九年级数学上册第3章学习“圆的切线”三步曲(青岛版)
青岛版九年级数学(上)第三章对圆的进一步认识 知识点复习教案
2015 年 11 月 25 日
第3 节
总第 50 课时
课题
第三章 知识点复习（1）
备课人
知识 与能 力
教 过程 学 与方 目法 标 情感
态度 价值 观
课型新授课Fra bibliotek1、理解圆及弧、弦有关概念、性质；
2、垂径定理及其应用。
课时 3 课时
1、培养学生动手操作能力。 2、培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力。
3.以下说法正确的是（ ）
①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②垂直于弦的直径平分这条弦；
③相等圆心角所对的弧相等。
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
4.如图所示，在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，CD
是过点 P 的直径，则下列结论正确的是（ ）
A.AB⊥CD C.PO=PD
B. AB CD
教具 学具 课件、三角板、圆规
（自主探究，合作学
习，采用小组合作的方
法）
教师活动
学生活动
目标：
找生读目标
二、依标独 1.圆：把平面内到
距离等于
的
学
点的集合称为圆；我们把
称为圆心，
把
称为半径。
2.我们把连接圆上任意
的
称为
弦，经过
的弦称为直径；圆上
的部分称为弧。
独立自学，思考
3.圆的对称性：圆既是
图形也是
图形，对称轴是 中心是 。
，有
条；对称 找生回答，其余生 静听
4.圆的推论：在同一平面内，不在
直线
上的 点确定一个圆。
青岛版九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.4直线与圆的位置关系第3课时课件(24张PPT)
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/142021/8/14Saturday, August 14, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/142021/8/142021/8/148/14/2021 6:20:59 AM
4
2
【解析】设OA=xcm； 在Rt△OAP中， OAห้องสมุดไป่ตู้xcm， OP=OD+PD=（x+2） 由cm勾，股P定A=理4，cm得,
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2，
整理，得x=3， 所以半径OA的长为3cm.
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ C ）
•
比一比： 切线与切线长
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量.
折一折
A
O
1
P
2
B
思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着 直线OP对折,你能发现什么?
证一证
B
请证明你所发现的结论.
A
130°
O
50° PP
B
如何用圆规和直尺
作出这两条
A
切线呢？
O.
P
B 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
青岛版九年级数学上册第3章：对圆的进一步认识 复习课课件(25张PPT)
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分两条切线的夹角.
练习
1.已知圆心O到直线a的距离为5,圆的半
径为r,当r=__时,圆O与a相切.
2.如图圆O切PB于点B,
B
PB=4,PA=2,则圆O的 半径是____.
O AP
练习
4.如图，PA、PB是圆的切线，A、B为切 点，AC为直径，∠BAC=200，则∠P= 。
A
P
CB
直角三角形的内切圆半径与三边关系: r a b c .
A
D
.O E
C
B
点A(2,0)，B(8,0),与y轴 相切于点C,则圆心M的坐标 C M
是
.
OA
B
x
图4
圆心角、弧、弦、圆周角
在同圆或等圆中,如果①两个圆 心角,②两条弧,③两条弦中,有一组 量相等,那么它们所对应的其余各组 量都分别相等.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所 对的圆周角相等,都等于这条弧所对 的圆心角的一半.
2.⊙O中,弦AB所对的圆心角 ∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角为 _________;
练习
3.如何用一把直角尺检查镜上的装饰 品是否恰好为半圆形？
练习
4.如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦， 延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O 与点F. AB与AC的大小有什么关系?为什么?
