第七章(非线性系统的描述函数法)

§7.4
非线性系统的描述函数分析法
一、描述函数法的基本概念
假设非线性系统的输入函数为
)
sin()(t X t x ω=非线性环节N
x (t )
n(t )
输出n(t)将是非正弦的周期信号。

可以展成傅利叶级数，n(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。

假设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以输出信号n(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响应的平均值为零。

假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。

闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。

对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。

上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研究其基波成分就足够了。

假设系统中非线性环节的输入函数为
t
X t x ωsin )(=输出信号可以展成傅利叶级数
∑∑∞
=∞=++=++=1
010)
sin(2)cos sin (2)(i i i i i i t i Y A t i B t i A A t n ϕωωω
⎰=
π
ωωπ
20
)
()cos()(1
t d t i t n A i ⎰=
π
ωωπ
20
)
()sin()(1
t d t i t n B i 2
2
i
i
i B
A Y +=
i
i
i B A tg
1
-=ϕ若非线性部分是齐次对称的，则A 0=0，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。

输出部分的基波分量为
)
sin(cos sin )(11111ϕωωω+=+=t Y t B t A t y ⎰
=π
ωωπ20
1)
()cos()(1
t d t t n A ⎰
=
π
ωωπ20
1)
()sin()(1
t d t t n B 2
1211B A Y +=
1
1
11B A tg -=ϕ
可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。

在非线性环节不含有储能元件的前提下，这个复数是输入正弦信号幅值的函数，而与频率无关，称为非线性环节的描述函数。

用符号N(X)表示：
1
1)(Φ=j e
X
Y X N Y 1非线性环节输出基波分量的振幅；φ1表示其相位差；X 表示输入正弦信号的幅值。

这样一种仅取输出的基波（把非线性环节等效为一个线性环节）而忽略高次谐波的方法称为谐波线性化法。

非线性环节等效为一个具有复放大系数的放大器，所以描述函数又称复放大系数。

非线性函数中含有储能元件时，描述函数同时为输入信号幅值A 和频率ω的函数，表示为N(X, ω)。

如果非线性特性是单值奇函数的，则A 0=0，A 1=0。

A
B X N 1
)(
N(X)是一个实函数。

二、典型环节的描述函数
理想继电器特性的描述函数
t
X t x ωsin )(=⎩⎨
⎧π≤ω≤π-π≤ω<+=)
2t (M
)t 0(M )t (y 傅氏展开
)
sin cos (2)(1
t i B t i A A t y n i n ωω++=∑∞
=斜对称、奇函数 A 0=A n =0
t
sin B )t (y 11ω=π
=ωωπ=ωωπ=ωωπ=⎰⎰⎰π
π
π
M 4)t (td sin M 1)
t (td sin )t (y 2)
t (td sin )t (y 1
B 00
20
1X
M X Y X N π40)(1=
∠=
(偶次对称性)
饱和特性
死区特性
死区饱和特性
)
(]
)(1[sin 2)(2
1
a X X
a X a X a k
X N ≥-+=-π)
(])(1sin 2[2)(21a X X
a X a X a k X N ≥---=-ππ)
(])(1)(1sin [sin 2)(2211
s X X
a X a X s X s X a X s k
X N ≥---+-=--π
非线性增益I
非线性增益II
)
(])(1)[sin 3(2
]
)(1)[sin (2
)(2
1
22
1
213s X X
s X s X s k k X
a X a X a k k k X N ≥-+-+-+-+=--ππ)
(]
)(1)[sin (2
)(2
1
212a X X
a X a X a k k k X N ≥-+-+=-π
理想继电器特性
死区继电器特性
滞环继电器特性
)
0(4)(≥=
X X
M
X N π)
()
(14)(2
a X X
a X M X N ≥-=π)
(sin 4)(1h X X
h X M X N ≥∠=-π
间隙、滞环特性
)
()(1
1
121
21
a X B A tg X B A X N ≥∠+=
-]
)[(421X
a
X a kA
A -=π]
)()21(2)21(sin 2[21
1X
a X a X a X a kA B --+-+=-ππ
非线性环节的正弦响应
y(t)
ωt
y(t)
ωt
y(t)
ωt
y(t)
ωt
§7.5 典型非线性系统的稳定性
)
()(1)
()()()(X N s G X N s G s R s C +=
(尼奎斯特判据)
若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j ω)轨迹不包围G 平面的(-1,j0)。

．
负倒描述函数（描述函数负倒特性)
)()(1)(=+=s G X N s D 线性系统
1
)(=X N 0
)s (G 1=+1
)s (G -=)
(1
)(X N s G -
=)
(1X N -
(-1,j0)
?
③G(j ω)与负倒描述函数相交
→闭环系统出现自持振荡(极限环振荡) →？稳定？不稳定→振幅（X ）？→频率(ω)？
设：系统开环的线性部分G(j ω)稳定
①G(j ω)不包围负倒描述函数
→闭环系统稳定
②G(j ω)包围负倒描述函数→闭环系统不稳定
分析法当微小扰动使振幅X增大到c点时，
c点“(-1,j0)”被G(j ω)轨迹包围，
系统不稳定；
振幅X继续增大；
不返回到a。

