数制与码制
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数制与码制
13
【例】将十进制整数27转换为二进制数。 用除2取余法进行转换的操作示意图如图所示。 排列出转换的结果为(27)D=(11011)B
商
0
1/2
3/2 6/2 13/2 27/2 1 3 6 13 27
余数 1
1
0
1
1
14
【例】将十进制数0.21转换为二进制数，要求转
换误差小于2 。 用乘2取整法进行转换的操作示意图如图1-3所示。
第一章 数制和码制
学习目标 • 了解模拟信号和数字信号的处理特点 • 了解常用的数制及其之间的转换 • 了解常用的码制 • 了解文字符号在计算机中的表示
1
第一章 数制和码制
1.1 模拟信号和数字信号的处理特点 1.2 数制 1.2.1 十进制 1.2.2 二进制 1.2.3 数字技术中二进制的优点 1.3 数制间的转换 1.3.1 二进制转换为十进制 1.3.2 十进制转换为二进制 1.3.3 其他数制的转换 1.4 数字电路中数的表示方法与格式 1.4.1 码的概念 1.4.2 十进制数的表示 1.5 文字符号表示方法
1 0
1
d 2 1 0
2
d m 10
m
d
m
n ）称为十进制数的按权展开式。
6
1.2.2 二进制
• 二进制就是权为2的进位制，其基数为2，它只有两个 数码，即0和1，做加、减运算时“逢二进一，借一当 二”。这样，两个二进制数的加法和减法运算如下：
3．运算规则简单 • 以加法为例，二进制的加法规则只有3条： 0+0=0，0+1=1和1+1=10； • 而十进制的加法规则却有55条。运算规则的繁 简也会影响到电路的繁简。结合上述设备用量 比较可知，二进制较十进制具有极大的优势。 • 相对于十进制而言，在数字电路中使用二进制 的优势十分突出，所以现在的数字电路基本都 采用二进制。
【例】将十进制整数27转换为二进制数。 用除2取余法进行转换的操作示意图如图所示。 排列出转换的结果为(27)D=(11011)B
商
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3/2 6/2 13/2 27/2 1 3 6 13 27
余数 1
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【例】将十进制数0.21转换为二进制数，要求转
换误差小于2 。 用乘2取整法进行转换的操作示意图如图1-3所示。
第一章 数制和码制
学习目标 • 了解模拟信号和数字信号的处理特点 • 了解常用的数制及其之间的转换 • 了解常用的码制 • 了解文字符号在计算机中的表示
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第一章 数制和码制
1.1 模拟信号和数字信号的处理特点 1.2 数制 1.2.1 十进制 1.2.2 二进制 1.2.3 数字技术中二进制的优点 1.3 数制间的转换 1.3.1 二进制转换为十进制 1.3.2 十进制转换为二进制 1.3.3 其他数制的转换 1.4 数字电路中数的表示方法与格式 1.4.1 码的概念 1.4.2 十进制数的表示 1.5 文字符号表示方法
1 0
1
d 2 1 0
2
d m 10
m
d
m
n ）称为十进制数的按权展开式。
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1.2.2 二进制
• 二进制就是权为2的进位制，其基数为2，它只有两个 数码，即0和1，做加、减运算时“逢二进一，借一当 二”。这样，两个二进制数的加法和减法运算如下：
3．运算规则简单 • 以加法为例，二进制的加法规则只有3条： 0+0=0，0+1=1和1+1=10； • 而十进制的加法规则却有55条。运算规则的繁 简也会影响到电路的繁简。结合上述设备用量 比较可知，二进制较十进制具有极大的优势。 • 相对于十进制而言，在数字电路中使用二进制 的优势十分突出，所以现在的数字电路基本都 采用二进制。
绪论数制和码制-数字电子技术
十进制数制具有“逢十进一”的规则 ，即每数到十位时，就向高位进位。
二进制数制
定义
二进制数制，也称为二进位数制 或简称为二进制，是一种基数为2 的数制。它采用0和1这两个数字
符号进行计数。
特点
二进制数制具有“逢二进一”的规 则，即每数到二位时，就向高位进 位。
应用
二进制数制广泛应用于计算机科学、 电子工程和通信等领域，是计算机 内部信息处理的基础。
状态机是数字控制系统中的一种描述系统行为的方式，通过有限个 状态和状态之间的转换来描述系统的动态特性。
05 数字电路的发展趋势与展 望
集成电路技术
01
集成电路技术是数字电路发展的越高 ，功能越来越强大。
02
集成电路的发展趋势是向着更小 尺寸、更高性能、更低功耗的方 向发展，这为数字电路的发展提 供了更广阔的空间和可能性。
寄存器
移位寄存器
可以存储二进制数据，并可以将数据向左或向右移动。
计数寄存器
可以存储计数值，并可以递增或递减。
计数器
二进制计数器
可以计数从0到最大值（2^n-1）的二进制数。
十进制计数器
可以计数从0到最大值（10^n-1）的十进制数。
04 数字电路的应用
时钟与定时器
时钟信号
在数字电路中，时钟信号 是一种周期性信号，用于 同步电路中的各个操作。
02
03
ASCII码
ASCII码是用于表示英文 字符的一套码制，通过7 位二进制数表示128个字 符。
Unicode码
Unicode码是用于表示世 界各地文字字符的一套码 制，通过16位二进制数表 示65536个字符。
GB2312码
GB2312码是中国国家强 制标准，包含了常用汉字 及符号，主要用于简体中 文的处理。
数字电路-数制与编码
常用进位制：二进制、八进制、十六 进制、十进制等。
