安徽省六安市舒城中学2020学年高二数学上学期开学考试试题 理
安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题
安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设a 是实数，且112a i i +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．22．若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A ．充分而不必要条件B 必要而不充分条件 B ．充要条件C ．既不充分又不必要条件3．已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．[)2,+∞4．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（ ）A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．m α⊥，n α⊥，则//m nC ．m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．m n ⊥，//n α，则m α⊥ 5．利用数学归纳法证明11112n n n +++++…*11(,2n N n+<∈且2n ）时，第二步由k 到1k +时不等式左端的变化是（ ）A ．增加了121k +这一项 B ．增加了121k +和122k +两项C ．增加了121k +和122k +两项，同时减少了1k这一项 D ．以上都不对6．在四面体O ABC -中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =（ ）A ．111244a b c -+ B ．1122a b c -+ C ．111244a b c ++ D ．111424a b c ++ 7．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞- B ．(),4-∞ C ．[)4,-+∞ D ．[)4,+∞ 8．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为3，则224b a+的最小值为（ ）A ．3B ．1CD ．29．过点()引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥值时，直线l 的斜率等于（ ）.A ．3B ．3-C ．3± D10．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．3211．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0).若12θθ=，则动点P 的轨迹为（ ）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．12⎤⎥⎣⎦B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．22⎣⎦D ．,33⎣⎦二、填空题 13．某产品的广告投入x （万元）与销售额y （万元）具有较强的线性相关性，该产品的广告投入x （万元）与相应的销售额y （万元）的几组对应数据如表所示：若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为20.75y x =+，则表中a 的值为_______.14．已知四边形ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方体ABCD 内随机取一点P ，则使得点P 到O 点的距离大于1的概率为________.15．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.16．在菱形ABCD 中， 3A π=， AB =将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若二面角P BD C --的大小为23π，三棱锥P BCD -的外接球心为O ，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为__________．三、解答题17．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：h )的频率分布表.（1）求该校高二学生的总数；（2）求频率分布表中实数,,x y z 的值（3）已知日睡眠时间在区间[6,6.5)内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.18．已知经过圆2221:C x y r +=上点00(,)x y 的切线方程是200x x y y r +=.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点00(,)x y 的切线方程；（2）已知椭圆22:16x E y +=，P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ､B ，求证：直线AB 过定点.19．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）求直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值.20．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ．（1）求抛物线C 的方程；（2）求过点()3,2P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅为定值．21．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，DE =DE BF >120ABC ∠=︒.（1）当BF 长为多少时，平面AEF ⊥平面CEF ？（2）在（1）的条件下，求二面角E AC F --的余弦值.22．已知动点C 是椭圆Ω：221(1)x y a a+=>上的任意一点，AB 是圆G ：229(2)4x y +-=的一条直径（A ，B 是端点），CA CB ⋅的最大值是314. （1）求椭圆Ω的方程；（2）已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点12,F F ，过点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆Ω于P ，Q 两点.在线段2OF 上是否存在点(),0M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案1．B【分析】利用复数的四则运算化简原式，再根据复数是实数，令虚部为0，求a 的值.【详解】()()()()11111222a i a i a a ai i i i --===-++-， 所以原式112222a a i ⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为112a i i +++是实数，所以1022a -=，解得：1a =. 故选：B2．A【解析】由a=2可得（a-1）（a-2）=0成立，反之不一定成立，故选A.3．A【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出分段函数6,23log ,2a x x y x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值，根据程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，分类讨论可得答案．【详解】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数6,23log ,2a x x y x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值.当2x ≤时，64y x =-+≥恒成立，当2x >时，由3log 4a y x =+≥可得log 1a x ≥对任意的()2,x ∈+∞恒成立，可得1log 21aa >⎧⎨≥⎩，解得12a <≤. 因此，实数a 的取值范围是(]1,2.故选：A ．【点评】关键点点睛：解本题的关键在于由3log 4a x +≥对任意的()2,x ∈+∞恒成立得出对数函数的单调性以及关于实数a 的不等式进行求解.4．D【分析】利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A 选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；根据已知条件判断直线n 与平面α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断直线m 与平面α的位置关系，可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，//n α，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ， m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确； 对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n α⊄，//n α∴，故C 正确； 对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂，而m α⊄，则//m α或m 与α相交，故D 错误．故选：D ．【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．5．C【解析】当n k =时，左端1111122k k k k=+++⋯+++，那么当1n k =+时 左端111111222122k k k k k =++⋯+++++++，故第二步由k 到1k +时不等式左端的变化是增加了121k +和122k +两项，同时减少了1k 这一项，故选C.6．C【分析】E 为AD 的中点，则有1122OE OA OD =+， D 为BC 的中点，则有1122OD OB OC =+ 逐步代入计算即可【详解】1122OE OA OD =+()111222OA OC OB ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦111244a b c =++ 故选：C【点睛】选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．7．C【分析】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题，分0x =和0x ≠两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题.当0x =时，则有10-≥，不合乎题意；当0x ≠时，由2410ax x +-≥，可得214ax x ≥-，则有221414x a x x x -≥=-， 22141244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时，等号成立， 所以，4a ≥-.综上所述，实数a 的取值范围是[)4,-+∞.故选：C.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.8．D【分析】由双曲线的离心率为3和222c a b =+，求得228b a =，化简2228212442b a a a a a ++==+，结合基本不等式，即可求解.【详解】 由题意，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为3，即3c a =，即3c a =， 又由222c a b =+，可得228b a =，所以22282122442b a a a a a ++==+≥=， 当且仅当122a a =，即12a =时，“=”成立. 故选：D.【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.9．A【分析】方法一：利用AOB 的面积，求点到直线的距离，再求直线的斜率；方法二：设直线方程0kx y -+=，利用点到直线的距离求弦长以及面积，利用三角形的面积取得最大值时，求直线的斜率..【详解】方法一：根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解.由于y =()2210x y y +=≥，直线l 与()2210x y y +=≥交于AB 两点，如图所示，11sin 22ACB S AOB =∠≤△，且当90AOB ∠=︒时，AOBS取得最大值，此时AB =，点O 到直线l 的距离为2，则30OCB ∠=︒，所以直线l 的斜角为30°方法二：由y ，得()2210x y y +=≥.所以曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则01k <<，直线l的方程为(0y k x -=+，即0kx y -+=. 则原点O 到l的距离d =，l 被半圆截得的半弦长为=则ABO S ==△==令211t k =+，则ABO S =△， 当3t 4=，即21314k =+时，ABOS 有最大值为12. 此时由21314k =+，解得3k =故选：A 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，本题第一种方程，重点是分析几何关系，即点到直线的距离后就可知道斜率，第二种方程，重点是由条件可知当OA OB ⊥时，此时AOB 的面积最小，即用斜率k 表示面积，求最值，得到直线的斜率. 10．B 【详解】F （2，0）,K （-2，0），过A 作AM ⊥准线，则|AM|=|AF|， ∴|AM|，三角形APM 为等腰直角三角形， 设A （m 2，）（m ＞0）,由AM MK =得22m =+，解得2m = 则△AFK 的面积=4×m•12m=8, 故选B. 11．B 【解析】由线面角的定义及题意可得1112112sin sin AA DD PD PEθθ=⇔=，即12PD PE =，以线段1D E为x 轴，其中垂线为y 轴，如图，建立平面直角坐标系xOy ，设12,(,)AA P x y =，则11(D E E D =，所以2222(4(4x y x y +=++，即222330x y +++=，则动点P 的轨迹是圆，故应选答案B ． 点睛：解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用． 12．A 【分析】根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率. 【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b+=联立解得22222()Aa cb x c-=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22sin 2sin ()2sin [,]A A a a c a a cAF c e x c x c e e e ααα---=∴-=∴=∈因此222222()()()a a c b a c e c e--≤≤，解得22222222()()()2()a c b a c a c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即22,20a a c ac ≤--≥，即21,12012e e e ≤--≥≤≤，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题. 13．9 【分析】因为样本中心点(),x y 在回归直线上，可求出234y =，代入可求出a 的值. 【详解】样本中心点(),x y 在回归直线上，52x =，代入得234y =，由35623944a a +++=⇒=. 故答案为：9. 【点睛】方法点睛：（1）在原始数据中求出x ，代入回归直线，可求出y ； （2）在原始数据中计算y ，建立参数和y 的关系式； （3）解出参数值即可. 14．14π-【分析】画出图形，由已知条件求出到点O 的距离大于1的点对应的图形的面积，然后利用几何概型的概率公式求解即可 【详解】解：如图，由已知可知长方形ABCD 的面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，则圆在长方形ABCD 内部的面积为2π， 所以点P 到O 点的距离大于1的概率为22124ππ-=-， 故答案为：14π-【点睛】此题考查几何概型的概率的计算，解此题的关键是找出到O 点的距离大于1的点对应图形的面积，属于基础题 15．5 【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得， 2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍）， 所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解. 16．112π 【分析】推导出BCD ∆是等边三角形，过球心O 作'OO ⊥平面BCD ，则'O 为等边BCD ∆的中心，BD 的中点为E ，求出4,OE OC ==P BCD -的外接球的半径为R ，即R =P BCD -的外接球的表面积.【详解】四边形ABCD 是菱形，3A π=，∴BCD ∆是等边三角形，过球心O 作'OO ⊥平面BCD ，则'O 为等边BCD ∆的中心，BD 的中点为E ，23PEC π∠=，得3OEC π∠=，4AB =16,23AE EC EO EC ∴=='==，在Rt OEO ∆'中，由3OEC π∠=，可得4OE =.在OEC ∆中，2222cos 28OC OE EC OE EC OEC =+-⋅⋅∠=，即OC =P BCD -的外接球的半径为R ，即R =， 三棱锥P BCD -的外接球的表面积为24112==S R ππ. 故答案为：112π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查三棱锥、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题. 17．（1）600人；（2）8；0.16；10；（3）35. 【分析】（1）利用样本中高二年级人数与高二年级总人数之比=样本中高一年级、高二年级人数之和与高一、高二年级总人数之和之比求解；（2）先根据频率分布表求出z 的值，再根据高二年级学生样本人数计算出x ，从而得到其频率y 的值；（3）记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为123,,b b b ，先列出从这5名高二学生中任选3人进行面谈的所有可能情况，以及恰好有两男一女的情况数，然后根据古典概率模型概率的计算公式求解. 【详解】解：（1）设该校高二学生的总数为n ，由题意5015050660540n -=+，解得=600n ，所以该校高二学生总数为600人. （2）由题意0.2050z=，解得10z =， 50(57128)8x z =-++++=，0.1650xy ==. （3）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为1b ，2b ，3b ，从中任选3人有以下情况： 121,,a a b ；122,,a a b ；123,,a a b ；112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ；123,,b b b ，共10种情况，基本事件共有10个，它们是等可能的，事件A 包含的基本事件有6个，分别为：112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ，故63()105P A ==，所以选中的3人恰好为两男一女的概率为35. 【点睛】（1）解决分层抽样问题时，常用的公式有： ①n N =样本容量该层抽取的个体数总体个数该层个体数；②总体中某两层的个数比等于样本中这两层抽取的个体数之比； （2）求解古典概率模型时，基本步骤如下：①利用列举法、列表法、树状图等方法求出基本事件总数n ； ②求出事件A 所包含的基本事件个数m ；③代入公式mP n =，求出概率值. 18．（1）00221x x y ya b+=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知直接类比求解即可；（2）根据（1），根据题意，得到方程组，根据方程组的特征求出A ､B 两点坐标特征，最后可以求出直线AB 过定点.【详解】（1）类比上述性质知：切线方程为00221x x y ya b+=. （2）设切点为1222(,),(,)A x y B x y ，点(3,)P t ， 由（1）的结论的AP 直线方程：1116x x y y +=，BP 直线方程：2216x xy y +=， 通过点(3,)P t ，∴有1122316316x y t x y t ⋅⎧+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪+⋅=⎪⎩，∴A ，B 满足方程：12xty +=，∴直线AB 恒过点：1020xy ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，即直线AB 恒过点(2,0).19．（1）证明过程见解析；（2【分析】（1）根据矩形的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合棱锥的等积性、线面角的定义进行求解即可. 【详解】（1）在矩形ABCD 中，连接BM ，所以90D C ︒∠=∠=，因为2AB AD =，M 为DC 的中点，所以三角形ADM 和三角形BCM 是等腰直角三角形， 因此有45DMA CMB ︒∠=∠=,所以90AMB ︒∠=，即MB AM ⊥,在棱锥D ABCM -，取AM 中点N ，连接,DN CN ，因为三角形ADM 是等腰直角三角形，所以DN AM ⊥，因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，所以DN ⊥平面ABCM ，而BM ⊂平面ABCM ，所以DN BM ⊥， 又因为,,DNAM N DN AM =⊂平面ADM ，所以BM ⊥平面ADM ，而AD ⊂平面ADM ，所以BM AD ⊥；（2）设1AD =，所以2AB =，M 为DC 的中点，因此1DM MC ==,在等腰直角三角形ADM 中，111222DN AM ====，在直角梯形ABCM 中，2BN ===, 由（1）可知中：DN ⊥平面ABCM ，而,BN CN ⊂平面ABCM ， 所以,DN BN DN CN ⊥⊥，因此DB ===， 显然有222DA DB AB +=，所以三角形DAB 是直角三角形.由余弦定理可知：2CN ===在直角三角形DCN 中，DC === 因为//,MC AB AB ⊂平面DAB ，所以//MC 平面DAB ，因此点,M C 到平面DAB 的距离相等，设为d ，因此有：1111111213332322M DAB D ABM DABABMV V Sd S DN d --=⇒⋅=⋅⇒⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：d =，设CO ⊥平面DAB ，垂足为O ，连接OD ，显然CO d ==CDO ∠直线DC 与平面DAB 所成角,所以sin3CO CDO CD ∠===.因此直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值为3.20．