可知∠ACB=90°.又AB和AC已知，在Rt△ABC中，由勾股定理可求BC的长.由CD平分∠ACB得∠ACD=∠BCD，连接OD，可得∠AOD=∠BOD=90°,进而由勾股定理可求AD,BD的长.学生解答，一名学生板书，教师组织学生交流.设计意图：应用圆周角定理及其推论解决问题，巩固所学的内容.6.小结教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？设计意图：通过小结使学生归纳梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认知数学思想、教学方法，积累数学活动的经验.7.布置作业教科书第88页练习题第2，3，4题.。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
圆周角概念和性质
圆周角教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且 它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 EF∵∠AOC 是△ABO 的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、巩固练习1．教材P92 思考题．2．教材P93 练习．四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：===2R ． 分析：要证明===2R ，只要证明=2R ，=2R ，=2R ，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB∵CD 是直径121212121212sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c C2a R 2b R 2cR∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=，即2R= 同理可证：=2R ，=2R ∴===2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、 BC DC sin a Asin b B sin c Csin a A sin b B sin c C。
初三数学圆的有关性质及有关的角(含答案)
第三讲圆的有关性质及有关的角一、知识要点：1、圆是平面上到的距离等于的点的集合。
2、的三点确定一个圆；任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的心，它是三角形的的交点。
3、圆是以为轴的轴对称图形，又是以为中心的中心对称图形。
4、垂径定理的条件是，结论是。
5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都。
重、难点：圆的基本性质，垂径定理。
基础知识圆的有关性质和计算①垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．②弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.④圆内接四边形的性质: 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.1、圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的；半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。
2、弦切角它所夹的弧对的圆周角。
3、圆内接四边形的对角；任何一个外角都等于它的。
二、例题讲解（1）圆的认识1、（2005•扬州）下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、下列命题中，正确的是（）A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴3、过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）A．1条B．2条C．3条D．无数条4、下列命题中，正确的个数是（）（1）不同的圆中不可能有相等的弦；（2）优弧一定大于劣弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）垂径定理及推论例1、1．（2012•新疆）如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE．练习1、（2019•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O 位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．变式题1：（2010•襄阳）圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求两弦AB、CD的距离。
圆外切角等于内对角定理
圆外切角等于内对角定理1.引言1.1 概述概述部分的内容可以主要介绍以下几个方面：1. 外切角和内对角的概念：在圆上有两个角，一个角的顶点在圆的内部，其两条边都与圆相交；而另一个角的顶点在圆的外部，其两条边也都与圆相交。
这两个角分别被称为内对角和外切角。
2. 内对角和外切角的性质：内对角的两条边都经过圆心，而外切角的两条边有一条是切线。
由于内对角的两条边经过圆心，因此可以测量出这个角的大小。
而外切角的两条边与切线相交，所以也可以通过切线推算出外切角的大小。
3. 圆外切角等于内对角的定理：根据数学推导和几何证明，可以得到一个重要的结论，即圆外切角的度数等于该角对应的内对角的度数。
这一结论举足轻重，对于几何学和数学的研究，有着重要的应用和意义。
4. 本文的结构安排：在正文部分，我们将详细介绍外切角和内对角的定义与性质，以及圆外切角等于内对角的证明过程。
最后，我们将探讨这一定理的应用和意义。