数码的个 数和计数 规律是进 位计数制 的两个决 定因素
一、 十进制数的表示 数码个数10： ⒈ 数码个数 ：
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
计数规律: 计数规律
逢十进 1,借一当10
2.基与基数 2.基与基数
用来表示数的数码的集合称为基 用来表示数的数码的集合称为基（0—9）, ） 称为基数 十进制为10)。 称为基数(十进制为 。 基数 十进制为 集合的大小
lg α j≥i lg β
取满足不等式的最小整数
)16 ，已知精度为±(0.1)410
例: (0.3021)10→(
解： α＝10，β＝16，i＝4
lg10 j≥ 4 = 3.32 取 j=4 lg16
⑵按题意要求
例: (0.3021)10→( 解:
)2 ，要求精度 0.1% ∴取 j=10
1 1 0.1% = ≥ 10 1000 2
X ;0 ≤ X < 2n [ X ]补＝ 2n +1 + X ;-2n ≤ X < 0
例 2：
(321.4)8 = ( )10 =3×82+2×81+1×80 +4×8-1 =(209.5)10 192 16 1 0.5
基数乘除法（ 10 → R ）
分整数部分和小数部分分别转换。 ⒈整数的转换——基数除法 规则：除基取余， 规则：除基取余，商零为止 例1：(25) 10 = ( ) 2
例：已知 X1＝1100 X2＝1010 求 Y1＝ X1－ X2 ； Y2＝ X2－ X1
01100 +10101 100001 + 1 00010 01010 +10011 11101
数码的个 数和计数 规律是进 位计数制 的两个决 定因素
一、 十进制数的表示 数码个数10： ⒈ 数码个数 ：
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
计数规律: 计数规律
逢十进 1,借一当10
2.基与基数 2.基与基数
用来表示数的数码的集合称为基 用来表示数的数码的集合称为基（0—9）, ） 称为基数 十进制为10)。 称为基数(十进制为 。 基数 十进制为 集合的大小
lg α j≥i lg β
取满足不等式的最小整数
)16 ，已知精度为±(0.1)410
例: (0.3021)10→(
解： α＝10，β＝16，i＝4
lg10 j≥ 4 = 3.32 取 j=4 lg16
⑵按题意要求
例: (0.3021)10→( 解:
)2 ，要求精度 0.1% ∴取 j=10
1 1 0.1% = ≥ 10 1000 2
X ;0 ≤ X < 2n [ X ]补＝ 2n +1 + X ;-2n ≤ X < 0
例 2：
(321.4)8 = ( )10 =3×82+2×81+1×80 +4×8-1 =(209.5)10 192 16 1 0.5
基数乘除法（ 10 → R ）
分整数部分和小数部分分别转换。 ⒈整数的转换——基数除法 规则：除基取余， 规则：除基取余，商零为止 例1：(25) 10 = ( ) 2
例：已知 X1＝1100 X2＝1010 求 Y1＝ X1－ X2 ； Y2＝ X2－ X1
01100 +10101 100001 + 1 00010 01010 +10011 11101
数制和码制
3. BCD码(二-十进制编码) BCD码的英文是Binary Code Decimal的缩写，即二-十 进制编码，是用二进制码表示十进制码的意思。用二进制 码表示十进制码，如果用三位二进制码只有八个状态，是 不够表示十个数码的。至少需要四位，因为四位二进制码 有 十六 个 状态， 但 要 舍去 其中 的六 个 ， 即可 构 成 许多 种 BCD码。只有有特色的几种得到了应用，具体见表3-4。
二进制
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
8421 5421 2421 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0010 0010 0010 0011 0011 0011 0100 0100 0100 0101 BCD8421码0101 0110 0110 0111 0111码 BCD5421 1000 1000 1001 1001 1010 1011 1100 1110 1111
3.BCD码必须以十为周期，以BCD8421码为例
1001 + 0001 = 0001
十位
0000
个位
九加一得十，正好是一个周期，个位的BCD码是0000， 同时给出一个进位信号，使十位的BCD码为0001。 4. BCD是有权码，可以通过各位的权，计算出对应 的十进制数。 5. BCD码中，5421码、2421码等，不具有惟一的形 式，上面就给出了二种BCD2421码。这些码虽然有多 种形式，但采用的一般都有一定特点，例如BCD5421 码的最高位是5个“0”和5个“1”。BCD8421码只具 有惟一的形式。
有一种光电变换的装置，称为码盘，它是一个圆盘，上 面有一个个同心圆，按照相邻的原则印成黑白相间，如下 图所示。光码盘与一个丝杠连接，丝杠转动带动工件行走 ，工件行走的距离可以由光码盘的转数来反映。通过在光 码盘半径上设置的光敏元件将光信号转换为电信号，这种 转换符合循环码的规律，可以保证转换的准确性。 旋转 码盘
数制与码制
4 3 2 1 0
1 816 =1⋅163 +12⋅162 +14⋅161 +8⋅160= 740010 CE 436.58= 4⋅82 +3⋅81 + 6⋅80 +5⋅8−1= 286.62510
Digital Electronics Technology 2011-11-2
= 5.12510
1.3 不同数制间的转换
1.3 不同数制间的转换