（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）本题可将()1,2A 代入抛物线方程中求出p 的值，即可得出结果； （2）本题首先可设()11,M x y 、()22,N x y 以及直线MN 的方程23xt y ，然后通过联立直线MN 的方程与抛物线方程即可得出124y y t +=、12812y y t =--，最后通过1212122211y y k k x x 并化简即可得出结果.【详解】（1）因为抛物线2:2C y px =过点()1,2A ， 所以42p =，2p =，抛物线方程为24y x =.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为23x t y ，联立()2234x t y y x⎧=++⎨=⎩，整理得248120y ty t ---=，21632480t t ∆=++>，124yy t +=，12812y y t =--，则1212122212122222111144y y y y k k y y x x 1212161622481284y y y y t t ，故12k k ⋅为定值2-.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出12y y +、12y y 的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题. 21．(1)见解析；（2）二面角E-AC-F . 【分析】（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量垂直列方程组，解得各面法向量，根据平面垂直得两法向量数量积为零，解得BF 长，（2）利用方程组先解出各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，再根据二面角与向量夹角关系求结果. 【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD. 取EF 的中点G ，连接OG ，则OG ∥DE. ∵DE ⊥平面ABCD ，∴OG ⊥平面ABCD. ∴OG ，AC ，BD 两两垂直.∴以AC ，BD ，OG 所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），设，由题意，易求，∴，设平面AEF ，平面CEF 的法向量分别为，由1n AE ⊥，1n AF ⊥，得1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11111100y y mz ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ 解得1111232226322z x m m y x m ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩. 令122x m ，∴.同理可求.若平面AEF ⊥平面CEF ，则120n n ⋅=， ∴，解得m =或m =（舍），即BF 时，平面AEF ⊥平面CEF. （2）当2m =时，，∴0EF AF ⋅=，0EF CF ⋅=，∴EF ⊥AF ，EF ⊥CF ， ∴EF ⊥平面AFC ， ∴平面AFC 的一个法向量为，设平面AEC 的一个法向量为，则00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴00y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，得0y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令2z =，得4y =，∴.从而.故所求的二面角E-AC-F 22．（1）2215x y +=；（2）存在，80,5⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）设点C 的坐标为(),x y ， 由,CA CG GA CB CG GB CG GA ，又()0,2G ，可得27(1)44CA CBa y y a，其中[]1,1y ∈-，讨论1a >和3a >时 CA CB ⋅的最大值可得答案；（2）设点()()1122,,,,P x y Q x y PQ 的中点坐标为()00,x y ，代入椭圆方程两式相减， 得0212105x y y x x y -=--，从而直线PQ 的方程为()00005x y y x x y -=--，将点2F 的坐标代入PQ 的方程得()000025x y x y -=--，假设在线段2OF 上存在点()(),002M m m <<，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ 的垂直平分线必过点M ，而线段PQ 的垂直平分线方程是()00005y y y x x x -=-，将点(),0M m 代入可得答案. 【详解】（1）设点C 的坐标为(),x y ，则221x y a+=，由,CACG GA CB CG GB CG GA ，又()0,2G ，可得22229(2)4CA CB CGGA x y 222971(2)(1)444a y y a y y a，其中[]1,1y ∈-. 因为1a >，故当412(1)ya ，即13a 时，取1y =-，得CA CB ⋅有最大值727(1)444a a --+++=，与条件矛盾； 当412(1)y a =>--，即3a >时，CA CB ⋅的最大值是74(1)1644(1)a a a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-， 由条件得74(1)163144(1)4a a a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=-，即27100a a +=-，解得5a =或2a =（舍去）. 综上所述，椭圆Ω的方程是2215x y +=.（2）设点()()1122,,,,P x y Q x y PQ 的中点坐标为()00,x y ，则满足222212121,155x x y y +=+=，两式相减，整理得()021*********x y y x x x x y y y -+=-=--+，从而直线PQ 的方程为()00005x y y x x y -=--，又右焦点2F 的坐标是()2,0， 将点2F 的坐标代入PQ 的方程得()000025x y x y -=--， 因为直线l 与x 轴不垂直，故22000250x x y -==，从而002x <<.假设在线段2OF 上存在点()(),002M m m <<，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ 的垂直平分线必过点M ，而线段PQ 的垂直平分线方程是()00005y y y x x x -=-，将点(),0M m 代入得()00005y y m x x -=-，得045m x =，从而80,5m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆、直线与圆的位置关系，第二问的关键点是求出PQ 的直线方程，利用垂直平方特征求出答案，点差法设而不求减少了运算量，考查了学生分析问题、解决问题的能力.。
2020-2021学年六安市舒城中学高二上学期期末数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年六安市舒城中学高二上学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.复数z 1=2+i ，z 2=−1+i ，则z 1z 2的共轭复数对应点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.下列说法正确的是( )A. 命题“∃x ∈R 使得x 2+2x +3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3>0”B. “p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C. 已知线性回归方程是ŷ=2x +3，当变量x 的值为5时，其估计值为13 D. 若a ，b ∈[0,2]，则不等式a 2+b 2<14成立的概率是π163.设函数，为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是( ) A.B.C.D.4.已知直线a ，b ，平面α，β，下列命题正确的是( )A. 若a//α，b//a ，则b//αB. 若α//β，b//α，则b//βC. 若a//α，b//α，a ⊂β，b ⊂β，则α//βD. 若α//β，a ⊂α，则a//β5.用数学归纳法证明：“，在验证n =1时，左端计算所得的项为( )A. 1B.C.D.6.已知点A(4,1,3)，B(2,−5,1)，C 为线段AB 上靠近A 点的三等分点，则点C 的坐标为( )A. (143,3,113)B. (83,−3,53)C. (103,−1,73)D. (52,−72,32)7.若a 、b 为非零实数，则以下四个命题都成立：①a +1a ≠0；②(a +b)2=a 2+2ab +b 2；③若|a|=|b|，则a =±b ；④若a 2=ab ，则a =b ，则对于任意非零复数a 、b ，上述命题中仍为真命题的个数为( )个A. 1B. 2C. 3D. 48.已知双曲线C 的中心在坐标原点，渐近线方程为y =±2x ，且它的个焦点为(√5,0)，则双曲线C 的实轴长为( )A. 1B. 2C. 4D. 2√59.已知直线x +y −a =0与圆x 2+y 2=2交于A 、B 两点，O 点坐标原点，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足条件|2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则实数a 的值为( ) A. √2B. −√2C. ±1D. ±√210. 已知两点，，点P 为坐标平面内一动点，且，则动点到点的距离的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 611. 已知直线l 与平面α平行，P 是直线l 上的一定点，平面α内的动点B 满足：PB 与直线l 成30°.那么B点轨迹是( )A. 两直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线12. 如图所示，F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该椭圆的交点分别为A 、B 、C 、D ，若三角形F 2AB 为等边三角形，则椭圆的离心率为( )A. √3−1B. √2+1C. √2+12D.√3−12二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x 与y 之间的一组数据为：则y 与x 的回归直线方程ŷ=bx +a 必过定点______． x 1 23 4 y356−m6+m14. 在右图的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率是______ ．15.已知A是双曲线=1(a>0,b>0)的左顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若=λ，则双曲线的离心率为________．16.如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则Rr=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设有关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0(Ⅰ)若a是从1，2，3，4，5五个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(Ⅱ)若a是从区间[1,5]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．18.我们已经学过了等差数列，你是否想到过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n}的奇数项与偶数项各有什么特点？并加以说明．19.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1，∠CAB=．(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB=2，BC=，求三棱锥C1−ABA1的体积．20.如图，已知F为椭圆x24+y23=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．(1)求证：1AB +1CD为定值；(2)若直线CD交直线l：x=−32于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．21.如图，在各棱长均相等的三棱柱ABC−A1B1C1中，设D是BB1的中点，直线C1D与棱CB的延长线交于点E．(Ⅰ)求证：直线AE//平面A1CD；(Ⅱ)若A1C⊥C1E，求证：侧面A1ACC1⊥底面ABC．22.已知椭圆的焦点坐标分别为A(1,0)，B(−1,0)，点Q(−32,√214)在该椭圆上．(Ⅰ)求该椭圆的标准方程；(Ⅱ)若点M(m,n)在椭圆上运动，求m+2n的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：解：由z 1=2+i ，z 2=−1+i ，则z 1z 2=2+i −1+i =(2+i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−3i 2=−12−32i ．所以z 1z 2的共轭复数为−12+32i ，对应的点为(−12,32)， 故选：B ．利用复数的除法运算化简z 1z 2，求出其共轭复数，则对应的点可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2.答案：C解析：本题考查命题的真假判断与应用，考查存在命题的否定及充分必要条件的判定方法，考查几何概型概率的求法，以及线性回归方程，属于中档题．根据存在命题的否定是全称命题，直接写出命题的否定判断A ；由复合命题的真假判断与充分必要条件的判定方法判断B ；由线性回归方程求出预报变量的估计值判断C ；根据几何概型概率判断D ． 解：命题“∃x ∈R 使得x 2+2x +3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3≥0”，故A 错误； 若p ∧q 为真命题，则p 、q 均为真命题，可得p ∨q 为真命题，反之，若p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题，则p ∧q 不一定为真命题， 故“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故B 错误；线性回归方程是y ̂=2x +3，当变量x 的值为5时，其估计值为2×5+3=13，故C 正确； 由a ，b ∈[0,2]，如图，满足不等式a 2+b 2<14成立的概率是14×π×(12)24=π64，故D 错误． ∴说法正确的是C ．。
安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期第四次统考数学(理)试题
A． B． C．1D．
3．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．以下说法错误的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．若命题 存在 ，使得 ，则 :对任意 ，都有
双曲线 的渐近线为： .
点 到渐近线 的距离为： .
故选B.
3．C
【详解】
若 ， ， ，则直线 与 可能平行或异面，A错误；
若 ， ，且 ，则直线 与 可能平行或相交或异面，B错误；
若 ， ， ，则 ，若 ，则 可能平行，D不正确；
选C.
4．D
【分析】
根据逆否命题定义、命题否定的定义分别判断出 正确；解方程得到解集和 的包含关系，结合充要条件的判定可知 正确；根据复合命题的真假性可知 错误，由此可得结果.
A． B． C．2D．
7．（2021年天津卷文）设变量x，y满足约束条件 则目标函数 的最大值为
A．6B．19C．21D．45
8．已知椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2： –y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则
A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e2＜1
点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
14．当圆 的圆心到直线 的距离最大时， __________．
2020-2021学年安徽省六安市舒城中学高二上学期期末数学试卷(理科) (解析版)
2020-2021学年安徽省六安市舒城中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（共12小题）.1．设a是实数，且是实数，则a＝（）A．B．1C．D．22．若a∈R，则a＝2是（a﹣1）（a﹣2）＝0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知a＞0且a≠1，如图所示的程序框图的输出值y∈[4，+∞），则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．（，1）C．（1，2）D．[2，+∞）4．设m、n是两条不同的直线，α是平面，m、n不在α内，下列结论中错误的是（）A．m⊥α，n∥α，则m⊥n B．m⊥α，n⊥α，则m∥nC．m⊥α，m⊥n，则n∥αD．m⊥n，n∥α，则m⊥α5．利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n＞2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对6．在四面体O﹣ABC中，＝，＝，＝，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝（）A．﹣+B．﹣+C．++D．++7．已知命题“∀x∈R，ax2+4x﹣1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（﹣∞，4）C．[﹣4，+∞）D．[4，+∞）8．若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为3，则的最小值为（）A．B．1C．D．29．过点引直线l与曲线交于A，B两点，O为坐标原点，当OA⊥OB 值时，直线l的斜率等于（）A．B．C．D．10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（）A．4B．8C．16D．3211．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，P为地面ABCD内一动点，设PD1、PE与地面ABCD所成的角分别为θ1、θ2（θ1、θ2均不为0），若θ1＝θ2，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线12．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）具有较强的线性相关性，该产品的广告投入x（万元）与相应的销售额y（万元）的几组对应数据如表所示：x1234y356a 若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为＝2x+0.75，则表中a的值为．14．长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为．15．在双曲线﹣＝1上有一点P，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，△F1PF2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是．16．在菱形ABCD中，，，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣BD﹣C的大小为，三棱锥P﹣BCD的外接球球心为O，则三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为．三、解答题（共6小题）.17．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动．开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查．已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人．如表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表．分组频数频率[6，6.5）50.10[6，5.7）x y[7，7.5）70.14[7.5，8）120.24[8，8.5）z0.20[8.5，9]80.16合计501（1）求该校高二学生的总数；（2）求频率分布表中实数x，y，z的值；（3）已知日睡眠时间在区间[6，6.5）内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率．18．已知经过圆C1：x2+y2＝r2上点（x0，y0）的切线方程是x0x+y0y＝r2．（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆C2：＝1（a＞b＞0）上一点（x0，y0）的切线方程；（2）已知椭圆E：＝1，P为直线x＝3上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A、B，①求证：直线AB过定点．②当点P到直线AB的距离为时，求三角形PAB的外接圆方程．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起使平面ADM ⊥平面ABCM．（1）求证：BM⊥AD；（2）求直线DC与平面DAB所成角的正弦值．20．已知抛物线C：y2＝2px过点A（1，2）．（1）求抛物线C的方程；（2）求过点P（3，﹣2）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．21．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，DE⊥平面ABCD，BF ⊥平面ABCD，，DE＞BF，∠ABC＝120°．（1）当BF长为多少时，平面AEF⊥平面CEF？（2）在（1）的条件下，求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．22．已知动点C是椭圆Ω：上的任意一点，AB是圆G：的一条直径（A，B是端点），•的最大值是．（1）求椭圆Ω的方程；（2）已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1，F2，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P，Q两点．在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共12小题）.1．设a是实数，且是实数，则a＝（）A．B．1C．D．2【解答】解．设a是实数，＝是实数，则a ＝1，故选：B．2．若a∈R，则a＝2是（a﹣1）（a﹣2）＝0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：∵（a﹣1）（a﹣2）＝0，∴a＝1或a＝2，根据充分必要条件的定义可判断：若a∈R，则a＝2是（a﹣1）（a﹣2）＝0的充分不必要条件，故选：A．