九年级数学上册-第3章 对圆的进一步认识 复习课件-青岛版
∵
l 2πR
=
n 360
,
S扇形 πR2
=
n 360
,
∴l
=
nπR 180
, S扇形
=
n 360
πR2
这样就不至于因死记硬背而出错。
将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长
和半径表示的扇形面积公式：
S扇形
=
1 2
lR
这一公式与三角形面积公式酷似。为了便于记忆， 只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底、R看
• 3、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用； 理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积 和全面积的计算。
【重难点】
重点
1、垂径定理； 2、与圆有关的位置关系； 3、弧长公式和扇形面积公式的应用。
难点
1、垂径定理； 2、切线的性质与判定。
【知识网络】
圆的基本性质
圆的对称性
轴对称 中心对称
与圆有关的角的性质
（2）若⊙O的半径为 3，DE 3，求AE。
A
23
O
E
B
D
6
方法总结： 1、如果已知直线与圆有 交点，常连接圆心与交 点，再证明连线垂直于 半径即可；
2、如果不明确直线 与圆的交点，往往要作 出圆心到直线的垂线段，
C 再证明这条垂线段等于
半径即可。
【巩固练习】
1、如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，则 在不添加辅助线的情况下，求出图中与∠CDB相 等的角 ∠CAB ∠BAD ∠BCD
B
O
A
【布置作业】
1、如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则
⊙O的半径等于（ B）
A.8
2022年九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.4直线与圆的位置关系4教案新版青岛版
3.4直线与圆的位置关系（4）教学目标【知识与能力】了解切线长的概念.【过程与方法】经历探索切线长性质的过程，并运用这个性质解决问题【情感态度价值观】进一步提高学生的归纳和作图的能力.教学重难点【教学重点】掌握切线长的性质.【教学难点】通过探索切线长的性质，提高逻辑推理能力.课前准备无教学过程复习引入经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？1．点在圆内；2．点在圆上；3．点在圆外．实践探索一：切线长的概念1．在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．2．让学生说说：切线与切线长的区别与联系．实践探索二：切线长的性质操作探究：1．如图，若从⊙O外的一点引两条切线PA、PB，切点分别是A、B，连接OA、OB、O P，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论．2．请你思考一下：切线长有哪些性质？试用文字语言叙述你所发现的结论．例题讲解例1 如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 、AC 分别与小圆相切于点D 、E ．AB 与AC 相等吗？为什么？拓展：如果AB 、AC 是任意两条与小圆相切的弦，那么AB 与AC 相等吗？例2 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Ｃ，交PA 、PB 于点E 、F ．①已知PA ＝12cm ，求△PEF 的周长；②已知∠P ＝40°，求∠EOF 的度数．练一练1．如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别为P 、C 、D ．如果AB ＝5，AC ＝3．则BD 的长为．2．如图，P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，PC ＝OC ，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ．如果⊙O 的半径为5，则切线长为，两条切线的夹角为°．F E O P CB A3．如图，如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，则∠POQ的度数为____°；若AP ＝2，BQ＝5，则⊙O的半径为．拓展提升如图，△ABC中，∠C＝90º ，且AC＝6，BC＝8，它的内切圆O分与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，求⊙O的半径r．总结1．这节课你有哪些收获和困惑？2．切线与切线长的区别与联系？FEODCBA。
九年级数学上册 第3章对圆的进一步认识3.2确定圆的条件 ppt课件 青岛版
A
●
B
●
C
2.某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动物园A，植物
园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆形的面积最小，请你
给出这个公园的施工图.（A、B、C不在同一直线上）
B
提示：作△ABC的外接圆. A 动物园
植物园 C
人工湖
1.（河北·中考）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经 过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（
经过两个已知点A、 B所作的圆的圆心在 怎样的一条直线上?
A
B
它们的圆心都在线段AB的中垂线上.
过已知点A、B作圆,可以作无数个圆. 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的分布有什么特点?与线段AB有 什么关系？
●
O ●O
●
1.经过两点A、B的圆的圆心在线段AB的
●
垂直平分线上. 2.以线段AB的垂直平分线上的任意一点 为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.
2.连接AC，作线段AC的垂直
平分线EF，交MN于点O. 3.以O为圆心，OB为半径作圆. 所以⊙O就是所求作的圆.
【跟踪训练】
现在你知道怎样将一个如图所示的破损圆盘复原吗？ 方法: 1.在圆弧上任取三点
A B
A、B、C.
2.作线段AB、BC的垂 直平分线,其交点O即
为圆心.
3.以点O为圆心，OC 的长为半径作圆.
3.2
确定圆的条件
1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及 过不在同一直线上的三个点作圆的方法.
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
3．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索 过程，培养学生的探索能力.
一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆 形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在 的整圆，以便于进行深入的研究吗？
九年级数学上册第3章对圆的进一步认识圆的有关概念与性质课件(新版)青岛版
要点点拨
垂径定理及其逆定理是证明线段相等、 角相等及垂直 关系的重要依据，对于一条直线和一个圆，如果具备下列 条件中的两个条件：①直线经过圆心；②直线垂直于弦； ③直线平分弦；④直线平分弦所对的弧．那么其余两个作 为结论必成立．
特别关注
利用垂径定理进行计算或证明时，常需连结
半径或作出圆心到弦的垂线段 (即弦心距)，则垂足为弦的 中点，再利用圆的半径、弦心距和弦的一半组成的直角三 角形来求解.