则其商整数部分为Q，而其余数为第1位系数 则其商整数部分为 ， 而其余数为第 位系数 k0 ； 按照同样方法 ， 以其商 除以 得到第 位系 按照同样方法， 以其商Q除以 得到第2位系 除以r得到第 如此重复进行， 直至其商小于基数r为止 为止， 数 k1 ； 如此重复进行 ， 直至其商小于基数 为止 ， 得到所转换进制的所有系数。 得到所转换进制的所有系数。
Digital Electronics Technology 2011-11-2
1.4 二进制算术运算
2. 减法运算 二进制减法运算法则（ 条 二进制减法运算法则（3条）： ① 0－0＝1－1＝0 － ＝ － ＝ ② 0－1＝1（借一当二） － ＝ （借一当二） ③ 1－0＝1 － ＝ 例：求(1010110)2－(1101.11)2＝? 1010110 1101.11 －) 1001000.01 则(1010110)2－(1101.11)2＝(1001000.01)2
5) 6) 3) 5) 5) 4)
0.726×8 0.808×8 0.464×8 0.712×8 0.696×8 0.568×8 0.544
2011-11-2
0.72610 ≈ 0.1011102
0.72610 ≈ 0.5635548
1 816 =1⋅163 +12⋅162 +14⋅161 +8⋅160= 740010 CE 436.58= 4⋅82 +3⋅81 + 6⋅80 +5⋅8−1= 286.62510
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= 5.12510
1.3 不同数制间的转换
1.3 不同数制间的转换
则其商整数部分为Q，而其余数为第1位系数 则其商整数部分为 ， 而其余数为第 位系数 k0 ； 按照同样方法 ， 以其商 除以 得到第 位系 按照同样方法， 以其商Q除以 得到第2位系 除以r得到第 如此重复进行， 直至其商小于基数r为止 为止， 数 k1 ； 如此重复进行 ， 直至其商小于基数 为止 ， 得到所转换进制的所有系数。 得到所转换进制的所有系数。
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1.4 二进制算术运算
2. 减法运算 二进制减法运算法则（ 条 二进制减法运算法则（3条）： ① 0－0＝1－1＝0 － ＝ － ＝ ② 0－1＝1（借一当二） － ＝ （借一当二） ③ 1－0＝1 － ＝ 例：求(1010110)2－(1101.11)2＝? 1010110 1101.11 －) 1001000.01 则(1010110)2－(1101.11)2＝(1001000.01)2
5) 6) 3) 5) 5) 4)
0.726×8 0.808×8 0.464×8 0.712×8 0.696×8 0.568×8 0.544
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0.72610 ≈ 0.1011102
0.72610 ≈ 0.5635548
《数制与码制 》课件
八进制数制在一些特定领域中有应用 ，例如数学和工程领域中用于简化运 算和提高运算效率。
在八进制数制中，每一位的权值是8 的幂次方，例如八位、十六位等。
02
码制的概念与分类
码制的概念
码制是指一种用于表示、传输、处理和存储数据的编码方式。
码制的主要目的是将数据转换为二进制或其他进制形式，以便计算机能够识别、处 理和存储。
码制的转换
十进制码制与二进制码制的转换
十进制转二进制
将十进制数除以2，取余数，直 到商为0，将余数从下往上排列
。
二进制转十进制
将二进制数从右往左每4位一组 ，将每组数转换为十进制数， 再将各组十进制数相加。
十进制转二进制示例
将十进制数23转换为二进制数 ，得到101011。
二进制转十进制示例
将二进制数101011转换为十进 制数，得到23。
数制与码制的发展趋势和未来展望
标准化和规范化
随着信息技术的不断发展，数制 与码制的标准化和规范化将更加 重要，以促进不同系统、平台之
间的互操作性和兼容性。
高效性和灵活性
未来数制与码制将更加注重高效性 和灵活性，以满足不同应用场景的 需求，包括物联网、云计算、大数 据等领域。
安全性与可靠性
随着信息安全威胁的不断增加，数 制与码制的未来发展将更加注重安 全性与可靠性，提高信息传输和存 储的安全防护能力。
在十进制数制中，每一位的权值 是10的幂次方，例如十位、百
位、千位等。
二进制数制
二进制数制由0和1两个数字组 成，采用逢二进一的计数原则 。
在二进制数制中，每一位的权 值是2的幂次方，例如二进制数 1011表示为十进制数11。
二进制数制在计算机科学中广 泛应用，因为计算机中的信息 都是以二进制形式存储和处理 的。
预备知识(数制与码制)
码制间转换方法
二进制与十进制转换
通过权值相加法或除2取余法实现二进制数与十进制数之 间的转换。
二进制与十六进制转换
每4位二进制数对应1位十六进制数，通过分组转换法实现 二者之间的转换。
十进制与十六进制转换
先将十进制数转换为二进制数，再将二进制数转换为十六 进制数，或者通过直接计算法实现十进制数与十六进制数 之间的转换。
码制与数制转换密切相关
在进行数据传输、存储和处理时，经常需要在不同数制之间进行转换。这种转换依赖于特定的编码方式，如ASCII码 、Unicode码等。
码制设计需考虑数制特性
在设计编码方式时，需要充分考虑所采用数制的特性，如数值范围、精度、运算规则等，以确保编码的 有效性和可靠性。
两者在信息技术领域应用举例
04
典型数制与码制详解
典型数制与码制详解
• 请输入您的内容
05
数制与码制在编程中应用实践
编程语言中数制和码制表示方法
二进制表示
在编程语言中，二进制数通常以0b或0B开头பைடு நூலகம்，后面跟随0和1组成的数字序列。例如，二
进制数1010在Python中表示为0b1010。