3．已知a＞0且a≠1，如图所示的程序框图的输出值y∈[4，+∞），则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．（，1）C．（1，2）D．[2，+∞）解：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出分段函数y＝的值，当x≤2时，y＝﹣x+6≥4恒成立，当x＞2时，由y＝3+log a2≥4得：log a2≥1，解得：a∈（1，2]，故选：A．4．设m、n是两条不同的直线，α是平面，m、n不在α内，下列结论中错误的是（）A．m⊥α，n∥α，则m⊥n B．m⊥α，n⊥α，则m∥nC．m⊥α，m⊥n，则n∥αD．m⊥n，n∥α，则m⊥α解：对于A，若m⊥α，则m垂直α内的所有直线，又n∥α，则α内有直线与n平行，则m⊥n，故A正确；对于B，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，可得m∥n，故B正确；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误．故选：D．5．利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n＞2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对解：当n＝k时，左端＝+++…+，那么当n＝k+1时左端＝++…+++，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项，故选：C．6．在四面体O﹣ABC中，＝，＝，＝，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝（）A．﹣+B．﹣+C．++D．++解：＝＝+＝+（+）＝+（﹣+﹣）＝++，∴＝++．故选：C．7．已知命题“∀x∈R，ax2+4x﹣1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（﹣∞，4）C．[﹣4，+∞）D．[4，+∞）解：命题“∀x∈R，ax2+4x﹣1＜0”是假命题，它的否定命题：“∃x∈R，ax2+4x﹣1≥0”是真命题；当a＝0时，不等式化为4x﹣1≥0，解得x≥，满足题意；当a≠0时，若x2＞0，则不等式化为a≥﹣＝﹣4，所以a≥﹣4，且a≠0；综上知，实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．故选：C．8．若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为3，则的最小值为（）A．B．1C．D．2解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为3，可得＝3，所以b2＝8a2，则＝＝2a+≥2＝2，当且仅当a＝时，取等号．所以的最小值为2．故选：D．9．过点引直线l与曲线交于A，B两点，O为坐标原点，当OA⊥OB 值时，直线l的斜率等于（）A．B．C．D．解：由，得x2+y2＝1（y≥0），直线l与曲线交于A，B两点，如图所示：，且当∠AOB＝90°时，S△AOB面积最大，此时|AB|＝，点O到直线l的距离为d＝．又|OC|＝，则∠OCB＝30°，∴直线l的斜率k＝tan30，故选：A．10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（）A．4B．8C．16D．32解：∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），准线为x＝﹣2∴K（﹣2，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0）∵，又AF＝AB＝x0﹣（﹣2）＝x0+2∴由BK2＝AK2﹣AB2得y02＝（x0+2）2，即8x0＝（x0+2）2，解得A（2，±4）∴△AFK的面积为故选：B．11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，P为地面ABCD内一动点，设PD1、PE与地面ABCD所成的角分别为θ1、θ2（θ1、θ2均不为0），若θ1＝θ2，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线解：建系如图，设正方体的边长为2，则E（2，0，1），D1（0，0，2），设P（x，y，0）（x≥0，y≥0），则＝（2﹣x，﹣y，1），＝（﹣x，﹣y，2），∵θ1＝θ2，＝（0，0，1），∴cosθ1＝cosθ2，即＝，代入数据，得：＝，整理得：x2+y2﹣x+＝0，变形，得：+y2＝（0≤y≤），即动点P的轨迹为圆的一部分，故选：B．12．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFBN为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|＝2a∠ABF＝α，则：∠ANF＝α．所以：2a＝2c cosα+2c sinα利用e＝＝所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A．二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）具有较强的线性相关性，该产品的广告投入x（万元）与相应的销售额y（万元）的几组对应数据如表所示：x1234y356a 若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为＝2x+0.75，则表中a的值为9．解：由题意可知：产量x的平均值为＝（1+2+3+4）＝2.5，由线性回归方程为＝2x+0.75，过样本中心点（，），则＝2+0.75＝2×2.5+0.75＝5.75，解得：＝5.75，由＝（3+5+6+a）＝5.75，解得：a＝9，表中a的值为9，故答案为：9．14．长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为．解：根据几何概型得：取到的点到O的距离大于1的概率：＝＝．故答案为：15．在双曲线﹣＝1上有一点P，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，△F1PF2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是5．解：设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）＝2a，m+d＝2c，（m﹣d）2+m2＝（m+d）2，解得m＝4d＝8a，c＝d，a＝d，故离心率e＝＝5．故答案为：5．16．在菱形ABCD中，，，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣BD﹣C的大小为，三棱锥P﹣BCD的外接球球心为O，则三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为112π．解：∵四边形ABCD是菱形，A＝，∴△BCD是等边三角形，过球心O作OO′⊥平面BCD，则O′为等边△BCD的中心，取BD的中点为E，则BD⊥PE且BD⊥EC，由二面角P﹣BD﹣C的大小为，得∠PEC＝，即∠OEC＝．∵AB＝4，∴AE＝EC＝6，O′E＝EC＝2，在Rt△OEO′中，由∠OEC＝，可得OE＝4．在△OEC中，OC2＝OE2+EC2﹣2OE•ECC•cos∠OEC＝28，即OC＝2，设三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，即R＝2，∴三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为4πR2＝112π．故答案为：112π．三、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动．开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查．已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人．如表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表．分组频数频率[6，6.5）50.10[6，5.7）x y[7，7.5）70.14[7.5，8）120.24[8，8.5）z0.20[8.5，9]80.16合计501（1）求该校高二学生的总数；（2）求频率分布表中实数x，y，z的值；（3）已知日睡眠时间在区间[6，6.5）内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率．解：（1）设该校高二学生总数为n，由题意＝，解得n＝600，∴该校高二学生的总数为600人．（2）由题意＝0.2，解得z＝10，x＝50﹣5﹣7﹣12﹣10﹣8＝8，y＝＝0.16．（3）记”选中的3人恰好为两男一女“为事件A，记5名高二学生中女生为A，B，男生为a，b，c，从中任选3人包含的基本事件有10种情况，它们是等可能的，这10种情况分别为：（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c），事件A包含的基本事件有（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），共6个，∴选中的3人恰好为两男一女的概率P（A）＝＝．18．已知经过圆C1：x2+y2＝r2上点（x0，y0）的切线方程是x0x+y0y＝r2．（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆C2：＝1（a＞b＞0）上一点（x0，y0）的切线方程；（2）已知椭圆E：＝1，P为直线x＝3上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A、B，①求证：直线AB过定点．②当点P到直线AB的距离为时，求三角形PAB的外接圆方程．解：（1）切线方程为：．（2）设切点为A（x1，y2），B（x2，y2），点P（3，t），由（1）的结论的AP直线方程：，BP直线方程：，通过点P（3，t），∴有，∴A，B满足方程：，∴直线AB恒过点：即直线AB恒过点（2，0）．又∵已知点P（3，t）到直线AB的距离为．∴⇒5t4﹣4t2﹣1＝0，（5t2+1）（t2﹣1）＝0，∴t＝±1．当t＝1时，点P（3，1），直线AB的方程为：x+2y﹣2＝0．求得交点．设△PAB的外接圆方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入得，解得：△PAB的外接圆方程为x2+y2﹣3x﹣2y+1＝0即△PAB的外接圆方程为：．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起使平面ADM ⊥平面ABCM．（1）求证：BM⊥AD；（2）求直线DC与平面DAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB＝2AD，M是DC的中点，所以，所以AM2+BM2＝AB2，故AM⊥BM，又平面ADM⊥平面ABCM，且平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM，所以BM⊥平面ADM，又AD⊂平面ADM，所以BM⊥AD；（2）解：过M作平面ABCM的垂线Mz，以M为原点，MA，MB，Mz为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，设AD＝1，则＝，所以A（，0，0），，，则，，设平面DAB的法向量为，则，令x＝1，则y＝z＝1，所以，故，所以直线DC与平面DAB所成角的正弦值为．20．已知抛物线C：y2＝2px过点A（1，2）．（1）求抛物线C的方程；（2）求过点P（3，﹣2）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．解：（1）抛物线C：y2＝2px过点A（1，2）．得2p＝4，所以抛物线方程为y2＝4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x﹣3＝t（y+2），代入抛物线方程得y2﹣4ty﹣8t﹣12＝0．所以△＝16t2+32t+48＞0，y1+y2＝4t，y1y2＝﹣8t﹣12．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以k1•k2＝＝＝＝＝﹣2．所以k1•k2为定值﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，DE⊥平面ABCD，BF ⊥平面ABCD，，DE＞BF，∠ABC＝120°．（1）当BF长为多少时，平面AEF⊥平面CEF？（2）在（1）的条件下，求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．解：（1）连接BD交AC于点O，则AC⊥BD．取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE．∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD．∴OG，AC，BD两两垂直．∴以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），设，由题意，得，，∴，，设平面AEF，平面CEF的法向量分别为，，由，，得，∴，解得．取，得．同理可求．若平面AEF⊥平面CEF，则，∴，解得或（舍），即BF长为时，平面AEF⊥平面CEF；（2）当时，，∴，，则EF⊥AF，EF⊥CF，∴EF⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为，设平面AEC的一个法向量为，则，即，取，得．从而．故所求的二面角E﹣AC﹣F的余弦值为．22．已知动点C是椭圆Ω：上的任意一点，AB是圆G：的一条直径（A，B是端点），•的最大值是．（1）求椭圆Ω的方程；（2）已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1，F2，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P，Q两点．在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）设点C的坐标为（x，y），椭圆Ω：，连接CG，由＝+，＝+＝﹣，又G（0，2），可得•＝2﹣2＝x2+（y﹣2）2﹣＝a（1﹣y2）+（y﹣2）2﹣＝﹣（a﹣1）y2﹣4y+a+，其中y∈[﹣1，1]．因为a＞1，故当y＝≤﹣1，即1＜a≤3时，取y＝﹣1，得•有最大值﹣（a﹣1）+4+a+＝，与条件矛盾；当y＝＞﹣1，即a＞3时，•的最大值是：，由条件得＝，即a2﹣7a+10＝0，解得a＝5或a＝2（舍去）．综上所述，椭圆Ω的方程是+y2＝1．（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点坐标为（x0，y0），则满足＝1，＝1，两式相减，整理得＝﹣＝﹣，从而直线PQ的方程为y﹣y0＝﹣（x﹣x0），又右焦点F2的坐标是（2，0），将点F2的坐标代入PQ的方程得﹣y0＝﹣（2﹣x0），因为直线l与x轴不垂直，故2x0﹣x＝5y＞0，从而0＜x0＜2．假设在线段OF2上存在点M（m，0）（0＜m＜2），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ的垂直平分线必过点M，而线段PQ的垂直平分线方程是y﹣y0＝（x﹣x0），将点M（m，0）代入得﹣y0＝（m﹣x0），得m＝x0，从而m∈（0，）．。
2019-2020学年安徽省六安市高二上学期开学考试数学（理）试题
2019-2020学年安徽省六安市第一中学高二上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．若集合(){}{|10,|A x x x B y y =+≥==，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．AB R =D ．A B =【答案】A【解析】解出A ，B 集合，即可选出答案。
【详解】A 集合：()101x x x +≥⇒≤-或0x ≥ B集合：y =0y ⇒≥根据不等式关系知B A ⊆。
选A 【点睛】本题主要考查集合与集合之间的关系，属于基础题。
2．已知方程2(2)50x m x m ++++=有两个正根，则实数m 的取值范围是（ ） A.2m <- B.4m ≤- C.5m >- D.54m -<≤-【答案】D【解析】根据实根分布列方程组，解得实数m 的取值范围. 【详解】因为方程()2250x m x m ++++=有两个正根，所以2(2)4(5)044(2)0254505m m m m m m m m m ⎧+-+≥≤-≥⎧⎪⎪-+>∴<-∴-<≤-⎨⎨⎪⎪+>>-⎩⎩或，选D. 【点睛】研究二次方程实根分布，一般需从以下四个方面研究（1）开口方向，（2）判别式，（3）对称轴，（4）区间端点函数值.3．已知()()sin 2,2ππθπθθ+=-<，则cos2θ为（ ）A ．12-B ．3-C ．12D ．3 【答案】A【解析】利用三角恒等变换化简可得sin 3cos θθ=.根据2πθ<解出3sin θ=，再代入公式2cos 2=12sin θθ-即可。
【详解】()()sin 3cos 2πθπθ+=--sin 3cos θθ⇒-=-即sin 3cos θθ=又2πθ<3sin θ⇒=21cos 2=12sin 2θθ-=-故选A. 【点睛】本题考查三角恒等变换、余弦的二倍角公式，属于基础题。
4．已知点是所在平面内一点，且满足，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，根据向量的线性运算可得，进而得到，即可求得，得到答案. 【详解】由题意，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，利用向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．13B．32C．34D．3【答案】B【解析】先由三视图判断该几何体为底面是直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式即可求出结果.【详解】据三视图分析知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，且三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1331313322V=⨯=.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图求几何体的体积，属于基础题型.6．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为()A．12B．9C．18 D．27【答案】B【解析】利用对数换底公式化简即可得到结果. 【详解】由题意得482348lg lg lgmlg lg lg⋅⋅=，∴3lgmlg＝2，即lg m＝2lg 3＝lg 9.∴m＝9，故选：B.【点睛】本题考查了对数换底公式，考查了计算能力，属于基础题.7．设等比数列{}n a 的前n 项和为24,1,5n S S S =-=-，则6S =（ ） A.9- B.21-C.25-D.63-【答案】B【解析】由等比数列性质得242,S S S -，64S S -成等比数列，即()()261551S -⨯+=-+，解方程即得解.【详解】由等比数列性质得242,S S S -，64S S -成等比数列，即()()266155121S S -⨯+=-+∴=-,故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等比数列.8．已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则αβ；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④若,,m n m n αβ，则αβ.其中正确的命题是（ ） A ．①② B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假． 【详解】 ①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，如图，则α与β不一定垂直，故①为假命题；②若,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则αβ；故②为真命题；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥，故③为真命题；④若,,m n m n αβ，如图，则α与β可能相交，故④为假命题．故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．9．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ） A ．10,45,60b A C === B ．6,5,60a c B === C ．7,5,60a b A === D ．14,16,45a b A ===【答案】D 【解析】【详解】对于A,75B =，三角形只有一解；对于B ，222cos 31b a c ac B =+-=，三角形只有一解； 对于C ，sin 5sin 114b A B a ==<，又a>b,∴角B 为小于60的锐角，即三角形只有一解；对于D ，sin 2sin 17b A B a ==<，又a<b,∴角B 为锐角或钝角，即三角形有两解，故选D10．要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos （2x 4π-）的图象上所有的点( ) A ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移8π个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的12 (纵坐标不变)，再向左平移8π个单位长度【答案】B【解析】利用诱导公式、函数y ＝A sin （ωx +ϕ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】将函数y =cos （2x 4π-）的图象上所有的点横伸长到原来的2倍， 可得y =cos （x 4π-）的图象， 再向右平移4π个单位，可得y c =os （x 2π-）=sin x 的图象， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y ＝A sin （ωx +ϕ）的图象变换规律，属于基础题． 11．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ）A.1B.2C.-1D.-2【答案】D【解析】由OA OB =可得，O 在AB 的中垂线上，结合圆的性质可知O 在两个圆心的连线上，从而可求. 【详解】因为OA OB =，所以O 在AB 的中垂线上，即O 在两个圆心的连线上，()0,0O ，()1,6C m m +，()21,2C -三点共线，所以62m m+=-，得2m =-，故选D. 【点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.12．设函数222,1()32,1x a x f x x ax a x ⎧-<=⎨-+≥⎩，若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1[2,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,1(2,)2⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭【答案】C【解析】通过f （x ）恰有2个不同的零点，转化判断①两个零点一个大于1一个小于1，②两个零点均大于1，结合图象，推出结果． 【详解】2,1()()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，易知当0a ≤时，函数无零点.当0a >时，分两种情况：①两个零点一个大于1一个小于1，如图：则020121a a a a >⎧⎪->⎪⎨<⎪⎪≥⎩，解得112a ≤<；②两个零点均大于1，如图：则020121a a a a >⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，解得2a ≥.综上，实数a 的取值范围为1,1[2,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选C.【点睛】本题考查函数的零点的应用，函数与方程的应用，考查数形结合思想及分类讨论思想的应用，属于较难题．二、填空题13．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3376S T =，则22a b =__________． 【答案】76【解析】分析：首先根据等差数列的性质得到32323,3S a T b ==，利用分数的性质，将项的比值转化为和的比值，从而求得结果. 详解：根据题意有3222233736S a a b b T ===，所以答案是76. 点睛：该题考查的是有关等差数列的性质的问题，将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值，结论为2121m m m m a S b T --=，从而求得结果. 14．已知()3tan 1f x ax b x =++，满足()57f =，则()5f -=_____。