4．顶点在圆心的角叫作圆心角． 5．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等． 6．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦、 两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余 各对量都相等．
要点点拨
1．弦与弧的端点都在圆上，但弦是线段，弧是曲线． 2．直径是圆中最长的弦，半径不是弦．半圆既不是优弧 也不是劣弧． 3．圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆又是旋转对 称图形，即旋转任意角度后和自身重合．
特别关注 求一个圆周角的度数时，常常会把它与同弧
所对的圆心角联系起来.
【典例 3】 如图 3，已知 AC 是⊙O 的直径，点 B 在圆 周上(不与点 A，C 重合)，点 D 在 AC 的延长线上， 连结 BD 交⊙O 于 点 E.若∠AOB＝3∠ADB，则 ( ) A．DE＝EB B. 2DE＝EB C. 3DE＝DO D．DE＝OB
【点评】 本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性 质，解题的关键是连结 EO，构造等腰三角形．
【解析】 如图，连结 EO. ∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB. ∵∠OEB＝∠D＋∠DOE，∠AOB＝3∠D， ∴∠B＋∠D＝3∠D， ∴∠D＋∠DOE＋∠D＝3∠D， ∴∠DOE＝∠D，∴DE＝OE＝OB.
青岛版九年级上册数学《切线的判定》
注意：在利用切线的判定定理时，若已知条件中没有过直
线与圆的公共点的半径，一般中，AB=AC，以AB为直
A
径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，
O
交AB的延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线． E
证明：如图，连接OD． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C． ∵OD=OB， ∴∠ ABC =∠ODB． ∴∠ODB=∠C． ∴OD∥AC． ∵EF⊥AC， ∴OD⊥EF． ∴EF是⊙O的切线．
A O D E B
C
如图，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
从而OD//BC．
∵DE⊥BC，
∴AO=OB．
又∵AD=DC，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
5
∴OD是△ABC的中位线．
总结 证明一条直线是圆的切线的方法有：
（1）利用定义（与圆有唯一公共点的直线是圆的切线）；
（2）判定圆心到直线的距离等于圆的半径；
∵AB是⊙O的直径，
B
O A E C
∴∠C=90°．
∴∠B+∠BAC=90°．
∵∠CAE=∠B，
∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=90°，
即AB⊥AE． ∴AE与⊙O相切．
10
这节课我们主要学习了： 1．切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是 圆的切线． 2．证明一条直线是圆的切线的方法： （1）利用定义（与圆有唯一公共点的直线是圆的切线）； （2）判定圆心到直线的距离等于圆的半径； （3）利用切线的判定定理．
2
观察与思考（1）过⊙O的半径OA的外端 点A作与半径OA垂直的直线l（如下图），你 发现直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ 答：因为圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径， 所以直线l与⊙O相切． 于是我们得到了切线的判定定理： 过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线． 注意：（1）经过半径的外端， （2）垂直于半径，这两个条件缺一不可．
青岛版九年级上册数学《切线的性质》
《切线的性质》（第3课时）教案探究版一、教学目标知识与技能1．理解并掌握切线的性质定理．2．能熟练地运用切线的性质定理解决问题．过程与方法经历探索切线性质的过程，让学生进一步了解和体会说理的基本方法，发展学生的主动探究意识．情感、态度通过学习切线的性质定理，激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生勇于创新的精神．二、教学重点、难点重点：理解并掌握切线的性质定理．难点：切线的性质定理和判定定理的综合应用．三、教学过程设计（一）复习引入上节课我们学习了切线的判定定理和判定直线是圆的切线的3种常用方法，请同学们回忆一下它们的内容分别是什么？师生活动：教师出示问题，学生思考并回答问题．答：切线的判定定理的内容是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．判定直线是圆的切线的3种常用方法是：（1）利用定义；（2）判定圆心到直线的距离等于圆的半径；（3）利用切线的判定定理．如果已知一条直线是圆的切线，那么又能得出什么呢？这节课我们就来探究这个问题．设计意图：通过简单回顾上节课所学的知识，引出本节课所学内容．（二）探究新知你能说出切线的判定定理的逆命题吗？这个逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，你能给出证明吗？师生活动：教师出示问题，让学生写出切线判定定理的逆命题并讨论证明方法，教师引导：在不好直接证明的情况下，可以考虑用反证法来证明．答：切线判定定理的逆命题是：圆的切线垂直于经过切点的半径．已知：如图，直线l 与⊙O 相切于点A ．求证：OA ⊥l ．证明：如图，假设l 与半径OA 不垂直．过点O 作OB ⊥直线l ，垂足为点B ．在l 上取BA'=BA ，且使B 点在A 与A'之间，连接OA'．于是OB 垂直平分AA'，OA =OA'． ∵点A 是切点，OA 是⊙O 的半径， ∴OA'也是⊙O 的半径．这就是说，直线l 与⊙O 有两个公共点，即l 与⊙O 相交，这与已知条件“直线l 与⊙O 相切于点A ”矛盾，所以OA ⊥l ．由此得到切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．