十进制表示
十六进制数以0x或0X开头，后面跟随0-9和AF（或a-f）组成的数字序列。例如，十六进制 数A3F在C语言中表示为0xA3F。
03
数制与码制关系剖析
数制对码制影响分析
01
02
不同数制表示方法导 致码制差异
二进制、十进制、十六进制等数制在表 示数据时，对应的编码方式会有所不同， 如二进制编码（Binary Code）、十进 制编码（Decimal Code）等。
数制运算规则影响码 制设计
《数制与码制》课件
在计算机科学中的应用
计算机内部信息的表示和处理
01
数制与码制在计算机内部用于表示和存储各种信息，如整数、
浮点数、字符和图形等。
算法实现
02
数制与码制在算法设计和实现中发挥着重要作用，如排序、搜
数制与码制在网络通信协议中用于数据的编码和解码，确保数
据传输的准确性和可靠性。
二进制与十六进制之间的转换
二进制转十六进制
将二进制数每4位为一组转换为十进制数，再将得到的十进制数转换为十六进制数。
十六进制转二进制
将十六进制数每1位转换为4位二进制数。
码制之间的转换
• 码制转换：根据不同码制的特点和应用场景，将一种码制 转换为另一种码制，以满足不同的需求。
04
数制与码制的实际应用
详细描述
这些数制各有特点和应用场景， 例如五进制数制以5为基数，八进 制数制以8为基数。它们在某些特 定领域或文化中有一定的应用。
02
码制的基本概念
码制的基本概念
• 请输入您的内容
03
数制与码制的转换
十进制与二进制之间的转换
十进制转二进制
将十进制数除以2，取余数，直到商为0为止，最后将所有余 数倒序排列。
详细描述
十六进制数制常用于计算机科学中表示数据和地址等，因为它可以用较少的位数 表示较大的数值。它由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F 十六个数字组成，遵循逢十六进一的规则，例如1A + 2B= 4C。
其他数制
总结词
除了十进制、二进制和十六进制 外，还有多种其他数制，如五进 制、八进制等。
数制与码制在物理学研究 中用于描述和计算各种物 理量，如时间、长度和质 量等。
第一章 数制与码制
五、八进制数与二进制数的转换
例：将(011110.010111)2化为八进制
例：将(52.43)8化为二进制
(5 2 . 4 3)8
(101
010 . 100
011 ) 2
《数字电子技术基础》第五版
六、十六进制数与十进制数的转换
十六进制转换为十进制
D
K i 16
i
K ( 0 ,1 15 )
1
2 3 4 5 6 7 8 9
0001
0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
0100
0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100
0001
0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111
0001
0100 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111
0110
0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010
特点：1.每一位的状态变化都按一定的顺序循环。 2.编码顺序依次变化，按表中顺序变化时，相邻代码 只有一位改变状态。 应用：减少过渡噪声
编码顺 序 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 格雷码 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 编码顺序 8 9 10 11 12 13 14 15 二进制码 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 格雷码 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000
计算机中的数制和码制
0-9，A-F，其中A表示10，B表示11，以此类推，F表示15。
运算规则
遵循四则运算规则，但需要注意进位和借位的情况。
八进制数制
定义
八进制数制是一种基数为8的数系统，使用0-7的数字 来表示数值。
数字符号
0-7。
运算规则
遵循四则运算规则，但需要注意进位和借位的情况。
02
不同数制间的转换
十进制转二进制
表格法
将十进制数转换为十六进制数的表格， 通过查表得到对应的十六进制数。
二进制转十进制
累加权重法
将二进制数从右往左依次乘以2的幂次方，并将结果相加得到十进制数。
表格法
将二进制数转换为十进制数的表格，通过查表得到对应的十进制数。
十六进制转十进制
累加权重法
将十六进制数从右往左依次乘以16的幂次方，并将结果相加得到十进制数。
误。
哈希码
MD5
一种常用的哈希算法，将任意长度的数 据映射为固定长度的哈希值，用于验证 数据的完整性和身份识别。
6等，也是常用的 哈希算法，具有更高的安全性和更难碰撞 的特点。
THANKS
感谢观看
GB2312和GBK
中国的字符编码标准，支持简体中文和部分 繁体中文。
校验码
奇偶校验码
通过在数据中添加一个校验位，使得整个数据（包括校验位）中1的个数为偶数（偶校 验）或奇数（奇校验）。用于检测数据传输过程中的错误。
CRC校验码
循环冗余校验码，通过将数据视为二进制数，并计算出一个余数，附加在数据后面，接 收方通过同样的算法计算校验，并与发送方的校验进行比较，检测数据传输过程中的错
二进制数制
定义
01
二进制数制是一种基数为2的数系统，仅使用0和1两个数字符号。
运算规则
遵循四则运算规则，但需要注意进位和借位的情况。
八进制数制
定义
八进制数制是一种基数为8的数系统，使用0-7的数字 来表示数值。
