22复数的乘法与除法
复数的乘法与除法运算
复数的乘法与除法运算复数是由实部和虚部组成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，本文将就复数的乘法与除法运算进行详细介绍。
一、复数的乘法运算复数的乘法运算是根据乘法公式展开计算得出的。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的乘法运算可以表示为：(z1)*(z2) = (a+bi)*(c+di)使用分配律展开等式右侧的乘法运算，可得：= ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的定义，i^2 = -1，将其代入上式中，得：= ac + adi + bci - bd进一步整理上式，将实部与虚部分开，可得复数乘法运算的结果为：= (ac-bd) + (ad+bc)i根据上述推导，复数的乘法运算结果的实部为(ac-bd)，虚部为(ad+bc)i。
二、复数的除法运算复数的除法运算是将被除数乘以除数的共轭值，然后再除以除数的模的平方。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的除法运算可以表示为：z1/z2 = (a+bi)/(c+di)首先，将分子和分母乘以除数的共轭值(c-di)，得：= [(a+bi)*(c-di)]/[(c+di)*(c-di)]根据乘法运算的规则展开等式，得：= [(ac+bd) + (bc-ad)i]/[(c^2+d^2)]根据上式，复数的除法运算结果的实部为(ac+bd)/(c^2+d^2)，虚部为(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
三、复数乘除法运算的应用复数的乘除法运算在实际应用中有很多重要作用。
例如，在电路分析与设计中，复数常用来表示电阻、电容和电感等元件的阻抗或者阻抗的频率特性。
复数的乘法用于计算各种电路元件的等效阻抗，而复数的除法则用于计算电路的传输函数和频率响应。
此外，复数的乘除法运算也应用在信号处理、图像处理以及控制系统等领域。
复数的乘法与除法
复数的乘法与除法复数是由实数部分和虚数部分构成的数字，可用于解决实际问题，尤其在数学和物理领域中具有重要的应用。
复数的乘法与除法是复数运算中的两个基本操作，通过这两个操作可以实现复数之间的相乘和相除运算。
本文将详细介绍复数的乘法与除法，并探讨其性质和应用。
一、复数的乘法复数的乘法可以通过展开括号并应用虚数单位 i 的定义进行计算。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数，则它们的乘积为：z1 * z2 = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi^2= (ac - bd) + (ad+bc)i根据乘法的定义，在计算过程中需要注意虚数单位 i 的特性：i^2 =-1。
通过展开括号并整理得到的结果为一个新的复数，实部为原复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部为原复数实部和虚部的乘积之和。
二、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数且z2 ≠ 0，则它们的除法为：z1 / z2 = (a+bi) / (c+di)为了简化计算，可以将分子和分母同乘以共轭复数的分子，并利用共轭复数的特性进行化简。
共轭复数 z2 的定义为 c-di，则乘以共轭复数相当于分母中的虚部相互抵消。
经过整理得到的结果为：z1 / z2 = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)]= [(a*c + b*d) + (b*c - a*d)i] / (c^2 + d^2)类似于乘法，除法的计算结果也是一个新的复数，实部为原复数实部和虚部的乘积之和，虚部为正负交替相乘的结果。
三、复数乘法和除法的性质1. 乘法交换律：对于任意两个复数 z1 和 z2，满足 z1 * z2 = z2 * z1。
2. 乘法结合律：对于任意三个复数 z1、z2 和 z3，满足 (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3)。
高中数学必修二课件：复数的乘、除运算
3．已知z(1＋2i)＝4＋3i，则|z|＝( D )
A. 2 C．2
B. 3 D. 5
解析 ∵z(1＋2i)＝4＋3i，
∴z＝41＋＋32ii，∴|z|＝|41＋＋32ii|＝||41＋ ＋32ii||＝
5＝ 5
5.故选D.
4.i－1i 3＝( D ) A．8 C．8i
B．－8 D．－8i
解析 由题意得i－1i 3＝(i＋i)3＝8i3＝－8i.选D.
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i（i1＋i）
＝8＋8－16－16i
＝－16i.
(2)原式＝i12·－12＋ 23i12＋12－1＋2i3i8 ＝－12＋ 23i34＋[（1＋12－i）22]34i123－3 23i ＝1－(2i)412－ 23i＝1－8＋8 3i ＝－7＋8 3i.