设计意图：通过探究，让学生经历圆的切线的性质定理的探索过程，培养学生的互助、协作精神，进一步理解圆的切线的性质定理．（三）例题精讲例1 A ，B ，C 是⊙O 上的三点，经过点A ，点B 分别作⊙O 的切线，两切线相交于点P ，如果∠P =42°，求∠ACB 的度数．师生活动：教师出示例题，让学生先画出图形，然后尝试完成本题，教师引导学生分情况讨论并完成本题．解：（1）如图，当点C 在︵AmB 上时，连接OA ，OB ． ∵P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，∴∠OAP =∠OBP =90°．在四边形OAPB 中，∵∠P =42°，∴∠AOB =360°-∠OAP -∠OBP -∠P =360°-90°-90°-42°=138°． ∴∠ACB =12∠AOB =12×138°=69°．（2）如图，当点C 在劣弧︵AB 上时，在优弧︵AmB 上任取一点C'，连接AC'，BC'．由（1）知，∠AC'B =69°，在圆内接四边形ACBC'中，∵∠ACB +∠AC'B =180°， ∴∠ACB =180°-∠AC'B =180°-69°=111°．总结 在解决有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径．因为切点A ，B 把⊙O 分成了一条优弧和一条劣弧，所以本题分了两种情况来讨论．设计意图：让学生体会分类讨论思想在解题中的应用，培养学生的逻辑思维能力和应用新知解决问题的能力．例2 如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 平分∠BAC ，过点D 的切线交AC 于点E ．DE 与AC 有怎样的位置关系？为什么？PP师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析：由于切线过⊙O 上的点D ，因此，可以考虑连接OD ，应用圆的切线的性质定理，又由于AD 平分∠BAC ，可以考虑应用平行线的性质来解决问题．解：DE 与AC 互相垂直．如图，连接OD ．∵OD =OA ，∴∠ODA =∠OAD ．又∵弦AD 平分∠BAC ，∴∠OAD =∠CAD ． ∴∠ODA =∠CAD ．∴OD ∥AC ．∵DE 是⊙O 的切线，∴DE ⊥OD （圆的切线垂直于经过切点的半径），即∠ODE =90°．于是，∠DEA =90°，即DE ⊥AC ．设计意图：让学生应用切线的性质定理来解决问题． （四）挑战自我如图，AB 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点P ，点Q 是AC 的中点．求证：PQ 是⊙O 的切线． 参考答案证明：如下图所示，连接OP ，AP ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB =90°．∴∠APC =90°．∵点Q 是AC 的中点，∴AQ =PQ ．∴∠APQ =∠P AQ ．∵OA =OP ，CB∴∠OP A =∠OAP ．∵AC 是⊙O 的切线，∴∠BAC =90°．∴∠OAP +∠P AQ =90°．∴∠OP A +∠APQ =90°，即∠OPQ =90°．∴PQ 是⊙O 的切线． 设计意图：通过本环节让教师查看学生对刚刚学过的知识的掌握情况． （五）课堂练习1．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，直线BE 切⊙O 于点B ．求证：∠A =∠CBE ．2．如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于C ，如果∠A =20°，求∠C 的度数．师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 参考答案1．解：∵AB 为直径，∴∠ACB =90°．∴∠A +∠ABC =90°．又∵BE 是⊙O 的切线，∴∠ABC +∠CBE =∠ABE =90°．∴∠A =∠CBE ． 2．解：连接OB ．∵∠A =20°，∴∠BOC =2∠A =40°． ∵CB 切⊙O 于点B ，∴BC ⊥OB ．∴∠OBC =90°．∴∠C =90°-∠BOC =90°-40°=50°． 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． （六）课堂小结 这节课我们主要学习了：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．注意：在解决有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径，然后利用切线的性质ACA定理解决问题．师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容． 四、课堂检测设计1．下列说法中正确的是（ ）．A ．垂直于半径的直线是圆的切线B ．圆的切线垂直于半径C ．经过半径外端的直线是圆的切线D ．圆的切线垂直于过切点的半径 2．如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C ，D 两点，且经过圆心O ，边AB 与⊙O 相切，切点为B ．若∠A =30°，则∠C 的大小是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．40°3．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ．若∠BAO =40°，则∠OCB 的度数为___________．4．如图，⊙M 与x 轴相交于点A (2，0)，B (10，0)，与y 轴相切于点C ，则圆心M 的坐标是_______．5．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点E ，D 为AC 上一点，∠AOD =∠C ．A（1）求证：OD ⊥AC ； （2）若AE =8，tan A =34，求OD 的长． 参考答案1．D ．2．A ．3．65°．4．（6，．5．（1）证明：∵BC 为⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴∠ABC =90°，∠A +∠C =90°．又∵∠AOD =∠C ， ∴∠AOD +∠A =90°．∴∠ADO =90°，即OD ⊥AC ． （2）解：∵OD ⊥AE ，O 为圆心， ∴D 为AE 的中点．∴AD =12AE =4． 又∵tan A =34，∴OD =3．。
青岛版九年级数学上册《第3章对圆的进一步认识》PPT课件
O·
102 62 8 cm.