数字符号
0-7。
运算规则
遵循四则运算规则，但需要注意进位和借位的情况。
02
不同数制间的转换
十进制转二进制
表格法
将十进制数转换为十六进制数的表格， 通过查表得到对应的十六进制数。
二进制转十进制
累加权重法
将二进制数从右往左依次乘以2的幂次方，并将结果相加得到十进制数。
表格法
将二进制数转换为十进制数的表格，通过查表得到对应的十进制数。
十六进制转十进制
累加权重法
将十六进制数从右往左依次乘以16的幂次方，并将结果相加得到十进制数。
误。
哈希码
MD5
一种常用的哈希算法，将任意长度的数 据映射为固定长度的哈希值，用于验证 数据的完整性和身份识别。
6等，也是常用的 哈希算法，具有更高的安全性和更难碰撞 的特点。
THANKS
感谢观看
GB2312和GBK
中国的字符编码标准，支持简体中文和部分 繁体中文。
校验码
奇偶校验码
通过在数据中添加一个校验位，使得整个数据（包括校验位）中1的个数为偶数（偶校 验）或奇数（奇校验）。用于检测数据传输过程中的错误。
CRC校验码
循环冗余校验码，通过将数据视为二进制数，并计算出一个余数，附加在数据后面，接 收方通过同样的算法计算校验，并与发送方的校验进行比较，检测数据传输过程中的错
二进制数制
定义
01
二进制数制是一种基数为2的数系统，仅使用0和1两个数字符号。
第1章 数制和码制ppt
21 2 157 128 29 16 13 8 5 4 1 1 0
22 4 27 24 23 22 20
23 8
24 16
25 32
26
27
28
29
210
64 128 256 512 1024
28 = 256 > 157 > 27 = 128
2 = 32 > 29 > 2 = 16
5 4
2 4 = 16 > 13 > 2 3 = 8
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几种常用的BCD码 码 几种常用的 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 权 8421码 余3码 码 码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 8421 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 2421码 码 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 2421 5211码 码 0000 0001 0100 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111 5211
1. (1001)8421BCD=( ? )10 (1001)8421BCD=1×8+0×4+0×2+1×1=(9)10 2. (1011)2421BCD=( ? )10 (1011)2421BCD=1×2+0×4+1×2+1×1=(5)10
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i =− m n −1
∑
数制与码制
数制与码制1.数制数制即计数体制，是人们进行计数方法和规则的。
数字电路中采用的是二进制，是因为二进制只有“1”和“0”两个数码，可以方便用电流的有无、电压高低、电路通断等两种状态表示。
2.不同数制间的转换2.1 其他进制转化为十进制方法是：转换时，将其他进制按权位展开，然后各项再相加，就可得到相应的十进制数。
例：N=（1011.01)B=( ? )D按权展开：N=1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0+0*2*-1+1*2^-2=8+2+1+0.25=(11.25)D B代表二进制，D代表十进制；权：小数点之前从零开始不断增加，小数点之后从-1开始不断减小2.2十进制转化为其他进制方法是：转化时，分整数部分和小数部分，整数部分除基取余逆序，小数部分乘基取整正序。
例：十进制转化为二进制302.8125整数部分： 302/2=151 余0151/2=75 余175/2=37 余137/2=18 余118/2=9 余09/2=4 余14/2=2 余02/2=1 余01/2=0 余1故整数部分转化为二进制为（302）D=（100101110）B小数部分：0.1825*2=1.625 取整10.625*2=1.25 取整10.25*2=0.5 取整00.5*2=1.0 取整1故小数部分转化为二进制为（0.1825）D=（1101）B故（302.8125）D=(100101110.1101)B2.3二进制与八进制、十六进制的相互转化二进制转化为八进制和十六进制时，将要转化的二进制从低位到高位每3位或4位一组，高位不足时在有效位前添“0”，然后把每组二进制数转化为相应的八进制数或十六进制数。
例：（0101/1110.1011/0010）B=(5E.B2)H(8FA.C6)H=(1000/1111/1010.1100/0110)B3.码制码制即编码体制，在数字电路中主要是指用二进制数来表示非二进制数字以及字符的编码方法和规则。
数制与码制
692 6102 9101+2100
对于任意一个n位十进制的正整数，都可用下式表示：
N 10 an1 10n1 an2 10n2 … a1 101 a0 100
即
n1
N 10
ai 10i
i0
式中： ai 为第i位的系数，为0～9十个数码中的一个；10i 为第i位的权；N 10 中
N R an1 Rn1 an2 Rn2 … a1 R1 a0 R0
n1
即
N R
ai Ri
i0
式中： 表示各个数字符号为0～(R-1)数码中的任意一个；R为进位制的基数（第i位
的权），计数规则是从低位到高位“逢R进一”；N R 中的下标表示N是R进制数。