题型三 复数的乘方运算
例3 计算下列各题． (1)（11＋－ii）7＋（11－＋ii）7－（3－4i）4＋（32i ＋2i）3； (2)－ 23－12i12＋12－＋23ii8.
【解析】 (1)原式＝[(1＋i)2]3·
1＋i 1－i
＋[(1－i)2]3·
1－i 1＋i
－
8（3－4i）（1＋i）2（1＋i） （3－4i）i
＝
（－3＋4i5）（2＋i）＝－105＋5i＝－2＋i.
(3)已知a∈R，i为虚数单位，若a2－ ＋ii为实数，则a的值为( C )
A．2
B．0
C．－2
1 D.2
【解析】
方法一：由
a－i 2＋i
＝ （a－i）5（2－i） ＝
2a－1 5
－
2＋a 5
i是实数，得
－2＋5 a＝0，所以a＝－2.
人教B版高中数学选修2-2322复数的乘法和除法素材
复数的乘法和除法教材整理1 复数的乘法法则及运算律1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2．复数乘法的运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 (1)交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1.(2)结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)．(3)乘法对加法的分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.1.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.教材整理2 共轭复数阅读教材P 59“例3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题．如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.2.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________.教材整理3 复数的除法法则阅读教材P 59“探究”以下至P 60“例4”以上内容，完成下列问题．设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0且c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．i 是虚数单位，复数7－i3＋i＝________.探究1：复数代数形式的乘除法运算(1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3【精彩点拨】 (1)利用复数的乘法运算法则进行计算． (2)利用复数的除法运算法则进行计算．(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的， 再算乘除，最后算加减．【自主解答】 (1)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.(2)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C.(3)i －2i －11＋i i －1＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i ＝1－3i－2＋i ＝1－3i－2－i －2＋i －2－i＝－2－3＋6－1i 5＝－5＋5i5＝－1＋i.归纳总结：1．复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．2．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i ，⎝⎛⎭⎫－12±32i 3＝1，1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，i 的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．探究2：共轭复数及其应用已知复数z 的共轭复数是z ，且z －z ＝－4i ，z ·z ＝13，试求z z .【精彩点拨】 设z ＝x ＋y i x ，y ∈R→由条件到方程组求x ，y 的值→计算z z 的值【自主解答】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y i －x －y i ＝－4i ，x ＋y ix －y i ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2y i ＝－4i ，x 2＋y 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.因此z ＝3－2i 或z ＝－3－2i. 于是zz＝3－2i 3＋2i ＝3－2i 23＋2i 3－2i＝5－12i 13＝513－1213i ，或zz＝－3－2i －3＋2i ＝－3－2i 2－3＋2i －3－2i＝5＋12i 13＝513＋1213i.归纳总结：1．已知关于z 和z 的方程，而复数z 的代数形式未知，求z .解此类题的常规思路为：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．2．关于共轭复数的常用结论(1)z ·z ＝|z |2＝|z |2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．探究3：i n 的值的周期性及其应用探究1 i 4n ，i 4n ＋1，i 4n ＋2，i 4n ＋3(n ∈N )的结果分别是什么？ 【提示】 1，i ，－1，－i.探究2 i n (n ∈N )有几种不同的结果？ 【提示】 四种：1，i ，－1，－i.探究3 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3(n ∈N )结果是多少？【提示】 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝i(1＋i －1＋i)＝0.(1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016；(2)若复数z ＝1＋i1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．【精彩点拨】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算求解．【自主解答】 (1)原式＝i 1＋23i1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝⎛⎭⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝i ＋1.(2)1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－z 2 0171－z ，而z ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i2＝i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－i 2 0171－i ＝1－i1－i＝1. 归纳总结：1．要熟记i n 的取值的周期性，即i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N )，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值． 2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．。
