材料力学第四章平面弯曲

FN2 -FN1 = η bdx
(M +dM)y' (M +dM) d A = ∫ A* y'dA Iz Iz y'η′ ζ'
FN1
ζ"
FN2
dM Sz* = η bdx FN2 -FN1= Iz
dM=FQ dx
ζ' dA dx FQ Sz* Iz b
FQdx
Iz
Sz* = η bdx
从而
η=
η=
δ u
h
δ
η'1
z
FN1
η1
A
FN2
u
dx
b （a）
u
dx
（ b）
dF FN 2 FN1
dF 1dx
式中：FN1 dA
A*
M M * y d A Sz A * Iz Iz
M dM M dM * y d A Sz A * Iz Iz
第四章
平面弯曲
§4-1
一、平面弯曲的概念
概
述
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。 工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此 面内，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生 平面弯曲。平面弯曲是杆件的一种基本变形。 外力特点：作用在纵向对称面 内、垂直于杆轴线的集中力或 分布力，或作用在纵向对称面 内的力偶。 变形特点：杆的轴线在纵向对 称平面内弯成曲线。 若梁不具有纵向对称面， 或虽有纵向对称面但外力不 作用在该面内，这种弯曲统 称为非对称弯曲。
4.工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz 2080cm
3
max
M max 14.42MPa Wz
例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉 应力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
q=20kN/m
A D 4m 40 +
* z
2
η=
FQ Sz* Iz b
y2 (1 4 2 ) 2bh h
二次抛物线分布
3FQ
h y 2
0
max
3 FQ 2 bh
y0
剪切弯曲时，横截面上有切应变，横截面不再为平面。 纵向层间发生错动。
◈切应力的产生
二、工字型截面梁
1.腹板切应力η
b

对于T形、槽形和箱形截 面，其腹板上的切应力计 算同样可采用该公式。
1 O1 2 O2 2
dq
ab的纵向线应变
1 O1'
2 O2' 2
a'b'-ab (ρ+y)dθ -dx = ε= dx ab
= =
a
(ρ+y)dθ - ρd θ
y ρd θ
1
b
y
a'
dx
1
b'
dx
ρ
2.物理关系 胡克定律
σ=Eε =E
y
ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
z
中性轴
3.静力学关系
E ∫A FN= σdA = ∫ A ydA =0 ρ
FN 2 dA
A*
η1
δ u
h
δ
η'1
z
FN1 u
η1
A
FN2 dx
b （a）
u
η1
dx
（ b）
（c）
FQ S z* 1 1 I z
* 其中 S z ——面积δ×u 对中性轴的面积矩。
1 S z* u (h ) 2
三、圆形截面梁 中性轴处：
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
tBmax
D t max
M B ytBmax 21.4MPa Iz
D t max
cBmax
M B ycBmax 38.6MPa Iz M B ycDmax 12.1MPa Iz
B MD y c max 21.7MPa Iz D截面为最大拉应力截面； B截面为最大压应力截面
220 60
c yc=180
60
z
280
y
D截面
§4-3 梁横截面上的切应力
切应力与横截面的形状有关
一、矩形截面梁
两个假设 1.切应力与横截面的侧边平行， 与剪力方向一致； 2.切应力沿截面宽度均匀分布。
(一)切应力τ的大小
F
A
q
B b h
M
FQ
h
dx
FQ
dx b
M+dM
dM=FQ dx
y'η′ ζ' z y
得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0

A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度 中性层曲率公式 EI ρ z
中性轴：中性层与横截面的交线。 中性层
横截面绕中性轴转动 找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变 化规律： 取微段梁dx 1 O1 2 O2 2 1 O1' 2 O2' 2
dq
dx
a
1
b
y
a'
dx
1
b'
O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径
变形前 变形后
dx= ab=O1O2
O 1O'2=ρdθ a b'2=(ρ+y)dθ =O1O2
q(x) F
Me
二、弯曲杆件内力回顾
1.剪力和弯矩
计算方法：截面法 A x a F1
m m
F2
B
y
A
a
F1 c x
m m
FQ M
x
FRA
2.剪力图和弯矩图
FQ=FQ(x) M=M(x) 剪力方程 弯矩方程
描述剪力和弯矩沿粱轴线变化规律的图象称为剪力图和弯矩图。 以平行于梁轴线的坐标轴为x轴,表示横截面的位臵；以垂 直于梁轴线的坐标轴为FQ轴或M轴,FQ以向上为正，M以向下 为正，画出的图形称为剪力图或弯矩图。 作剪力图和弯矩图的方法： （1）根据内力方程作图 （2）根据分布荷载集度与剪力、弯矩之间的微分关系作图 （3）用叠加法作图
FQ Sz* Iz b y z
FQ ——横截面上剪力。 S z* ——横截面上距中性轴y处横线一 侧 的部分截面对中性轴的面积矩。 Iz ——整个横截面对中性轴z的惯性矩。
ζ"
ζ'
dx
b ——横截面宽度。
（二）沿梁高的切应力分布
h h b h S b( y ) [( y ) / 2 y ] ( y 2 ) 2 2 2 4
d a b y
z