下表为几种常见的数制对照表。 几种常见的数制对照表
除了前述二进制数与十进制数转换方法外，可用四位二进制数码对一位十进制 数进行编码。此方法称为二进制编码的十进制数，简称二－十进制代码，或BCD码 （Binary Coded Decimal）。
四位二进制码有16种组合，而每位十进制数只需用10种组合，另6种组合未用。 用四位二进制码来表示十进制数时，可以编制出多种BCD码。
(11110100101)2=(0111 1010 0101)2=(7A5)16 反之，十六进制数6ED转换成二进制数时，只要把每位十六进制数字写成对 应的四位二进制数即可，例如：
(6ED)16=(0110 1110 1101)2=(11011101101)2
二进制数在数字系统中得到广泛应用。但人们习惯使用十进制数，且为了便于 操作人员使用，常用十进制输入和输出。这就需要将二进制数与十进制数进行转换。
对于任意一个n位十六进制的正整数，都可用下式表示：
数制和码制
十进制转换为R进制: 需要将整数部分和小数部 分分别进行转换，然后再将它们合并起来。
整数依次除以R，用余数构成各位。 小数依次乘以R，用积的整数部分构成各位。 小数部分的转换有一个精度问题，不可能都十分准确 只要满足所提要求即可。 例如要求精度为 0.1% ，二进制数的小数点后第九位为 1 / 512，第十位为 1/ 1024。所以要保留到小数点后第 十位，第九位达不到要求，第十一位太多了。
结论： 1）减法运算=两数的补码相加 例如：13－10 这样的减法运算等价于13的补码与－10 的补码相加 2）两个加数的符号位、最高有效数字位的进位 这三 个数相加，得到的结果就是和的符号位。
1.5 几种常用的编码
一、十进制代码 我们常用的数字1、2、3……9、0 通常有两大用途： 表示大小： 10000（一万）， 8848米。 表示编码：000213班， 8341部队。 我们习惯使用十进制，计算机硬件却是基于二进制的 ，所以我们需要考虑： 如何用二进制编码来表示十进制的十个码元0 ~ 9？
低位
所以：(44.375)10＝(101100.011)2
采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。
二、二进制数与八进制数的相互转换
（1）二进制数转换为八进制数： 将二进制数由小数点开始， 整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补 零，则每组二进制数便是一位八进制数。
0 0 1 1 0 1 0 1 0. 0 1 0
0.375 × 2 整数 0.750 „„„ 0=K－1 0.750 × 2 1.500 „„„ 1=K－2 0.500 × 2 1.000 „„„ 1=K－3 高位
22 „„„ 0=K0 11 „„„ 0=K1 5 „„„ 1=K2 2 „„„ 1=K3 1 „„„ 0=K4 0 „„„ 5 1=K 高位
数字电子技术知识基础第1章数制和码制
05
实践应用
数制和码制在计算机中的应用
二进制数制在计算机中的应用 十进制数制在计算机中的应用 十六进制数制在计算机中的应用
计算机内部的信息处理是基于二进制数制的，因为二进 制只有0和1两种状态，适合表示电子电路的开和关状 态，便于存储和运算。
虽然计算机内部主要使用二进制数制，但在与人类交互 时，通常需要将二进制数转换成十进制数，以便于理解 和计算。
格雷码是一种二进制编码 方式，其特点是任意两个 相邻的数值只有一个二进 制位不同。
特点
格雷码具有最小单位距离， 即任意两个相邻数值之间 的差异最小，因此能够有 效地减少传输误差。
应用
格雷码常用于模拟数字转 换器和数字模拟转换器中， 以提高转换精度和稳定性。
BCD码
定义
BCD码（Binary-Coded Decimal）是一种二进制 编码方式，它将十进制数 转换为二进制数。
04
编码系统
二进制编码
定义
二进制编码是一种数字编码方式， 采用0和1两个数码来表示数值。
特点
二进制编码具有抗干扰能力强、可 靠性高、简化运算等优点，因此在 计算机、数字通信等领域广泛应用。
应用
二进制编码用于实现数字逻辑电路 的输入和输出，以及计算机内部的 数据存储和运算。
格雷码
01
02
03
定义
八进制数制使用0-7这八个数字 进行计数和运算。
每个数字的权值是8的幂次方， 从右往左数，小数点左边第一位 是8^0，第二位是8^1，以此类
推。
八进制数制在计算机科学中也有 广泛应用，尤其是在一些底层编
程语言中。
十六进制数制
十六进制数制使用0-9和A-F这十六个 数字进行计数和运算。
电子技术课件：数制和码制
数字符号: 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 。 计数规则:逢十进一。 基数: 10 。 权: 10 的幂。 对于任何一个十进制数 N ，都可以按权展开成如下形 式:
式中， n 代表整数位数， m 代表小数位数，a i ( - m ≤ i ≤ n ) 表示第 i 位数字，它是 0 、 1 、 2 …9 中的任意一个， 10i为 第 i 位数字的权值。
数字符号: 0 ， 1 。 计数规则:逢二进一。 基数: 2 。 权: 2 的幂。
数制和码制 【例 6－2 】
数制和码制
6. 2. 3 八进制 在某些场合有时也使用八进制。八进制的每一位有 0~7
八个不同的数码，计数的基数为 8 ，低位和相邻的高位之间 的进位关系是“逢八进一”。通常以后缀 O 或 o ( Octal )表 示八进制数。
换时只要将二进制数按权展开，然后将所有各项的数值按十 进制数相加，就可以得到等值的十进制数了。此方法也适 用于任意进制数转换为等值的十进制数。
数制和码制