复数与复数的乘法与除法
复数与复数的乘法与除法复数是数学中的一种数形式，由实数部分和虚数部分组成。
在复数中，实数部分用实数表示，虚数部分用虚数单位i表示。
复数可以用 a + bi 的形式表示，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。
在数学中，我们经常需要进行复数之间的乘法与除法运算。
本文将介绍复数与复数的乘法与除法规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。
一、复数乘法规则两个复数相乘时，可以使用分配律进行计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1、b1、a2、b2 是实数。
则它们的乘积为：z1 * z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i)= a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1ib2i^2根据虚数单位i的定义（i^2 = -1），进一步计算得：z1 * z2 = a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1ib2(-1)= a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i因此，两个复数的乘积为实数部分的乘积减去虚数部分的乘积，并将实数部分与虚数部分相加。
例如，计算复数 (2 + 3i)(4 + 5i)：实数部分：2 * 4 - 3 * 5 = 8 - 15 = -7虚数部分：2 * 5 + 3 * 4 = 10 + 12 = 22所以，(2 + 3i)(4 + 5i) = -7 + 22i。
二、复数除法规则两个复数相除时，可以通过乘以共轭复数来进行计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1、b1、a2、b2 是实数，并且z2 ≠ 0。
则它们的商为：z1 / z2 = (a1 + b1i) / (a2 + b2i)为了方便计算，我们可以将分子和分母都乘以 z2 的共轭复数，即(a2 - b2i)。
这样，将分子和分母进行乘法运算，得到：z1 / z2 = ((a1 + b1i) * (a2 - b2i)) / ((a2 + b2i) * (a2 - b2i))(z1 / z2 = (a1a2 - a1b2i + b1ia2 - b1ib2i^2) / (a2a2 - a2b2i + a2b2i - b2b2i^2))根据虚数单位i的定义，可进一步计算为：z1 / z2 = ((a1a2 + b1b2) + (b1a2 - a1b2)i) / (a2^2 + b2^2)因此，两个复数的商为实数部分的商加上虚数部分的商，并将实数部分与虚数部分分别除以除数的模的平方。
复数的乘除法运算
D.3
解： z 1 i,
原式 (1 1 i )(1 i ) ( 2 i )(1 i )
2 2i i i 2 2 i 1 3i
例2
求证：
2
2
证明：设 a bi, 则 a bi, 于是
2
2
1.复数的乘法 两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只 是在遇到 i 时，要把 i 换 成 -1 ，并把最后的结果写成
2 2
a bi (a, b R) 的形式。
易知，复数运算满足交换律、结合律、 分配律。
1 2 2 1
（1 2） 3 1 2 3） （
(1 i) 1 i 1 i 解：z2 z1 1 i (1 i)(1 i) 2i i 2
2
1 i 8 思考( ). 1 i
2 2 2.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C .1 i D.1 i
关键分母实数化 作业：P62 A组5,8
i
4n
1 ,
i
4n 1
i ,
4n 2
1
, i
4n 3
i
练习：P61 第3题
2.复数的除法
满足 (c di)( x yi) (a bi) 的复数
x yi( x, y R) 叫复数 a bi 除以复数
c di 的商.
a bi 记作：(a bi) (c di) 或 (c di 0). c di 1 注： 叫做复数z的倒数 z
2 2 2 解：原式 (1 i ) 2i 1 i 1 i 2(1 i ) 2(1 i ) 2i 2i (1 i )(1 i ) 2
复数的乘法与除法第2课时复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集课件
提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆 运算．
(2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把 商ac＋＋dbii看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数 c－di，把 分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果．
知识点二 实系数一元二次方程
解析：本题考查复数的乘法与除法． 31＋0ii＝31＋0ii3－3－ii＝10＋1030i＝1＋3i. ∴复数31＋0ii对应的点的坐标为(1,3)．
3．复数 z 满足(z－i)(2－i)＝5，则 z＝( D )
A．－2－2i
B．－2＋2i
C．2－2i
D．2＋2i
解析：由题意可得，z－i＝2－5 i＝2－52i＋2＋i i＝2＋i， 所以 z＝2＋2i.
于是 ω－u2＝2(x＋1)＋1＋2 x－3≥2 2x＋1·1＋2 x－3＝1. 当且仅当 2(x＋1)＝1＋2 x，即 x＝0 时等号成立． ∴ω－u2 的最小值为 1，此时 z＝±i.
该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识. 只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意： 解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.
[变式训练 3] 设 z2＝8＋6i，求 z3－16z－10z0.