2022-2023学年安徽省六安市舒城中学高二上学期开学考试数学试题(解析版)
2022-2023学年安徽省六安市舒城中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知全集为,R 集合211,{|680}2xA xB x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=-+≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则RAB =（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}24x x ≤≤C ．{02x x ≤<或}4x >D ．{02x x <≤或}4x ≥【答案】C【解析】根据指数不等式求解出121x⎛⎫⎪⎭≤⎝的解集为集合A ，再求解出一元二次不等式的解集为集合B ，结合补集、交集的概念求解出R A B ⋂. 【详解】因为121x⎛⎫⎪⎭≤⎝，所以0x ≥，所以{}0A x x =≥，又因为2680x x -+≤，所以24x ≤≤，所以{}24B x x =≤≤，所以{R 2B x x =<或}4x >，所以RA B ={02x x ≤<或}4x >，故选：C.2．设i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=，则||(z = )A ．1BC ．2D ．【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可． 【详解】由(1)2z i i -=，得22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====-+--+，||z ∴=B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算． 3．函数()21sin 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，结合(2)f 的符号，应用排除法确定答案.【详解】由22()(1)sin()(1)sin ()1e 1e x x f x x x f x --=-⋅-=-⋅=++且定义域为R ， 所以()f x 为偶函数，排除C 、D ；22(2)(1)sin 21e f =-⋅+，且22101e -<+，sin 20>，即(2)0f <，排除B. 故选：A4．正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CD 的中点，则异面直线CE 和AF 所成角的余弦值为（ ） A 5B ．13C ．23D 3【答案】C【分析】连接BF ，取BF 的中点O ，连接EO ，则可得EO ∥AF ，所以可得OEC ∠异面有线CE 和AF 所成角，然后利用余弦定理求解即可 【详解】连接BF ，取BF 的中点O ，连接EO ， 因为E 为AB 的中点， 所以EO ∥AF ，所以OEC ∠为异面有线CE 和AF 所成角或其补角，设正四面体的棱长为2，则2AB BC AC CD AD BD ======，3AF CE BF ===所以3OE OB OF ===223714OC CF OF =+=+所以在OCE △中，由余弦定理得222373244cos 233232OE CE OC OEC OE CE +-+-∠==⋅⨯⨯,所以异面有线CE 和AF 所成角的余弦值为23， 故选：C5．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A ．12B ．512 C ．14D ．16【答案】B【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况， 则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=2 3×14+13×34=512故选B.6．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．7．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4322,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．592,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)22,⎡+∞⎣【答案】C【分析】根据余弦定理和ABC 的面积公式，结合题意求出sin A 、cos A 的值，再用C 表示B ，求出sin sin b B c C =的取值范围，即可求出222b c bc+的取值范围．【详解】解：在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又(0,)2A π∈，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去）， 所以sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C cC C C C ++====+， 因为ABC 为锐角三角形，所以02C <<π，2B AC ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221212222b c b c t t bc c b t t ⎛⎫ ⎪+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 由对勾函数单调性知12y t t =+在325⎛ ⎝⎭上单调递减，在253⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， 当2t =时，2y =35t =时，4315y =；当53t =时，5915y =；所以5922,15y ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈，即222b c bc+的取值范围是5922,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：C.【点睛】关键点点睛：由2222b c b cbc c b+=+，所以本题的解题关键点是根据已知及sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C c C C C C ++====+求出b c的取值范围. 8．已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.二、多选题9．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】根据正方体截面过外接球球心，讨论截面是否过顶点及所过顶点个数、是否与侧面平行，即可判断截面图形的元素.【详解】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A ； 当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C ；当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B 正确，D 错误. 故选：ABC10．计算下列各式的值，其结果为1的有（ ） A ．()cos 4013tan10+B ．1132cos80sin80⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．()sin1403tan190-D ．4sin18sin54︒︒⋅【答案】ACD【分析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解. 【详解】对于A ，()3sin10cos103sin10cos 4013tan10cos 401cos 40cos10cos10⎛⎫++=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()2sin 30102sin 40cos 40cos 40cos10cos10+=⋅=()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====，A 正确； 对于B ，()()2sin 80601131sin803cos802sin 2022cos80sin802sin80cos80sin160sin 18020-⎛⎫--=⋅=== ⎪ ⎪-⎝⎭，B 错误；对于C ，()sin1903cos190sin190sin1403tan190sin1403sin140cos190cos190⎛⎫--=-=⋅⎪⎝⎭()()2cos 301902cos 3601402sin140cos140sin140sin140cos190cos190cos190+-=⋅=⋅=()sin 19090sin 280cos1901cos190cos190cos190+====，C 正确；对于D ，()()s 47si o n 890290364c s72co 361sin544sin sin ︒︒︒︒︒︒︒︒=--=⋅⋅⋅()sin 180364cos72cos36sin362cos72sin 72sin144sin361sin36sin36sin36sin36sin36︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒-⋅⋅⋅======，D 正确. 故选：ACD.11．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（ ） A ．平均数为3，中位数为2 B ．中位数为3，众数为2 C ．平均数为2，方差为2.4 D ．中位数为3，方差为2.8【答案】ABD【分析】根据题意举例判断即可【详解】解：对于A ，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A 正确；对于B ，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B 正确；对于C ，若平均数为2，且出现点数6，则方差221(62) 3.2 2.45S >-=>，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C 错误；对于D ，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，则平均数为1(12336)35x =++++=，方差为2222221[(13)(23)(33)(33)(63)] 2.85S =-+-+-+-+-=，所以可以出现点6，所以D 正确， 故选：ABD12．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有( ) A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】ABD【分析】A ：()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，故203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； B ：求出区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点2x π=，由题可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭知512x π=是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()214k k +∈Z 倍即可求出ω，从而求出其周期； C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，据此即可求ω的范围. 【详解】A ，∵7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，∴203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确； B ，区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点为2x π=，∵203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (x )在75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴512(62322T T ππππω-==⋅为()f x 的最小正周期)，即ω3，又0>ω，∴03ω<.若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于直线512x π=对称，结合203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ，即()42k k ω=+∈Z ，故k ＝0，2,T ωπ==，故B 正确. C ，由03ω<，得23Tπ，∴()f x 在区间[)0,2π上最多有3个完整的周期，而()1f x =在1个完整周期内只有1个解，故关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，结合2T πω=，得81033ω<，又03ω<，∴ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题综合考察()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的()214k k +∈Z 倍.三、填空题13．已知向量a ，b ，其中3a =，2b =，且()a b a +⊥，则向量a 和b 的夹角是__________． 【答案】56π 【分析】利用()a b a +⊥得()0a b a +⋅=，可求出3cos ,2a b =-，从而求出向量a 和b的夹角.【详解】∵()a b a +⊥，∴()2332cos ,0a b a a a b a b +⋅=+⋅=+⨯=， 解得:3cos ,2a b =-， [],0,a b π∈所以夹角为56π． 故答案为：56π 【点睛】本题主要考查了向量垂直数量积为0，向量数量积的定义，属于基础题.14．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3 【分析】求出36x π+的范围，再由函数值为零，得到36x π+的取值可得零点个数．【详解】详解：0x π≤≤193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点．【点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．15．在ABC 中，D 是AB 的中点，BC =AC =cos ACB ∠=，则CD =________【分析】由1()2CD CA CB =+，应用向量数量积的运算律求CD 的长度.【详解】由题意，1()2CD CA CB =+，则2221(2)4CD CA CA CB CB =+⋅+，所以21(102418)134CD =⨯++=，则||13CD =16．已知在三棱锥P ABC -中， 90,4,30BAC AB AC APC ︒︒∠===∠=，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________． 【答案】80π【分析】根据已知条件确定,ABC PAC 的外接圆圆心12,O O ，及三棱锥P ABC -的外接球球心O 、AC 边中点H 的位置关系--四边形12OO HO 为矩形，进而应用正弦定理、侧面外接圆半径与外接球半径、点面距之间的关系，求外接球半径，即可求球的表面积. 【详解】如图12,O O 分别为,ABC PAC 的外心.由90BAC ∠=︒，即1O 为BC 中点，取AC 的中点,H 则1O H AC ⊥，又面PAC ⊥面ABC ，面PAC 面ABC AC =，1O H ⊂面ABC ，即1O H ⊥面,PAC 设球心为O ，则2OO ⊥平面,PAC∴12//O H OO ，又2O H AC ⊥，2O H ⊂面PAC ，面PAC 面ABC AC =，面PAC ⊥面ABC ，∴2O H ⊥平面ABC ，又1OO ⊥平面ABC . ∴12//OO O H ，即四边形12OO HO 为矩形. 由正弦定理知：228sin ACO P APC==∠，即24O P =，∴若外接球半径为R ，则2222216420R O P OO =+=+=，∴2480S R ππ==. 故答案为：80π.【点睛】关键点点睛：利用面面垂直、等腰直角三角形的性质，应用三棱锥侧面外接圆半径、外接球半径、点面距之间的几何关系，结合正弦定理求外接球半径，进而求表面积.四、解答题17．已知函数()23cos sin 33f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭x R ∈．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（Ⅰ）π;（Ⅱ）最小值12-和最大值14．【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将()f x 的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数()sin y A x B ωϕ=++的最小正周期计算公式2T πω=，即可求得函数()f x 的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值． 由已知，有()f x 的最小正周期．（2）∵()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数()f x 在闭区间上的最大值为，最小值为．【解析】1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．18．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者. （i ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i ）35；（ii ）10.【分析】(1) 根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这m 人的平均年龄；设第80百分位数为a ，计算从左到右频率和为0.8或计算从右到左频率和为0.2，即可求出a ；(2)（i ）由题意可得，第四组应抽取4人，记为A ，B ，C ，甲，第五组抽取2人，记为D ，乙，根据古典概型计算方法求解即可； （ii ）根据方差的计算原理计算合并后方差即可. 【详解】解：（1）设这m 人的平均年龄为x ，则22.50.0527.50.3532.50.337.50.242.50.132.25x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）. 设第80百分位数为a ，方法一：由50.02(40)0.040.2a ⨯+-⨯=，解得37.5a =. 方法二：由0.050.350.3(35)0.040.8a +++-⨯=，解得37.5a =.（2）（i ）由题意得，第四组应抽取4人，记为A ，B ，C ，甲，第五组抽取2人，记为D ，乙，对应的样本空间为：{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A A A D B C B B B D C C Ω=甲乙甲乙甲乙 (,),(,),(,),(,)}C D D D 甲乙甲乙，共15个样本点. 设事件M =“甲、乙两人至少一人被选上”，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}M A A B B C C D D =甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙，共有9个样本点. 所以，()3()()5n M P M n ==Ω. （ii ）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ，则437x =，543x =，2452s =，251s =， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s . 则4542396x x z +==， ()(){}222224545142106s s x z s x z ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.19．如图，在正三棱柱111-ABC A B C 中，D 为AB 的中点，若2AB =，13AA =.（1）证明：1//BC 平面1A CD ； （2）求二面角11A BC C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3【分析】(1) 连接1AC ，交1A C 于O ，连接OD ，结合三角形的中位线定理可证明1//OD BC ，由线面平行的判定定理可证1//BC 平面1A CD .(2) 取11B C 中点M ，过M 作1MN BC ⊥于N ，连接1NA ，通过线面、面面垂直的性质可得1A NM ∠为二面角111A BC B --的平面角，即可求出1tan A NM ∠，由同角三角函数的基本关系可求出1cos A NM ∠，即可求出二面角11A BC C --的余弦值. 【详解】解：（1）证明：连接1AC ，交1A C 于O ，连接OD ，因为四边形11A ACC 为矩形，所以O 为1A C 中点，又因为D 为AB 的中点， 所以1//OD BC ，又因为OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ， 所以1//BC 平面1A CD .