∴ AB=2AE=16cm.
例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB
于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
E
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm)
22
设OC=xcm，则OD=x-2,根据
·O
勾股定理，得 x2=42+(x-2)2，
（3）如果∠AOB=∠COD，那么___A_B__=_C_D_____，
__A_B__=_C_D_．
A
E
B
O·
D
F C
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE
与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF. 理由如下：
A
E
B
Q OE AB,OF CD,
O·
D
AE 1 AB,CF 1 CD.
的关系是（ A ） A. A⌒B=2⌒CD B. A⌒B>C⌒D C. A⌒B<C⌒D D. 不能确定
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， A⌒D＝B⌒C
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵ A⌒D＝B⌒C
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
B
经过两个已知点 A，B所作的圆的圆 心有什么规律?
●O3
它们的圆心都在线段AB的垂
直平分线上.
• 作图： 过已知点A,B作圆.
经过两点A,B的圆的圆心在线段 AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任 意一点为圆心,这点到A或B的距 离为半径作圆.
九年级数学上册第3章对圆的进一步认识：三角形的内切圆教案新版青岛版
九年级数学上册教案新版青岛版：3.5三角形的内切圆教学目标【知识与能力】1.理解三角形内切圆的定义，会求三角形的内切圆的半径.2.能用尺规作三角形的内切圆.【过程与方法】经历作一个三角形的内切圆的过程，培养学生的作图能力.【情感态度价值观】进一步提高学生的归纳和作图的能力.教学重难点【教学重点】三角形内切圆的定义及有关计算.【教学难点】作三角形的内切圆及有关计算.课前准备无教学过程一、情境导入，初步认识如图，已知△ABC，请作出△ABC的三条角平分线.问:所作的三条角平分线是否相交于一点，这一点到三角形三边的距离是否相等，为什么？归纳:三角形三条角平分线交点到三边距离相等.二、思考探究，获取新知1.三角形内切圆的作法如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？教师引导学生，作与三角形三边相切的圆，圆心到三角形的三条边的距离相等.学生思考下列问题:圆心如何确定？【教学说明】分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN.设它们相交于点I，那么点I到三边的距离相等.以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切.2.三角形内切圆的相关概念与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.这个三角形叫做圆的外切三角形.【教学说明】要将三角形的外心与内心区别开来，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，三角形的外心可以在三角形的内部、外部和边上，而三角形的内心只能在三角形内部.3.例题讲解例1如书本102页图3-49，在△ABC中，∠A=68°，点I是内心.求∠BIC的度数.4.随堂练习1、任画一个三角形，求作它的内切圆.2、如课本图，△ABC的内接圆的三个切点分别为D，E，F，∠A=74°，∠B=47°，求圆心角∠EOF的度数.3、已知等边三角形ABC的边长为a，求它的内切圆的半径.三、师生互动，课堂小结1.这节课你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问，请与同学们交流一下.2.本节课先学习了三角形内切圆的作法，接着讲述了三角形内切圆的相关概念，然后是三角形内心的有关计算.。
青岛版数学九年级上册直线与圆的位置关系-切线的判定定理课件
A CB
∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线
例题2
如图，已知：O为∠BAC平分线上一 作垂直，证半径
点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。
证明：过点O作OE⊥AC 垂足为点E ∵AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OD=OE ∴ ⊙O与AC相切。
小结与归纳
切线的 判定定理
经过圆的半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径.