解：z3－16z－10z0＝z4－16zz2－100＝z2－8z2－164
＝6i2－z 164＝－20z0＝－z2·0z0
z
200 z ＝－ |z|2
.
∵|z|2＝|z2|＝|8＋6i|＝10，
又由 z2＝8＋6i，得 z＝±(3＋i)，∴ z ＝±(3－i)，
类型三 复数运算的综合应用
[例 3] 设 z 是虚数，ω＝z＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围； (2)设 u＝11－ ＋zz，求证：u 为纯虚数； (3)求 ω－u2 的最小值． [分析] (1)ω 是实数可得到哪些结论？(ω 的虚部为 0 或 ω＝ ω )(2)u 为纯虚数可得到哪些结论？(u 的实部为 0 且虚部不为 0， 或 u＝－ u )
第四章 2.2 复数的乘法与除法
2.2复数的乘法与除法学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有知识点二共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即当z＝a＋b i时，z＝a－b i.知识点三复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R，z2≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)．1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．(√) 2．两个共轭复数的和与积是实数．(√)3．若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( × )类型一 复数代数形式的乘法运算例1 (1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝________. (2)已知复数z 1＝⎝⎛⎭⎫12－32i (1＋i)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________. 答案 (1)－3 (2)4＋2i解析 (1)由(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i 的实部与虚部相等，可得a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3.(2)z 1＝⎝⎛⎭⎫12－32i (1＋i)＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，即a ＝4， ∴z 2＝4＋2i. 引申探究1．若本例(1)中复数(1＋2i)(a ＋i)表示的点在第二象限，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，2 解析 (1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2a ＋1>0，解得－12<a <2.2．将本例(2)中“z 1·z 2是实数”改为“z 1·z 2是纯虚数”， 求z 2.解 由例1(2)知，z 1·z 2＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，∵z 1·z 2是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2＝0，4－a ≠0，解得a ＝－1，∴z 2＝－1＋2i.反思与感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i 2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． (2)常用公式①(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2(a ，b ∈R )； ②(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )； ③(1±i)2＝±2i.跟踪训练1 (1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0， 得a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.(2)已知复数z 满足z (z ＋2)＝4＋3i ，求z . 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. 由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i ，得⎩⎪⎨⎪⎧x (2＋x )＋y 2＝4，xy －y (x ＋2)＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－1－112，y ＝－32或⎩⎨⎧x ＝－1＋112，y ＝－32，所以z ＝⎝⎛⎭⎫－1－112－32i 或z ＝⎝⎛⎭⎫－1＋112－32i. 类型二 复数代数形式的除法运算例2 (1)已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q 答案 D解析 由题图可知z ＝3＋i.∴复数z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D.(2)计算：①3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ；②(1＋i )71－i ＋(1－i )71＋i －(3－4i )(2＋2i )34＋3i . 解 ①方法一3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝(3＋2i )(2＋3i )－(3－2i )(2－3i )(2－3i )(2＋3i )＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i. 方法二 3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )2＋3i＝i ＋i ＝2i.②原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －8(3－4i )(1＋i )2(1＋i )(3－4i )i＝(2i)3·i ＋(－2i)3·(－i)－8·2i (1＋i )i＝8＋8－16－16i ＝－16i.反思与感悟 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式；②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． (2)常用公式①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i. 跟踪训练2 (1)i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则log 2(a －b )的值是( )A ．