（2）解：取11B C 中点M ，过M 作1MN BC ⊥于N ，连接1NA ，因为111-ABC A B C 为正三棱柱，所以111A M B C ⊥，平面111A B C ⊥平面1A CD ， 所以1A M ⊥平面11BB C C ，于是1A N 在平面11BB C C 内的射影为MN ， 所以11BC A N ⊥，所以1A NM ∠为二面角111A BC B --的平面角，所以11222sin 6013tan 1233223A M A NM MN ⋅︒∠===⨯⨯+，12113cos 41tan A NM A NM∠==+∠， 因为二面角11A BC C --与二面角111A BC B --互补， 所以二面角11A BC C --的余弦值为34-.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是做辅助线，在平面1A CD 中构造与1BC 的线段；第二问的关键是找出二面角111A BC B --的平面角.20．已知ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin tan cos cos B CA B C+=+.（1）求角A ；（2）若a =2b c +的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）.【解析】（1）由切化弦思想结合两角差的正弦公式得出()()sin sin A B C A -=-，求出A B -和C A -的取值范围，可得出A B C A -=-或()()A B C A π-+-=±（不成立），结合三角形的内角和定理可得出角A 的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换思想得出()2b c B ϕ+=+，其中ϕ为锐角，且sinϕ=，cos ϕ求得角B 的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得2b c+的取值范围.【详解】（1）由sin sin tan cos cos B C A B C +=+得sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+，即sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=-，所以()()sin sin A B C A -=-，0A π<<，0B π<<，A B ππ∴-<-<，同理C A ππ-<-<，所以，A B C A -=-或()()A B C A π-+-=±（不成立）， 所以2B C A +=，又B C A π++=，则3A π=；（2）由正弦定理得2sin sin sin b c aB C A ===，所以2sin b B =，2sin c C =. 因为3A π=，所以23C B π=-，所以()()222sin 2sin 22sin 3b c B B B B B πϕ⎡⎤⎛⎫+=+-==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中ϕ为锐角，且sinϕ=，cos ϕ因为203B π<<，所以23B πϕϕϕ<+<+，易知sin y x =在,2πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,23ππϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2B πϕ+=时，2b c +取得最大值又21sin sin sin 32πϕϕϕϕ⎛⎫+=-<= ⎪⎝⎭，所以()2b c B ϕ+=+>故2b c +的取值范围为.【点睛】本题考查三角形中角的计算，同时也考查了三角形中与边长相关的代数式的取值范围的计算，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求a ，b 的值（2）若不等式()22log 2log 0f x k x -⋅≥在[]2,4x ∈上有解，求实数k 的取值范围；（3）若()2213021xx f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）1,0a b ==；（2）1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）(0,)+∞．【分析】（1）判断函数在[2,3]上的单调性，得出最大值和最小值，由此可求得,a b ； （2）设2log [1,2]t x =∈，利用分离参数法，题中问题为22121211k t t t ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭在[1,2]t ∈上有解，求出2121t t+-的最大值即可得． （3）把方程化简，并设21x t =-，方程化为2(32)(21)0t k t k -+++=，结合21xt =-图象，方程2(32)(21)0t k t k -+++=有两个实数解12,t t ，则有101t <<，21t >，或101t <<，21t =，利用二次方程根的分布知识求得k 的范围．【详解】（1）由题意2()(1)1g x a x b a =-++-，又0a >，∴()g x 在[2,3]上单调递增，∴(2)4411(3)9614g a a b g a a b =-++=⎧⎨=-++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩．（2）由（1）2()21g x x x =-+，()1()2g x f x x x x==+-， [2,4]x ∈时，2log [1,2]x ∈，令2log t x =，则()20f t kt -≥在[1,2]上有解，1()2220f t kt t kt t -=+--≥，∵[1,2]t ∈，∴22121211k t t t ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭， [1,2]t ∈，则11,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为14， ∴124k ≤，即18k ≤．∴k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）原方程化为221(32)21(31)0x x k k --+-++=，令21xt =-，则(0,)t ∈+∞，2(32)(31)0t k t k -+++=有两个实数解12,t t ，作出函数21xt =-的图象，如图原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =， 记2()(32)(31)0h t t k t k =-+++=，则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩，解得0k >，或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，无解． 综上k 的取值范围是(0,)+∞．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式有解，考查根据函数零点求参数范围问题，解题关键是掌握利用零点存在定理构建不等式求解，分离参数后转化为函数函数的最值，涉及到几个零点时，还要老考虑函数图象与直线的交点个数，本题考查了分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力．22．如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ， AD CD ⊥，且22AD CD ==42BC =2PA =（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45︒，如果存在，求BM 与平面MAC 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，269. 【分析】（1）根据ABC 是等腰直角三角形，可得AB AC ⊥，依据PA ⊥平面ABCD ，可得PA AB ⊥，最后根据线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面P AC ，最后可得结果. （2）先找到二面角M AC D --的平面角，利用等体积法可求得点B 到平面MAC 的距离是h ，最后计算即可.【详解】（1）如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知22AD CD ==42BC =可得ABC 是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 又,,⊥=⊂PA AC A PA AC 平面P AC 所以AB ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC 所以AB PC ⊥． （2）如图假设存在符合条件的点M ，过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，MN ∴⊥平面ABCD ，MN AC ∴⊥．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则AC ⊥平面MNG ，AC NG ∴⊥，即MGN ∠是二面角M AC D --的平面角．若45︒∠=MGN ，则NG MN =，又22AN NG MN ==， 设MN x = ，则2=AN x ，2tan 2∠==PA MDN AD 所以2tan 1222∠===⇒=-MN x MDN x ND x 1MN ∴=，即M 是线段PD 的中点．存在点M 使得二面角M AC D --的大小为45︒．在三棱锥M ABC -中，11184413323△-=⋅=⨯⨯⨯⨯=M ABC ABC V S MN ，设点B 到平面MAC 的距离是h ，则13B MAC MACV Sh -=⋅，22MG MN ==，11422222△∴=⋅=⨯⨯=MAC S AC MG ， 182233h ⨯=，解得22h = 在ABN 中，4AB =，2AN 135︒∠=BAN ，2162242262BN ∴=++⨯⨯⨯2233BM BN MN ∴=+BM ∴与平面MAC 所成角的正弦值为26h BM 【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，空间角与空间距离的计算，属中档题．。
安徽省六安一中2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题文 【含答案】
安徽省六安一中2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题 文满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，且，则（ ）{}240A x x =-≤{}20B x x a +≤{}21A B x x =-≤≤ a =A.-4 B.-2 C.2 D.42.已知函数，则（ ）()212log ,01,1x x f x x x -<<⎧⎪=⎨⎪≥⎩()4f f =⎡⎤⎣⎦A.-1 B.1 C.2 D.43.在平行四边形中，E 为的中点，F 为的中点，则（ ）ABCD BC AE DF = A. B. C. D.1324AB AD - 1324AD AB - 1324AB AD + 1324AD AB + 4.已知圆锥的底面积和侧面积之比为1:2，则圆锥的轴与母线所成的角为（ ）A. B. C. D.512π3π4π6π5.已知是第二象限角，且，则（ ）θ3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. B. C. D.34-3443-436.函数的零点个数为（ ）()cos f x x x =-A.0 B.1 C.2 D.37.若函数在处取最小值，则（ ）()()22422x x f x x x -+=>-x a =a =A. B.2 C.4 D.61+8.已知，，，则（ ）2log 0.3a =0.3log 2b =0.32c =A. B. C. D.b a c <<a b c <<c b a <<a c b<<9.若，满足约束条件，则的最小值为（ ）x y 12111y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩z x y =-A.-9 B.-6 C.-3 D.-210.函数在的图像大致为（ ）sin x x x y e+=[]3,3- A. B.C.D.11.已知函数，则（ ）()22cos 2sin f x x x =-A.的最小正周期为，最大值为3B.的最小正周期为，最大值为1()f x 2π()f x 2πC.的最小正周期为，最大值为3D.的最小正周期为，最大值为1()f x π()f x π12.如图，在长方体中，，异面直线与所成角的余弦值1111ABCD A B C D -AB =4AD =BD 1AC 为，则该长方体外接球的表面积为（ ）115A. B. C. D.50π100π400π5003π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数____________________.y =14.在中，，，，则_________________.ABC △7b =23B π=13cos 14A =a =15.已知向量，满足，且，，则与的夹角为________________.a b ()()26a b a b +⋅-=- 1a = 2b = a b 16.已知定义在R 上的函数满足，且在上是增函数，当时，()f x ()()f x f x -=-[)0,+∞02πθ≤≤恒成立，则a 的取值范围是____________.()()sin sin 0f a f a θθ+->三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列满足，，其前n 项和为，且{}n a 212n n n a a a +++=*n N ∈n S .433a S ==-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前n 项和.121n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭18.（本小题满分12分）已知四棱锥的正视图为等腰直角三角形，俯视图中正方形的边长为3.P ABCD-（1）求四棱锥的体积；P ABCD -（2）若平面与平面的交线为，求证：.PAB PCD l //l CD 19.（本小题满分12分）已知角，的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆的交点为P 点，角αβα的终边上有一点.β)Q （1）若点P 的坐标为，求的值；43,55⎛⎫⎪⎝⎭()cos αβ+（2）若，函数，将的图像向左平移个单位后得到函数2a x =()f x OP OQ =⋅ ()f x 02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的图像，若的图像关于y 轴对称，求的单调递增区间.()y g x =()g x ()y g x =20.（本小题满分12分）已知数列的前n 项和为，.{}n a n S 233n n S a =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）记，设数列的前n 项和为，求证：.21n nn b a -={}n b n T 113n T ≤<21.（本小题满分12分）的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知.ABC △()cos 2cos a B c b A =-（1）求A ；（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.ABC △1a =ABC △22.（本小题满分12分）已知函数.()412ax xf x +=（1）若是偶函数，求a 的值；()f x （2）当时，若关于x 的方程在上恰有两个不同的实数解，求a 的4a <()22432f x x a -+++=[]1,2-取值范围.六安一中2020~2021年度高二年级第一学期开学考试数学试卷（文科）一、选择题：BAADD CCBCC DB二、填空题：13.14.315.16.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭23π(),0-∞三、解答题17.解：（1）∵，∴为等差数列212n n n a a a +++={}n a ∵，∴，∴，433a S ==-1133333a d a d +=-⎧⎨+=-⎩10a =1d =-∴.………………………………………………5分()111n a a n d n =+-=-（2）令，则121n n n C a a ++=()()()1211111111n n n C a a n n n n n n ++====-⋅---++∴的前n 项和为121n n a a ++⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭.………………10分12111111111223111n n C C C n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭18.（1）解：由题知该四棱锥的底面是边长为3的正方形，高.3PA =∴.………………………………5分11333933P ABCD V Sh -==⨯⨯⨯=（2）证明：∵，平面，平面，//CD AB CD ⊄PAB AB ⊂PAB ∴平面，.…………………………………………9分//CD PAB 又平面平面，平面，PAB PCD l =CD ⊂PCD ∴.……………………………………………………12分//l CD 19.解：（1）由三角函数的定义可得，，，4cos 5α=3sin 5α=cos β=1sin 2β=∴.………………………………5分()431cos cos cos sin sin 552αβαβαβ+=-=-⨯=（2）由题意，，∴()cos 2,sin 2P xx )Q ()2sin 22cos 26f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭∴()()2cos 22cos 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∵的图像关于y 轴对称，∴，∴()g x 26k πϕπ-=()212k k Z ππϕ=+∈∵，∴.………………………………………………9分02πϕ<<12πϕ=∴，令，得()2cos 2g x x =222k x k ππ-≤≤2k x k πππ-≤≤∴的单调递增区间为.……………………………………12分()g x (),2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦20.（1）解：∵233n n S a =-∴()112332n n S a n --=-≥两式相减，得，∴1233n n n a a a -=-()132n n a a n -=≥又∴为等比数列，公比为13a ={}n a 3q =∴.…………………………………………5分111333n n n n a a q --==⨯=（2）证明：，()212112133n n n n n n b n a --⎛⎫===-⨯ ⎪⎝⎭∴21321333n n n T -=+++231113232133333n n n n n T +--=+++ 两式相减，得23111211112111121213333333333n n n n n n n T +-+--⎛⎫⎛⎫=++++-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 化简得.………………………………………………9分113n nn T +=-∵，∴*n N ∈1n T <∴，∴11213n n n T +++=-()1111312122103333n n n n n n n n n n n T T +++++--+++-=-==>∴关于n 单调递增，∴，∴.…………………………12分n T ()1min 21133n T T ==-=113n T ≤<21.解：（1）解法一：由已知，得.cos cos 2cos a B b A c A +=由正弦定理，得，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即，()sin 2sin cos A B C A +=∵，∴.()sin sin A B C +=sin 2sin cos C C A =∵，∴sin 0C ≠1cos 2A =∵，∴.……………………………………………………6分0A π<<3A π=解法二：结合余弦定理，化简得()222222222a c b b c a a c b ac bc+-+-⨯=-⨯222b c a bc +-=∴2221cos 22b c a A bc +-==∵，∴.……………………………………………………6分0A π<<3A π=（2），且，，sin sin sin a b c A B C ==1a =3A π=∴，b B =c C =∴)21sin sin 1sin sin 3a b c B C B B π⎤⎛⎫++=+=++- ⎪⎥⎝⎭⎦.……………………………………………………9分12sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，所以得，得.ABC △022032B Bπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩62B ππ<<∴(12sin 16B π⎛⎫⎤++∈+ ⎪⎦⎝⎭即周长的取值范围为.……………………………………12分ABC △(1⎤+⎦22.解：（1）∵为偶函数∴()f x ()()f x f x -=∴414144222ax ax x ax xx x x---+++==化简得，∴.………………………………………………5分()14144a x ax x -+=+1a =（2）∵()()2141222ax a x x xf x --+==+∵，∴，都在R 上单调递减4a <-()212a x y -=2xy -=所以函数在R 上单调递减()y f x =又，∴()02f =()()22430f x x a f -+++=∴22430x x a -+++=∴，2243a x x =--[]1,2x ∈-由图像知，当时，方程在有两个不同的实根53a -<≤-2243a x x =--[]1,2-即方程在区间上恰有两个不同的实数解()22432f x x a -+++=[]1,2-∵，∴.……………………………………………………12分4a <-54a -<<-。