达标练习
B
1、如图，AB是⊙O的直径， AT=AB，∠ABT=45°。
求证：AT是⊙O的切线
O
T
A
2、如图⊿ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，
青岛版九年级上册数学
3.4直线与圆的位置关系（2）
切线的判定定理
直线与圆有几种位置关系？如何判断？
r o
d
l
r o
d
l
r
od l
（1）定义法 （2）数量关系法
d＞r d=r
d<r
直线l 和⊙O相离 直线l握切线的判定方法，能判断一条直线是否是圆的切线。 2.会过圆上一点做圆的切线。 3.能证明一条直线是圆的切线。
C
DE
A
OB
探究新知
如何用三角尺画一个圆的切线？
1.取圆上任意一点A
2.三角板直角顶点与A点重合，一边过 圆心，沿另一边画一条直线。
O
该直线为圆的切线。
如何用尺规画一个圆的切线？说出作法和作图原 A
理。
跟踪训练
1.如图，已知直线AB经过⊙O上的点C， O
青岛版九年级上册第3章对圆的进一步认识3.4.4切线长定理课件(14张PPT)
9
挑战自我
如图是一个用来测量球形物体直径的V型架，其中PA与PB是经过圆外 一点P的两条切线，切点分别是A、B，∠P=60º，如果一个乒乓球放入V型 架里，量的PA=4.5cm，怎样求乒乓球的直径（精确到0.1cm）?
O
A
B
P
10
练习1、如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B 是切点，BC是⊙O的直径. (1)求证：AC∥OP；(2)如果∠APB=70 ,求弧AC的度数.
( 2 )如果∠APB=700，求AC的度数
ACห้องสมุดไป่ตู้
o
P
B
7
对应练习一
如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D，与AB、AC的延长 线相切，切点分别为点E、F，则图中相等的线段有
F_C_=__C__D__，___B_D__=__B__E_，___A_，F=若AAEF=10，则⊿ABC的周长为 20 ，
4
思考：切线与切线长是同一个概念吗？ 圆的切线是一条直线，是一个图形，切线长则是一条线 段的长度，是一个数量。
5
知识点一:切线长定理
如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，① 指出图中相等的线 段，并证明。
A
O
P
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切 线长相等。
6
例4、如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A B是切点， BC是⊙O的直径⌒ （1）求证：AC ∥OP:
解:连接OA,AB交OP于D.
(1) ∵ PA、PB是切线
∴ PA=PB
又∵ OA=OB
∴OP垂直平分AB
D
∵BC为直径
∴ ∠CAB=90º
∴∠CAB=∠ODB
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料《第3章 对圆的进一步认识》教案 - 副本
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料第3章 对圆的进一步认识 复习教案【教学目标】1、了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．2、探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．3、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用．4、理解正多边形的有关概念、性质，并能进行有关计算。
【教学重难点】教学重点：1、垂径定理；2、与圆有关的位置关系；3、弧长公式和扇形面积公式的应用．教学难点：1、垂径定理；2、切线的性质与判定．【教学过程】一、知识网络结合知识网络复习本章内容：二、典例解析例1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1=∠C ．（1）求证：CB ∥PD ； 圆的基本性质 与圆有关的位置关系三角形与圆圆中的计算 圆的对称性与圆有关的角的性质轴对称垂径定理 中心对称圆心角、弧、弦 之间的关系定理 圆周角定理 点与圆的位置关系正多边形与圆直线与圆的位置关系三角形的外接圆三角形的内切圆弧长和扇形面积的计算 圆（2）若BC=3cm，sinP=0.6，求⊙O的直径．例2、如图，AB为⊙O的直径，BC与⊙O相切于B，AC交⊙O于E，点D是BC边的中点，连结DE．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3，DE=3，求AE．三、巩固练习1、如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，则在不添加辅助线的情况下，求出图中与∠CDB相等的角．2、如图所示，草地上一根长5米的绳子，一端拴在墙角的木桩上，另一端拴着一只小羊，那么，小羊在草地上的最大活动区域的面积是多少？3、已知如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线．B四、课堂小结谈你的收获。
青岛版九年级数学上册切线的判定课件
A E C
2.如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以 O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交.
求证：AB是⊙O的切线.
O
A
C
B
点的直线是圆的切线； 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直
线是圆的切线； 3.利用切线的判定定理:经过半径的
外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线.
例：已知，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要
3.4.2 直线与圆的位置关系
合作探究
1.直线和圆有哪些位置关系？
相交、相切、相离
2.什么叫相切？
当直线L与圆O有唯一的公共点时，叫做 直线L与圆O相切，
3.我们学习过哪些切线的判断方法？
请在⊙O上任意取一点A，连接OA。过点A作直线 l⊥OA。思考一下问题：
1. 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?
课堂小结
1.判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是切线 l是切线
l是切线
2.常用的添辅助线方法？
⑴直线与圆的公共点已知时，则连半径，证垂直. ⑵直线与圆的公共点不确定时，则作垂直，证半
径.
课后习题
1.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以 O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切.