1 B.32C ．2D ．3(2)已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则|z |＝________. 答案 (1)A (2)22解析 (1)2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝32－12i ＝a ＋b i ， ∴⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－12，log 2(a －b )＝log 22＝1. (2)(1＋3i)z ＝1＋i ， z ＝1＋i1＋3i ＝(1＋i )(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝1＋3＋(1－3)i4，∴|z |＝14(1＋3)2＋(1－3)2＝224＝22.类型三 共轭复数例3 (1)复数z 的共轭复数记作z .已知(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 5＋i解析 ∵(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ， ∴z －3＝4＋3i1＋2i，z ＝3＋4＋3i 1＋2i ＝3＋(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3＋10－5i5＝5－i ，则z ＝5＋i.(2)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·(z －3i)＝101－3i ，求z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 由z ·(z －3i)＝101－3i ，得z z －3z i ＝1＋3i ，即a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，所以z ＝－1或z ＝－1－3i.反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练3 (1)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋2i ＝2－n i ，则m ＋n im －n i的共轭复数为________． 答案 i解析 由m ，n ∈R ，且m ＋2i ＝2－n i ， 可得m ＝2，n ＝－2，所以m ＋n i m －n i ＝2－2i 2＋2i ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )2＝－i.所以它的共轭复数为i.(2)已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 B 解析 ∵z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选B.2．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝m －i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数m 可以是( ) A ．i B ．i 2 C ．i 3 D ．i 4 答案 B解析 z 1·z 2＝(1＋i)(m －i)＝m ＋1＋(m －1)i. ∵z 1·z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝0，m －1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，m ≠1，得m ＝－1.∵i 2＝－1， ∴实数m 可以是i 2，故选B.3．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2－z z ＝________.答案 －1＋2i解析 ∵z ＝－1－i ，∴z ＝－1＋i ，2－z z＝2－(－1＋i )－1－i ＝3－i －1－i＝－1＋2i.4．计算：(1)⎝⎛⎭⎫12＋32i (4i －6)； (2)(1－i )(1＋2i )1＋i .解 (1)⎝⎛⎭⎫12＋32i (4i －6)＝12·4i ＋12·(－6)＋32i·4i ＋32i·(－6) ＝2i －3－6－9i ＝－9－7i. (2)(1－i )(1＋2i )1＋i＝(1－i )(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(－2i )(1＋2i )2＝－i(1＋2i)＝2－i.5．已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．一、选择题1．复数－i ＋1i 等于( )A ．－2i B.12i C ．0 D ．2i答案 A解析 －i ＋1i ＝－i ＋ii 2＝－2i ，故选A.2．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－3i D ．3i 答案 A解析 z 2－2z ＝(1＋2i)2－2(1＋2i)＝1＋(2i)2＋22i －2－22i ＝－3. 3．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( )A ．6B ．－6C ．0 D.16答案 A解析 ∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i 5是实数，∴6－b ＝0，∴b ＝6，故选A.4．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z 等于( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i答案 C解析 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋ii ＝1－i ，∴zi＋i·z ＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C. 5．已知复数z 满足2z ＋mz －3＝i ，且z 的实部与虚部之和为0，则实数m 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 B解析 由2z ＋mz －3＝i ，得z ＝m ＋3i－2＋i ＝(m ＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－2m ＋3－(6＋m )i 5＝－2m ＋35－6＋m5i.又z 的实部与虚部之和为0， 则－2m ＋35－6＋m5＝0，解得m ＝－1.6．设复数z ＝1－i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 等于( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i 答案 A 解析2z ＋z ＝21－i ＋1－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＋1－i ＝1＋i ＋1－i ＝2.