2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是（ ）A ．,sin 1x R x ∀∈>B ．,sin 1x R x ∀∈≥C ．00,sin 1x R x ∃∈>D ．00,sin 1x R x ∃∈≤ 【答案】C【解析】根据全称量词命题的否定是特称量词命题，即得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是特称量词命题，所以命题,sin 1x R x ∀∈≤的否定是00,sin 1x R x ∃∈>.故选：C .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.2．抛物线22x y =的焦点坐标是（ ）A ．（0,1）B ．（12，0）C ．（1,0）D ．（0，12） 【答案】D【解析】由抛物线焦点的定义直接求解即可.【详解】抛物线22x y =开口向上，焦点为（0，12）， 故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线焦点坐标的求解，解题的关键是将抛物线的方程写出标准方程，注意开口，属于基础题.3．已知,x y R ∈，则“1x >且1y >”是“2x y +>”的（ ）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】若1x >且1y >，则2x y +>显然成立，所以是充分条件.举反例判断必要条件不成立，即得答案.【详解】若1x >且1y >，则2x y +>显然成立，所以是充分条件.令0,3x y ==，满足2x y +>，但不满足1x >且1y >，所以不是必要条件. 所以“1x >且1y >”是“2x y +>”的充分非必要条件.故选：C .【点睛】本题考查充分必要条件，属于基础题.4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球”【答案】C【解析】结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.【详解】对于选项A, “至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;对于选项B, “至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;对于选项C, “恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球, 与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;对于选项D, “至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.5．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）A ．118B ．19C ．16D ．112【答案】B【解析】【详解】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B ．【考点】概率问题6．方程2||32y x x -=-表示的曲线为（ ）A ．一个圆B ．半个圆C ．两个半圆D ．两个圆 【答案】C 【解析】根据题意，分3y …与3y -…两种情况讨论，分别整理曲线方程，即可得出结果.【详解】由题知||30y -…，故3y -…或3y …. 当3y …时，方程可化为22(1)(3)1x y -+-=； 当3y -…时，方程可化为22(1)(3)1x y -++=. 故该方程表示两个半圆.故选C【点睛】本题主要考查圆的方程，根据题意，分类讨论，整理曲线方程即可，属于常考题型.7．椭圆22194x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则12F PF ∠=（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 【答案】A【解析】先求出12,F F 的坐标，14PF =Q ，根据椭圆的定义求出2PF ，在12F PF △中，由勾股定理，即求12F PF ∠.【详解】椭圆22194x y +=中，222229,4,5,5a b c a b c ==∴=-=∴=， ()()125,0,5,0F F ∴-. 11224,26,2PF PF PF a PF =+==∴=Q .12F PF △中，12124,2,25PF PF F F ===，222121212,2PF PF F F F PF π∴∠+=∴=.故选：A .【点睛】 本题考查椭圆的定义和勾股定理，属于基础题.8．执行如图所示的程序框图，则输出z 的值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】A 【解析】运行第一次，1,2,3x y z ===；运行第二次，235x y z ===，，；运行第三次3,5,8x y z ===；类推，直到不再符合20z <为止，输出z 即可．【详解】运行第一次，1,2,3x y z ===；运行第二次，235x y z ===，，；运行第三次3,5,8x y z ===；运行第四次，5,8,13x y z ===，运行第五次，8,13,21x y z ===，不符合20z <,跳出循环停止运行，所以输出的z 的值是21，故选A ．【点睛】本题考查程序框图的的有关内容，利用循环结构求程序框图的输出结果是常见题型. 9．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.故选：D.【点睛】回归直线方程中的ˆb 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.10．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．2B ．3C ．10D ．15【答案】C 【解析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.【详解】设阴影部分的面积是s ，由题意得2400s =1010005s ∴=，选C. 【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．11．已知空间三点坐标分别为A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点P （x,-1,3) 在平面ABC 内，则x 的值 （ ）A ．-4B ．1C ．10D ．11 【答案】D【解析】利用平面向量的共面定理即可求出答案【详解】 (),1,3P x -Q 点在平面ABC 内,λμ∴存在实数使得等式AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r 成立()()()4,2,02,2,21,6,8x λμ∴--=--+--42226028x λμλμλμ-=--⎧⎪∴-=+⎨⎪=--⎩，消去λμ，解得11x =故选D【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，熟练掌握平面向量的共面定理是解决本题的关键，属于基础题。
安徽舒城中学、无为中学等2019-2020学年上期高二数学理科12月检测卷附答案解析
安徽舒城中学、无为中学等2019-2020学年上期12月检测高二数学（理）卷一、单选题1．已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()R A B = ð（）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．()3,+∞2．“﹣3＜m ＜4”是“方程22143x y m m +=-+表示椭圆”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．函数3()23log x f x x =-+的零点所在区间是（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）4．已知平面向量(2,1)AB =，(3,3)AC t =-，若//AB AC ，则||BC =（）A ．25B ．20C ．5D ．25．如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S 表示（）A ．0123a a a a +++的值B ．233201000a a x a x a x +++的值C ．230102030a a x a x a x +++的值D ．以上都不对6．若直线1l ：60x ay ++=与2l ：()2320a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为()A ．2B ．823C ．3D ．8337．将函数()cos 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．2πB ．32-C ．12D ．12-8．如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（）．A ．()()22110x y x y--⋅-+=B ．()22110x y x y --⋅-+=C ．()22110x y x y --⋅-+=D ．22110x y x y --⋅-+=9．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A ．36πB ．28πC ．20πD ．12π10．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为（）A ．5B ．5C ．25D ．1011．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点A 在以原点O为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）A ．15B ．3C ．23D ．212．已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为26，球的半径为5,则正四面体表面与球面的交线的总长度为A ．4πB ．82πC ．122πD ．12π二、填空题13．已知点A （﹣2，﹣1），B （2，2），C （0，4），则点C 到直线AB 的距离为__________.14．已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是______．15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱11A D ,CD 的中点，点P 在平面ABCD内，点Q 在线段BN 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为__________.16．已知椭圆22:14x C y +=上的三点,,A B C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且ABM ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为__________.三、解答题17．在ABC ∆中，222a c b ac +=+．（1）求cos B 的值；（2）若1,87cosA a ==，求b 以及ABC S ∆的值．18．已知m R ∈，命題:p 对任意[]0,1x ∈，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立；命题:q 存在[]1,1x ∈-，使得1()12xm ≤-成立.(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围.19．在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列{n b }满足n nnb a =，求数列{n b }的前n 项和n S ．20．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约用水，市民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w =3时，试完成该10000位居民该月水费的频率分布表，并估计该市居民该月的人均水费．组号12345678分组[]2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12(]12,17(]17,22(]22,27频率21．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB AD ⊥，矩形EDCF ⊥平面ABCD ，且ED CD ⊥,2,1AB BC DE AD ====.（1）求证：AB AE ⊥；（2）求证：DF ∥平面ABE ；（3）求二面角B EF D --的正切值.22．已知曲线C 上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 距离之和为4，直线l 交曲线C 于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）求曲线C 的方程；（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若直线l 过点(0,2)Q ，求OAB ∆面积的最大值，以及取最大值时直线l 的方程．解析安徽舒城中学、无为中学等2019-2020学年上期12月检测高二数学（理）卷一、单选题1．已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()R A B = ð（）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【答案】C【解析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R ð的范围,最后根据交集的含义计算()RA B ⋂ð的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,R A =-∞-⋃+∞ð,又因为()1,B =+∞,所以()[)3,R A B =+∞ ð.故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.2．“﹣3＜m ＜4”是“方程22143x y m m +=-+表示椭圆”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】求出方程22143x y m m +=-+表示椭圆的充要条件是34-<<m 且12m ≠,由此可得答案.【详解】因为方程22143x ym m +=-+表示椭圆的充要条件是403043m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩,解得34-<<m 且12m ≠,所以“﹣3＜m ＜4”是“方程22143x y m m +=-+表示椭圆”的必要不充分条件.故选:B 【点睛】本题考查了由方程表示椭圆求参数的范围,考查了充要条件和必要不充分条件,本题易错点警示:漏掉43m m -≠+,本题属于基础题.3．函数3()23log x f x x =-+的零点所在区间是（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）【答案】B【解析】计算出(1),(2)f f ,并判断符号,由零点存在性定理可得答案.【详解】因为3(1)23log 110f =-+=-<,233(2)23log 21log 20f =-+=+>,所以根据零点存在性定理可知函数3()23log x f x x =-+的零点所在区间是(1,2),故选:B 【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断函数的零点所在区间,解题方法是计算区间端点的函数值并判断符号,如果异号,说明区间内由零点,属于基础题.4．已知平面向量(2,1)AB = ，(3,3)AC t =- ，若//AB AC，则||BC = （）A ．25B ．20C ．5D ．2【答案】A【解析】根据两个向量平行的坐标表示列式求得2t =-,再根据BC AC AB =-求得向量的坐标,然后求得模长.【详解】因为平面向量(2,1)AB = ，(3,3)AC t =- ，且//AB AC,所以231(3)0t ⨯-⨯-=,解得2t =-,所以(6,3)AC =,所以(62,31)(4,2)BCAC AB =-=--=,所以22||(4)225BC =+=.故选:A 【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,考查了求向量的模长,属于基础题.5．如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S 表示（）A ．0123a a a a +++的值B ．233201000a a x a x a x +++的值C ．230102030a a x a x a x +++的值D ．以上都不对【答案】C【解析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出该程序运行输出的结果是什么.【详解】模拟程序框图的运行过程,如下:输入01230,,,,a a a a x ,33,,0k S a k ==>,是,202302,,0k S a S x a a x k ==+⋅=+>,是,10123001,()k S a S x a a a x x ==+⋅=++212030a a x a x =++,0k >,是,230001020300,,0,k S a S x a a x a x a x k ==+⋅=+++>否,输出S =230102030a a x a x a x +++.故选:C 【点睛】本题考查了模拟程序框图运行的过程,注意程序运行结束的条件是解题的关键,本题属于基础题.6．若直线1l ：60x ay ++=与2l ：()2320a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为()A ．2B ．823C ．3D ．833【答案】B【解析】∵直线1l ：60x ay ++=与2l ：(2)320a x y a -++=平行∴16232a a a =≠-∴1a =-∴直线1l 与2l 之间的距离为222682331(1)d -==+-.故选B.7．将函数()cos 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫⎪⎝⎭=（）A ．2πB ．32-C ．12D ．12-【答案】D【解析】先求出平移后的函数解析式，进而可求出结果.【详解】将函数()cos 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移6π个单位长度后，得到函数()cos 3cos 3663g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则21cos 3cos 33332g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D 【点睛】本题主要考查由三角函数平移后的解析式求函数值，熟记三角函数的平移原则即可，属于基础题型.8．如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（）．A ．()()22110x y x y--⋅-+=B ．()22110x y x y --⋅-+=C ．()22110x y x y --⋅-+=D ．22110x y x y --⋅-+=【答案】C【解析】结合图象，对选项一一验证，找到方程所表示的曲线的图形满足题意即可.【详解】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A 选项等价于10x y --=或2210x y -+=，表示折线y 1x =-的全部和双曲线，故错误；B 选项，等价于221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩或10x y --=，又10x y --=表示折线y 1x =-的全部，故错误；C 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或2210x y -+=，∴221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，2210x y -+=表示双曲线2x -21y =，符合题中的图象，故C 正确.D 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩，221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，和221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩表示双曲线在x 轴下方的部分，故错误.故选C.【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键在于考虑问题要周全，即在每个因式等于0时同时需保证另一个因式有意义，此题是中档题，也是易错题．9．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A ．36πB ．28πC ．20πD ．12π【答案】D【解析】根据题意可知,旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥,然后根据圆锥的体积公式可求得答案.【详解】依题意可知,旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥,如图所示:所以3sin 604232OA AB =⋅=⨯= ,114222OB AB ==⨯=,所以所形成的几何体的体积是221133OC OA OB OA ππ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅115122121233πππ=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选:D.【点睛】本题考查了两个圆锥的组合体,考查了圆锥的体积公式,本题属于基础题.10．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为（）A ．5B ．5C ．25D ．10【答案】B【解析】试题分析：把圆的方程化为标准方程得()()22214x y +++=，所以圆心M 坐标为()2,1--半径2r =，因为直线l 始终平分圆M 的周长，所以直线l 过圆M 的圆心M ，把()2,1M --代入直线:10l ax by ++=得；210,a b --+=即210a b +-=，(),a b 在直线210x y +-=上，()()2222a b -+-是点()2,2与点(),a b 的距离的平方，因为()2,2到直线210a b +-=的距离42155d+-==，所以()()2222a b -+-的最小值为5，故选B.【考点】1、圆的方程及几何性质；2、点到直线的距离公式及最值问题的应用.【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用几何意义，将()()2222a b -+-的最小值转化为点到直线的距离解答的.11．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点A 在以原点O为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）A ．15B ．3C ．23D ．2【答案】A【解析】设另一个焦点为F ',由2AO =以及中位线求得4PF '=,由椭圆定义可知2PF =,所以1AF =,在△AFO 中由余弦定理求得AFO ∠的正弦与余弦值,再求得正切值即可求得斜率.【详解】如图所示:由22195x y +=得3,5,2a b c ===,设椭圆的右焦点为F ',连接PF ',所以线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心,2为半径的圆上,连接AO ,可得24PF AO '==,所以111(2)(64)1222AF PF a PF '==-=-=,所以222144cos 2212AF FO AO AFO AF FO +-+-∠==⋅⋅⨯⨯14=.所以2115sin 1cos 1164AFO AFO ∠=-∠=-=,所以15sin 4tan 151cos 4AFOAFO AFO∠∠===∠,所以直线PF 的斜率是15.故选:A 【点睛】本题考查了利用椭圆的定义和三角形中位线求焦半径,考查了利用余弦定理求得直线PF 的倾斜角的余弦值,利用同角公式求正弦值和正切值,根据斜率的定义求斜率,属于基础题.12．已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为26，球的半径为5,则正四面体表面与球面的交线的总长度为A ．