通过以上的概述，读者可以对本文的主题有一个初步的了解，并对接下来的内容有所期待。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照下面的结构进行介绍和阐述圆外切角等于内对角的定理：1) 引言：介绍背景和概述本文要讨论的内容，以及本文的目的。
2) 正文：本部分分为两个小节，分别介绍外切角和内对角的定义和性质。
2.1 外切角的定义和性质：首先对外切角进行定义，解释什么是外切角。
然后介绍外切角的性质，如何计算和测量外切角。
2.2 内对角的定义和性质：接着对内对角进行定义，阐述内对角的概念。
然后介绍内对角的性质，包括如何计算和测量内对角。
3) 结论：本部分也分为两个小节，分别进行证明圆外切角等于内对角的过程和讨论。
3.1 圆外切角等于内对角的证明：详细阐述圆外切角等于内对角的证明过程，可以通过几何推导或者数学证明的方式来展示。
3.2 应用和意义：最后，探讨圆外切角等于内对角的应用和意义，引出该定理在实际生活和学习中的重要性。
通过以上的文章结构，我们可以系统地介绍和证明圆外切角等于内对角的定理，同时讨论该定理的应用和意义。
圆心角的单位-概念解析以及定义
圆心角的单位-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆心角是指从圆心到圆上任意一点所形成的角度，通常用θ来表示。
在几何中，圆心角是一个重要的概念，与圆的半径、直径等有着密切的关系。
通过研究圆心角，我们可以更好地理解圆的特性和性质，从而在数学和工程等领域中应用到实际问题中。
本文将深入探讨圆心角的定义、计算方法以及应用，希望通过对圆心角的深入理解，能够帮助读者更好地掌握这一概念，提高数学应用能力。
同时，也希望通过本文的介绍，可以引发读者对圆形几何的兴趣，并为进一步学习和研究打下基础。
1.2 文章结构文章结构部分：本文主要包括引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将介绍圆心角的概念和本文的目的，为读者提供一个整体的认识。
在正文部分，将详细讨论圆心角的定义、计算方法和应用，以便读者对这一概念有更深入的理解和应用。
最后，在结论部分将对文章进行总结，展望未来可能的研究方向，并加上一些结束语，为全文画上一个完整的句号。
整个文章结构清晰，层次分明，希望读者阅读后可以得到启发和收获。
1.3 目的本文的目的是探讨圆心角的单位及其在数学和几何学中的重要性。
通过对圆心角的定义、计算方法和应用进行详细分析，旨在帮助读者更深入地理解圆心角的概念和特点，以及其在解决实际问题和数学计算中的作用。
通过本文的阐述，读者将能够全面了解圆心角的相关知识，并应用这些知识解决实际问题，提升数学素养和解决问题的能力。
同时，本文也旨在激发读者对数学和几何学的兴趣，使其对这一领域有更深入的认识和理解。
2.正文2.1 圆心角的定义圆心角是指以圆心为顶点的角。
在圆上任意两条线段和圆心连线形成的角度称为圆心角。
圆心角通常用希腊字母θ或φ来表示。
当两条线段和圆心连线的夹角为180时，形成的圆心角被称为平角。
而当夹角小于180时，形成的圆心角称为锐角；夹角大于180时，形成的圆心角称为钝角。
圆心角的大小与其对应弧度的大小是成正比的，因此我们可以通过计算圆的弧度来求得圆心角的大小。
圆周角
圆周角主要内容：（一）圆周角1. 定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫圆周角。
如图，∠BAC强调圆周角与圆心角的区别。
2. 圆周角的性质：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
强调：（1）定理的证明思路和方法，强调分类、归纳的数学思想。
（2）圆周角和圆心角存在关系的前提是它们对着同一条弧。
推论：（1）在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等。
（2）直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。
说明：（1）圆周角的性质定理和推论是圆中证明两角相等、两条线段相等、两条弦相等的重要依据，还能确定直径，在计算和作图中应用较广。
（2）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立，如果一条弦所对的圆周角有两种情况：相等或互补。
如图中，∠ACB＝∠ADB∠ACB＋∠AEB＝180°∠ADB＋∠AEB＝180°（二）圆的确定1. 过一点的圆有无数个。
2. 过两点的圆有无数个。
3. 过不在同一直线上的三点确定一个圆。
4. 三角形的外接圆和圆的内接三角形。
5. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点。
它到三角形三个顶点的距离相等。
锐角三角形的外心在三角形内部。
直角三角形的外心是斜边中点。
钝角三角形的外心在三角形的外部。
【典型例题】例1.分析：则∠C＝∠D，易解。
解：作直径AD，连结BD则∠ABD＝90°，∠D＝∠C即⊙O的半径长为10例2. 如图，已知在⊙O中，弦AB⊥CD，连结AD、BC，OE⊥BC于点E。
分析：略证明：作直径BF，连结FA、FC则∠BCF＝∠BAF＝90°∵OE⊥BC，∴CE＝BE又OB＝OF，∴OE为△BCF的中位线又AB⊥CD，FA⊥AB∴FA∥CD例3.且DG⊥AB于点G。
分析：略（1）证明：如图∴∠1＝∠A又∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB又AB为直径，∴∠ADB＝90°例4.分析：略解：（1）当点A在弦BC所对的优弧上时，如图（1）连OB、OC，过O作OD⊥BC于D（2）当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图（2）求∠BOC＝120°的方法同前。
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1626年，阿尔贝特·格洛德最早推出简写的三角符 号:“sin” ,“tan” ,“sec”.