故选A. 7．已知复数z ＝4＋b i1－i (b ∈R )的实部为－1，则复数z －b 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝4＋b i 1－i ＝(4＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(4－b )＋(4＋b )i 2＝4－b 2＋4＋b2i ，又复数z ＝4＋b i 1－i(b ∈R )的实部为－1， 则4－b 2＝－1，即b ＝6. ∴z ＝－1＋5i ，则z ＝－1－5i.复数z －b ＝－1－5i －6＝－7－5i ，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.8．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2z ＋z ＝2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B. 二、填空题9．复数a －2i 1＋2i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________． 答案 4解析 a －2i 1＋2i ＝(a －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a －4－2(a ＋1)i 5 ＝a －45－2(a ＋1)5i. ∵复数a －2i 1＋2i是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －45＝0，－2(a ＋1)5≠0，解得a ＝4.10．已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 答案 1解析 a ＋2i i＝2－a i ＝b ＋i ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，－a ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1. 11．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i ，|z |＝________.答案 1解析 因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i 25＝i. 则|z |＝1.三、解答题12．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i. (1)求z 的共轭复数z ；(2)若az ＋b ＝1－i ，求实数a 与b 的值．解 (1)∵z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝1＋i ， ∴z ＝1－i.(2)a (1＋i)＋b ＝1－i ，即a ＋b ＋a i ＝1－i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＝－1，解得a ＝－1，b ＝2. 13．已知i 是虚数单位，且复数z 满足(z －3)(2－i)＝5.(1)求z 及|z －2＋3i|；(2)若z ·(a ＋i)是纯虚数，求实数a 的值．解 (1)∵(z －3)(2－i)＝5，∴z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3 ＝(2＋i)＋3＝5＋i.∴|z －2＋3i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.(2)由(1)可知，z ＝5＋i ，∴z ·(a ＋i)＝(5＋i)(a ＋i)＝(5a －1)＋(a ＋5)i.又z ·(a ＋i)是纯虚数，∴5a －1＝0且a ＋5≠0，解得a ＝15. 四、探究与拓展14．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于第________象限．答案 二解析 由复数的几何意义知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1z 2＝－2－i i＝－1＋2i ，对应的点在第二象限． 15．已知z 是复数，z ＋2i 与z 1－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 因为z 是复数，z ＋2i 与z1－i 均为实数， 所以可设z ＝x －2i.由x －2i 1－i＝(x －2i )(1＋i )2＝2＋x ＋(x －2)i 2， 可得x ＝2.因为复数(z ＋a i)2＝(2－2i ＋a i)2＝－a 2＋4a ＋4(a －2)i ，又复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a >0，4(a －2)>0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <4，a >2， 即2<a <4.所以实数a 的取值范围为(2,4)．。
复数的乘、除运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律)
同理易得：
复数乘法的运算律：
∴
ca+dbi2+bci+adi =
(ac-bd)+(ad+bc)i
当堂练习
则对应的点的坐标为（2,4）
1.
2.
例题讲解
02
【例2】计算
例题讲解
03
复数的除法
03
【例5】在复数范围内解下列方程：;;;
①二次项系数化为1
用配方法解方程：
P65
例题讲解
03
【例5】在复数范围内解下列方程：;
解：①二次项系数化为1：：：
03
【例5】在复数范围内解下列方程：;;;
①二次项系数化为1
1、用配方法解方程：
2、用求根公式解方程：
03
【例5】在复数范围内解下列方程：（4）;
解：①二次项系数化为1，得： 得：， ,所以
，
课堂小结
04
ONE
课标小结
3、复数的除法：4、在复数范围内解方程：
1、复数的乘法： 2、乘法运算律：
①写成分式的形式
②分母实数化,同时乘以分母的 共轭复数
③化简结果成代数形式
(1)配方法： ①二次项系数化为1：：
(2)求根公式法：
7.2.2复数的乘除运算
温故
温故知新
01
探新
问题1：多项式与多项式相乘等于什么？ .
试试自己猜测，复数的乘法法则：
问题2：
=
1、复数的乘法
探究新知
02
我们规定，复数的乘法如下：是任意的两个复数，
《复数的乘法与除法》 讲义
《复数的乘法与除法》讲义一、复数的基本概念在数学中，复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 均为实数，i 是虚数单位，满足 i²＝－1。
a 被称为实部，记作 Re(z)；b 被称为虚部，记作 Im(z)。
例如，3 ＋ 2i 就是一个复数，其中 3 是实部，2 是虚部。