4πB ．82πC ．122πD ．12π【答案】A【解析】首先考查一个面的交线长度，然后求解所有交线的长度即可.【详解】考查正四面体的一个平面与球相交的截面如图所示，由题意结合几何关系可知：122sin 60MN OD =⨯= ，球心到截面的距离：32316d =⨯=，则222OA r d=-=，4DAO π∠=，据此可得截面对应的弧长为：2322πππ-⨯=，则四面体的一个面截球面的弧长为：()222OA ππππ⨯⨯=，则正四面体表面与球面的交线的总长度为44ππ⨯=.故选：A .【点睛】本题主要考查正四面体的外接球，四面体与球的几何关系，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．已知点A （﹣2，﹣1），B （2，2），C （0，4），则点C 到直线AB 的距离为__________.【答案】145【解析】由两点式求得直线AB 的方程后,由点到直线的距离可求得答案.【详解】由两点式可得直线AB 的方程为:(1)(2)2(1)2(2)y x ----=----化简得3420x y +=-,则点C 到直线AB 的距离为22|0162|14534-+=+.故答案为:145.【点睛】本题考查了直线方程的两点式,点到直线的距离,属于基础题.14．已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是______．【答案】()()22112x y -+-=【解析】根据题意，设圆C 的圆心为(,)a a ，则有2222222(2)(2)11a r a a ⎛⎫=-+-= ⎪+⎝⎭，解可得a 的值，即可得圆心的坐标及半径r 的值，从而可得圆的标准方程．【详解】根据题意，圆C 的圆心在直线0x y -=上，设圆C 的圆心为(,)a a ，半径为r .又由圆C 过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则有2222222(2)(2)11a r a a ⎛⎫=-+-= ⎪+⎝⎭，解得1a =，故圆心的坐标为(1,1)，则222(2)(2)2r a a =-+-=，则圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=.故答案为：22(1)(1)2x y -+-=．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心，属于基础题．15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱11A D ,CD 的中点，点P 在平面ABCD内，点Q 在线段BN 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为__________.【答案】3555-【解析】取AD 的中点为O ,则MO ⊥平面ABCD ,即MO OP ⊥,由5PM =,得到1PO =,从而点P 在以O 为圆心,1为半径的位于平面ABCD 内的半圆上,可得O 到BN 的距离减去半径,即为PQ 长度的最小值.【详解】如图所示:取AD 的中点为O ,则MO ⊥平面ABCD ,即MO OP ⊥,因为5PM =,所以541OP =-=,所以点P 在以O 为圆心,1为半径的位于平面ABCD 内的半圆上,可得O 到BN 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值,作OHBN ⊥于H ,△BON 的面积为:1113222121112222BON S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ,又11522BON S OH BN OH =⨯⨯=⨯⨯ ,所以3522OH =,所以355OH =,所以PQ 的长度的最小值为:35355155OH OP --=-=.故答案为:3555-.【点睛】本题考查了正方体的结构特征,解题关键是将空间问题转化为平面问题解决,本题属于中档题.16．已知椭圆22:14x C y +=上的三点,,A B C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且ABM ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为__________.【答案】36-【解析】设出直线BC 的方程,将其代入到椭圆C 的方程,根据韦达定理,三角形的重心坐标公式,三角形的面积比,可求得点A 的坐标,再将A 的坐标代入椭圆方程即可得到直线BC 的斜率.【详解】如图所示:设1122(,),(,)B x y C x y ,33(0,),(,)M m A x y ,直线BC 的方程为y kx m =+,因为原点O 是三角形ABC 的重心,所以△BMA 与△CMO 的高之比为3,又△BMA 与△CMO 的面积之比为32,则2BM MC =,即2BM MC = ,所以1220x x +=,①联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 并整理得222(41)8440k x mkx m +++-=,所以122814km x x k -+=+,21224414m x x k-=+,②由①②整理得22223614m k m k =-+,③因为原点O 是△ABC 的重心,所以31228()14km x x x k =-+=+,3121222()[()2]14my y y k x x m k-=-+=-++=+,因为223344x y +=,所以222282()4()41414km m k k -+=++,化简得22144k m +=,④由③④可得2112k =,因为k 0<,所以36k =-.故答案为:36-.【点睛】本题考查了直线与椭圆相交的问题,三角形的重心坐标公式,韦达定理,运算求解能力,根据已知条件求出点A 的坐标后,再代入椭圆方程是解题关键,本题属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，222a c b ac +=+．（1）求cos B 的值；（2）若1,87cosA a ==，求b 以及ABC S ∆的值．【答案】（1）12；（2）7，1037.【解析】（1）利用余弦定理可求cos B 的值；（2）先利用同角三角函数关系式求出角,A B 的正弦值，再借助于正弦定理求出b ，代入已知条件求出c ，进而求出三角形的面积．【详解】（1）由余弦定理及已知得：2221cos 22a cb B ac +-==.（2）因为,A B 为三角形内角，所以22143sin 1cos 177A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，2213sin 1cos 122B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，由正弦定理得：38sin 27sin 437a Bb A ⨯⋅===，又∵2221cos 72b c a A bc+-==．22150c c ∴--=，解得5c =（3c =舍）．1103sin 27ABC S bc A ∆∴=⋅=．【点睛】本题主要考查余弦定理以及同角三角函数基本关系式，并涉及到三角形的面积公式和计算能力，属于中档题目．18．已知m R ∈，命題:p 对任意[]0,1x ∈，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立；命题:q 存在[]1,1x ∈-，使得1()12xm ≤-成立.(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围.【答案】(1)[]1,2；(2)()(],11,2-∞ 【解析】（1）由题得223m m -≥-，解不等式即得解；（2）先由题得max 1[()1]12xm ≤-=，由题得p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解.【详解】(1)对任意[]0,1x ∈，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立，当[]0,1x ∈，由对数函数的性质可知当0x =时，()2y log 12x =+-的最小值为2-，223m m ∴-≥-，解得12m ≤≤.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2.(2)存在[]1,1x ∈-，使得1()12xm ≤-成立，max 1[()1]12xm ∴≤-=.命题q 为真时，1m £，p 且q 为假，p 或q 为真，p ∴，q 中一个是真命题，一个是假命题.当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩解得12m <≤；当p 假q 真时，121m m m ⎧⎨≤⎩或，即1m <.综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞ .【点睛】本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立问题的解法，考查复合命题的真假和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列{n b }满足n nnb a =，求数列{n b }的前n 项和n S ．【答案】(1)12n n a -=(2)1242n n n S -+=-【解析】(1)根据已知条件11a =且3542,,3a a a 可解得公比,再代入通项公式即可得到;(2)利用错位相减法可求得n S .【详解】设正项等比数列{a n }的公比为q (0)q >,（1）∵53412231a a a a =+⎧⎨=⎩∴42311112231a a a a q q q ⎧=+⎨=⎩,所以22320q q --=∴q ＝2，12q =-(舍去)所以1112n n n a a q --==；（2）∵12n n n n n b a -==，∴01211232222n n n S -++++=，①121112122222n n n n nS --=++++ ，②①﹣②得211111122222n n n n S -=++++- ＝112112n --=12212222n n n nn +⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，∴1242n n n S -+=-.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题.20．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约用水，市民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w =3时，试完成该10000位居民该月水费的频率分布表，并估计该市居民该月的人均水费．组号12345678分组[]2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12(]12,17(]17,22(]22,27频率【答案】(1)3；(2)图见解析，10.5元【解析】(1)根据用水量的频率分布直方图求得该月用水量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3内的频率,再根据w 为整数可确定w 至少定为3;(2)利用同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,结合直方图的频率利用均值公式可以求得答案.【详解】（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．依题意，w 至少定为3．（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组[]2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12(]12,17(]17,22(]22,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=10.5（元）．【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求均值,本题属于基础题.21．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB AD ⊥，矩形EDCF ⊥平面ABCD ，且ED CD ⊥,2,1AB BC DE AD ====.（1）求证：AB AE ⊥；（2）求证：DF ∥平面ABE ；（3）求二面角B EF D --的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)255【解析】(1)根据面面垂直的性质定理证得ED ⊥平面ABCD ,从而可得AB ED ⊥,再根据AB AD ⊥以及线面垂直的判定定理可得.AB ⊥平面,从而可得AB AE ⊥.(3)过点B 作,BH CD ⊥垂足为H ,作HK EF ⊥，垂足为K ,连接BK ,则BKH ∠就是所求二面角B EF D --的平面角,在三角形BHK 中,可求得答案.【详解】解：（1）矩形EDCF ⊥平面ABCD ，且平面EDCF ⋂平面ABCD =CD ,又,ED CD ED ⊥⊂平面EDCF .ED ∴⊥平面ABCD .又AB ⊂ 平面ABCD ，AB ED ∴⊥,AB AD ⊥且AD DE D ⋂=,.AB ∴⊥平面ADE .AE ⊂ 平面ADE ，则AB AE⊥（2）如图所示:取BC 中点M,连接,,DM MF AM ,由已知条件易得AMCD 及ABMD 为平行四边形，于是////AM DC EF ,由于AM DC EF ==,故AMFE 为平行四边形.//MF AE .MF ⊄ 面ABE,所以//MF 平面ABE .又//MD AB ,所以MD P 面ABE ,又MF MD M ⋂=,所以平面DMF //平面ABE .又DF ⊂ 平面DMFDF ∥平面ABE .（3）如图所示:过点B 作,BH CD ⊥垂足为H ,作HK EF ⊥，垂足为K ,连接BK .由矩形EDCF ⊥平面ABCD ，得BH ⊥平面CDEF ,又HK EF ⊥,BK EF∴⊥所以BKH ∠就是所求二面角B EF D --的平面角.在△BDC 中,根据面积关系可得1122BH DC DM BC ⨯=⨯,得221122BH DM MC DM BC ⨯+=⨯,得2111212222BH ⨯+=⨯⨯,解得455BH =.在BKH 中，452,5HK DE BH ===45255tan 25BH BKH HK ∴∠===.故二面角B EF D --的正切值为255.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理,线面垂直的判定定理,线面平行的判定定理,面面平行的性质定理,二面角的求法,本题属于中档题.22．已知曲线C 上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 距离之和为4，直线l 交曲线C 于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）求曲线C 的方程；（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若直线l 过点(0,2)Q ，求OAB ∆面积的最大值，以及取最大值时直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析；（3）53,22y x =+或522y x =-+【解析】（1）利用椭圆的定义可知曲线为2,1a c ==的椭圆，直接写出椭圆的方程．（2）设直线:l ()0,0y kx b k b =+≠≠，设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM ，然后推出直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（3）设直线方程是2y kx =+与椭圆方程联立，根据面积公式()21212121242AOB S x x x x x x ∆=⨯⨯-=+-，代入根与系数的关系，利用换元和基本不等式求最值.【详解】（1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆，设其标准方程为22221x y a b+=，则有2,1a c ==，所以2223b a c =-=，∴22143x y +=.（2）证明：设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+≠≠，设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 则由22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()223412x kx b ++=，即()2223484120k x kbx b +++-=∴122834kb x x k +=-+，∴12024234x x kb x k +==-+，20022433434k b b y kx b b k k=+=-+=++，0034OM y k x k==-，∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积=4334OM k k k k ⋅=-⋅=-为定值（3）点()()1122,,,A x y B x y ，由222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22341640k x kx +++=，>0∆，解得214k >121222164,3434k x x x x k k +=-=++∴()21212121242AOB S x x x x x x ∆=⨯⨯-=+-()22222216164143343434k k k k k -⎛⎫=--= ⎪++⎝⎭+设()241,0,k t t -=∈+∞()2143431648AOB t S t t t ∆==+++16816t t ++≥当4t =时，AOB S ∆取得最大值3.此时2414k -=，即52k =±所以直线方程是522y x =±+【点睛】本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．。
六安市舒城中学2020_2021学年高二数学下学期开学考试试题理
安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二数学下学期开学考试试题理满分:150分时间:120分钟一、单选题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．下列判断正确的是（）A．命题:33p≥，:34q>，则p q∨为真命题B．命题“45α>︒"是命题“tan1α>"的必要不充分条件C．命题“对于任意的实数x，使得20x>”的否定是“存在一个实数0x，使得020x<”D．若命题“p q∧"为假命题，则命题p，q都是假命题2．已知复数z满足(1)2z i i+=，则复数z=（）A．1i+B．1i-+C．1i--D．1i-3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．32C．53D．85 4．公差不为0的等差数列{}n a的部分项123,,,k k ka a a构成等比数列{}n k a,且11k=，22k=，36k=，则4kA．20 B．22 C．24D．285．已知定义域为[]4,22a a--的奇函数()32016sin 2f x x x b =-++，则()()f a f b += （ ）A ．0B ．1C ．2D ．46．如图所示，点P 是函数()()2sin ,0y x x R ωϕω=+∈>的图象的一个最高点，M ，N 是图象与x轴的交点.若0PM PN ⋅=，则ω的值为 ( ）A 。
8B 。
4C ．4πD ．8π7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中,角A ,B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，则ABC 的面积222221()22a b c S ab ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭根据此公式，若cos (2)cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ,则ABC 的面积为 （ )A ．6B ．23C ．3D ．328．已知正四面体ABCD 中, 4,4AE AB CF CD ==则直线DE 与BF 所成角的余弦值为 （ ） A ．313 B ．413 C ．313- D ．413-9．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 （ ）A ．123B ．183C ．243 D ．54310．已知(,)P x y 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点,PA PB 、是圆C:0222=-+y y x 的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 （ ） A ．22 B ．2 C ．3D ．212 11．在直三棱柱111A B C ABC-中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===．已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为 ( ）A ．1, 15⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．)1, 2⎡⎣ D ．1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．16B ．13C ．36D ．33二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足约束条件2102700x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值为___________。
安徽省六安市舒城中学2020学年高二数学上学期第二次统考试题 理
