卷积

• 这样对组成定义级数的每一个函数进行变换，就得到一个
相应的变换式级数。广义变换可以按照和通常变换相同的 规则进行运算。这些规则举例如下：
线性 F[C1g1+C2g2]=C1F[g1]+C2F[g2] 式中C1和C2为任意常数 相移 F[g(x-x0)]=exp{-iux0}F[g(x)] 即物在空域的平移只使衍射谱产生相位的移动。 微分
应用
• 卷积在工程和数学上都有很多应用：
• 统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
• 概率论中，两个统计独立变量X与Y和的概率密度函数是X 与Y的概率密度函数的卷积。 • 声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的 卷积表示。 • 电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过 将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。
• 傅氏变换用算符F表示、含自变量x的复变函数g(x)的傅氏变 换由下式定义
F[ g ( x)] g ( x) exp 2iuxdx


• 由此定义的变换G(u)本身也是自变量u的复变函数。如x有 空间坐标含义，u一般称为空间频率。相仿地，函数G(u)的 逆傅氏变换可用F-1[G(u)]表示
F
1
Gu Gu exp2ixudu

• 傅氏变换存在的充分条件可归纳为下述三点：
• （1）g必须对整个无限的x直线绝对可积。 • （2）在任意一个有限域内，g必须只有有限个间断点和有限 个极大值和极小值。 • （3）g必须没有无穷大的间断点。
• 一般来说，这三个条件中的任何一个都可以减弱，但要加强 另外一个或两个条件。例如，经常用函数表示一个理想的物 点。它有一个无穷大的间断点，不满足条件（3）。又如， g(x)=1和g(x)＝cos(2ux)都不满足条件（1）。但对于那些不 严格满足存在条件的函数，往往也能够发现它们有一个有意 义的变换式，只有这些函数可以定义为由可变卷积公式和它
的傅氏变换之间的关系，这个关系称为卷积定律，它使能完 全自由地用简单的频域相乘来代替空域中直接进行卷积。卷 积定理告之，如果g(x)和h(x)分别有傅氏变换G(u)和H(u)，那 么g(x)h(x)相应的傅氏变换为G(u)H(u)，即
F[g(x)h(x)]=G(u)H(u)
卷积定理
• 卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶
变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中
的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。 • F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))
• 其中F表示的是傅里叶变换。 • 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变 换、Mellin变换和Hartley变换等各种傅里叶变换的变 体同样成立。
• 如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计 算变为
yt x p ht p dp xt ht


• 其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数 h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
• 性质
• 各种卷积算子都满足下列性质：
• 交换律 结合律 分配律 数乘结合律
卷 积
在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(Convolution) 是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算
子，表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的
面积。
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函
数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
基本内涵
• 设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：
f g x d


• 可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在 的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一 个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为 h(x)=(f*g)(x)。 • 容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可 积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1(R1)空间是 一个代数。
卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果
yn
i
xi hn i xn hn

• 其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)
的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心
翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积 和，简称卷积。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果。
以离散信号为例
下面通过演示求
的过程，揭示卷积的物理意义。
从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如： 单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。
傅里叶变换
• 这是一种把周期函数的量变换为频率函数的量的方法。在 相反方向进行这种变换也是等效的。 • 在结构分析和电子显微术中，傅氏变换最通常的物理含义 是：把晶体结构或物（或图像）看成一种波形，将这个波 形分解成许多不同空间频率的正弦波之和。如果将这些正 弦波加起来成为原来是波形，就确定了这个波形的傅氏变 换。傅氏变换的图形表示就是显示每个被确定正弦波的振 幅和空间频率的图。对晶体来说它就是衍射图（在运动学 意义上）；对被透镜成像的物来说它就是物镜后焦面上的 空间频率谱。
d g x n F iu F g x dx
卷积积分定义为
y( x) g ( x x1 )dx1 g ( x) h( x)


函数y(x)称为函数g(x)和h(x)的卷积。要把上述定义式的数学 运算具体化是相当困难的，概括地说明其含义卷积结合了参 与卷积的两函数的性质，即把函数g按函数h给出的规律进行 分布（反之亦然）。
• 由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。特别
当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，
它们的卷积f * g也是光滑函数。
• 卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性
质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积
后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的
处理得到简化。
• 卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果