二、复数的乘法（一）乘法法则设两个复数 z₁＝ a ＋ bi，z₂＝ c ＋ di，它们的乘积为：z₁z₂＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi²＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i例如，（2 ＋ 3i)（1 ＋ 4i)＝ 2×1 ＋ 2×4i ＋ 3i×1 ＋ 3i×4i＝ 2 ＋ 8i ＋ 3i ＋ 12i²＝ 2 ＋ 11i 12＝－10 ＋ 11i（二）乘法的几何意义复数的乘法在几何上可以看作是对应向量的伸缩和旋转。
设复数 z₁对应的向量为 OZ₁，复数 z₂对应的向量为 OZ₂，那么它们的乘积 z₁z₂对应的向量 OZ 就是将 OZ₁先按照 z₂的模进行伸缩，再按照 z₂的辐角进行旋转得到的。
（三）乘法运算律复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
交换律：z₁z₂＝ z₂z₁结合律：（z₁z₂)z₃＝ z₁(z₂z₃)分配律：z₁(z₂＋ z₃) ＝ z₁z₂＋ z₁z₃三、复数的除法（一）除法法则为了进行复数的除法运算，我们需要将分母实数化。
设 z₁＝ a ＋ bi，z₂＝ c ＋ di（c ＋di ≠ 0），则：＼＼begin{align}＼frac{z₁}｛z₂}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac adi ＋ bci bdi²}｛c²＋ d²}＼＼＆＝＼frac{（ac ＋ bd) ＋（bc ad)i}｛c²＋ d²}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c²＋ d²} ＋＼frac{bc ad}｛c²＋ d²}i＼end{align}＼例如，计算＼（＼frac{2 ＋ 3i}｛1 2i}＼）＼＼begin{align}＼frac{2 ＋ 3i}｛1 2i}＆＝＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i)｝｛（1 2i)（1 ＋ 2i)｝＼＼＆＝＼frac{2 ＋ 4i ＋ 3i ＋ 6i²}｛1 4i²}＼＼＆＝＼frac{2 ＋ 7i 6}｛1 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{－4 ＋ 7i}｛5}＼＼＆＝＼frac{4}｛5} ＋＼frac{7}｛5}i＼end{align}＼（二）除法的几何意义复数的除法在几何上可以看作是对应向量的缩放和旋转的逆运算。
复数的乘除法总结
x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，
如果不是，你能求出其他的解吗？
一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
2 2i i i 2 2 i 1 3i
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi
记作 c+di
例1、复数 z 满足(3-4i)×z = 1+2i，求z 。
1.知识
（1）复数的乘法； （2）复数的除法； （ 3）共轭复数。 通过本节课的学习，你有哪些收获？
归 纳 小 结
2.思想方新
1 3 1 3 i， ＝－ － i 练习2 设 － 2 2 2 2
2 2 3
（ 计算（ 1 ） （ ， 2） ， 3 ） ， (4) 。
1 i i. 1 i
1 i 8 ) . 练习 计算( 1 i 8 2 1 i （ 1 i ） 8 解 ( ) 1 i （ (1 i ) 1 - i）
2i 8 （ ） 2
i 1
8
2009浙江（理）
2 2 例4.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
a b2
2 2
复数的乘法与除法
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[解] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)
＝－ 43－ 43＋34－14i(1＋i)
＝－ 23＋12i(1＋i)＝－ 23－12＋12－ 23i＝－1＋2
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[巩固训练] 1．已知 x，y∈R，i 为虚数单位，且 xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y 的值为( D ) A．2 B．－2i C．－4 D．2i
[解析] 由 xi－y＝－1＋i 得 x＝1，y＝1，所以(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.
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2．已知复数 z＝2－i，则 z·－z 的值为( A ) A．5 B. 5 C．3 D. 3
[解析] z·－z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选 A.
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[巩固训练] 5．已知复数 z＝3＋3 3i＋m(m∈C)，且mm－＋33为纯虚数． (1)求 z 在复平面内对应点的轨迹； (2)求|z－1|2＋|z＋1|2 的最大值和最小值．
[解]
(1)∵mm－＋33为纯虚数，∴mm＋ －33＋
m＋3 m－3
＝0，化简得|m|＝3.
由 z＝3＋3 3i＋m，得 z－(3＋3 3i)＝m，
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4.复数的乘法与除法
已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值 的最值. 例7:已知 已知 求 的最值 解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1. 设 ∈ 则 故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1| =|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i| =|(2x2+x)+(2x+1)yi| =|2x+1||x+yi|=|2x+1|. 所以,当 所以 当x=1时,|z2+z+1|最大值=3; 时 当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0. 时 由于z 故若设z=x+yi(x,y∈R),则有 解2:由于 z=|z|2=1,故若设 由于 故若设 ∈ 则有 |z2+z+1|=|z2+z+z z|=|z||z+1+z|=|2x+1|(以下同解 以下同解1). 以下同解
∴ OB = OA + OC , 即 z B = z A + zC .