(1)直线经过半径的外端;
(2)直线与这半径垂直.
D 1下列说法中，正确的是( )
A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D，圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
青岛版九年级数学上册《切线的判定定理》说课稿
青岛版九年级数学上册《切线的判定定理》说课稿一、教材分析本课是九年级数学上册中的《切线的判定定理》一节，属于几何部分的内容。
该节内容主要介绍了如何通过判定来判断一条直线与圆的关系，以及如何确定一条直线是一条圆的切线。
本节内容是九年级学生初步接触圆和切线的知识点，是学习圆的基础。
二、教学目标1.理解圆与直线的位置关系，掌握夹角定义；2.掌握直线与圆相交的判定方法；3.掌握切线的定义以及如何判定一条直线是否为圆的切线；4.能够应用所学知识解决相关问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：•判定直线与圆相交的方法；•判定直线是否为圆的切线的方法。
2. 教学难点：•如何准确判定直线是否为圆的切线。
四、教学内容与教学步骤1. 教学内容1.圆与直线的位置关系及夹角定义；2.判定直线与圆相交的方法；3.切线的定义及判定方法。
2. 教学步骤第一步：引入新知首先，我将通过一个有趣的问题引导学生对本节课内容产生兴趣。
例如，我可以给学生出示一张图片，上面有一个圆和一条直线，然后询问学生，直线与圆有什么样的位置关系？这样可以激发学生思考，并导入本节课的主题。
第二步：介绍圆与直线的位置关系在这一步，我将向学生介绍圆与直线的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况。
我会通过教材提供的具体例子，让学生自己观察，归纳总结出位置关系的特点，并引导学生掌握夹角的定义。
第三步：判定直线与圆相交的方法在这一步，我将向学生介绍判定直线与圆相交的方法，主要有两种情况：相交于两点和相切于一点。
我会结合具体的示意图和例题，讲解判定的过程和原理，并引导学生进行练习。
第四步：切线的定义及判定方法在这一步，我将向学生介绍切线的定义及判定方法。
我会先向学生解释切线的概念，然后通过图示和实例演示，让学生理解切线的特点和判定的步骤。
最后，我会给学生提供一些练习题，巩固他们的理解。
第五步：课堂练习与讨论在这一步，我会给学生一些练习题，并组织课堂讨论。
通过让学生互相交流、分享解题思路，提高他们的理解和应用能力。
青岛版九年级数学上册《切线的性质定理》说课稿
青岛版九年级数学上册《切线的性质定理》说课稿一、引言本次说课将围绕青岛版九年级数学上册的《切线的性质定理》这一章节展开讲解。
本章主要介绍了切线的概念、切线的性质定理及相关计算方法，通过学习可以帮助学生深入理解切线的基本概念和性质，并能运用所学知识解决实际问题。
二、教学目标1.知识目标：–掌握切线的定义和性质。
–理解相切、相交和平行线与切线的关系。
–熟练运用切线的性质解决简单的计算题。
2.能力目标：–能够准确判断一个线段是否是一条曲线的切线。
–能够灵活运用切线的性质解决实际问题。
3.情感目标：–培养学生对数学问题的兴趣和探究精神。
–培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
三、教学重难点1.教学重点：–切线的定义和性质。
–相切、相交和平行线与切线的关系。
–运用切线的性质解决计算题。
2.教学难点：–切线与曲线的关系的理解和应用。
–根据切线的性质解决实际问题。
四、教学过程步骤一：导入引导（5分钟）1.引导学生思考：你们平时见过哪些曲线？曲线上有哪些特殊的线段？2.引入新课：今天我们要学习的是切线的性质定理，它可以帮助我们更好地研究曲线。
步骤二：切线的定义（10分钟）1.定义切线：切线是临近曲线某一点的一条直线，它与曲线在该点相切，且与曲线只有这一点相交。
2.通过示意图和实例帮助学生理解切线的概念。
3.引导学生观察曲线上的不同点和切线的关系，并提出切线的特点。
步骤三：切线的性质定理（25分钟）1.引导学生观察切线与曲线的关系，引入切线的性质定理。
2.分析切线的性质定理的内容，包括垂直切线、平行切线和相切切线的性质。
3.结合具体的示例和实际问题，引导学生理解切线的性质定理的应用，如判断两条曲线是否相切、判断切线与其他直线的关系等。
步骤四：相切、相交和平行线与切线的关系（15分钟）1.引导学生思考：曲线上的切线是否只有一条？2.分析相切、相交和平行线与切线的关系，结合图示帮助学生理解这些关系。
3.针对具体的示例，引导学生根据已有的信息判断相切、相交和平行线与切线的关系。
九年级数学上册3.4直线与圆的位置关系学习“圆的切线”三步曲素材青岛版(new)
学习“圆的切线”三步曲一、理解圆的定义经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
理解这个定义,必须抓住两点:（1）直线经过半径的外端点；（2）直线垂直于这条半径。
这两个条件缺一不可。
二、辩明切线的特征切线具有下列特征：1、切线与圆只有一个公共点，如图所示，直线l 与⊙O 切与点A ，则A 是直线l 与⊙O 的唯一公共点；lr OA2、切线到圆心的距离等于圆的半径，直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，⊙O 的半径为r ，则OA r ；3、切线垂直于经过切点的半径,直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，则l ⊥OA；4、经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，l ⊥OA,则A 是切点；5、经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，A 为切点，直线l ⊥OA,则OA 一定经过圆心。
