第五章 力学量随时间的演化与对称性

G
还可以证明：此时至少有些能级是简并的。 证明（用反证法）：设

H n En n

F, H 0

所以 即 F n 也是 H 的属于同一本征值En的本征态， 同理，由于 G, H 0 H 同一本征值En的本征态， 故G n 也是的属于 即 HG n GH n En G n G n 设体系的能级En不简并，则F n、 与 n 为同 一量子态，即 F n Fn n , G n Gn n 式中Fn,Gn为常数。于是有 (FG GF ) n Fn Gn Gn Fn n 0
第五章 力学量随时 间的演化与对称性
5.1対易力学量完全集

一、力学量完全集合 1、定义：为完全确定状态所需要的一组相互对易 的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完 全集。

设有一组彼此对易，且函数独立的厄米算符 Â(Â1,Â2, ...)，它们的共同本征函数记为k（假定Â 的本征值是分立的）， k是一组量子数的笼统记 号。设给定k之后就能够确定体系的一个可能状态， 则称(Â1,Â2, ...)构成体系的一组力学量完全集。





变换 U 的无穷小生成元。它可以用来定义一 U, H 0 U 相联系的可观测量。由于 个与变换 ， 得 I iF , H 0 ，即 F , H 0 ，观测量 F 就是 体系的一个守恒量。





5.3.2 时空对称性及其应用 1.时间平移对称和能量守恒定律 当所研究的体系的哈密顿量 H H x, y, z 与时间无关时，在无穷小时间平移变换 t t d (d 1) 下，根据体系的状态波函 下的变化 数 r , t ，在时间平移变换 U d 规律。可以导出时间平移算符U d 。由 （5-34） r , t U d r , t 式中 r , t r , t d （5-35） 利用泰勒级数展开，得
対易，与题设矛盾。所以不可能所有能级 都简并，即至少有些能级是简并的。

2.推论：若体系有一个守恒量 F ，而体系的某个能 级不简并（即相应的能级 E只有一个本征态ψE）， 则ψE必为 F的本征态，即非简并本征态必为某一个
守恒量的本征态。 证明：因为F 为体系有一个守恒量，则 HF E FH E EF E 的属于同一本征值 E的本征态。 / 但能级E并不简并，所以 F E F E ，即ψE必为 的 F 本征态。
2
心力场中运动时，角动量平方和角动量分量 都是守恒量。

3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒 5.2.2量子力学中的守恒量与经典力学中守恒量的 区 别 1.守恒量不一定取确定值。 与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一 定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒 量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量 的本征态，要根据初条件决定。若在初始时刻(t=0)， 守恒量A具有确定值，则以后任何时刻它都具有确 定值，即体系将保持在Â的同一个本征态。由于守 恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是， 若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不 同），即(0)并非Â的本征态，则以后的状态也不 是Â的本征态，即A也不会具有确定值，但几率分布 仍不随时间改变，其平均值也不随时间改变。

F E 和 E 均为 H 可见，
3.宇称： .宇称算符（空间反演算符） P ：作用在一个 函数上，使 r r 的运算符号。 即 P r r 容易证明： P, H 0 , 所以能量的本征态必 为 P 的本征态。 2 P r r P r P r r 设 ，做空间反演 所以 P 的本征值为 1 ，P=1时，称为偶宇称； P=-1时，称为奇宇称。
得 即为幺正算符。 对于连续变换，考虑无穷小变换， 令 U I iF , 0 ，则

U U UU I
2 F I F I i F F F F I （5-33） U U I i i F F ,则 F 是厄米算符，一般称 F 为 即要求

因为是时间的函数Â也可能显含时间，所以 Ā通常是时间t的函数。为了求出Ā随时间的变 化，上式两边对t求导 * ˆ A dA * * ˆ ˆ dx A dx A dx (5-4)

ˆ ( x, t )dx A(t ) * ( x, t ) A

HF n FH n En F n

设ψ为体系的任意量子态，按态叠加原理得
an n
又设所有能级都不简并，则
( FG GF ) FG GF n 0
由于设ψ 任意量子态，则
n
F, G 0

，即 F和G
ˆ A 1 ˆ ˆ dx * HA ˆ ˆ ]dx dx [ * AH t i
*
ˆ A 1 ˆ ˆ HA ˆ ˆ ) dx dx * ( AH t i
*
(5-5) (5-6)
ˆ 1 dA A ˆ, H ˆ] [A dt t i
例 1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要 三个两两对易的力学量： p ˆx, p ˆy, p ˆz

p
r
1
Leabharlann Baidu
2
3 2
e
i p r


任何一个函数都可以按 r p e 3 动量的本征函数展开： 2 2
1
i p r
dt
概括起来讲，对于Hamilton量Ĥ不含时的量子 体系，如果力学量A与Ĥ对易，则无论体系处 于什么状态（定态或非定态），A的平均值及 其测量的概率分布均不随时间改变。所以把A 称为量子体系的一个守恒量。即A的平均值不 随时间改变，我们称力学量A为运动恒量或守 恒量。 守恒量有两个特点： (1). 在任何态(t)之下的平均值都不随时间改 变； (2). 在任意态(t)下A的概率分布不随时间改 变。