ηmax
η=
FQ Sz*
Iz d
h2 h12 h12 τ [b( ) d( y 2 )] 2I z d 2 4 4
FQ
y0
max
* FQ S z max
Izd

FQ d
/
Iz
* Sz max
2.翼缘部分切应力 有铅直切应力（很小），也有水平切应力
q=20kN/m
A D B C
220
60
4m
40
2m
c yc=180
z
280
1.5m
+
-
x
60
22.5 M/kN· m
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· D M y D D t max 21.7MPa t max D截面 上部受压、下部受拉 Iz D yt max 180mm 6 4 M B ycDmax I z 186.6 10 m B c max 12.1MPa D yc max 100mm Iz B、D截面为危险截面
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
FN1
ζ"
FN2
FN2 -FN1 =η'bdx =η bdx
ζ' dA dx FN1=∫ A*ζ'dA= ∫ A* M y' dA Iz M∫ = y'dA A* Iz S z* = ∫ A* y'dA
ζ"
ζ'
dx
M FN1= I Sz* z
M FN1= I Sz* z FN2=∫ A*σ"dA= ∫ A* (M +dM) FN2= S z* Iz
1.作图示梁的FQ和M图
q A
2l B l
ql C
ql2
2.绘出梁的剪力图和弯矩图
2ql
ql2
l
2l
3.纯弯曲和横力弯曲 A 纯弯曲：如图CD段。
a
C
F
F
a
D
B
F 剪切弯曲（横力弯曲）： 如图AC段和BD段。 FQ
+
F
M
+
Fa
ຫໍສະໝຸດ Baidu
§4-2
梁横截面上的正应力
梁的横截面上一般同时存在正应力和切应力。 FQ由切向微内力ηdA合成；M由法向微内力ζdA合成。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4
ql 2
q
2 h/4 4 3 l l/4 b
220
C 2m 60
B
c yc=180
x
60
z
280
1.5m 22.5 M/kN· m 解： 1. 作弯矩图
y
MB=-40kN· m MD=22.5kN· m
B、D截面为危险截面
q=20kN/m
A D B C
220
60
4m
40
2m
c yc=180
z
280
1.5m
+
-
x
60
22.5 M/kN· m B、D截面为危险截面
一、纯弯曲梁的正应力公式
1.变形几何关系
试件变形后
横线：保持为一条直线,与变形后 的纵线正交，相对原来位臵转过 一角度。 纵线：弯成弧线，上部纵线缩短， 下部纵线伸长。
横截面：上部略有扩展，下部略有收缩。
假设：
平面假设：变形后的横截面仍为平面，并仍与弯曲后的纵线正交。 单向受力假设：各纵向纤维间无挤压，每根纵向纤维处于单向 受力状态。 中性层：梁中间有一层既不伸长，也不缩短。
3 ql 4 3 ql 4
z
(2)画FQ图和M图
FQ
+
ql 4
ql 4
-
ql 2 ql2 32
解： 1.腹板的最大切应力
max
* FQ S z max
1 1 3 2 I z 220 60 70 220 60 60 2203 70 2 60 220 12 12 186.56 106 mm 3
Izd
* 3 3 Sz 180 60 90 972 10 mm max
M max
1 1 Fl 20kN 6m 30kN m 4 4
F=20kN A C B
M max 30kN m
3m
2.矩形截面 3.圆形截面
3m
M max 1 2 4 3 91.8MPa max Wz bh 32.67 10 mm Wz 6 1 由 d 2 bh 得 d 133.5mm 4 M max 1 3 4 3 Wz d 23.36 10 mm max W 128.4MPa z 32


M(x)y Iz
M(x) 1 = ρ( x ) E Iz
max
Mmax Wz
例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面 积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的 最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm。 F=20kN
A C B
3m
3m
解： 1. 求最大弯矩Mmax
t m ax

c m ax
M Wz
My max Iz
My Iz

t max
My Iz
max
c max
二、正应力公式的推广
对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验 和理论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该 正应力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求。 这时
max
* FQ S z max
Izd
50 103 972 103 109 Pa 4.34MPa 6 12 3 186.56 10 10 60 10
2.腹板上切应力分布

* FQ S z
Izd
抛物线分布
腹板和翼缘交界处：
* 3 3 Sz 70 60 220 924 10 mm 1
σ=Eε =E
y
ρ
1 Mz = EIz ρ
Mzy Iz
——正应力公式
正应力性质（正负号））确定： ζ的符号可由M与y的符号确定，也 可由弯曲变形情况确定。 最大正应力：
max
Mymax Iz 得 M Wz
令
Iz Wz = ymax
弯曲截面系数
max
① z轴为对称时：

② z轴为非对称时: