1随机过程复习题

随机过程复习题

一、填空题：

1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有

1}|{|lim =<-∞

>-εa X

P n

n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。

2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，

)()]()([12123t t t X t X E -=-，

则___})(,)(,)({====654321X X X P ,___})(|)({===4365X X P

15

6

262321458!26!26!23}2)3()5(,

2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----=⋅⋅==-=-=-====e e e e X X X X X X P X X X P 解：66

218!

26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P

3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4

1

2141，

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=434

10313131043

411)(P 则__)(=212P ，__},,{====221210X X X P ;16

741031434341)2(12=⨯+⨯+⨯=

P 解： .16

1

314341)1()1(}1{}2,2,1{22120210=⋅⋅======P P X P X X X P

4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C X λ=

),min(),(2t s st t s R X λλ+=

5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，

)]()([)(πωδπωδπω++-=X S

6. 对于平稳过程)(t X ，若_____________________，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

>+=<)()()(ττt X t X R X 解：

7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2

32

42++=ωωωω)(S ，则)(t X 的均方值=______

;

1

1

22)(22＋＋解：ωωω-=S ;2111;2

1222

22τ

τωω--↔↔e e ＋＋ 2

121;2121)(2

2-=-=∴--X X e e R ψτττ于是：

8. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为)

,(π20上服从均匀分布的随机变量，则_____)(>=

________)()(>=+<τt X t X

；

解：0)(>=

)()(2

ωττa t X t X >=+< 9．设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转

移概率矩阵为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31

,32()0(=→

P ，则2X 的分布律为

___________)(=→

2P ，________),,(====011432X X X P

)393.0,607.0(82.018.018.082.0)31,32()0()2(2

=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⋅=→

→

P P P 解： 1

.09.0393.0)1()1()1()0,1,1(10112432⨯⨯======P P X P X X X P 10.设...)2,1,0(=n X n 是只有两个状态的齐次马氏链，其n 步转移概率矩阵为

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛

-=n n n n

D C n P 21311)(则__________==n n D C n n n n D C 2

1

1;31-==解：

11．设μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式

____)|(|≥<-σμ3X P ；

9

8

)3(1)3|(|22=-≥<-σσσμX P 解：

12．随机变量序列 n X X X ,,21独立同分布,且

2σμ==)(,)(i i X D X E >0

2,1=i ,则对任意实数,x ________}{lim =≤-∑=∞

→x n n X P n

i i n σ

μ

1

)(}{1

lim x x n n X

P n

i i

n Φ=≤-∑=∞

→σ

μ

解：

二、计算与证明：

1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为3

1

，晴天转雨天的概率

为2

1

，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，n X 表示第n 天的状态（0或1）。

（1） 写出马氏链},{1≥n X n 的一步转移概率矩阵；

（2） 在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天和5月5日为雨

天的概率各是多少？

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=323

1212

1

)1()

1(P 解： )

)4(),2(()4()0|1();2()0|0(2010001150013略具体求）（P P P X X P P X X P ======2．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=323103203103231//////P ，证明

此链具有遍历性，并求其平稳分布。

略具体求解中无零元，所以遍历。解：22P P

⎩⎨

⎧=++=1

),,(),,(.

321321321πππππππππP 的解，具体求解略平稳分布为以下方程组