2. 十—二转换 将十进制数转换为等值的二进制数称为十—二转换。 整数部分:“除 2 倒取余”，即十进制整数被 2 除，取其余数， 商再被 2 除，取其余数……，直到商为 0 时结束运算，然后 把每次的余数按倒序规则排列就得到等值的二进制数。 小数部分:“乘 2 取整”，即把十进制纯小数乘以 2 ，取 其整数(该整数部分不再参加后继运算)，乘积的小数部分再 乘以 2 ，取整……，直到乘积的小数部分为 0 。然后把每次 乘积的整数部分按正序规则排序，即为等值的二进制数。
数制和码制
数制和码制
2. 格雷码 格雷码( GrayCode )又称循环码，其特点是编码顺序依 次变化时，相邻两个代码之间只有一位发生变化，如表 6－ 3 所示。 格雷码通常应用于减少过渡噪声。
式中， n 代表整数位数， m 代表小数位数，a i ( - m ≤ i ≤ n ) 表示第 i 位数字，它是 0 、 1 、 2 …9 中的任意一个， 10i为 第 i 位数字的权值。
数字符号: 0 ， 1 。 计数规则:逢二进一。 基数: 2 。 权: 2 的幂。
数制和码制 【例 6－2 】
数制和码制
6. 2. 3 八进制 在某些场合有时也使用八进制。八进制的每一位有 0~7
八个不同的数码，计数的基数为 8 ，低位和相邻的高位之间 的进位关系是“逢八进一”。通常以后缀 O 或 o ( Octal )表 示八进制数。
换时只要将二进制数按权展开，然后将所有各项的数值按十 进制数相加，就可以得到等值的十进制数了。此方法也适 用于任意进制数转换为等值的十进制数。
数制和码制
2. 十—二转换 将十进制数转换为等值的二进制数称为十—二转换。 整数部分:“除 2 倒取余”，即十进制整数被 2 除，取其余数， 商再被 2 除，取其余数……，直到商为 0 时结束运算，然后 把每次的余数按倒序规则排列就得到等值的二进制数。 小数部分:“乘 2 取整”，即把十进制纯小数乘以 2 ，取 其整数(该整数部分不再参加后继运算)，乘积的小数部分再 乘以 2 ，取整……，直到乘积的小数部分为 0 。然后把每次 乘积的整数部分按正序规则排序，即为等值的二进制数。
数制和码制
数制和码制
2. 格雷码 格雷码( GrayCode )又称循环码，其特点是编码顺序依 次变化时，相邻两个代码之间只有一位发生变化，如表 6－ 3 所示。 格雷码通常应用于减少过渡噪声。
计算机中的数制和码制
8位二进制数的机器数的数值范围为－127～＋127， 16位二进制数的机器数的数值范围为－32767～＋32767。
计算机中数的表示方法
三、原码、反码和补码
第二章 运算基础
（二）原码
一个数的原码就是该数的机器数，它的最高位为符号位，且用“0”表 示正，用“1”表示负，其余各位为数值位。 8位二进制数原码的数值范围为－127～＋127， 16位二进制数原码的数值范围为－32767～＋32767。
（四）补码
补码的说明：补码(two‘s complement)
1、在计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。 主要原因：使 用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。 另外，两个用补 码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则 进位被舍弃。
2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。
计算机中数的表示方法
第二章 运算基础
（四）补码 [正数]补码＝[正数]反码=[正数]原码 [负数]补码＝[负数]反码＋1 [ [X]补码]补码＝[X]原码、 [-X]补码＝/[X]补码＋1 （/表示各位取反）
8位二进制数补码的数值范围为－128～＋127， 16位二进制数补码的数值范围为－32768～＋32767。
二进 制
一分为四 四合一
十六 进制
进位计数制及其之间的相互转换
第二章 运算基础
说明：
1、十进制小数不是每一个都能精确转化为二进制小数 例如：0.37D=0.01011110…..
2、二进制转化为十六进制： 以小数点为界，整数部分从右向左四个二进制数一组合并，转化为一
个十六进制数，不够四位高位补0；小数部分从左向右四个二进制数一组合 并，转化为一个十六进制数，不够四位低位补0. 3、十六进制转化为二进制：
数制和码制
数制和码制数字电路是数字IC设计的基础，而数制和码制往往又是数字电路的基础，因此数制和码制是数字IC设计基础的基础。
在这里，我将记录关于数制与码制的一些主要知识点，有些知识点我是学了数电半年或者一年之后才发现，原来数电还有这样子的东西，于是整理在这里，仅供参考，有误请评论指出。
一、数制这里不进行记录什么二进制、十进制之类的基本概念，只介绍一些主要的知识点。
1、数制之间的转换（1）关于二进制的一些概念这里主要记录一下位、比特对于二进制的描述，是比较基础的东西。
位宽/比特：一个二进制数，有它的位宽，有多少个0/1，它位宽就是多少；比如二进制数10110，它的位宽就是5，从第0位到第4位；也说这是一个5位宽的二进制数，或者说这个二进制数宽度大小是5比特，数值大小为22（默认数值大小一般说的是十进制的数值大小）。
最高位和最低位：对于上面的10110，最高位是1，最低位是0；最高位是第4位，最低位是0（2）二进制转换成十进制：①二进制转换成十进制方法为：把二进制数按权展开、相加即得十进制数。
②举例：二进制数10011.01,位数为1的有第4位，第1位，第0位，第-2位，那么就有：10011的十进制数值（注意说到数值，默认是转换为十进制时数的大小）为：2^4 + 2^1 + 2^0 + 2^(-2) = 19.25十进制转换成二进制：①转换方法就是：整数部分，除二取余；小数部分，乘二取整(小数部分一般会说明要精确到小数点多少位)。