1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“cos”，“cot”， “csc”。便直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来。 为 1949 年 至 今 ， 由 于 受 前 苏 联 教 材 的 影 响 ， 我 国 数 学 书 籍 中 “ cot” 改 “ctg”，“tan”改为“tg”，其余四个符号均未变。这就是为什么我国市场 上流行的进口函数计算器上有“tan”而无“tg”按键的缘故。
本纯三角学的书，使三角学脱离天文学，独立成为一门数学分科。 Cosine（余弦）及cotangent（余切）为英国人根日尔首先使用，最早在1620 年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现。 Secant(正割)及tangent（正切）为丹麦数学家托马斯· 劳克首创，最早见于
他的《圆几何学》一书中。 Cosecant（余割）一词为锐梯卡斯所创。最早见于他1596年出版的《宫廷乐 章》一书。
例题 已知：如图所示，AE是△ABC外 接圆的直径，AD是△ABC的高。 求证：∠1=∠2。 A
1
2
．O B
D
E
C
A
1
2
．O
B D E C
A
1 2
．O B C
D
E
总结
1.直径所对的圆周角是90度； 2.同弧或等弧所对的圆周角相等； 3.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半； 4.相似三角形的判定和性质； 5.同角或等角的余角相等。
情
B C
A
分析：
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
B' B 30m A C 50m C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比
A的对边 a sin A 斜边 c
1 sin A sin 30 2
斜边 A
c
a 对边 C
b
例如，当∠A＝30°时，我们有
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
当∠A＝45°时，我们有
2 sin A sin 45 2
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
B
BC AB
与
B'
B' C ' A' B '
有什么
A
C
A形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比也是一个固定值．
正弦函数 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记住 B sinA 即
不用辅助线能寻找解题的可行途径吗？
证明： ∵AB+BE=半圆AE ∴半圆AE所对的圆周 角是90° ∵弧AB对∠1，弧AB 对∠C ∴ ∠1+∠C=90° 又∵ ∠2+ ∠C=90° ∴ ∠1= ∠2
⌒ ⌒ AB+BE
A
1 2
．O B D E C
如果把原题目的题设和结论互换一下,会如何?
1已知：如图所示，⊙O是△ABC 的外接圆,∠1=∠2。 求证： AE是△ABC外接圆的直径； AD是△ABC的高。
B
A
C
3.已知在RT△ABC中,∠C=900,D是BC 中点,DE⊥AB,垂足为E,sin∠BDE= 4 5 AE=7,求DE的长.
A E B C
D
小资料
三角函数符号最早的使用
sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦。他是十五世纪西欧数学界的领导 人物，他于1464年完成的著作《论各种三角形》，1533年开始发行，这是一
∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等 于 1 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A
2 的对边与斜边的比都等于 2
2
，也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它 的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝ 90°，∠A＝∠A'＝α，那么 关系．你能解释一下吗？
B 3 B 13
5
A C 4 C
A
(1)
(2)
例2、如图，在△ABC中， AB=BC=5， sinA=4/5，求△ABC 的面积。
B 5 A D 5 C
1.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0) 和B(0,-4),则sin∠OAB等于____ 2.在RT△ABC中,∠C=900,AD是BC边上 的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=_____. 3.在 RT△ABC中, a 3 b 3 则sin∠A=___.
已知：如图1所示，AE是△ABC外接圆的 直径，AD是△ABC的高。 A AD 求证：sinB×sinC=
AE
1 2
．O B D E C
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的 机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬 境 水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水 探 平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为 究 35m，那么需要准备多长的水管？
1 值都等于 2
如图，任意画一个Rt△ABC， A 使∠C＝90°，∠A＝45°，计 算∠A的对边与斜边的比 BC ， AB 你能得出什么结论？ C
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时， 不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边 与斜边的比都等于 2
2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当
1
A
2
．O B D E C
2 已知：如图所示，AE是△ABC外接圆的直
径， ∠1=∠2。 求证： AD是△ABC的高。
A
1 2
．O
3已知：如图所示， AD是△ABC高,∠1=∠2。 D 求证： AE是△ABC外接圆的直径。 E
B
C
1.小结 学习了这节课，你有什么感受？ 2.布置作业 相关习题。