九年级数学上册第3章学习“圆的切线”三步曲(青岛版)

学习“圆的切线”三步曲

一、理解圆的定义

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

理解这个定义，必须抓住两点：

（1）直线经过半径的外端点；

（2）直线垂直于这条半径。这两个条件缺一不可。

二、辩明切线的特征

切线具有下列特征：

1、切线与圆只有一个公共点，如图所示，直线l 与⊙O 切与点A ，则A 是直线l 与⊙O 的唯一公共点；

l

r O

A

2、切线到圆心的距离等于圆的半径，直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，⊙O 的半径为r ，则OA r ；

3、切线垂直于经过切点的半径，直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，则l ⊥OA ；

4、经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，l ⊥OA ，则A 是切点；

5、经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，A 为切点，直线l ⊥OA ，则OA 一定经过圆心。

说明：（1）在上述特征中，1、2是切线概念的变式；

（2）上述特征中，3、4、5三条中如果具备圆与切线的三个条件中的两个，那么第三个就成立，这三个条件是：①垂直于切线；②过圆心；③过切点。

三、掌握切线的判定方法

总的来说，判定直线与圆相切的方法有三种：

1、根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

2、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

说明：（1）“有切线，连半径，证垂直”是证明圆的切线问题的常用技巧之一；

（2）要证明已知直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于半径；如果已知直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径。

例1、已知，如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，C 是AB 延长线上一点，∠A=30°，AD=DC ，求证：CD 是⊙O 的切线

O

D

B C A

分析：点D 是直线CD 与⊙O 的公共点，连接点D 与圆心得到半径，再证半径OD 与直线CD 垂直，即“连半径，证垂直”。

证明：连接OD ，∵∠A=30°，AD=DC ，∴∠C=∠A=30°，

∴∠ADC=180°-30°-30°

=120°，∵OA=OD ，∴∠ADO=∠A=30°，∴∠CDO=180°-30°

=90°，而CD 经过半径的外端，∴CD 是⊙O 的切线。 例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=6，BC=8，以点C 为圆心，r 为半径画圆，当r =4.8时，直线AB 和圆有怎样的位置关系？并说明理由。

E

B

C

A

分析：直线AB 与圆O 的公共点没有确定，过圆心C 作直线AB 的垂线CE ，证明线段CE 等于半径r ，即“作垂直，证半径”。

解：直线AB 和圆相切。

证明：作CE ⊥AB 于点E ， ∵90BAC ∠=︒，6AC =，8BC =，

∴10AB ===， 又∵1122

AC BC AB CE •=•， ∴48CE •=，

∵r =4.8，∴CE r =， ∴直线AB 和圆相切。