②举例说明:将35.63转换成二进制数，小数部分精确到小数点后3位那么对于整数部分，除二取余：整数部分的二进制数就是100011。
对于小数部分：乘二取整0.63*2 = 1.26,取1;0.26*2 = 0.52，取0；0.52*2 = 1.04，取1；已经达到三位了。
因此小数部分就是101因此35.63的二进制表示为100011.101。
（3）二进制转换成八进制：①方法：从小数点向两边展开，每三位二进制划分为一组，每一组的的十进制就是对应的八进制，（注意，最高位或者最低位不够3位要补0）。
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任意一个十进制数可表示为 (按权展开式)
N 10
i
K 10
i
i
可用下标D 表示十进制
Ki—第i位上的 数码，即0～9 中的任一个数
10—进位 基数
10i—第i位 的权
例 ( 2568.43)10可表示为：
(2568.43)10=2×103 ＋ 5×102 ＋ 6×101 ＋ 8× 100＋4×10－1＋3×10－2
5421码 0 1 2 3 4
2421码 0 1 2 3 4
余3码
5 6 7 8 9
5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
格雷码 0 1 3 2 7 6 4 5
8 9
总结
一、数制 二、数制间的转换 三、码制
例
将二进制数1001101.100111转换为十六进
.1001 1100）2=（4D.9C）16 十六进制数转换为二进制数，只要将每一位变 成4位二进制数，按位的高低依次排列即可。
（2）十六进制数与十进制数的转换。 十六进制转换为十进制时，也是按权展开求和 。 十进制数转换为十六进制数时，可参照十进制 数转换为二进制数的方法进行，整数部分除16 （或小数部分乘16），结果取余（或取整）数； 也可以把十进制数转换成二进制数，然后按二进 制转换十六进制数的方法，间接将十进制数转换 成十六进制。
几种常见的BCD编码
十进制数 二进制数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
8421码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B C
＆ AB AB+BC+AC ＆ BC ≥1 F ＆
AC
2008年8月
第1章 逻辑代数基础
1.1 数制与码制 1.2 基本逻辑运算和逻辑门电路 1.3 逻辑函数的几种表示方法 及其相互转换 1.4 逻辑函数的化简
1.1 数制与码制
一、数制
1 .十进制数 十进制数的数码有十个，为0、1、2、3、4、5、 6、7、8、9。 计数规律是“逢十进一”。
例 将(110101.011)2转换为十进制数。 解 (110101.011)2=1×25＋1×24＋0×23＋1×22 ＋ 0×21 ＋ 1×20 ＋ 0×2 － 1 ＋ 1×2 － 2 ＋ 1×2 － 3= （53.375）10
（2）十进制数转换为二进制数。 十进制整数转换为二进制整数是将十进制数逐 次除以 2 ，并依次记录余数，直到除到商为零 为止，然后将余数从下往上排列，即得从高位 到低位的二进制数。
例 将十进制小数0.625转换成二进制数。
0.625 × 2 1.250 × 2 0.500 × 2 1.000
1 高位 0 1 低位
即 （0.625）10=（0.101）2
2.十六进制数与二进制数、十进制数的转换 （1）十六进制数与二进制数的转换。 二进制转换为十六进制是从二进制的小数点 开始，分别向左、右按 4 位分组，最后不满 4 位的，用0补齐。将每组用对应的十六进制数 代替，就是等值的十六进制数。
3 .八进制和十六进制 八进制数的数码有8个，为0、1、2、3、4、5、 6、7，按“逢八进一”的规则计数，即基数是 8，第i位的权是8i。任一个八进制数可表示为
N8
i
K
i
8
i
例 (36.21)8=3×81＋6×80＋2×8－1＋1×8－2
十六进制数的数码有16个，为0～9和A、B、C、 D、E、F。按“逢十六进一”的规则计数，其 基数是16，第i位的权是16i，任一个十六进制数 可表示为
除2取余法
例 将十进制数整数（23）10转换成二进制数。 2 2 2 2 2 23 11 5 2 1 0 余数 1 1 1 0 1 低位
高位
即 （23）10=（10111）2
十进制小数转换为二进制小数的方法是乘2取 整法。是用该小数乘2，第一次乘得结果的整 数部分为最高位，其小数部分再乘2，所得结 果的整数部分为次高位，依次类推，直至小 数部分为0或达到要求精度为止。
1.1.3 码制
把若干个 0 和 1 按一定规律编排在一起，组成 不同的代码，并赋与每一个代码固定的含义， 这叫做编码。 编制代码所遵循的规则叫码制。 用四位二进制码来表示十进制码的方法称为 二—十进制编码，即BCD编码。 常见的编码有8421码、5421码、2421码、余3码、 格雷码等，前三者是有权码，后两者是无权码。
N 16
i
K
i
16
i
例 (3AB.12)16=3×162＋10×161＋1×160＋ 1×16－1＋2×16－2
也可用下标O、H表示八进制和十六进制。
1.1.2 数制间的转换
1.二进制数与十进制数的转换 （1）二进制数转换为十进制数 将二进制数按权展开，将各乘积项的积算出 来，再将各项积相加，就得到等值的十进制 数。
2 .二进制数 二进制数的每一位数码只有0或者1。 计数规则是“逢二进一”。 二进制数的进位基数是2，第i 位的权是2i。
任意一个二进制数可表示为
N2
i
K
i
2
i
可用下标B 表示十进制
Ki—第i位上的 数码，即0、1 中的任一个数
2—进位 基数
2i—第i位 的权
例
(101101.01)2=1×25＋0×24＋1×23＋ 1×22＋0×21＋1×20＋ 0×2-1＋1×2-2