舒城中学2020学年度第一学期第二次统考高二理数时间：120分钟 总分：150分一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知直线0=++C By Ax 不经过第一象限，且A,B,C 均不为0，则有（ ） A. 0<C B . 0>CC. 0>BCD. 0<BC 2．在圆02422=+-+y x y x 内，过点)0,1(M 的最短弦的弦长为（ ） A.5 B. 52C. 3D. 32 3．在等比数列}{n a 中，若93,a a 是方程091132=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）A.3B. 3或—3C. 3±D. 34．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为 （ ）A. 130B. 170C. 210D. 2605．已知两点)4,3(-A ，)2,3(B ，过点)0,1(P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A.)1,1(-B. ),1()1,(+∞⋃--∞C. ]1,1[-D. ),1[]1,(+∞⋃--∞6．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（ ）（A ）48+122（B ）48+242（C ）36+122 （D ）36+242 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是AD 的中点，则异面直线1A B 与1C E 所成角的大小是（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 8．已知→→→→=+⋅+⋅02c x b x a 是关于x 的方程，其中→a ，→b ，→c 是非零向量，且向量→a 与→b 不共线，则该方程（ ）A 至多有一根B 至少有一根C 有两个不等的根D 有无数个互不相同的根 9．化简 1+211++3211+++…+n +⋅⋅⋅+++3211的结果是（ ） A. 1+n n B.12+n n C. 122+n n D. 12+n n 10．在ABC ∆中，若2cos sin sin 2A C B =，则ABC ∆是 （ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 11．点)2,4(-P 与圆422=+y x 上任意一点连线的中点的轨迹方程是（ ）A.1)1()2(22=++-y xB.4)1()2(22=++-y x C ．4)2()4(22=-++y x D ．1)1()2(22=-++y x 12．三棱锥ABC O -中，OC OB OA ,,两两垂直且相等，点Q P ,分别是线段BC 和OA 上移动，且满足BC BP 21≤，AO AQ 21≤，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是（ ） A ．]552,33[ B ．]22,33[ C ．]552,66[ D ．]22,66[ 二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置。
高二数学上学期开学考试试题 理
舒城中学2021-2021学年度第一学期第一次统考创作人：历恰面日期：2020年1月1日高二理数〔总分：150分时间是：120分钟〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
〕1. 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},那么A∪B=( )A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}2. 假设m<0,n>0且m+n<0,那么以下不等式中成立的是( )A.-n<m<n<-mB.-n<m<-m<nC.m<-n<-m<nD.m<-n<n<-m3. 在等比数列{a n}中，假如a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )A．135 B．100 C．95 D．804. 函数y＝x|x|·a x(a>1)的图象的根本形状是( )5. f (x)满足∀x∈R，f (－x)＋f (x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝1e x＋k (k为常数)，那么f (ln 5)的值是( )A.4B.－4C.6D.－66. 设a>0,b>1,假设a+b=2 ,那么 + 的最小值为( )B.8C.4D.4+27. 在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，那么Q 点的横坐标为( )A.－7210B.－325C.－7212D.－82138. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有以下三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确的命题有( )A.①②B.②③C.①③D.①②③9. 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.9＋36π B.6＋36π C.3＋36π D.12＋36π10. 假如实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，那么z ＝3x ＋2y ＋yx的最大值为( )A.7B.8C.911. 非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，那么a b -等于〔 〕A ．1B ．55 D ．312. 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0，1]时，f(x )＝log 2x ，那么在区间(8，9)内满足方程f (x )＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 为( )A.172 B.678 C.334 D.658二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13. 不等式的解是14. 等比数列{n a }的公比0q >, 2a =1，216n n n a a a +++=，那么{n a }的前4项和4S 为 15. 假设，那么的最小值是16. 四面体PABC 的四个顶点都在球O 的球面上，假设PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝22，PB ＝AB ＝2，那么球O 的外表积为三．解答题〔此题一共6小题，一共70分〕 17. 〔本小题10分〕 〔1〕〔2〕 设f (α)＝2sin 〔π＋α〕cos 〔π－α〕－cos 〔π＋α〕1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α〔21sin -≠α〕，求f⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π618. 〔本小题12分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足csin B=3bcos C ，a 2-c 2=2b 2〔1〕求C 的大小；〔2〕假设△ABC 的面积为213，求b 的值．19. 〔本小题12分〕函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋2b cos 2ωx －b (a 、b 、ω>0)，在x ＝π12时获得最大值2 .假设 x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R|f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求a 、b 的值；(2)假设f (α)＝23，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4α的值．20. 〔本小题12分〕如图，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ； (2)求二面角A －SC －B 的余弦值．21. 〔本小题12分〕数列{a n }满足：a 1+a 2+a 3+…+a n =n -a n ，〔n =1，2，3，…〕 〔1〕求证：数列{a n -1}是等比数列；〔2〕令b n =)1)(-2-n a n （〔n =1，2，3…〕，假如对任意n ∈N *，都有241t t b n ≤+，务实数t 的取值范围．22. 〔本小题12分〕某厂家拟在2021年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数),假如不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.2021年消费该产品的固定投入为8万元,每消费一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均本钱的1.5倍(产品本钱包括固定投入和再投入两局部资金).(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?高二理数自主训练〔1〕参考答案1-5: A D A A B 6-7: D A C A C 11-12: B D 13. 14.15. 16. 16π三．解答题 17.(1)(2)∵f (α)＝1＋sin2α＋sin α－cos2α（－2sin α）（－cos α）＋cos α＝2sin2α＋sin α2sin αcos α＋cos α＝sin α（1＋2sin α）cos α（1＋2sin α）＝tan α1，∴ f 623π＝623π＝6π＝6π＝. 18.解：(1)∵由及正弦定理可得，sin C sin B=sin B cos C ， ∵sin B≠0， ∴tan C=， ∴C=． …〔5分〕(2) 由〔Ⅰ〕可得，cos C==， ∴a 2+b 2-c 2=ab ， 又∵a 2-c 2=2b 2，∴a =3b ， ∴由题意可知，S △ABC =absin C=b 2=21， ∴b 2=28，可得：b =2． …〔12分〕19. 解：(1)f (x )＝a sin 2ωx ＋b cos 2ωx ＝A sin(2ωx ＋φ)，中A ＝，sin φ＝a2＋b2b，cos φ＝a2＋b2a.由题意知：f (x )的周期为π，A ＝2，由2ω2π＝π，知ω＝1. ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵f 12π＝2，∴sin ＋φπ＝1，从而6π＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π＋2k π(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin 3π＝sin 2x ＋cos 2x ，从而a ＝1，b ＝.(2) 由f (α)＝32知2sin 3π＝32，即sin 3π＝31.∴sin －4α5π＝sin 32π＝－cos 32π＝－1＋2sin 23π＝－1＋2×312＝－97.20.(1) 证明：由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA .如下图，连结OA △ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC .又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2，SO ⊥AO .又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2) 解：如下图，取SC 中点M ，连结AM 、OM ，由(1)知SO ＝OC ，SA ＝AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC . ∴∠OMA 为二面角A －SC －B 的平面角．由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC ＝O ，得AO ⊥平面SBC ，所以AO ⊥OM ， 又AM ＝23SA ，故sin ∠AMO ＝AM AO＝32＝36，∴cos ∠AMO ＝33所以二面角A －SC －B 的余弦值为33.21.解：(1)由题可知 ： a 1+a 2+a 3++a n -1+a n =n -a n ① a 1+a 2+a 3++a n +a n +1=n +1-a n +1 ② ②-① 可得2a n +1-a n =1 .〔5分〕即：，又.〔7分〕所以数列{a n -1}是以为首项，以为公比的等比数列〔5分〕(2)由〔I〕可得，〔9分〕〔7分〕由可得n＜3由b n+1-b n ＜0可得n＞3〔11分〕所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞…＞b n＞ ..故{b n}有最大值所以，对任意n∈N* ，有〔10分〕假如对任意n∈N*，都有，即成立，那么，故有：，〔11分〕解得或者所以，实数t的取值范围是〔12分〕22. 解：(1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k⇒k=2,∴×(元),∴×-8-16x-m = -+29(m≥0).(2)∵m≥0时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时,取等号,∴y≤-8+29=21,故该厂家2021年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.创作人：历恰面日期：2020年1月1日。
安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学(理)试题
4．设 为 所在平面内一点，若 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．都不对
6．已知向量 ， ，其中 ，若 ，则 的值（）
A．4B．8C．0D．2
由向量平行的坐标表示求解 求解的值．
【详解】
由已知 ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴可解得 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查向量平行的坐标表示，根据共线向量的坐标表示直接列式求解．
7．B
【解析】
因为 在 方向上的投影与 在 方向上的投影相等，
设这两个向量的夹角为 ，则 ，
又由 且 ，
所以 ，故选B.
8．A
【详解】
点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视
【详解】
令t＝ ＞0，求得x＜1或x＞2，
故函数的定义域为（﹣∞，1）∪（2，+∞），且f（x）＝ 单调递减
故即求函数t在定义域上的增区间．
再利用二次函数的性质可得函数t在定义域上的增区间为
故选：D．
【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
3．C
10．设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）
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舒城中学2020学年度第一学期第一次统考高二理数（总分：150分时间：120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分。
）1. 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B=( )A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}2. 若m<0,n>0且m+n<0,则下列不等式中成立的是( )A.-n<m<n<-mB.-n<m<-m<nC.m<-n<-m<nD.m<-n<n<-m3. 在等比数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )A．135 B．100 C．95 D．804. 函数y＝x|x|·a x(a>1)的图象的基本形状是( )5. 已知f (x)满足∀x∈R，f (－x)＋f (x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝1e x＋k (k为常数)，则f (ln 5)的值为( )A.4B.－4C.6D.－66. 设a>0,b>1,若a+b=2 ,则 + 的最小值为( ) A.2B.8C.4D.4+27. 在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( )A.－7210B.－325C.－7212D.－82138. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确的命题有( )A.①②B.②③C.①③D.①②③9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.9＋36πB.6＋36πC.3＋36πD.12＋36π10. 如果实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则z ＝3x ＋2y ＋yx的最大值为( )A.7B.8C.9D.1111. 已知非零向量,a b r r 满足4,2a b ==r r ，且a r 在b r 方向上的投影与b r 在a r方向上的投影相等，则a b -r r等于（ ） A ．1 B ．25 C ．5 D ．312. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2x ，则在区间(8，9)内满足方程f (x )＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 为( ) A.172 B.678 C.334 D.658二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 不等式的解是14. 等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S 为 15. 若，则的最小值是16. 已知四面体PABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝22，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为三．解答题（本题共6小题，共70分） 17. （本小题10分） （1）（2） 设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α（21sin -≠α），求 f⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π618. （本小题12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足csin B=3bcos C ，a 2-c 2=2b 2 （1）求C 的大小；（2）若△ABC 的面积为213，求b 的值．19. （本小题12分）已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋2b cos 2ωx －b (a 、b 、ω>0)，在x ＝π12时取得最大值2 .若 x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R|f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求a 、b 的值；(2)若f (α)＝23，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4α的值．20. （本小题12分）如图，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ； (2)求二面角A －SC －B 的余弦值．21. （本小题12分）已知数列{a n }满足：a 1+a 2+a 3+…+a n =n -a n ，（n =1，2，3，…） （1）求证：数列{a n -1}是等比数列；（2）令b n =)1)(-2-n a n （（n =1，2，3…），如果对任意n ∈N *，都有241t t b n ≤+，求实数t 的取值范围．22. （本小题12分）某厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m≥0)满足x=3-(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?高二理数自主训练（1）参考答案一.单选题1-5: A D A A B 6-7: D A C A C 11-12: B D 二.填空题13. 14. 15.16. 16π三．解答题 17.(1)(2)∵f (α)＝1＋sin2α＋sin α－cos2α（－2sin α）（－cos α）＋cos α＝2sin2α＋sin α2sin αcos α＋cos α＝sin α（1＋2sin α）cos α（1＋2sin α）＝tan α1，∴ f 623π＝623π＝6π＝6π＝. 18.解：(1)∵由已知及正弦定理可得，sin C sin B=sin B cos C，∵sin B≠0，∴tan C=，∴C=．…（5分）(2)由（Ⅰ）可得，cos C==，∴a2+b2-c2=ab，又∵a2-c2=2b2，∴a=3b，∴由题意可知，S△ABC=absin C=b 2=21， ∴b 2=28，可得：b =2． …（12分）19. 解：(1)f (x )＝a sin 2ωx ＋b cos 2ωx ＝A sin(2ωx ＋φ)，中A ＝，sin φ＝a2＋b2b，cos φ＝a2＋b2a.由题意知：f (x )的周期为π，A ＝2，由2ω2π＝π，知ω＝1. ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)． ∵f 12π＝2，∴sin ＋φπ＝1，从而6π＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π＋2k π(k ∈Z )， ∴f (x )＝2sin 3π＝sin 2x ＋cos 2x ，从而a ＝1，b ＝. (2) 由f (α)＝32知2sin 3π＝32，即sin 3π＝31.∴sin －4α5π＝sin 32π＝－cos 32π＝－1＋2sin 23π＝－1＋2×312＝－97.20.(1) 证明：由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA .如图所示，连结OA △ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC . 又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2，SO ⊥AO .又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2) 解：如图所示，取SC 中点M ，连结AM 、OM ，由(1)知SO ＝OC ，SA ＝AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC . ∴∠OMA 为二面角A －SC －B 的平面角．由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC ＝O ，得AO ⊥平面SBC ，所以AO ⊥OM ， 又AM ＝23SA ，故sin ∠AMO ＝AM AO＝32＝36，∴cos ∠AMO ＝33所以二面角A －SC －B 的余弦值为33.21.解：(1)由题可知 ： a 1+a 2+a 3++a n -1+a n =n -a n ① a 1+a 2+a 3++a n +a n +1=n +1-a n +1 ②②-① 可得2a n +1-a n =1 .（5分）即：，又.（7分）所以数列{a n-1}是以为首项，以为公比的等比数列（5分）(2)由（I）可得，（9分）（7分）由可得n＜3由b n+1-b n＜0可得n＞3（11分）所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞…＞b n＞ ..故{b n}有最大值所以，对任意n∈N* ，有（10分）如果对任意n∈N*，都有，即成立，则，故有：，（11分）解得或所以，实数t的取值范围是（12分）22. 解：(1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-, 每件产品的销售价格为1.5×(元),∴2020年的利润y = 1.5x×-8-16x-m = -+29(m≥0).(2)∵m≥0时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时,取等号,∴y≤-8+29=21,故该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.。