→ → →
y B
a ∴−2a + 3i = a + i + (−b + ai) 2 3 即− 2a + 3i = (a − b) + ai. 2
c
A x O
− 2a = a − b a = 2 3 . ∴ ⇒ b = 6 3= 2a
zC − 6 + 2i ∴ = = −2 + 2i . zA 2+ i
已知复数z满足 是纯虚数,求 例5:已知复数 满足 已知复数 满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数 求 z. 且 是纯虚数 解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i. 设 ∈ 则
复数的乘法与除法规则
复数的乘法与除法规则复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数构成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
在进行复数的乘法和除法运算时，有一些规则需要遵循，本文将详细介绍复数的乘法与除法规则。
一、复数的乘法规则复数的乘法是指两个复数相乘所得的结果。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，其中a、b、c、d为实数。
根据乘法定义，我们可以得到复数的乘法规则如下：1. 实部与实部相乘，虚部与虚部相乘：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²2. 虚部的平方为-1，即i²=-1，根据此性质可简化乘法运算：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bd(-1)= (ac - bd) + (ad + bc)i通过上述规则，我们可以进行复数的乘法运算。
下面通过一个例子来说明：例：计算(3+4i)(2+5i)根据乘法规则，我们有：(3+4i)(2+5i) = (3*2 - 4*5) + (3*5 + 4*2)i= (6 - 20) + (15 + 8)i= -14 + 23i因此，(3+4i)(2+5i)的结果为-14+23i。
二、复数的除法规则复数的除法是指一个复数除以另一个复数所得的结果。
设有两个复数z1=a+bi 和z2=c+di，其中a、b、c、d为实数。
根据除法定义，我们可以得到复数的除法规则如下：1. 将除数和被除数都乘以共轭复数的结果：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di)2. 分子和分母进行乘法运算：(a+bi)(c-di) = ac - adi + bci - bdi²= ac + bd + (bc - ad)i(c+di)(c-di) = c² - cdi + cdi - d²i²= c² + d²3. 将结果进行合并：(a+bi)/(c+di) = (ac + bd + (bc - ad)i) / (c² + d²)通过上述规则，我们可以进行复数的除法运算。
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i
i2
2.(2010·济宁高二检测 )设i是虚数单位，则复数 i 的虚
-1+i
部是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )
(A)
(B)-
2
2
(C) 1
(D)- 1
2
2
【解析】 选D. i = i(-1-i) =1-i
-1+i (-1+i)(-1-i) 2
，所以复数的虚部为 -
1 2
，
故选D.
【解析】
二、填空题 (每题5分，共10分) 4.复数(1+ai)(2-i) 的实部与虚部相等，则实数 a=______.
课程目标设置
主题探究导学
提示：
提示： 答案：
提示：
提示： 答案：
典型例题精析
知能巩固提升
一、选择题 (每题5分，共15分)
1.复数 3-i 等于(
i
(A)-1-3i
) (B)-1+3i
(C)1-3i
(D)1+3i
【解析】 选A．3-i = (3-i)i =-(3i-i 2)=-1-3i. 故选A.
辛集市第二中学：孟建元
复习： 复数代数形式的加减运算
1.复数加法法则： z 1= a+bi, z 2= c+di (a,b,c,d∈R) z 1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
2. 复数减法法则：把满足 z1+z=z2的复数 z叫复数 z2减 去复数 z1的差
z 2-z1=(c-a)+(d-b)i 说明 :复数的加减可以与多项式的加减运算相类比。 两个复数的加减就是实部与实部，虚部与虚部的加减。
【解析】 (1+ai)(2-i)=(2+a)+(2a-1)i ，因为它的实部与虚部 相等，即 2+a=2a-1 ，解得a=3. 答案： 3 5.若 1+i +(1+3i) 2=a+bi(a,b∈R)，则 a-b的值为 _______.
i
【解题提示】 先根据复数的乘法和除法对等式的左侧进行
化简，然后由复数相等求出 a,b的值，最后求 a-b的值.
【解析】 1+i +(1+3i) 2=-i(1+i)+1+6i+9i 2=-7+5i=a+bi ，所以
i
a-b=-7-5=-12.
答案： -12
2.(5分)已知z= 1+i ，则1+z50+z100=( )
2
(A)i
(B)3
(C)1
(D)2+i
【解析】 选A.因为z2=( 1+i ) 2= 2i =i ，所以
2
2
1+z50+z100=1+i25+i50=i，故选 A.
小结：
1.复数的乘除法法则及有关复数乘除法的运算． 2．复数的乘方． 3.共轭复数.