说明：（1）在上述特征中，1、2是切线概念的变式；（2）上述特征中，3、4、5三条中如果具备圆与切线的三个条件中的两个，那么第三个就成立，这三个条件是：①垂直于切线；②过圆心;③过切点。
三、掌握切线的判定方法总的来说，判定直线与圆相切的方法有三种：1、根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线说明：（1）“有切线，连半径，证垂直”是证明圆的切线问题的常用技巧之一；（2）要证明已知直线是圆的切线时,如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径,再证明直线垂直于半径;如果已知直线与圆的公共点没有确定,则应过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径。
例1、已知，如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，C 是AB 延长线上一点，∠A=30°,AD=DC,求证：CD 是⊙O 的切线 ODB C A分析：点D 是直线CD 与⊙O 的公共点，连接点D 与圆心得到半径，再证半径OD 与直线CD 垂直，即“连半径,证垂直”.证明：连接OD ，∵∠A=30°,AD=DC，∴∠C=∠A=30°,∴∠ADC=180°-30°-30°=120°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°,∴∠CDO=180°-30°=90°,而CD 经过半径的外端，∴CD 是⊙O 的切线。
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学习“圆的切线”三步曲
一、理解圆的定义
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
理解这个定义，必须抓住两点：
（1）直线经过半径的外端点；
（2）直线垂直于这条半径。
这两个条件缺一不可。
二、辩明切线的特征
切线具有下列特征：
1、切线与圆只有一个公共点，如图所示，直线l 与⊙O 切与点A ，则A 是直线l 与⊙O 的唯一公共点；
l
r O
A
2、切线到圆心的距离等于圆的半径，直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，⊙O 的半径为r ，则OA r ；
3、切线垂直于经过切点的半径，直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，则l ⊥OA ；
4、经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，l ⊥OA ，则A 是切点；
5、经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，A 为切点，直线l ⊥OA ，则OA 一定经过圆心。
说明：（1）在上述特征中，1、2是切线概念的变式；
（2）上述特征中，3、4、5三条中如果具备圆与切线的三个条件中的两个，那么第三个就成立，这三个条件是：①垂直于切线；②过圆心；③过切点。
三、掌握切线的判定方法
总的来说，判定直线与圆相切的方法有三种：
1、根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
2、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
说明：（1）“有切线，连半径，证垂直”是证明圆的切线问题的常用技巧之一；
（2）要证明已知直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于半径；如果已知直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径。
例1、已知，如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，C 是AB 延长线上一点，∠A=30°，AD=DC ，求证：CD 是⊙O 的切线
O
D
B C A
分析：点D 是直线CD 与⊙O 的公共点，连接点D 与圆心得到半径，再证半径OD 与直线CD 垂直，即“连半径，证垂直”。
证明：连接OD ，∵∠A=30°，AD=DC ，∴∠C=∠A=30°，
∴∠ADC=180°-30°-30°
=120°，∵OA=OD ，∴∠ADO=∠A=30°，∴∠CDO=180°-30°
=90°，而CD 经过半径的外端，∴CD 是⊙O 的切线。
例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=6，BC=8，以点C 为圆心，r 为半径画圆，当r =4.8时，直线AB 和圆有怎样的位置关系？并说明理由。
E
B
C
A
分析：直线AB 与圆O 的公共点没有确定，过圆心C 作直线AB 的垂线CE ，证明线段CE 等于半径r ，即“作垂直，证半径”。
解：直线AB 和圆相切。
证明：作CE ⊥AB 于点E ， ∵90BAC ∠=︒，6AC =，8BC =，
∴10AB ===， 又∵1122
AC BC AB CE •=•， ∴48CE •=，
∵r =4.8，∴CE r =， ∴直线AB 和圆相切。