亚纯函数差分多项式的值分布

（ 。 ）≠０是 － 厂 （ ）的小 函数 ， ｃ ｉ （ ｊ＝１ ， ２ ， …， ｄ ） 是 不 同 的复数 ， ｎ ， ｍ， ｄ ， （ ＝ １ ， ２ ， …ｄ ）是整 数 。如 果
下面 的条 件之 一成 立 ：
（ ｉ ）当 ｍ ≤ ｋ＋１ 时， ｎ＞ｍ ＋２ ０ ＂ ＋ｋ＋ｄ＋２ ．
注， 参 见 文献 ［ ６ ］一［ １ １ ］ ， Ｌ ａ ｉ ｎ ｅ ａ ｎ ｄ Ｙ ａ ｎ ｇ 研究 了 （ ｚ 。＋ｃ ）一０的零点 分布 情况 ， 这 里 口是 非零 常数 ， 得 到 了下 面 的定 理 。
１ 主 要 结果
本文我们主要研究亚纯函数差分多项式
ｄ
２ ０ １ ０ ， 张 继龙 ［ １ １ ］研 究 了一类 差分 多项 式 的 零点 问题 得 到下 面 的结 论 。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３一Ｏ ｌ— Ｏ ５
（ ｉ ｉ ）当 ｍ ＞ｋ＋１ 时， 凡＞２ ｋ＋２ ｏ ＂ ＋ｄ＋３．
那么
基金项 目： 国家 自然科 学基金 （ １ １ １ ７ １ １ ８ ４ ） ； 山东省高校科技计划项 目（ Ｊ ０ ９ Ｌ Ａ ５ ５ ） 作者简介 ： 赵 岗（ １ ９ ６ ２一 ） ， 男， 山东济南人 ， 副教授 ， 研究方 向： 微分方程及其应用 ． Ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ： ｘ ｉ ａ ｏ ｂ ｕ ｇ ｓ ＠１ ６ ３ ． ｅ ｏ ｍ
有无 限多零 点 。 定理 １ ． ２ 令Ｉ 厂 （ ）是 有 限 级 的 超 越 亚 纯 函 数 ，
定理 Ｂ 令 ｚ ）是 有 限 级 的 超 越 整 函 数 ， ｐ （ ｚ ）是非 零多项 式 。如果 ≥ ２， 那 么厂 （ ｚ ） ｆ （ ｚ＋ ｃ ）一 ｐ （ ｚ ）有无 限多 个零 点 。如果 ｚ ） 不 是周 期为 ｃ的周 期 函数并 且 ｎ≥ ２， 那么 △ ： 。＋ｃ ）一 ｚ ）有无 限多个零 点 。
近 函 数 ｍ（ ｒ ，计 数 函 数 Ⅳ（ ｒ ，特 征 函 数
０是 ｚ ）的小 函数 ， ｃ 是 非零 复数 ， 并且 ｎ是整数 。 如果 ／ ２≥２， 则厂 （ ） （ ｚ ）一１ ） Ａｚ ＋ｃ ）一 （ ） 有
无 限多 基本定理 （ 参 见
Ｊ ｕ ｎ ．２ Ｏ１ ３
文章编号
１ ０ ０ ０— ５ ２ ６ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３—０ ０ ０ １— ０ ３
亚 纯 函数 差 分 多项 式 的 值 分 布
赵 岗 ， 张克 玉
（ １ ． 齐鲁师范学院 数 学系 ， 山东 济南 ２ ５ ０ ０ １ ３ ； ２ ． 山东大学 数学学院 ， 山东 济南 ２ ５ １ ０ ０ ０）
厂（ ｚ ） ｚ ＋ｃ ）－ ｐ （ ｚ ） 与厂△ 零 点 问题 ， 这里 △ ＝ ＋ｃ ）一 ）且 Ｐ （ ）是 非零 多项 式 ， 得 到下 面 的
结论 。
（ 尸 （ 厂（ ｚ ） 一 １ ） １ － Ｉ ￣ ｚ ＋ ） ） ‘ 一 （ ）
Ｊ ＝１
＞， ｎ＋２ ｔ ｒ＋ｋ＋ｄ＋２， 另 匹 么
ｄ
定 理 Ａ 令 ｚ ）是有 限级 的超 越整 函数 ， ｃ 是
非零常数 ， ｎ ≥２ 并且 ／ ２ 是整数 ， 那么厂（ ） ＋ ｃ ） ０有 无 限多个 零点 。
一
刘凯等 在 文献 ［ １ ０］ 中 研 究 了 差 分 多 项 式
ｄ
摘 要： 主 要 研究了 差分多 项式 （ ｚ ） 一 １ ） Ⅱ ＋ ） ） ‘ ’ 的 值分 布， 这里ｃ Ｊ （ ＝ １ ， ２ ， …， Ｊ ＝１
ｄ ）是 不 同的复数 ， ｎ ，ｍ， ｄ ， ｖ ｊ （ ｊ＝ １ ， ２ ， …， ）是 正 整数 。得 到 了两 个定理 ， ０－ ７ ＂ 和 改进 了－ ￣ － ｚ ．
文献 卜 ） ．
Ｃ ｈ ｉ ａ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ Ｆ ｅ ｎ ｇ ， Ｈａ ｌ ｂ ｕ ｒ ｄ ａ ｎ ｄ Ｋ ｏ ｒ ｈ ｏ ｎ ｅ ｎ 分
别给 出 了差分 形 式 的 对 数 导 数 引 理 ， 这 个 引 理 在 Ｎ ｅ ｖ ａ ｎ ｌ ｉ ｎ ｎ ａ理论 差 分 理 论 方 面 起 到 了非 常 重 要 的 作 用 。 随着 Ｎ ｅ ｖ ａ ｎ ｌ ｉ ｎ ｎ ａ理论 在差 分方 面 的发 展 ， 许 多专 家 和学者 对 于差 分 的零 点 分 布 给予 了极 大 关
的一 些结 果 。
关键 词 ： 亚纯 函数 ； 差分 ； 零点； 小函数 中 图分类 号 ： ０１ ７ ５ ． ２ 文献标 识码 ： Ａ 定理 Ｃ 令， （ ｚ ）是 有 限级 的超 越整 函数 ， ａ （ ）季
假 定读 者 熟悉 Ｎ ｅ ｖ ａ ｎ ｌ ｉ ｎ ｎ ａ 理 论 的基本 符 号 ： 逼
（ 厂 （ ｚ ） 一 １ ） ｎ厂 （ ｚ ＋ ｃ Ｊ ） ） ，
Ｊ＝ １
ｄ
（ 尸 ） 一 １ ） １ － ｌ ￣ｚ ＋ ） ） ‘
的值分 布 问题并 且得 到 了下面 的两个 定理 。 定理 １ ． １ 令 ）是 有 限 级 的 超 越 亚 纯 函数 ， （ ｚ ）≠Ｏ是 。 ）的小 函数 ， ｃ ｙ （ ｊ＝１ ， ２ ， …， ｄ ） 是 不 同 的复数 ， ２ ／ ， ｍ， ｄ ， ｖ ｊ （ ｊ＝ １ ， ２ ， …ｄ ）是整 数 。如 果
第３ Ｏ卷 第 ３期 ２ ０ １ ３年 ６月
贵州大学学报 （ 自然科 学版） Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｇ ｕ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
Ｖｏ １ ．３ ０ Ｎｏ ．３