当微小扰动使振幅X减小到d点，
d点“(-1,j0)”未被G(j ω)轨迹包围，
系统稳定；
振幅X继续减小；
不返回到a。

a点为不稳定自振交点。

当微小扰动使振幅X增大到e
点时，e点“(-1,j0)”未被G(j ω)轨迹包围，
系统稳定；
振幅X减小；
返回到b。

当微小扰动使振幅X减小到f点，f点“(-1,j0)”被G(j ω)轨迹包围，
系统不稳定；
振幅X增大；
返回到b。

b点为稳定自振交点。

负实轴法
振幅X增大侧取点作为“(-1,j0)”，连接“(-1,0j)”与原点，
“负实轴”
a点为不稳定自振交点
b点为稳定自振交点
a点:不稳定自振交点b点:稳定自振交点c点:不稳定自振交点
具有饱和特性的非线性系统
X ＝a 时k X N 1
)(1-=-X →∞ 时
-∞→-)
(1
X N →负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k, -∞)。

G 1(j ω)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交→不存在自持振荡G 2(j ω)轨迹与负倒描述函数轨迹相交→b 点:稳定自振交点(ωb ，A b )
)
()(1[sin 2)
(1
21a X X
a X a X a k X N ≥-+-=--π
具有死区特性的非线性系统
X ＝a 时k
X N 1
)(1-=-X →∞ 时
-∞→-)(1
X N →负倒描述函数轨迹=实轴上（-∞,-1/k)。

G 1(j ω)轨迹不与负倒描述函数轨
迹相交→不存在自持振荡G 2(j ω)轨迹与负倒描述函数轨迹相交
→b 点:不稳定自振交点
)
()(1sin 2
[
2)
(1
2
1
a X X
a X a X a k X N ≥----=--π
π
具有间隙特性的非线性系统
负倒描述函数为G 平面上一条曲线。

k
X N 1
)(1-=-X →∞ 时
G 1(j ω)轨迹不与负倒描述函
数轨迹相交→不存在自持振荡
G 2(j ω)轨迹与负倒描述函数轨迹相交→b 点:稳定自振交点
ωb A b
)
180()
(1
11
1
2
121B A tg B A X
X N ---∠+=-
具有理想继电器特性的非线性系统
负倒描述函数轨迹为整个负实轴
2）如有数个交点
→必有稳定的自振交点
1）如只有一个交点
→必为稳定的自振交点
M X X N 4)(1π-=-
具有滞环继电器特性的非线性系统
负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。

3）单边滞环宽度h 增加
→负倒描述函数轨迹向下移动
→自持振荡频率将低，振幅增大2）如有数个交点
→必有稳定的自振交点
1）如只有一个交点
→必为稳定的自振交点
)sin 180(4)(110X
h M X X N ---∠=-πh 2>h 1
试求：
①当K＝10时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的振幅和频率；
②当K为何值时，系统处于稳定边界状态。

非线性饱和特性参数a=1 、k=2
相交于稳定自振交点m )
45()2(K j 45K 3)2(j 3K )2j )(1j (j K )j (G 2422422+ω+ωωω--+ω+ω-=ω-ω+ω-=+ω+ωω=ω0)j (G Im =ω2
=ω66.1|4530|)j (G Re 2242=+ω+ω-=ω=ω=
ωX ＝a 时
5.01)(1-=-=-k X N X →∞ 时-∞→-)
(1X N →负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5，-∞)。

)()(1[sin 2)(121a X X
a X a X a k X N ≥-+-=--π
66.1|)(Re )(12==-=ωωj G X N 6
.0)(=X N 3.0)(=k
X N a/X=0.24
X=4.38
X=4.382=ω非线性饱和特性参数a=1 、k=2
稳定自振交点m:
临界状态下，轨迹在负实轴上的交点n K=3
)45()2(K j 45K 3)2(j 3K )2j )(1j (j K )j (G 2422422+ω+ωωω--+ω+ω-=ω-ω+ω-=+ω+ωω=ω0
)j (G Im =ω2=ω2
242|45K 3|)j (G Re =ω=ω+ω+ω-=ω5.0|)j (G Re )
A (N 12-=ω=-=ω
非线性系统的校正
)A (N )s (G 1)A (N )s (G )s (R )s (C +=！改变G(j ω)！改变N(A)
①试分析系统稳定性；
②如果系统出现自持振荡，如何消除之？
K ＝20，死区继电器特性M ＝3，a ＝l 。

x ＋－)3)(2(++s s s K r c
e －M M
-a a
A ＝a=1
A ∞
-∞→-)A (N 1-∞→-)A (N 12a 2A ==)
3613()]6(j 5[K )3j )(2j (j K )j (G 242+ω+ωωω--ω-=+ω+ωω=ωG(j ω)轨迹与负实轴交点频率值0)
3613()]6(K )j (G Im 242=+ω+ωωω--=ω6
=ω524.0667.032|)3613()5(K |)j (G Re 6246-<-=-=+ω+ωωω-=ω=ω=ωG(j ω)轨迹与负倒描述函数有两个交点：a ——不稳定自振交点
b ——稳定自振交点
2
2
)A
1(112A )A a (1M 4A )A (N 1-π-=-π-=-524.06
M 2a |)A (N 1max -=π-=π-=-
32)A 1(112A )A (N 12-=-π-=-a —不稳定自振交点b ——稳定自振交点A 1＝1.11A 2＝2.36
=ω6
=ωmax 6|)A (N 1|)j (G Re ->ω=ω如要求稳定
1）改变G(j ω)——调整K
6|)
3613()5(K |)j (G Re 6246π->+ω+ωωω-=ω=ω=ω72
.15K <max 6|)A (N 1|)j (G Re ->ω=ωx ＋－)3)(2(++s s s K r c
e －M M -a a
2）改变N(A):调整死区继电器特性的死区a 或输出幅值M a
2A =M 2a |)A (N 1max π-=-M
2a 32|)j (G Re 6π->-=ω=ω36.2a
M <取a=1、M=2
785.04|)A (N 1max -=π-=-。