H E , F F /
(5-15)
又因为

G, H 0

所以有
(5-16)
HG GH EG
即 也是 H 的属于同一本征值 E的本征态。 但由于 F , G 0 ,ψ与 G 一般不是同一本征 态。因为 / (5-17) FG GF F G 即 G 不是 F 的本征态，但ψ是 F 的本征态， 故ψ与 是不同的量子态。但它们是 H的同 一能级的态，故能级简并。
5.2.3 能级简并与守恒量的关系——守恒量在 能量本征值问题中的应用 1.定理：如果体系有两个彼此不对易的守恒 量F和G，即 F , H 0, G, H 0, 但F , G 0 ， 则体系的能级一般是简并的。 F 和 H 可有共同的本征 证明：因为 F , H 0 ， 态ψ，所以






5.3.1对称性与守恒量 设体系的状态用ψ描述，则薛定谔方程为 i H （5-30） t U 不依赖于时间， 作某种线性变换 U ,其中 1 U 存在逆变换 U ， 如果 U , H 0 ，即系统的哈密顿量在变换U 下保持不变，那么有 i H （5-31） t 由概率守恒条件，即 , U ,U ,U U , （5-31）

5.3守恒量与对称性的关系

物理学中存在两类不同性质的对称性， 一类是某个系统或某件具体事物的对称性， 常见的有转动对称、镜像对称、时间对称、 控件对称、点对称、轴对称等；另一类是物 理规律的对称性。物体的运动规律对于时间 平移、空间平移具有不变性。物理学家认为， 某规律在某种变换之后，若仍能保持不变， 就称为具有对称性，而这种变换称为一种对 称变换。





2.量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定 值。 例如中心力场中的粒子，l的三个分量都守性，但由 于不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角 动量l=0的态除外） 3.守恒量与定态的异同 1）概念不一样。 定态是能量取确定值的状态；守恒量是特殊的力学 量，要满足一定的条件。 2）性质不一样。 在定态下，一切不含时间的力学量，不管是不是守 恒量，其平均值，测量值概率分布都不随时间改变。 守恒量对一切状态，不管是否定态，其平均值，测 量值概率分布都不随时间改变。

按照态叠加原理，体系的任何一个状态均可 以用k 来展开，即
=∑ak k 若k 是归一化的，则 （ ，）= ∑| ak |² =1，式中| ak |² 代表在态

下测量A的概率。

对于Â连续谱的情况，本征值为λ连续取值， 本征函数为(λ),则

=∫cλ(λ) dλ


这就是力学量平均值随时间变化的公式。 ˆ A 0 ，则有 若Â不显含t，即
t
dA 1 ˆ ˆ [ A, H ] dt i
如果Â既不显含时间，又与Ĥ对易（[Â, Ĥ]=0）， 则由上式有 d A 0 即这种力学量在任何态之下的平均值都不随 时间改变。 可以证明：在任意态下A的概率分布也不随 时间改变。
(5-3)
dt

t

t

t

由薛定谔方程， i t
1 ˆ ˆ H H t i
* 1 ˆ * ( H ) t i
ˆ dA 1 * A * ˆ * ˆ 1 ˆ ˆ dx ( H ) A dx A( H )dx dt t i i
dp

例 2：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确 ˆ 定其状态： H 2、力学量完全集中力学量的个数并不一定等于自 由度的数目。一般说来，力学量完全集中力学量的 个数大于或等于体系的自由度数目。 3、体系的任何态总可以用包含Ĥ在内的一组力学量 完全集的共同本征态来展开。
5.2 力学量随时间的变化 5.2.1 守恒量 1. 力学量的平均值随时间的变化关系 力学量A在(r,t)中的平均值为:

举例 1、自由粒子动量守恒， 2 dp 1 p ˆ]0 ˆ, H ˆ [p H 自由粒子的哈密顿算符， dt i 2 所以自由粒子的动量是守恒量。 2 、粒子在中心力场中运动：角动量守恒

ˆ ˆ2 2 2 l ˆ p l 2 r ˆ H ( r ) V ( r ) V (r ) 2 2 2 2mr r r 2mr 2m 2mr ˆ2 ˆ ˆ ˆ l , lx , l y , lz 皆不显含时间，， ˆ 2 ] 0 [H ˆ , lˆ ] 0 ， ( x, y, z ) 所以粒子在中 ˆ [H , l 又， ，